Zahlen, Buchstaben und Forme(l)n E-Book

Alexander Schaile

• Herausgeber: epubli
• Kategorie: Bildung
• Sprache: Deutsch
• Veröffentlichungsjahr: 2014

Seitenzahl: 347

Beschreibung

Jetzt hast du es selbst in der Hand, Mathe zu verstehen. Genauer gesagt, die Schulmathematik von Klasse eins bis dreizehn. Von der Grundschule bis zum Abitur habe ich einen roten Faden gezogen, der alle relevanten Themengebiete miteinander verbindet: Bei der Arithmetik angefangen, über die Algebra und Geometrie bis hin zur Analysis zeige ich dir alle mathematischen Grundlagen auf einfache Art und Weise. Es ist wichtig, den logischen Aufbau der Rechengesetze und die Zusammenhänge zwischen den einzelnen Themen zu erfassen. Das kannst du nur, wenn du von Anfang an die Themen nachvollziehen und eigenständig nacharbeiten kannst. Am besten nimmst du dir immer einen Bleistift und ein Blatt Papier zur Hand und schreibst die Beispiele mit, rechnest sie nach und erfindest selbst welche. Das fördert deine Kreativität und vertieft dein Verständnis für jedes einzelne Themengebiet. Ich verzichte absichtlich auf viele Grafiken, Bilder und weitere Beispielaufgaben, weil du es selbst in der Hand hast, passende Grafiken, Bilder und Beispielaufgaben zu kreieren oder einfach nur, meine Beispiele eigenhändig nachzuarbeiten. Das Schöne an diesem Buch ist, dass du die einfachen Themen und die Themen, die du schon verstehst, nicht mehr nacharbeiten musst, sie dienen dir aber als Stütze für andere Themen. Dein Gehirn besteht aus einem riesigen Netzwerk von Nervenzellen, die die Informationen speichern und verarbeiten. Jede Info ist mit etlichen anderen verknüpft, je öfter, desto besser kannst du sie behalten. Deshalb versuchen wir gemeinsam, ein Netzwerk zu knüpfen, das alle relevanten Informationen der Schulmathematik enthält und miteinander verbindet. Als Gedankenstütze dienen dir die wenigen, aber wichtigen Abbildungen im Buch. Diese solltest du auswendig lernen wie Vokabeln in einer Sprache, damit du auch die Sprache der Mathematik verstehst.

Leseprobe

Alexander Schaile

ZAHLEN, BUCHSTABEN UND FORME(L)N

Alexander Schaile, geboren 1977, ist Gründer und Inhaber der freien Unterrichtseinrichtung Schoolcoaching in Welzheim. Er unterrichtet seit seinem 17. Lebensjahr Schüler aller Klassen- und Altersstufen im Fach Mathematik bis zum Abitur. Dazu zählen neben tausenden von individuellen Unterrichtsstunden zahlreiche Vorbereitungskurse für sämtliche Schulabschlüsse in Baden-Württemberg. Aufgrund dieser Erfahrungen ist dieses Buch entstanden, in dem der Leser wie im Einzelunterricht direkt angesprochen wird.

Alexander Schaile

ZAHLEN,

BUCHSTABEN

UND

FORME(L)N

Mathematik lesen und verstehen

von den Grundlagen bis zum Abitur

1. Auflage

Impressum Copyright: © 2014 Alexander Schaile Druck und Verlag: epubli GmbH, Berlin, www.epubli.de

Inhalt

Handhabung des Buches

Teil A: Arithmetik

1 Was wir im Teil A lernen

2 Zählen

Eins; Bedeutung der Zahlen; Assoziation mit der Zahl Eins; Zwei; Assoziation mit der Zahl Zwei; Drei; Vier; Fünf; Sechs; Sieben; Acht; Neun; Null und Zehn; Merkfähigkeit; Eins bis Zwanzig (natürliche Zahlen)

3 Plus

Ähnliches zusammenfassen; Auswendig lernen: Einspluseins-Tafel; Gerade und ungerade; Fingerrechnen bei der Addition; Kleiner Fünf; Größer Fünf; Kleiner und größer Fünf; Zahlenverständnis; Zusammenfassung der Addition; Subtraktion; Zahlenstrahl; Rechnen am Zahlenstrahl; Vertauschungsgesetz; Ordnen; Ganze Zahlen; Ein Rechenverfahren der Addition; Siebzehn und vier; Zahlenraum bis zu einer Million; Rechenverfahren der Subtraktion; Entbündeln; Ergänzen; Mehrere Lösungswege

4 Mal

Ordnen und vertauschen; Zerlegen; Fingerrechnen bei der Multiplikation; Kleiner Fünf; Kleiner und größer Fünf; Größer Fünf; Punkt vor Strich; Kopfrechnen; Kombinieren; Halbschriftliche Multiplikation; Schriftliche Multiplikation; Übungsaufgabe; pision; Brüche; Umkehrung der Multiplikation; Halbschriftliche pision; Schriftliche pision; Übungsaufgabe; Mehrstellige Zahlen pidieren; Runden; Übungsaufgabe; Bruchrechnen; Hauptnenner bei Addition und Subtraktion; Brüche malnehmen; Rationale Zahlen; Prozentrechnen; Kürzen mit Primfaktoren; Größter gemeinsamer Teiler

5 Hoch

Zehnerpotenzen; Wissenschaftliche Schreibweise; Potenzen verknüpfen; Erstes Potenzgesetz; Zweites Potenzgesetz; Drittes Potenzgesetz; Weitere Vereinfachungen; Potenz vor Punkt vor Strich; Klammer vor Potenz vor Punkt vor Strich; Vorzeichen beachten; Vorzeichen getrennt berechnen; Brüche als Hochzahlen; Wurzelziehen; Quadratzahlen; Schematisches Rechnen; Besonderheiten; Intervallschachtelung; Reelle Zahlen; Höhere Wurzeln; Übungsaufgabe mit verschiedenen Lösungswegen; Kontrolle; Operieren: zerlegen und zusammensetzen; Logarithmus; Rückführung auf einfachere Rechenoperationen; Logarithmentafeln und Taschenrechner; Einfache Übungsaufgabe; Komplexe Übungsaufgabe; Kopfrechnen

6 Zahlenreihen

Wörtlich ausformulierte Formeln; Symbolfolgen; Regelmäßige Strukturen im Alltag; Muster erkennen; Primzahlfolge; Sieb des Erathostenes; Verschlüsselung von Daten; RSA-Verschlüsselung; ASCII-Code; Weitere Verschlüsselungsverfahren; Einteilung der Folgen nach Abständen; Monotonie; Grenzwert als Näherungswert; Konvergenz; pergenz; Ausblick

7 Wahrscheinlichkeit

Absolute Häufigkeit; Relative Häufigkeit; Darstellung mit einer Tabelle; Beschreibende Statistik; Darstellung mit Diagrammen; Zusammenhang von Statistik und Wahrscheinlichkeit; Wahrscheinlichkeit und relative Häufigkeit; Gesetz der großen Zahl; Prognosen; Günstige durch Mögliche; Erster Wurf; Zweiter Wurf; Baumdiagramm; Vertauschungen beachten; Darstellung mithilfe von Urnen und Kugeln; Berechnung mit Brüchen; Ohne Zurücklegen; Vergleich zum Ziehen mit Zurücklegen; Bestimmung der Anzahl an Möglichkeiten; Anzahl der Vertauschungen bei fester Reihenfolge; Anzahl der Vertauschungen ohne feste Reihenfolge; Pascalsches Dreieck; Besondere Eigenschaften; Pascal-Sierpinski-Dreieck; Kleiner Fermatscher Satz; Binomische Formeln; Binomialkoeffizienten; Weitere Beispiele; Kombinatorik; (Nicht-)Treffer; Bernoulli-Experimente; Übungsaufgabe; Zufallsvariable; Erwartungswert; Glücksspiele; Zusammenhang zwischen zwei Größen (Beispiel A); Vierfeldertafel; Spezieller Multiplikationssatz; Inverses Baumdiagramm; Zusammenhang zwischen zwei Größen (Beispiel B); Verknüpfungen mit UND/ODER; Bedingte Wahrscheinlichkeit; Vergleich der Beispiele A und B; Ratekunst

Teil B: Algebra

1 Was wir in Teil B lernen

2 Platzhalter

Terme; Ausmultiplizieren und Ausklammern; Grundlegende Gesetze der Algebra; Multiplikation von Klammerausdrücken; Binomische Formeln; Kopfrechnen; Binome höherer Art; Abstrakte Formeln mit Variablen; Potenzen und Logarithmen; Zahlenreihen; Explizite und rekursive Darstellung; Umwandlung arithmetischer und geometrischer Folgen; Darstellung von komplexen alternierenden Folgen; Darstellung von einfachen alternierenden Folgen; Muster bei Symbolfolgen; Monotonie; Grenzwerte; Beschränktheit; Wahrscheinlichkeitsformeln; Pfadregeln und Gegenereignis; Bedingte Wahrscheinlichkeit; Formeln der Kombinatorik; Bernoulli-Formel und Summenformel; Eine schöpferische Pause; Eine kleine Formelsammlung (Teil 1)

3 Gleichung

Drei Mal dasselbe; Veranschaulichung mit der Balkenwaage; Immer beide Seiten beachten; Gleichwertige Umformungen; Definitionsmenge; Beispiel; Zielführung; Eine Unbekannte; Wurzelgleichung; Verschiedene Gleichungsformen; Quadratische Gleichung; Quadratische Ergänzung; Mitternachtsformel (quadratische Lösungsformel); Exaktes Rechnen; Vergleich der Verfahren; Bruchgleichung; Nenner beseitigen; Eine neue Herausforderung; Lösungsformen; Intervallschreibweise; Satz von Vieta; Prozentrechnen; Dreisatz; Übungsaufgaben; Proportionen; Größenvergleich; Gewicht Geld; Währungsumrechnung; Verschiedene Zahlungsmittel; Geldstücke und Scheine; Optimal bezahlen; Zeit; Ein (Schalt-)Jahr; Umwandlung ins Zehnersystem; Schreibweisen; Uhrzeit; Verschiedene Sprechweisen; Räderuhr; Proportionale Zuordnungen; Umgekehrt proportionale Zuordnungen; Weitere Beispiele; Mehrere Größen; Eine Kombination aus Beidem; Antwortsatz; Eine kleine Formelsammlung (Teil 2)

4 System

Annahmen; Mehrere Variablen, mehrere Bedingungen; Einsetzungsverfahren; Gleichsetzungsverfahren; Additionsverfahren; Ein System; Lösbarkeit von Gleichungssystemen; Erste Stufe; Zweite Stufe; Von der Treppe zur Lösung; Allgemeingültige Gleichungssysteme; Allgemeine, eindeutige und unlösbare Gleichungssysteme; Unlösbare Gleichungssysteme; Systematische Vorgehensweise; Eigenständig und kreativ

5 Anwendung

Vektor und Matrix; Rechengesetze; Multiplikation von Matrizen; Falk-Schema; Kein Vertauschen möglich; Quadratische Matrizen; Inverse Matrizen; Transponierte Matrizen; Grundlegende Rechengesetze; Matrixgleichung; Wirtschaftliche Anwendungen; Leontief-Modell; Materialverflechtungen; Kosten und Preise; Lineare Optimierung; Eckpunktberechnungsmethode; Übungsaufgabe; Simplexverfahren

Teil C: Geometrie

1 Was wir im Teil C lernen

Eine kleine Formelsammlung (Teil 3)

2 Punkt

Ortsbestimmung am Zahlenstrahl; Zweidimensionales Koordinatensystem; Dreidimensionales Koordinatensystem; Begrifflichkeiten; Schrägperspektive; Exakte Ortsangaben; Spiegelungen; Theoretische Überprüfung; Verschiebung

3 Linie

Vektor; Gerade; Hauptform: Achsenabschnitt und Steigung; Eine Gerade geht durch zwei Punkte; Punktsteigungsform; Darstellung der Steigung; Gegenseitige Lage; (Schnitt-)Winkel; Verschiedene Schreibweisen; Verschiedene Winkel; Ableitbare Winkel; Bildhafte Darstellung; Parallelität; Grundlegende Konstruktionsmethoden; Kreislinie und Zahl Pi; Parallele Geraden; Senkrechte Geraden; Eine Strecke vervielfachen und teilen; Einen Winkel halbieren; Winkeldrittelung; Einen Winkel vervielfachen; Ein Geodreieck vereinfacht viele Konstruktionen

4 Fläche

Begrenzte Flächen; Mathematik und Philosophie; Kreisberechnungen; Übungsaufgabe; Erster Lösungsansatz; Zweiter Lösungsansatz; Rechteck; Quadrat; Raute, Parallelogramm und Drachen; Trapez und allgemeine Vierecke; Weitere Formeln für Umfang und Inhalt; Vom Allgemeinen zum Speziellen; Einteilung von Dreiecken; Konstruktion von Dreiecken; Kongruenzsatz sss; Planfigur; Eine unmögliche Konstruktion; Kongruenzsatz sws; Kongruenzsatz wsw und Winkelsumme; Kongruenzsatz Ssw; Satz des Thales; Besondere Punkte im Dreieck; Umfang und Fläche; Satz des Pythagoras; Allgemeine Formulierung; Berechnung am gleichseitigen Dreieck; Pythagoräisches Zahlentripel; Allgemeine Formel; Pythagoras mit Dreiecken statt Quadraten; Konstruktion der Länge Wurzel Zwei; Trigonometrie; Spezielle Werte; Sinuskurve; Einheitskreis und Kosinuskurve; Ablesen spezieller Werte; Geometrische Berechnungen; Sinussatz; Kosinussatz; Übungsaufgabe; Berechnung im rechtwinkligen Dreieck; Zerlegung in Teilflächen; Maßstab; Ähnlichkeit; Strahlensatz; Flächenvergrößerung; Praktische Beispiele

5 Raum

Körper; Spezialfall Würfel; Quader; Prisma; Zylinder; Spitze Körper: Pyramide und Kegel; Regelmäßige Stümpfe; Kugel; Ein Vergleich: Kegel, Halbkugel und Zylinder; Volumen als Hohlmaß; Platonische Körper; Tetraeder; Hexaeder; Oktaeder; Dodekaeder und Ikosaeder; Ähnliche Körper; Mittelpunktswinkel; Räumliche Darstellung; Dreitafelprojektion; Weitere Perspektiven; Eine kleine Formelsammlung (Teil 4)

6 Vektoren

Punkt und Vektor; Länge eines Vektors; Gerade und Vektor; Mehrere Darstellungsarten; Punktprobe; Lineare (Un-)Abhängigkeit; Nachweis mit einem linearem Gleichungssystem (LGS); Lagebeziehungen von Geraden; Beispielaufgabe; Parallelverschiebung; Schnittwinkel zweier Geraden; Graphische Darstellung; Ebenen; Skalarprodukt; Normalenvektor; Kreuzprodukt; Von der Normalenform zur Koordinatenform; Spurpunkte; Parallelität mit den Koordinatenachsen und Ebenen; Lagebeziehungen von zwei Ebenen; Weitere Lagebeziehungen; Schnittwinkel mit Ebenen; Abstände; Abstand zwischen Punkt und Gerade; Abstand zwischen Punkt und Ebene; Übungsaufgabe; Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden; Mathematisch exakte Beschreibung eines Hauses; Vektorbasierte Programme; Eine kleine Formelsammlung (Teil 5)

Analysis

1 Was wir in Teil D lernen

2 Funktion

Eine eindeutige Zuordnung; Eine Relation; Umkehrfunktion; Quadratische Funktion; Darstellung im zweidimensionalen Koordinatensystem; Verschiebung, Streckung und Spiegelung; Von der Hauptform zur Scheitelform; Weitere Funktionsarten; Ganzrationale Funktion; Symmetrieeigenschaften; Verhalten für plus oder minus unendlich; Schnittpunkte mit den Achsen; Nullstellen; Polynompision; Horner-Schema; Substitution; Gebrochene Funktion; Beispielaufgabe; Skizze des Schaubildes; Weitere Asymptoten; Exponentialfunktion; Verschieben, strecken und spiegeln; Konfuzius; Zahl e (Eulersche Zahl); e-Funktion; Exponentielles Wachstum; Exponentielles Wachstum mit e; Beschränktes und logistisches Wachstum; Trigonometrische Funktion; Sinuskurve; Kosinus- und Tangenskurve; Nullstelle, Hochpunkt, Tiefpunkt und Wendepunkt; Funktionen gestalten; Kombinationsmöglichkeiten; Eine kleine Formelsammlung (Teil 6)

3 Differentialrechnung

Durchschnitts- und Momentangeschwindigkeit; Konstante Beschleunigung; Sekantensteigung; Tangentensteigung; Ableitung; Betragsfunktion; Differenzierbarkeit und Stetigkeit; Ableitungsregeln; Produktregel; Kettenregel; Quotientenregel; Ableiten mit dem natürlichen Logarithmus; Anwendungen; Extrempunkte; Wendepunkt und Sattelpunkt; Notwendige und hinreichende Bedingung; Differenzialgleichungen beim Wachstum; Charakterisierung

4 Integralrechnung

Integral als Fläche unter dem Schaubild; Stammfunktionen bilden; Kettenregel; Flächen zwischen zwei Kurven; Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung; Übungsaufgabe; Keplersche Fassregel; Uneigentliches Integral; Rotationskörper; Mittelwert; Besondere Rotationskörper; Eine kleine Formelsammlung (Teil 7)

Handhabung des Buches

Jetzt hast du es selbst in der Hand, Mathe zu verstehen. Genauer gesagt, die Schulmathematik von Klasse eins bis dreizehn. Von der Grundschule bis zum Abitur habe ich einen roten Faden gezogen, der alle relevanten Themengebiete miteinander verbindet: Bei der Arithmetik angefangen, über die Algebra und Geometrie bis hin zur Analysis zeige ich dir alle mathematischen Grundlagen auf einfache Art und Weise.

Es ist wichtig, den logischen Aufbau der Rechengesetze und die Zusammenhänge zwischen den einzelnen Themen zu erfassen. Das kannst du nur, wenn du von Anfang an die Themen nachvollziehen und eigenständig nacharbeiten kannst. Am besten nimmst du dir immer einen Bleistift und ein Blatt Papier zur Hand und schreibst die Beispiele mit, rechnest sie nach und erfindest selbst welche. Das fördert deine Kreativität und vertieft dein Verständnis für jedes einzelne Themengebiet. Ich verzichte absichtlich auf viele Grafiken, Bilder und weitere Beispielaufgaben, weil du es selbst in der Hand hast, passende Grafiken, Bilder und Beispielaufgaben zu kreieren oder einfach nur, meine Beispiele eigenhändig nachzuarbeiten.

Das Schöne an diesem Buch ist, dass du die einfachen Themen und die Themen, die du schon verstehst, nicht mehr nacharbeiten musst, sie dienen dir aber als Stütze für andere Themen. Dein Gehirn besteht aus einem riesigen Netzwerk von Nervenzellen, die die Informationen speichern und verarbeiten. Jede Info ist mit etlichen anderen verknüpft, je öfter, desto besser kannst du sie behalten. Deshalb versuchen wir gemeinsam, ein Netzwerk zu knüpfen, das alle relevanten Informationen der Schulmathematik enthält und miteinander verbindet. Als Gedankenstütze dienen dir die wenigen, aber wichtigen Abbildungen im Buch. Diese solltest du auswendig lernen wie Vokabeln in einer Sprache, damit du auch die Sprache der Mathematik verstehst.

Wenn du das Buch zu Ende gelesen hast, ist es vielleicht sinnvoll, zunächst alles Gelesene und Gelernte niederzuschreiben (wir nennen es „Brainstorming“) und anschließend eine Mindmap zu erstellen, in der du alle Infos in einen großen Gesamtzusammenhang stellst. Theoretisch hast du dafür zwölf oder dreizehn Jahre Zeit, aber du kannst das Buch auch schon mit sechs Lebensjahren in deinen Händen halten und zusammen mit deinen Eltern die ersten Abschnitte lesen und begreifen. Das Buch begleitet dich durch deine gesamte Schulzeit und ist dir immer dann eine Hilfe, wenn du den roten Faden nicht mehr findest und den Überblick verloren hast.

Es dient dir auch als Nachschlagewerk und Formelsammlung im Unterricht oder bei Hausarbeiten. Das Inhaltsverzeichnis soll dir von Anfang an eine Orientierungshilfe sein, weil es systematisch aufgebaut ist: Teil A erklärt die Verwendung und Verknüpfung von Zahlen (das Rechnen), Teil B das Rechnen mit Buchstaben, Teil C das Rechnen mit Figuren und Ihren Dimensionen und Teil D die Zusammenhänge von verschiedenen Größen. Da jeder Abschnitt auf dem vorherigen aufbaut, empfehle ich jedem die Lektüre von Anfang an. Die Formelsammlung ist auch in mehrere Teile zerlegt und kann somit häppchenweise verdaut werden.

Vielleicht gibt es Themen, die ich dir nicht so erkläre, dass du sie sofort verstehst. Dann verzweifel bitte nicht und lies einfach weiter, es ergibt sich manchmal erst im Nachhinein ein vollständiges Bild des gesamten Themenkomplexes. Lies manche Abschnitte einfach zwei oder drei Mal, mach nach den Abschnitten auch mal Denkpausen und leg das Buch öfters zur Seite, so dass sich das Gelernte im Gehirn festsetzen kann. Wenn du dann weiterliest, solltest du wieder beim vorherigen Abschnitt beginnen, damit du einordnen kannst, was du Neues lernst. Selbst als gut vorbereiteter Abiturient wirst du noch Neues entdecken und Parallelen erkennen, die dir bisher verborgen blieben.

Teil A: Arithmetik

„Die Mathematik ist die Königin der Wissenschaften, und die Arithmetik ist die Königin der Mathematik.“ Carl Friedrich Gauß

1 Was wir im Teil A lernen

Arithmetik bedeutet wörtlich die „zahlenmäßige Kunst“, ist also das Teilgebiet der Mathematik, das sich mit Zahlen und dem Rechnen mit Zahlen beschäftigt. Für die Arithmetik wird oft als Synonym (anderes Wort mit gleicher Bedeutung) für die Zahlentheorie gebraucht. Für die Kleinen ist die Arithmetik mit der Mathematik gleichzusetzen. Und das noch lange, wenn sie in der Grundschule die Grundrechenarten lernen und der Zahlenraum nicht über eine Million reicht. In den folgenden sechs Abschnitten lernen wir gemeinsam Zählen, Plus-, Mal- und Hochrechnen und alles, was daraus entstanden ist. Dazu kommen noch die Zahlenreihen und die Wahrscheinlichkeitsrechnung mit ihren eigenen Rechenoperationen (Rechenvorgängen).

Wir wissen (noch) nicht, wie sich das menschliche Gehirn so entwickeln konnte, dass es Zahlen, also abstrakte (von der Natur losgelöste) Zeichen für bestimmte Mengen und Anzahlen, erfinden konnte. Diese Erfindung macht uns den Tieren überlegen, die zwar auch einen Sinn für Zahlen besitzen, diese  aber nicht selbstständig mit Symbolen (Zeichen) darstellen können. Der Mensch hat durch sein Abstraktionsvermögen einen Weg gefunden, die Natur zu beschreiben und auf eigene Weise zu verstehen.

Und alles hat mit der Verwendung von Zeichen und Symbolen angefangen, mit dem Hintereinanderschreiben von Strichen, um Dinge abzuzählen. Zusätzlich dienten Symbole auch der Kommunikation (der Mitteilung) und Sprachentwicklung. Durch das Aneinanderreihen von bestimmten Buchstaben und Silben entstanden Laute, die wiederum zu Worten mit bestimmten Bedeutungen wurden. So ähnlich funktioniert das auch in der Mathematik. Wir erfinden Symbole für bestimmte Anzahlen und ketten sie so aneinander, dass es sinnvoll erscheint. Dazu gehört unser Zahlensystem, das Stellenwertsystem, die Grundrechenarten und vor allem: das Zählen selbst!

2 Zählen

Um zählen zu können, müssen wir erst mal die Zahlen kennen lernen. Die wichtigste Zahl ist die Zahl Eins. Alles ist eins, von allem gibt es eins, alles ist einzigartig, wir müssen nur ganz genau hinschauen. Sehen wir alles als großes Ganzes, ist es wiederum eins, nämlich „ein“ großes Ganzes. Wenn du dich umschaust, siehst du vielleicht einen Tisch, ein Buch, eine Tasche, eine Tür, einen Menschen und etliche andere Dinge, die einmal vorhanden sind. Wir verwenden die Zahl Eins für eine Grundmenge, die beschreibt, dass etwas vorhanden ist oder nicht.

Der Computer macht das nicht anders: Er kennt nur Einsen und Nullen und kann damit alles errechnen und darstellen, was du auf deinem Bildschirm (Monitor) siehst. Welche Sachverhalte und Programmierkünste dahinterstehen, ist im Moment egal, aber das wichtige Prinzip (Grundregel), das dahintersteckt, solltest du dir merken: Die Eins steht für vorhanden, die Null für nicht vorhanden. Auf die Null gehen wir am Ende des Abschnitts näher ein.

Eins

Die Zahl Eins kann auch ohne Buchstaben geschrieben werden und sieht folgendermaßen aus: 1. Das ist das Symbol und Zeichen, das im Laufe der Geschichte für die Menge Eins entstanden ist. Wir haben für alle Zahlen eine Symbolschreibweise, die uns Rechenvorgänge erst ermöglicht. Müssten wir die Zahlen ausschreiben und damit rechnen, hätten wir schon bald enorme Probleme, vor allem mit dem Platz, der uns auf unserem Papier zur Verfügung steht. Aber haben wir wirklich für alle Zahlen ein Symbol?

Die Römer machten für die Eins ein I, für die Zwei II und für die Drei III. Das sind nicht wirklich neue Symbole, das erste Symbol wurde einfach vervielfacht und das ist das, was wir zählen nennen: Wir fügen immer ein weiteres Zeichen, in diesem Fall I, dazu und damit wird die Menge um eins größer. Die Römer haben erst wieder für die Fünf ein neues Symbol verwendet, weil die Unterscheidung von IIII zu IIIII nicht auf Anhieb gelingt. Das Symbol für die Fünf lautet übrigens V, für die Zehn X und es gibt noch etliche mehr, aber das wollen wir später aufgreifen. Wir sind noch am Anfang und lernen die Zahl Eins kennen.

Bedeutung der Zahlen

Eins steht nicht nur für eine Menge, sondern auch für eine Stelle oder einen Platz, wenn wir etwas nach der Reihenfolge ordnen. Der Erste ist derjenige, der an vorderster Stelle oder am Anfang steht. Er ist der Gewinner eines Wettkampfes, er ist der Beste in einer Disziplin (einem Teilgebiet) oder er ist einfach derjenige, bei dem man zu zählen beginnt. Du siehst, dass Zahlen nicht nur Mengen ausdrücken, sondern auch Reihenfolgen geschickt darstellen können. Das Symbol der Zahl Eins hat also mehrere Bedeutungen. Fallen dir noch welche ein?

Die Eins kann auch einfach nur als Symbol für etwas stehen, ohne damit die Menge oder Reihenfolge zu meinen. Beispielsweise sind Buchstaben auch nur Symbole und stehen nicht für Mengen, aber manchmal für eine bestimmte Reihenfolge, wenn wir das Alphabet (ABC) zugrunde legen, z.B. bei vielen Aufgaben auf einem Aufgabenblatt oder bei mehreren Kapiteln in Büchern. Buchstaben stehen vor allem für Laute, die wir aussprechen, damit wir uns verständigen können. So wie wir einen Buchstaben mit einem Gegenstand in Verbindung bringen können, z.B. den Buchstaben A mit einem Apfel, können wir auch die Zahl Eins mit einer Fahne gleichsetzen oder mit irgendeinem beliebigen Gegenstand, der der Zahl Eins nicht ähnlich ist. Genauso können wir auch den Apfel mit einem B gleichsetzen, wenn wir ohne Hinweise an den Gegenstand, der durch ein Symbol ersetzt werden soll, arbeiten wollen. Besser zu merken sind natürlich Gegenstände oder Begriffe, die an eine Eins erinnern, z.B. eine Fahne oder der erste Mensch, Adam.

Wir lernen, dass wir für alles, das wir aus der Wirklichkeit darstellen wollen, beliebige Symbole verwenden können, dazu zählen auch das A oder die Eins. In der Algebra (Teil B) wird das Prinzip des Ersetzens oder Übersetzens genauer besprochen.

Assoziation mit der Zahl Eins

Hinweise helfen uns, Dinge miteinander zu verknüpfen und uns Neues besser zu merken. Wenn wir die Gestalt des Symbols der Zahl Eins betrachten, können wir uns einen Fahnenmast denken, an dem eine Fahne weht. Eine andere Art der Assoziation (Verbindung, Verknüpfung) ist, sich Dinge aus der Natur vorzustellen, für die die Menge Eins typisch ist. Nur bei der Eins selbst gibt es so unendlich viele Beispiele, weil alles für sich genommen einzigartig ist, wenn man es nur detailliert (genau) genug betrachtet. Die Mengenangabe unendlich soll in diesem Zusammenhang für nichtabzählbare Mengen gelten.

Als geeignete Verknüpfung für die Zahl Eins verwenden wir die eigene Person, weil wir unser selbst bewusst sind und uns als erste Person (ich) und als eine Person wahrnehmen. Bei einem Apfel sehen wir sofort Ähnlichkeiten zu anderen Äpfeln, so dass wir zu zählen beginnen und größere Mengen als die Menge Eins erkennen, auch wenn die Äpfel in Form und Farbe etwas unterschiedlich sind. Wir ordnen uns selbst den Menschen zu, die zählbar sind, aber wir nehmen uns als eine Person wahr und grenzen unser Ich von der Umwelt ab. Merke: Du bist Eins!

Zwei

Bei der Zahl Zwei verhält es sich ein bisschen anders. Es gibt in der Natur viele Gegenstände, die paarweise auftreten: Zwillinge jeglicher Art (Hanni und Nanni, Kirschen, die Twin Towers) haben große Ähnlichkeiten vorzuweisen. Es gibt aber auch Paare, für die Gegensätzlichkeit zum bestimmenden Merkmal wird, wie bei Mann und Frau oder bei bekannten Literatur- und Filmpaarungen (Dick und Doof, Bonnie und Clyde). Die Identifikation (Hineinversetzung) mit der Zwei ist nicht möglich, weil man nicht aus zwei Personen gleichzeitig bestehen kann.

Zur menschlichen Fortpflanzung gehören immer zwei Individuen (Einzelne) unterschiedlichen Geschlechts, bei der Befruchtung wird aus Samenzelle und Eizelle ein Mensch. Die Paarbildung ist notwendig, um neues Leben entstehen zu lassen: unterschiedliche Informationen müssen vermischt werden, um neue Informationen zu erschaffen. Die Rekombination (Vermischung, Sex) ist ein notwendiges biologisches Prinzip, um die Evolution (Weiterentwicklung) schneller voranzubringen.

Es gibt Gegensatz- und Ähnlichkeitspaare, bei beidem spricht man von Paarbildung. Bei Menschen bilden Mann und Frau ein Paar, aber auch zwei Männer oder zwei Frauen zählen als Paar. Das mathematische Prinzip heißt hier einerseits Gegensätzlichkeit, andererseits Ähnlichkeit.

Allerdings kennzeichnet nur das Prinzip der Gegensätzlichkeit die Paarbildung eindeutig, weil Ähnlichkeiten auch bei größerer Anzahl möglich sind. Das haben wir schon bei den römischen Zahlen kennen gelernt und entspricht dem Zählprinzip: Wir fügen einem Gegenstand einen weiteren, ähnlichen Gegenstand zu und bilden damit eine größere Menge an Dingen mit gleichen Eigenschaften. Damit erhalten wir die Menge Zwei. Setzen wir diese Gegenstände in eine Reihenfolge, haben wir einen ersten Gegenstand am Anfang und einen zweiten am Ende. Die Zahl Zwei hat das Symbol 2.

Assoziation mit der Zahl Zwei

Bisher haben wir die Zahl Zwei nur als Menge besprochen, jetzt versuchen wir zur Gestalt eine Assoziation zu bilden. Ein Schwan mit gebogenem Hals ähnelt der Schreibweise der Zwei. Schwäne haben auch zwei Seiten, wenn du sie von vorne betrachtest: Zwei Augen, zwei Flügel und zwei Beine sind symmetrisch (spiegelbildlich) angeordnet, was wiederum an die Zahl Zwei erinnert.

Die Symmetrie ist ein weiteres mathematisches Prinzip, das wir anwenden und in der Natur vielfach vertreten ist: Fast alle Lebewesen haben eine oder mehrere Symmetrieachsen, selbst wir erschaffen viele technischen Gegenstände nach symmetrischen Eigenschaften. Symmetrie heißt, dass rechts und links einer gedachten Symmetrieachse dasselbe zu sehen ist und die Dinge rechts und links davon denselben Abstand zu dieser Achse haben.

Du siehst, wir denken und handeln oft mit Gegensatzpaaren wie rechts/links, oben/unten und hinten/vorne. Diese drei Richtungen bilden die von uns wahrgenommenen Dimensionen, auf die wir in Teil C genauer eingehen werden. Bisher denken wir nur in eine Richtung: vom Anfang bis zum Ende (wieder ein Gegensatzpaar).

Drei

Mit Einführung der Zahl Drei haben wir jetzt die Möglichkeit, ein mittleres Element (Einzelteil) zu bilden, nämlich das zweite. Am Anfang steht das erste und am Ende das dritte Element, wenn wir eine Reihenfolge (Rangliste) bilden. Die Menge Drei wird natürlich wieder durch Aneinanderreihung ähnlicher Gegenstände geschaffen. Ab der Menge Drei spricht man von einer Gruppe. Es gibt auch Gegenstände oder Sachverhalte, bei denen die Menge Drei typisch ist: Wir kennen drei Dimensionen (drei Richtungen), drei Grundfarben im Farbkreis (Rot, Blau und Gelb), Dreiräder, drei Musketiere (Athos, Porthos und Aramis), einen Dreizack (eine typische Gabel mit drei Zacken), Dreiecke (werden in der Geometrie ausführlich behandelt) und vieles andere, das aber auch an eine Aneinanderreihung ähnlicher Gegenstände erinnert.

So spezielle Eigenschaften wie bei der Eins oder Zwei finden wir ab der Zahl Drei nicht mehr. Die spezielle Eigenschaft ist hier, dass sie die erste Zahl ohne solche Eigenschaften ist. Wir zählen ab der Zahl Drei nur noch, das heißt, wir vervielfältigen die Element mit gleichen Eigenschaften und erhalten größere Zahlen. Das Symbol: 3.

Vier

Die Menge Vier kann durch zwei Paare gebildet werden, ist damit in zwei gleich große Teile (Hälften) zu zerlegen und ist gerade (wie die Zwei). Das Symbol lautet: 4. Viele Tiere haben vier Beine, wir Menschen haben auch vier Gliedmaßen (zwei Arme und Beine), wir spielen Quartett (es sind immer vier ähnliche Karten vorhanden), in der Geometrie behandeln wir Vierecke und es gibt vier Jahreszeiten (Frühling, Sommer, Herbst und Winter).

Fünf

Die Menge Fünf kann nicht halbiert (in Hälften zerlegt) werden und ist damit ungerade (genauso wie die Eins und Drei). Die Fünf wird ganz gut repräsentiert durch die Anzahl der wegstehenden Körperteile beim Menschen und anderen Säugetieren: zu den vier Gliedmaßen gesellt sich noch der Kopf (4 und 1). Das Symbol lautet: 5. Die Römer schrieben dafür ein V. Auch eine Hand hat fünf wegstehende Körperteile, sprich Finger. Das ist das beste Beispiel, um sich die Menge Fünf vorzustellen. Wir kennen vielleicht noch ein Pentagramm (penta ist griechisch und heißt fünf), einen Stern mit fünf Zacken, oder die Olympischen Ringe, die die fünf Kontinente repräsentieren (darstellen).

Sechs

Die Menge Sechs kannst du wieder halbieren und ist deshalb gerade. Das Symbol: 6. Wieder greifen wir auf die Natur zurück, um die Anzahl zu veranschaulichen. Alle Insekten haben sechs Beine. Schneeflocken und Bienenwaben haben eine gleichmäßige sechseckige Form, weil dadurch eine gute flächige Stabilität (Festigkeit) entsteht und Sechsecke in der Fläche wie Karos unendlich oft und ohne Lücke aneinander zu setzen sind. Das darfst du gerne mit Bleistift und Papier ausprobieren (Teil B), schau dir aber zuerst Bilder von Bienenwaben an.

Sieben

Schreibweise des Symbols: 7. Die Menge Sieben ist wieder ungerade. Du siehst, dass sich gerade und ungerade Zahlen abwechseln, das liegt an den Teilbarkeiten (wir halbieren bisher die Zahlenmengen mit Hilfe von Symmetrieachsen), die wir im weiteren Verlauf noch besprechen werden. Wo taucht den die Zahl Sieben in eurem Alltag auf? Denk an einen Kalender, der in Monate, Wochen und Tage eingeteilt ist.

Eine Woche hat sieben Tage: Montag, Dienstag, Mittwoch, Donnerstag, Freitag, Samstag und Sonntag. Das ist ein gutes Beispiel, um das Zählen zu üben. Bei Montag fangen wir an und vergeben die Zahl Eins, Dienstag entspricht der Zwei, Mittwoch der Drei, Donnerstag der Vier, Freitag der Fünf, Samstag der Sechs und Sonntag der Sieben. Deshalb sprechen wir und auch die Bibel vom siebenten Tag. Das heißt, dass wir eine Reihenfolge gebildet, den Anfang mit Montag bestimmt und das Ende am Sonntag haben. Danach beginnt der Zyklus (Kreislauf) erneut. Durch die Wiederholung legen wir die Anzahl verschiedener Wochentage fest, die eine vordefinierte (vorher festgelegte) Menge bilden. Die Zahl des letzten Wochentags legt sowohl die Platzierung des Tages fest als auch die Gesamtmenge aller gezählten Tage. Du erkennst wieder, dass Zahlen verschiedene Aussagen enthalten.

Acht

Die Menge Acht lässt sich sogar drei Mal halbieren und ist gerade. Um dir das besser klarzumachen, musst du acht Punkte auf das Papier zeichnen und immer bei der Hälfte der Anzahl einen Trennstrich ziehen bis du am Ende (nach drei Trennstrichen) einen einzelnen Punkt abgetrennt hast.

Weil wir bisher fast immer Lebewesen als Beispiele bestimmter Mengen herangezogen haben, möchte ich von dir wissen, welches Tier acht Beine hat? Genau, die Spinne. Du willst jetzt vielleicht einwenden, dass Insekten schon bei der Zahl sechs erwähnt wurden, aber die Spinne ist kein Insekt. Welche Assoziationen fallen dir zur Acht noch ein?

Ich denke sofort an eine Achterbahn, die so heißt, weil die Loopings an das Symbol der Acht erinnern: 8. Das war seit der Zwei wieder eine Verknüpfung zur Schreibweise der Zahl. Du kannst dir übrigens selbst Assoziationen zu den Symbolen der anderen Zahlen überlegen!

Neun

Das Symbol der Neun: 9. Die Menge Neun ist wieder ungerade, aber sie lässt sich in drei gleich große Mengen teilen, man nennt die Teile Drittel (behandeln wir noch). Hast du schon einmal Sudoku gespielt und das Aussehen im Kopf? Ein Sudoku hat drei Zeilen und drei Spalten und ist quadratisch (eine Fläche mit gleich langen Seiten), besteht folglich aus neun Feldern. Jetzt wird es schwierig, weil viele neue Begriffe auftauchen, die ich kurz erläutern werde.

Eine Zeile kennst du vielleicht schon, weil du beim Lesen auch Zeile für Zeile durchgehst, am besten mit dem Finger oder Lineal, damit du die Zeilen nicht verwechselst. Zeilen verlaufen für uns immer von links nach rechts, Spalten verlaufen von oben nach unten. Die japanische Schrift wird beispielsweise in Spalten geschrieben.

Sudoku enthält auch nicht nur neun Felder, sondern in jedem der neun Felder nochmal neun Felder. Das Ziel des Spiels ist, in jedem der neun kleinen Felder alle neun Symbole (jede Ziffer) einzutragen, so dass in keiner Zeile oder Spalte der großen neun Felder kein Symbol (eine Zahl) doppelt auftritt. Das ist noch sehr kompliziert, aber bald wirst du das Prinzip des Sudokus besser verstehen. Du kannst im Laden nach Sudoku fragen oder im Internet danach suchen, um dir die Gestalt und Funktionsweise (Wie geht es?) genauer zu betrachten.

Genauso darfst du mal zum Kegeln fahren und ausprobieren, ob du „Alle Neune“ triffst. Vielleicht schaust du mal nach, wie die Kegel (s. Abb.) räumlich angeordnet sind.

Null und Zehn

Welches Symbol kommt nach der Neun? Ist es das X, wie bei den Römern oder wird das Symbol für die nächstgrößere Menge anders gebildet? Den Namen der nächsten Zahl habe ich schon erwähnt: das X steht für die Zehn. Aber wir haben dazu ein System entwickelt, das größere Anzahlen einfacher darstellen kann: das Stellenwertsystem. Dadurch müssen wir nicht unendlich viele Symbole lernen, um unendlich große Zahlen darzustellen. Mit Hilfe der bekannten Symbole können wir viele Zahlen schreiben, wenn wir nur die Anzahl der Stellen erhöhen.

Für die Zehn rücken wir die erste bekannte Zahl, die Eins, eins nach links und fügen einen Platzhalter (Teil B) ein, der den Wert um das Zehnfache erhöht und damit eins größer macht als die Neun. Diesen Platzhalter nennen wir Null (Symbol: 0).

Eine Null hat für sich stehend keinen Wert. Die Null steht für „nicht vorhanden“, die Eins im Gegensatz dazu für „vorhanden“. Das haben wir bei der Erklärung der Eins schon vorgestellt. Dieses Prinzip verwendet jeder digitale Rechner, der Daten nur mit Null und Eins codiert (ersetzt und verarbeitet). Ein Rechner arbeitet mit einem Stellenwertsystem, dass nur aus diesen zwei Symbolen besteht. Die Menge Zwei wird entsprechend der Menge Zehn (10) im Dezimalsystem (Zehnersystem) gebildet: die Eins rückt eins nach links, die Null wird dahinter gesetzt. Die Menge Drei wird durch Erhöhung der zweiten Stelle um eins dargestellt: 11. Die Menge Vier im Dualsystem (so wird das Zweiersystem noch genannt) hat wieder eine Stelle mehr und die hinteren Stellen werden von Nullen besetzt (100).

Die Null gibt es noch nicht so lange wie es das Stellenwertsystem gibt. Da die Null auf den ersten Blick keine Bedeutung außer der des Platzhalters hat, haben die Menschen lange ohne die Null gerechnet. Doch irgendwann hatten wohl die Araber als Erster die Einsicht, dass die Null bei unterschiedlichen Rechenoperationen unterschiedliche Bedeutung erlangt und sie neben der Eins die wichtigste Zahl in der Mathematik ist.

Die Kombination aus eins und null ergibt die Zehn, die für uns die Grundlage des Rechnens ist, weil wir genau zehn Zahlsymbole verwenden. Die Zehn wird beim Mensch durch die Anzahl seiner Finger bestimmt, die sehr gut als Zählhilfe taugen und in einem kleinen Zahlenraum die Anzahlen durch Einziehen und Ausstrecken der Finger verdeutlicht. Damit ersparen wir uns andere Assoziationen. Das ist ein Grund, warum wir genau mit zehn Symbolen arbeiten und nicht mit zwei (Dualsystem). Jede erdenkliche Anzahl an Symbolen ist möglich, um ein Stellenwertsystem zu erschaffen, mit dem wir rechnen können, aber wir rechnen mit den gelernten zehn Symbolen.

Merkfähigkeit

Es gibt viele Gedächtnistrainer, die ihrem Publikum das Merken von Zahlen mithilfe von Assoziationen beibringen. Wir nehmen unsere Beispiele für die Ziffern 1 bis 9 und für die Null steht einfach das Nichts (Nirwana). Es geht darum, sich absurde Geschichten für irgendwelche Zahlenfolgen (z.B. bei Pin-Nummern) auszudenken, damit sie bildhaft im Gehirn erhalten bleiben.

Meine Handy-Pin ist beispielsweise 4258, wie kann die passende Geschichte lauten? Ein langweiliger Vorschlag vorweg: Ein Pferd knabbert an einer Kirsche, während wir mit der Hand nach einer Spinne greifen. Sei einfach kreativ und überleg dir verrücktere Dinge, die besser im Gehirn haften bleiben!

Eins bis Zwanzig (natürliche Zahlen)

Jetzt kennen wir alle Symbole des Zehnersystems: Zu zählen beginnen wir immer bei der Eins, dann kommt die Zwei, Drei, Vier, Fünf, Sechs, Sieben, Acht und Neun. Jetzt benötigen wir die Null als Platzhalter: 10, dann 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 und welche Zahl folgt? Richtig, wir müssen jetzt die Zwei an die vorderste Stelle tun und die Null hinten anstellen, dann erhalten wir die Zwanzig (20). Wie heißen die Zahlen zwischen zehn und zwanzig?

Ich zähle sie in der entsprechenden Reihenfolge auf und beginne mit der Elf, dann kommt die Zwölf, die Dreizehn, die Vierzehn, die Fünfzehn, die Sechzehn, die Siebzehn, die Achtzehn und die Neunzehn. Wie du vielleicht sehen kannst, werden ab der Dreizehn die Worte ähnlich den vorhandenen Symbolen gebraucht, nur dass die Zahlen vertauscht sind. Die vordere Eins steht für die Zehnerstelle Z, die hintere Drei steht für die Einerstelle E. Ab der Dreizehn werden die Zahlen nicht mehr als Worte, sondern offiziell als Zahlsymbole (13) geschrieben.

In anderen Sprachen werden Zahlworte in „richtiger“ Reihenfolge genannt, wieder in anderen Sprachen werden Zahlworte durch Zusammenzählen gebildet. Und diese Rechenoperation lernen wir im nächsten Abschnitt kennen. Alle Zahlen, die in diesem Abschnitt besprochen wurden und die durch die zehn Symbole im Stellenwertsystem darstellbar sind, nennt man natürliche Zahlen (N), weil sie zum Zählen sinnvoll benutzt werden können. Die Zahlen beschreiben positive, ganze Mengen, die in der Natur vorkommen.