Aufgabensammlung für die Oberstufe E-Book

Marco Schuchmann

• Herausgeber: Books on Demand
• Kategorie: Bildung
• Sprache: Deutsch
• Veröffentlichungsjahr: 2015

Seitenzahl: 290

Beschreibung

In diesem Buch wurden viele Aufgaben mit Lösungen und Lösungserklärungen für die Oberstufe zusammengestellt. Aufgaben mit erhöhtem Schwierigkeitsgrad sind extra gekennzeichnet (z.B. LK für Leistungskurse). Im Wesentlichen wurden hier Aufgaben von mir kreiert, die zum grundlegenden Verständnis der Mathematik der Oberstufe dienen sollen und bei denen verschiedene Aspekte zum Tragen kommen. Dabei lag der Schwerpunkt nicht auf dem Erstellen von besonders trickreichen Aufgaben, sondern es geht um das Üben und Vertiefen des Schulstoffes, den man zum erfolgreichen Bestehen des Abiturs benötigt. Das Buch ist eine Ergänzung zum Titel „Jetzt lerne ich Mathematik für die Oberstufe“, welches überwiegend Erklärungen und Beispiele enthält. In beiden Büchern sind viele Erklärungen, wichtige Hinweise für bestimmte Aufgabentypen, Aufgabenbeispiele mit Lösungstipps und Grafiken zu finden. Bei allen Beschreibungen steht im Vordergrund, dass diese für Schülerinnen und Schüler möglichst verständlich sind, weshalb oft Zwischenschritte bei Umformungen dargestellt werden. Auf den beiden Seiten zum Buch (www.alles-mathe.de und www.mathe-total.de) werden Programme zum Lösen von Aufgaben und zum Erstellen von Graphen bereitgestellt, wie auch Übungsaufgaben und Ergänzungen zum Buch. Zusätzlich findet man hier Aufgaben, die automatisch generiert werden, wie beispielsweise zur Polynomdivision.

Leseprobe

Vorwort

In diesem Buch wurden viele Aufgaben mit Lösungen und Lösungserklärungen für die Oberstufe zusammengestellt. Aufgaben mit erhöhtem Schwierigkeitsgrad sind extra gekennzeichnet (z.B. LK für Leistungskurse). Im Wesentlichen wurden hier Aufgaben von mir kreiert, die zum grundlegenden Verständnis der Mathematik der Oberstufe dienen sollen und bei denen verschiedene Aspekte zum Tragen kommen. Dabei lag der Schwerpunkt nicht auf dem Erstellen von besonders trickreichen Aufgaben, sondern es geht um das Üben und Vertiefen des Schulstoffes, den man zum erfolgreichen Bestehen des Abiturs benötigt.

Das Buch ist eine Ergänzung zum Titel „Jetzt lerne ich Mathematik für die Oberstufe“, welches überwiegend Erklärungen und Beispiele enthält. In beiden Büchern sind viele Erklärungen, wichtige Hinweise für bestimmte Aufgabentypen, Aufgabenbeispiele mit Lösungstipps und Grafiken zu finden. Bei allen Beschreibungen steht im Vordergrund, dass diese für Schülerinnen und Schüler möglichst verständlich sind, weshalb oft Zwischenschritte bei Umformungen dargestellt werden.

Auf den beiden Seiten zum Buch (www.alles-mathe.de und www.mathe-total.de) werden Programme zum Lösen von Aufgaben und zum Erstellen von Graphen bereitgestellt, wie auch Übungsaufgaben und Ergänzungen zum Buch. Zusätzlich findet man hier Aufgaben, die automatisch generiert werden, wie beispielsweise zur Polynomdivision.

Im Herbst 2015

Dr. Marco Schuchmann

(e-mail: [email protected])

Inhaltsverzeichnis

Analysis

Bestimmung von Geradengleichungen

Schnittpunkte und Schnittwinkel (von Geraden)

Nullstellen bei Polynomen bestimmen

Nullstellen (bei Polynomen)

Ableitungen bei Polynomen bestimmen

Ergänzende Beispiele zum Differentialquotienten

Ableitung graphisch (näherungsweise) bestimmen

Anwendungen zur Differentialrechnung

Tangenten und Normalen

Ableitung und Steigung

Tangenten und Normalen

Regeln zur Differentialrechnung (Produktregel, Quotientenregel, Kettenregel)

Extremwerte

Wendepunkte

Symmetrie-Eigenschaften von Funktionen und Kurvendiskussion

Aufgaben zur Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel

Anwendungsaufgabe zur Rekonstruktion

Anwendungsaufgaben Analysis

Symmetrie und Grenzwertverhalten

Spezielle Mengen und Intervalle

Monotoniebereiche/Krümmungsverhalten

Kurvendiskussion mit Polynomen

Kurvendiskussion mit Exponentialfunktionen

Anwendungsaufgabe zur Analysis: Gewinnfunktion

Anwendungsaufgabe zur Analysis - Gewinnfunktion

Extremwertaufgaben

Aufgaben Rekonstruktion

Rekonstruktion von Funktionen

Anwendung Exponentialfunktion

Weitere Anwendungsaufgabe zur Exponentialfunktion

Kurvenschar und Extremwertaufgabe (mit Exponentialfunktionen)

Aufgaben zu Kurvenscharen (Polynome)

Definitions- und Wertebereich einer Funktion

Umkehrfunktionen

Folgen

Reihen

Aufgaben zu Ober- und Untersummen

Aufgaben zum Einstieg in die Integralrechnung

Integralrechnung

Partielle Integration und Substitution

Aufgaben zur Flächenberechnung mit der Integralrechung

Aufgaben zur Integralrechnung mit Exponentialfunktionen

Aufgabe zur Rekonstruktion einer Funktion (mit Integralrechnung)

Aufgabe Rekonstruktion mit Integration

Volumen eines Rotationskörpers

Aufgaben zu Rotationskörpern

Aufgaben zur partiellen Integration und Substitution (LK)

Aufgaben zur Partialbruchzerlegung (wird selten in der Oberstufe behandelt)

Gebrochenrationale Funktionen

Gebrochenrationale Funktionen (weitere Aufgaben)

Trigonometrische Funktionen

Trigonometrische Funktionen (weitere Beispiele und Erklärungen)

Die natürliche Logarithmusfunktion

Untersuchung von ln-Funktion (allgemein nur im LK)

Das Newton – Verfahren (wird selten in der Oberstufe behandelt)

Analytische Geometrie bzw. lineare Algebra

Aufgaben Grundlagen Vektorrechnung

Länge eines Vektors und Abstand von zwei Punkten

Skalarprodukt und Winkel zwischen Vektoren

Lineare Unabhängigkeit

Gauss-Algorithmus

Lineare Gleichungssysteme

Mögliche Fälle, die beim Lösen eines linearen Gleichungssystems auftreten können

Aufgaben zu linearen Gleichungssystemen

Punktprobe und Lagebeziehung zwischen Geraden, Schnittpunkt, Schnittwinkel

Abstand Punkt Gerade

Spurpunkte

Lagebeziehungen von Gerade/Ebene und Ebene/Ebene

Ebenengleichung in Parameterform (Formen umwandeln)

Ebenengleichung in Koordinatenform / Normalform

Parameterform in Koordinarenform

Koordinatenform in Parameterform

Punktprobe Ebenen

Schnittpunkt Ebene/Gerade, Schnittwinkel

Spurpunkte bei Ebenen

Lagebeziehung Ebene / Ebene, Schnittgerade, Schnittwinkel

Hesse Normalform, Abstand Punkt/Ebene, Lotfußpunkt

Anwendungsaufgabe „Analytische Geometrie“

Praktische Aufgabe zur Vektorrechnung (Anwendungsaufgabe)

Ebenenscharen

Kreise und Kugeln (wird nicht immer in Oberstufen behandelt)

Stochastik

Grundlagen zu Mengen, die man für die Stochastik benötigt

Berechnung von Wahrscheinlichkeiten beim Ziehen mit und ohne Zurücklegen

Aufgaben zu Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Aufgaben zur Kombinatorik

Erwartungswert und Varianz

Bedingte Wahrscheinlichkeit, Kreuztabellen und Unabhängigkeit

Aufgaben zur Binomialverteilung

Zusammenfassung zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten über die Tabellen

Approximation der Binomialverteilung über die Normalverteilung (oft nur im LK)

Testen von Hypothesen

Beispiel zur Tschebyscheff-Ungleichung (erhöhter Schwierigkeitsgrad, wird selten behandelt)

Aufgaben zur Stochastik (zu diversen Themen)

Anhang mit Tabellen (Binomialverteilung und Normalverteilung)

Aufgaben zur Binomialverteilung

Der Alternativtest

Zusammenfassung zu Hypothesentests

Bemerkungen zur Verallgemeinerung der Sigma-Umgebung und Hypothesentest

Grundlagen der Statistik (Kennzahlen von Stichproben, absolute und relative Häufigkeiten)

Bestimmung von Geradengleichungen

Aufgabe 1

Lösung:

Mit der y-Achse (x=0):

Sy (0 | 4)

Mit der x-Achse (y=0):

–2x + 4=0 |–4

Aufgabe 2

Gegeben sind die Punkte P(-2; 4) und Q(1; 10). Gesucht ist die Gleichung der Geraden durch diese Punkte.

Lösungsweg 1:

Es handelt sich hier um ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten. Subtrahiert man die Gleichung (1) von der Gleichung (2), so „fällt b weg“:

Lösungsweg 2:

Man könnte die Gleichung auch mit folgenden Formeln bestimmen:

mit      

Würde man diese Formel verwenden, so gilt:

Statt zwei Punkten könnte auch ein Punkt P(x1; y1) und die Steigung m gegeben sein. In diesem Fall kann man m und die Koordinaten des Punktes P direkt in (I) einsetzen.

Aufgabe 3

a) Liegt P(1; 4) auf der Geraden f?

womit P auf der Geraden liegt.

b) Bestimme die fehlenden Koordinaten der Punkte Q(3; ?) und R(?; -4) auf der Geraden f.

Lösung:f(3)=6+2=8 Q(3;8)

also ist R(–3;–4).

Schnittpunkt und Schnittwinkel Aufgabe 4

Aufgabe 4

Berechne den Schnittpunkt und den Schnittwinkel der folgenden Geraden:

Lösung:

Da die Geraden im Schnittpunkt den gleichen y-Wert (natürlich auch den gleichen x-Wert) haben, werden die Funktionsterme gleichgesetzt:

3x =–3         |:3

x=–1

Also ist S(–1;2) der Schnittpunkt.

Kommen wir nun zur Berechnung des Schnittwinkels:

Hier kann sich auch ein negativer Wert für α ergeben, falls die Gerade eine negative Steigung hat. In diesem Fall ergibt sich die Gerade durch Drehung der x-Achse in negativer Drehrichtung (d.h. mit dem Uhrzeigersinn) um die Nullstelle der Geraden. Der Schnittwinkel mit der x-Achse ist | α |.

Somit gilt für die Gerade f:

Und für die Gerade g:

Da αf > αg ist, ergibt sich der Schnittwinkel durch:

Für αf < αg wäre dieser gleich αg – αf oder allgemein:

Nun ist noch eines zu beachten: Wenn sich bei dieser Berechnung ein Winkel größer als 90° ergibt, so gibt man 180° - α als Schnittwinkel an, d.h. in unserem Beispiel beträgt dieser ca. 71,57°.

Aufgabe 5

Lösung: ja, da

Lösung:

gelten, womit

ist. Also gilt

Nun soll die Gerade g durch den Punkt P(4; 2) gehen, somit ist

und

Der Punkt auf der Geraden f, der den kleinsten Abstand zu P hat, ist der Schnittpunkt der beiden Geraden, da g senkrecht zu f verläuft und den Punkt P enthält. Wir bestimmen somit zunächst den Schnittpunkt:

Für den Abstand d von zwei Punkten P(x1; y1) und Q(x2; y2) gilt allgemein (die Formel ergibt sich über Pythagoras, siehe Grafik):

Hier ist der Abstand von P und Q bzw. der Abstand von f zu P:

Nullstellen bei Polynomen bestimmen

Aufgabe:

Es sollen die Nullstellen folgender Polynome bzw. ganzrationaler Funktionen bestimmt werden.

Weitere Beispiele zur Polynomdivision sind unter http://www.mathe-total.de/Test-Polynomdivision/Polynomdivision.php zu finden, weitere Beispiele zur Substitution bei biquadratischen Gleichungen - wie bei Aufgabe g) - unter http://www.mathe-total.de/Testbiquadratische-Gleichungen und falls jemand die p-q-Formel noch mal üben möchte, kann er dies unter http://www.mathe-total.de/Test-p-q-Formel tun.

Lösung:

a)

b)

Nun kann man wieder jeden einzelnen Faktor gleich Null setzten und erhält:

c)

Es gibt also nur eine Nullstelle.

d)

Polynomdivision:

Zu den restlichen Nullstellen:

e)

Wieder ist eine Polynomdivision notwendig.

Polynomdivision:

Hier haben wir oben 0x "ergänzt", da kein Term der Form a·x vorhanden war. Dies ist nicht unbedingt notwendig, hilft aber bei der Polynomdivision, damit man nicht durcheinander kommt (man könnte oben auch eine Lücke an dieser Stelle lassen).

Zu den restlichen Nullstellen:

f)

Wir führen eine Polynomdivision durch. Vor der Polynomdivision hätten wir nicht unbedingt die Gleichung durch 2 dividieren müssen, denn hier könnte auch ein Faktor bzw. Koeffizient ungleich 1 bei x3 stehen bleiben.

Polynomdivision:

Hier ergab sich auch ein Spezialfall, denn nach der ersten Subtraktion bei der Polynomdivision blieb kein Rest. Wir mussten danach in einem Schritt zwei Summanden "herunter holen".

Zu den restlichen Nullstellen:

g)

h)

Diese Gleichung hat keine Lösung, womit es nur 2 Nullstellen gibt.

i)

Diese Gleichung auf keinen Fall ausmultiplizieren, wenn man nur die Nullstellen bestimmen möchte, denn wir können jeden Faktor Null setzen:

j)

Hier gilt das gleiche, wie bei i). Wir setzen jeden Faktor gleich Null:

Nullstellen

Aufgabe 1

Bestimme die Nullstellen der Funktion

Lösung:

Hier kann man x ausklammern:

Man kann die obige Funktion nun sogar wie folgt darstellen:

Wenn also eine Funktion wie oben gegeben ist (d.h. in Linearfaktoren zerlegt) und man die Nullstellen bestimmen soll, dann kann man diese einfach ablesen und sollte diese Gleichung nicht ausmultiplizieren.

Aufgabe 2

Bestimme die Nullstellen der Funktion

Eine Gleichung 4-ten Grades kann somit 4 Lösungen haben, wie allgemein eine ganzrationale Funktion n-ten Grades n Nullstellen haben kann. Wäre z.B. z2 < 0 gewesen, so hätten wir nur zwei Lösungen gehabt.

Aufgabe 3

Bestimme die Nullstellen der Funktion

Lösung

Die restlichen Nullstellen erhält man durch:

Bemerkung:

Statt der Polynomdivision kann man auch das Hornerschema verwenden, was aber seltener an Schulen verwendet wird.

Ableitungen bei Polynomen bestimmen

Es soll jeweils die erste Ableitung bestimmt werden:

Lösungen:

Ergänzende Beispiele zum Differentialquotienten

Statt

findet man auch häufig

Beispiel:

Es folgen weitere Beispiele für h → 0 :

Bemerkungen:

1) f(x0+h) erhält man, wenn man bei f(x) alle x durch (x0+h) ersetzt.

2) Bei dem letzten Beispiel wurde wieder das dritte Binom verwendet.

Ableitung graphisch (näherungsweise) bestimmen

Gesucht werden (näherungsweise) die Graphen der Ableitungen der folgenden Funktionsgraphen:

a)

b)

Bemerkung:

Wenn man ohne Kenntnis der Gleichung der Funktion die Ableitung graphisch bestimmen soll, so kann man dies i.A. natürlich nur näherungsweise tun, denn man kennt nicht die exakten Funktionswerte der Ableitung.

Lösungen:

a)

b)

Bemerkungen zum graphischen Ableiten:

Zunächst könnte man die Extrempunkte (oder auch allgemein Stellen mit waagrechten Tangenten) und Wendepunkte bei der Funktion f suchen, die graphisch abgeleitet werden soll. Hier gilt:

An der Stelle, an der f eine waagrechte Tangente hat, hat f ´ eine Nullstelle.

An der Stelle, an der f einen Wendepunkt hat, hat f ´ einen Extrempunkt.

Damit gilt:

An der Stelle, an der f einen Sattelpunk (Wendepunkt mit waagrechter Tangente) hat, hat f ´ einen Extrempunkt auf der x-Achse. (Siehe Aufgabe b))

Außerdem gilt:

In den Bereichen, in denen f streng monoton steigt, befindet sich die Kurve von f ´ oberhalb der x-Achse und in den Bereichen, in denen f streng monoton fällt, befindet sich die Kurve von f ´ unterhalb der x-Achse.

Wollte man nun noch Funktionswerte der Ableitung (näherungsweise) bestimmen, so muss man nur an den entsprechenden Stelle Tangenten an die Kurve von f zeichnen:

Nun könnte man ablesen (siehe Steigungsdreieck), dass f ´(1) bei 2 liegen muss, womit die Ableitung von f durch den Punkt P(1; 2) gehen müsste.

Anwendungen zur Differentialrechnung

Wir müssen die beiden Ableitungen gleich setzten, um die Stellen mit gleicher Steigung zu finden:

Wir setzen:

Wir beginnen mit der zweiten Gleichung:

Aufgaben zur Bestimmung von Tangenten- und Normalengleichungen findet man unter http://mathe-total.de/Analysis-Aufgaben/Differentialrechnung.pdf ab Seite →.

Tangenten und Normalen

Lösung:

1) Wir benötigen erst die 1. Ableitung:

Nun setzen wir x0 (d.h. hier 1) in f und f ´ ein:

Jetzt gibt es 2 Möglichkeiten eine Tangentengleichung aufzustellen.

1. Möglichkeit: Fertige Formel verwenden:

2. Möglichkeit: Ansatz für Tangentengleichung

Analog gibt es für die Normalengleichung auch zwei Möglichkeiten: Möglichkeit 1 für die Normale:

Möglichkeit 2:

mt ist die Tangentensteigung und mn die Normalensteigung.

Für die Tangenten und Normalensteigung gilt (falls mt ≠ 0):

Diese Beziehung zwischen den Steigungen gilt immer für orthogonale Geraden (mit von Null verschiedenen Steigungen) und die Normale ist orthogonal zur Tangente.

Für die nächsten Angaben wählen wir die Möglichkeit 1

Es gibt somit zwei Stellen.

3)    Zuerst muss der Wendepunkt berechnet werden, denn die Wendetangente ist die Tangente im Wendepunkt:

Nun können wir die Tangentengleichung bestimmen. Dazu benötigen wir:

Wendetangente:

Wir nennen die Berührstelle a:

        = 2ax - a2 + 2(Gleichung (1))

Der Graph von t soll durch den Punkt P(-1; -1) gehen:

Mit der p-q-Formel ergibt sich:

Nun muss man nur noch in t einsetzen (in (1)):

     = 2x + 1

     = -6x - 7

Falls die Berührpunkte gefragt werden:

  = e1/2x

Tangentengleichung:

Normalengleichung:

Hier kann man Tangenten- und Normalengleichungen berechnen lassen: http://www.alles-mathe.de/Tangente2.html

Ableitung und Steigung

Aufgabe 1

Lösung:

Aufgabe 2

Bilde die Ableitungen.

Lösung:

Aufgabe 3

Lösung:

Tangenten und Normalen

Aufgabe 4

Lösung:

Es gilt:

Aufgabe 5

Lösung:

Somit ist die Normalengleichung bis auf den y-Achsenabschnitt bekannt:

Aufgabe 6 (Tangenten von einem Punkt aus an den Graph von f legen)

Lösung:

Bei dieser Aufgabe ist zu beachten, dass hier Q nicht auf dem Graph von f liegt (siehe die Grafiken unten), wie bei Aufgabe 4