Brückenkurs Logik E-Book

Michael Ziegenbalg

• Herausgeber: BookRix
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Sprache: Deutsch
• Veröffentlichungsjahr: 2016

Beschreibung

Der Begriff Logik stammt aus dem Griechischen und bedeutete die denkende Kunst (oder Vorgehensweise); sie ist die Lehre des ,,vernünftigen Schlussfolgerns". Als solche untersucht sie die Gültigkeit von Argumenten hinsichtlich ihrer Struktur, unabhängig vom konkreten Inhalt der eigentlichen Aussagen, sodass man auch von "formaler" Logik spricht. Seit dem 20. Jahrhundert wird Logik vornehmlich als symbolische (mathematische) Logik (formale Logik im engeren Sinn) begriffen. Diese beruht auf einer künstlichen Sprache und benutzt streng definierte Schlussregeln. Die Aussagenlogik ist ein einfaches Beispiel für ein derartiges formales System.  

Leseprobe

Michael Ziegenbalg

Brückenkurs Logik

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Einleitung

LOGIK

Der Begriff Logik stammt aus dem Griechischen und bedeutete die denkende Kunst (oder Vorgehensweise); sie ist die Lehre des ,,vernünftigen Schlussfolgerns”. Als solche untersucht sie die Gültigkeit von Argumenten hinsichtlich ihrer Struktur, unabhängig vom konkreten Inhalt der eigentlichen Aussagen, sodass man auch von „formaler“ Logik spricht. Seit dem 20. Jahrhundert wird Logik vornehmlich als symbolische (mathematische) Logik (formale Logik im engeren Sinn) begriffen. Diese beruht auf einer künstlichen Sprache und benutzt streng definierte Schlussregeln. Die Aussagenlogik ist ein einfaches Beispiel für ein derartiges formales System.

Logik gilt als Grundlage der Mathematik. Da Mathematik ihrerseits Grundlage und Hauptmethodik der Natur- und Ingenieurswissenschaften, zunehmend auch von Sozial- und Wirtschaftswissenschaften ist - wozu die Logik beitraegt, kommt ihr eine fundamentale Bedeutung in der akademischen Welt zu. Hierbei ist sie eng mit der Philosopie verbunden. Wahrheit, Ursache, Wirkung, Ein- und Mehrwertigkeit, Determiniertheit und Zufall, Unendlichkeit und Irreduzibilitaet sind hier einige Schlüsselbegriffe unter vielen. Die Logik ist idealerweise unvoreingenommen, unbelastet von Ideologien, Sachzwaengen, Partikulaerinteressen und Moden. Je grösser Klarheit und Wahrhaftigkeit der Logik und ihrer Vermittlung sind, um so höher kann ihr Potenzial zum Dienst in dieser Welt sein, in allen Wechselfaellen.

In ihrer historischen Entwickung ist die Logik gemeinschaftlich mit der Mengenlehre aufgetreten. Hierzu faellt uns die schulische Mengenlehre ein, wie sie waehrend 1960-1990 ,,in Mode” war, doch steht die Mengenlehre seit der Antike im Zentrum, trug sie wesentlich zu unseren Zahlbegriffen und zur Physik bei, waehrend der letzten drei Jahrhunderte zur Infinitesimal- und Integral-Rechnung, als ,,Calculus” - verbunden jedoch mit der Zahlentheorie. Ein moderner analytisch-algebraischer Ansatz, vorbereitet in jener Zeit!

Zur Veranschaulichung von Logik dienen vielfach Schaltkreise und –tafeln, Systeme, Regel- und Netzwerke, was ihre Bedeutung für den Computer, für Berechnung und Berechenbarkeit unterstreicht. Dieses wirkt hinein in Computer-Wissenschaft und –Technik, Elektrotechnik, Daten- und Kommunikationsschutz, Transport und Verkehrswesen, Bio-Wissenschaften und –Technologie, und in die aufstrebenden Felder von sozialer Komplexitaet, Umweltschutz und Entwicklung.

Auf der Schnittflaeche von Logik, Philosophie und der Verwendung von Computer-Modellen stehen Entscheidbarkeitsprobleme der Existenz von Lösungen zu Fragen der Diskreten Mathematik, der Entscheidbarkeit (und Berechenbarkeit) in ,,polynomialer Zeit”. Diese haben die Komplexitaetstheorie begründet - eine gemeinsame Basis von Diskreter Mathematik und Informatik. Erfüllbarbeitsprobleme aussagenlogischer Klauseln dienen als Prototyp schwerster unter den schweren (NP vollstaendiger) Probleme; auf sie reduzieren Forscher Probleme derselben Komplexitaetsstufe. Der Aufwand von Naeherungsalgorithmen wird abgeschaetzt, ,,Tradeoffs’’ zwischen Effizienz der Berechung und Genauigkeit der Lösung untersucht, über endlichen, aber auch unendlichen Zahlkörpern.

Darüberhinaus sind Logik und Komplexitaetstheorie ganz wesentliche Motivationen und Interpretationen der algebraische Geometrie. Insofern diese sich mit der algebraischen und semi-algebraischen Darstellbarkeit, mit topologischer Struktur und Zerlegbarkeit von Mengen beschaeftigt, ermöglicht sie wichtige Existenzaussagen und erste konstruktive Ideeen. Selbst wenn manche derselben, z.B. die Zell-Zerlegung der raeumlichen Bewegungen im ,,Piaono-Mover Problem”, nicht direkt praktisch anwendbar sind, stimulieren sie doch die Entwicklung neuer mathematischer Instrumente und verbesserter Verfahren für die Praxis.

Jene aussagenlogischen Formeln und Klauseln finden auch in der Boolesche Programmierung ihren Ausdruck, bei denen die Vielfalt möglicher Faelle systematisch ,,hineinprogrammiert’’ und optimiert wird. Über die Optimierung mit den Werten 0 und 1 hinaus kennen wir die ganzzahlige und die gemischt ganzzahlige Optimierung, den hybriden Übergang zwischen diskreter und stetiger Optimierung. In den letzten Jahren hat sich die Theorie der hybriden Systeme zu einem eigenstaendigen Forschungszweig entwicklt, mit wichtigen Beitraegen der ,,dynamischen Systeme” und Optimierung in Theorie und Anwendung. Derartige Verallgemeinerungen und Mischungen sind nur auf den Grundlage der Logik dauerhaft fruchtbar.