Optionsbewertungsmodelle E-Book

Chris Schaible

• Herausgeber: GRIN Verlag
• Sprache: Deutsch

Veröffentlichungsjahr: 2010

Beschreibung

Bachelorarbeit aus dem Jahr 2010 im Fachbereich BWL - Bank, Börse, Versicherung, Note: 1,3, Universität Hohenheim, Sprache: Deutsch, Abstract: Eine Option verbrieft das Recht, ein bestimmtes Underlying zu einem im Voraus festgelegen Preis zu kaufen (Call-Option) oder zu verkaufen (Put-Option). Der Zeitpunkt, indem eine Option ausgeübt werden kann, richtet sich nach dem jeweiligen Optionstyp. Während amerikanische Optionen innerhalb ihrer Laufzeit zu jeder Zeit ausgeübt werden können, kann man europäische Optionen lediglich am Stichtag ausführen. Des Weiteren existieren noch zahlreiche weitere Optionsarten, wie beispielsweise asiatische Optionen, deren Auszahlung von dem durchschnittlichen Wert ihres Underlyings, innerhalb eines festgelegten Zeitabschnitts, abhängt. Die Auswahl der möglichen Underlyings, beschränkt sich nicht ausschließlich auf Aktien. Vielmehr kann eine Vielzahl von Basiswerten wie Indizes, Währungen, oder weitere Derivate, wie zum Beispiel Futures, Optionen zugrundeliegen.1 Aufgrund der Vielfalt der Optionsarten und den möglichen Basiswerten eigenen sich Optionen für vielfältige Verwendungszwecke. Neben der reinen Kursspekulation, bei der sich Optionen aufgrund ihres Hebels besonders eigenen, bieten Optionen noch zahlreiche weitere Anwendungsmöglichkeiten. So können sie beispielsweise im Rahmen des Risikomanagements eines international agierenden Unternehmens zur Absicherung des Wechselkursexposures verwendet werden. Seit dem ersten Optionshandel im 17. Jahrhundert, stellt sich die Frage nach der korrekten Bewertung einer Option. Das erste analytische Bewertungsmodell, wurde jedoch erst im Jahr 1900 von Bachlier entwickelt.2 Dieser versuchte Optionen, mit Hilfe der Modellierung eines stochastischen Prozesses zur Abbildung der Wertentwicklung des Underlyings, zu bewerten. Weiterentwicklungen folgten 1964 von Boness und Sprenkle sowie 1965 von Samuelson. Auf dieser konzeptionellen Grundlage entstand schließlich 1973 das bahnbrechende Black-Scholes Modell. Während in den Jahren danach einige Erweiterungen des Black-Scholes Modells entwickelt wurden, entstanden parallel mit dem Binomialmodell, der Methode der finiten Differenzen sowie dem Monte Carlo Ansatz numerische Bewertungsverfahren.3 Die vorliegende Arbeit untersucht das numerische Binomialmodell sowie das analytische [...] 1 Vgl. Wilmott (1998), S. 215-216. 2 Vgl. im Folgenden Hagl (2007), S. 70-71; Bachlier (1900); Boness (1964); Sprenkle (1964); Samuelson (1965); Black/Scholes (1973); Merton (1973) 3 Vgl. Smithson (1992), S. 24; Rendleman/Bartter (1979); Cox/Ross/Rubinstein (1979); Boyle (1977); Schwartz (1977).

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung

2. Binomialmodell

2.1 Grundlagen

2.2 Einperiodische Binomialbäume

2.3 Mehrperiodische Binomialbäume.

2.4 Amerikanische Optionen

2.4.1 Grundlagen

2.4.2 Call-Optionen

2.4.3 Put-Optionen

2.5 Dividenden

3. Black-Scholes Modell

3.1 Übersicht

3.2 Statistische Grundlagen

3.2.1 Markov-Prozess

3.2.2 Brownsche Bewegung und Wiener-Prozesse

3.2.3 Aktienkurse und geometrische Brownsche Bewegung

3.2.4 Itô-Prozesse und Itôs Lemma

3.3 Die Black-Scholes Formel

3.3.1 Herleitung der Black-Scholes Differentialgleichung

3.4 Grenzen und Erweiterungen des Modells

3.4.1 Vorzeitige Ausübung

3.4.2 Dividendenzahlungen

3.4.2.1 Europäische Optionen

3.4.2.2 Amerikanische Optionen

3.4.3 Besteuerung von Dividenden

3.4.4 Jump-Diffusion

3.4.5 Weitere ausgewählte Modifikationen

4. Zusammenfassung

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ΔHedgeverhältnis

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1. Einleitung

Eine Option verbrieft das Recht, ein bestimmtes Underlying zu einem im Voraus festgelegen Preis zu kaufen (Call-Option) oder zu verkaufen (Put-Option). Der Zeitpunkt, indem eine Option ausgeübt werden kann, richtet sich nach dem jeweiligen Optionstyp. Während amerikanische Optionen innerhalb ihrer Laufzeit zu jeder Zeit ausgeübt werden können, kann man europäische Optionen lediglich am Stichtag ausführen. Des Weiteren existieren noch zahlreiche weitere Optionsarten, wie beispielsweise asiatische Optionen, deren Auszahlung von dem durchschnittlichen Wert ihres Underlyings, innerhalb eines festgelegten Zeitabschnitts, abhängt.

Die Auswahl der möglichen Underlyings, beschränkt sich nicht ausschließlich auf Aktien. Vielmehr kann eine Vielzahl von Basiswerten wie Indizes, Währungen, oder weitere Derivate, wie zum Beispiel Futures, Optionen zugrundeliegen.1Aufgrund der Vielfalt der Optionsarten und den möglichen Basiswerten eigenen sich Optionen für vielfältige Verwendungszwecke. Neben der reinen Kursspekulation, bei der sich Optionen aufgrund ihres Hebels besonders eigenen, bieten Optionen noch zahlreiche weitere Anwendungsmöglichkeiten. So können sie beispielsweise im Rahmen des Risikomanagements eines international agierenden Unternehmens zur Absicherung des Wechselkursexposures verwendet werden.

Seit dem ersten Optionshandel im 17. Jahrhundert, stellt sich die Frage nach der korrekten Bewertung einer Option. Das erste analytische Bewertungsmodell, wurde jedoch erst im Jahr 1900 von Bachlier entwickelt.2Dieser versuchte Optionen, mit Hilfe der Modellierung eines stochastischen Prozesses zur Abbildung der Wertentwicklung des Underlyings, zu bewerten. Weiterentwicklungen folgten 1964 von Boness und Sprenkle sowie 1965 von Samuelson. Auf dieser konzeptionellen Grundlage entstand schließlich 1973 das bahnbrechende Black-Scholes Modell. Während in den Jahren danach einige Erweiterungen des Black-Scholes Modells entwickelt wurden, entstanden parallel mit dem Binomialmodell, der Methode der finiten Differenzen sowie dem Monte Carlo Ansatz numerische Bewertungsverfahren.3Die vorliegende Arbeit untersucht das numerische Binomialmodell sowie das analytische Black-Scholes Modell. Insbesondere werden Herleitung, Aufbau, Modellgrenzen und Modifikationen behandelt. Aus Gründen der Übersichtlichkeit wird im Folgenden, sofern im Text

1Vgl. Wilmott (1998), S. 215-216.

2Vgl. im Folgenden Hagl (2007), S. 70-71; Bachlier (1900); Boness (1964); Sprenkle (1964); Samuelson (1965); Black/Scholes (1973); Merton (1973)

3Vgl. Smithson (1992), S. 24; Rendleman/Bartter (1979); Cox/Ross/Rubinstein (1979); Boyle (1977); Schwartz (1977).

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nichts anderes vermerkt wurde, die Notation sämtlicher Formeln gemäß dem Variablenverzeichnis vorgenommen.

2. Binomialmodell

2.1 Grundlagen

Das Binomialmodell zur Bewertung von Aktienoptionen wurde beinahe zeitgleich und unabhängig voneinander von Cox, Ross und Rubinstein (1979) und Rendleman und Bartter (1979) entwickelt. Dieses zeitdiskrete Modell hatte ursprünglich die Approximation, Interpretation und anschauliche Darstellung des Black-Scholes Modells4zum Ziel.5Dank seiner Flexibilität hinsichtlich der bewertbaren Optionen ist es bis heute das gebräuchlichste numerische Bewertungsverfahren.6

Ziel des Modells ist die Bewertung von Optionen anhand des der Option zugrundeliegenden risikobehafteten Wertpapiers. Mit Hilfe eines den Zahlungsstrom einer Option replizierenden Duplikations-Portfolios kann durch die Auswertung des endlich langen Binomialbaumes der Wert des Portfolios und somit der Wert der Option bestimmt werden. Das Modell unterstellt einen Kursverlauf, der einem zeitdiskreten und multiplikativen Binomialprozess folgt, bei dem der Kurs eines risikobehafteten Wertpapiers nach jedem Zeitschritt mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit steigen und einer bestimmten Gegenwahrscheinlichkeit fallen kann.7Es gelten folgende Annahmen:8

Keine Transaktionskosten und Steuern

Keine Dividenden oder sonstige Zahlungen während der OptionslaufzeitLeerverkäufe sind möglichDiskreter AktienhandelAktien sind beliebig teilbar

Möglichkeit zur Kreditaufnahme und- vergabe zum bekannten und konstanten risiko-

losen Zinssatz

Kein Arbitrage möglich

Keine Möglichkeit der vorzeitigen Ausübung der Option

4Siehe Kapitel 3.

5Vgl. Rendleman/Bartter (1979), S. 1101.

6Vgl. Hagl (2007), S. 77-78; Sandmann (2010), S. 199-200.

7Vgl. Wilmott/Howison/Dewynne (2002), S. 180-182; Hagl (2007), S. 78-80.

8Vgl. Cox/Ross/Rubinstein (1979), S. 232; Steiner/Bruns (2002), S. 324; Hagl (2007), S. 47.