Algèbre linéaire E-Book

Encyclopaedia Universalis

• Herausgeber: Encyclopaedia Universalis
• Kategorie: Bildung
• Sprache: Französisch

Seitenzahl: 75

Veröffentlichungsjahr: 2015

Beschreibung

L'algèbre linéaire sur un corps commutatif, telle qu'on la trouvera présentée ici, s'est progressivement dégagée, au cours du XIXe siècle et au début du XXe, de la théorie des équations linéaires (systèmes de n équations linéaires à p inconnues, équations différentielles et...

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ISBN : 9782341003988

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Algèbre linéaire

Introduction

L’algèbre linéaire sur un corps commutatif, telle qu’on la trouvera présentée ici, s’est progressivement dégagée, au cours du XIXe siècle et au début du XXe, de la théorie des équations linéaires (systèmes de n équations linéaires à p inconnues, équations différentielles et intégrales linéaires) et de la géométrie (calcul vectoriel dans les espaces affines, transformations des espaces projectifs, dualité pour les sous-variétés linéaires et les quadriques, structure même de la géométrie). L’algèbre multilinéaire sur un corps commutatif a pris naissance dans la théorie des invariants et dans la partie de la géométrie différentielle consacrée au calcul tensoriel. Plus récemment, on a développé l’algèbre linéaire sur un anneau afin d’appliquer les méthodes de l’algèbre linéaire sur les corps à la théorie des groupes abéliens, considérés comme Z-modules, à la théorie des entiers algébriques sur un anneau commutatif unitaire, considérés comme éléments d’un module sur cet anneau, à la représentation linéaire d’un groupe dans un espace vectoriel, considéré comme module sur l’algèbre de ce groupe, et à l’étude des formes quadratiques sur Z. Enfin, ces dernières années ont été introduites l’algèbre homologique et, plus généralement, la théorie des catégories abéliennes, permettant d’appliquer la théorie des modules à des domaines où elle semblait inopérante (théorie des fibrés vectoriels et des faisceaux).

On trouvera un aperçu historique plus complet dans l’article ALGÈBRE. D’autre part, on trouvera des détails sur les applications de l’algèbre linéaire dans de nombreux articles tels que GROUPES (Mathématiques)-Groupes classiques et géométrie, Groupes de Lie et théorie des NOMBRES - Nombres algébriques. Bien entendu, la liste précédente n’est pas exhaustive : on pourrait, à la limite, affirmer que l’algèbre linéaire a envahi tous les domaines des mathématiques. À titre d’exemple, on consultera les applications à la théorie des équations algébriques (cf. CORPS [Mathématiques]) et à l’analyse fonctionnelle (cf. équations aux DÉRIVÉES PARTIELLES, DISTRIBUTIONS [Mathématiques], algèbres NORMÉES, espaces vectoriels NORMÉS).

Dans le présent article sera d’abord exposée la théorie des espaces vectoriels sur un corps commutatif, indépendamment de la notion de dimension. L’explicitation des résultats obtenus lorsque les espaces vectoriels sont de dimension finie et munis de bases fait l’objet du paragraphe consacré au calcul matriciel. Dans cette partie, l’exposé reste élémentaire, et la plupart des théorèmes sont accompagnés de démonstrations. Suivent quelques indications sur l’algèbre tensorielle et la théorie des modules.

En ce qui concerne la réduction des endomorphismes et la théorie des formes quadratiques, on se reportera aux articles : théorie SPECTRALE et formes QUADRATIQUES.

1. Espaces vectoriels et applications linéaires

• Espaces vectoriels

Soit K un corps commutatif. On appelle espace vectoriel sur K, ou encore K-espace vectoriel, un ensemble E muni de deux lois de composition : une loi interne, application de E × E dans E, notée (x, y) ↦ x + y et une loi externe, application de K × Edans K, notée (α, x) ↦ α ( x, ou encore (α, x) ↦ αx ; ces deux lois satisfaisant aux conditions suivantes :

(a) L’ensemble E, muni de l’addition, est un groupe commutatif.(b) Pour tout couple (α, β) d’éléments de K et pour tout élément x de E :

et, pour tout élément x de E, 1 ( xx.(c) Pour tout couple (α, β) d’éléments de K et pour tout couple (x, y) d’éléments de E :

Les éléments de E sont souvent appelés vecteurs, les éléments de K scalaires.

• Applications linéaires

Soit E et F deux espaces vectoriels sur un même corps commutatif K. On dit qu’une application U de E dans F est K-linéaire ou, plus simplement, linéairesi, pour tout couple (x, y) d’éléments de E et pour tout couple (α, β) de scalaires :

On dit aussi que U est un morphisme d’espaces vectoriels.

Soit E, F et G trois espaces vectoriels sur K. Pour toute application linéaire U de E dans F et pour toute application linéaire V de F dans G, l’application composée V ∘ U est linéaire.

On dit qu’une application linéaire U de E dans F est un isomorphisme de E sur F s’il existe une application linéaire V de F dans E telle que :

Une application linéaire de E dans lui-même s’appelle endomorphisme de E, et un isomorphisme de E sur lui-même automorphisme de E.

Voici quelques exemples d’espaces vectoriels et d’applications linéaires :

1. Soit n un entier naturel non nul. L’ensemble Kn des suites de n éléments de K, muni des deux lois définies par les formules :

est un espace vectoriel sur K.

2. Soit A un ensemble non vide et F un espace vectoriel sur K. L’ensemble FA, noté encore F(A, F), des applications de A dans F, muni des deux lois définies par les formules :

est un espace vectoriel sur K.

3. Soit (Fi)i∈I une famille d’espaces vectoriels sur un même corps commutatif K. L’ensemble produit :

muni des deux lois suivantes :

est un espace vectoriel sur K, appelé espace vectoriel produit de la famille (Fi)i∈I. (Lorsque tous les espaces vectoriels Fi sont égaux à un même espace vectoriel F, l’espace produit n’est autre que FI.) Pour tout élément j de I, le projecteur canonique de l’espace produit sur Fj, qui à toute famille (xi)i∈I associe le vecteur xj, est une application linéaire surjective.

4. Soit E un espace vectoriel sur K. On appelle forme linéaire sur E une application linéaire de E dans K, le corps K étant considéré comme espace vectoriel sur lui-même.

Par exemple, soit E l’espace vectoriel des fonctions continues sur l’intervalle [0,1] à valeurs complexes. L’application qui à tout élément f de E associe le scalaire :

est une forme linéaire sur E.

• Sous-espaces vectoriels

Soit E un espace vectoriel sur K, (xi)i∈I une famille de vecteurs de E, (αi)i∈I une famille de scalaires dont le support J est fini. (On appelle support de (αi)i∈I l’ensemble J des éléments i de I tels que αi ≠ 0.) Pour toute partie finie H de I contenant J :

Cette somme se note encore :

Cette convention permet de poser la définition suivante : On dit qu’un vecteur x de E est combinaison linéaire des vecteurs xi s’il existe une famille (αi)i∈I de scalaires à support fini telle que :

Par exemple, soit E l’espace vectoriel des fonctions à valeurs réelles définies sur R, et (fn)n∈N la famille des fonctions monomiales fn : x ↦ xn. Les combinaisons linéaires de ces fonctions ne sont autres que les fonctions polynomiales. En revanche, la fonction exponentielle x ↦ ex n’est pas combinaison linéaire des fonctions fn.

Soit E un espace vectoriel sur K. On dit qu’une partie E′ de E est un sous-espace vectoriel de E si E′ est stable pour les deux lois de E et si, munie des lois induites, E′ est un espace vectoriel sur K.

Pour qu’une partie non vide E′ de E soit un sous-espace vectoriel de E, il faut et il suffit que, pour tout couple (x, y) d’éléments de E′ et pour tout couple (α, β) de scalaires, le vecteur αx + βy appartienne à E′.

L’intersection d’une famille de sous-espaces vectoriels de E est encore un sous-espace vectoriel de E. Il en découle que, pour toute partie A de E, l’ensemble des sous-espaces vectoriels de E contenant A possède un plus petit élément (au sens de la relation d’inclusion), à savoir l’intersection de tous les sous-espaces vectoriels contenant A. Ce sous-espace vectoriel, dit engendré par A, est encore l’ensemble des combinaisons linéaires d’éléments de A, lorsque A est non vide. Voici quelques exemples.

Le sous-espace vectoriel engendré par un vecteur x est noté Kx ; c’est en effet l’ensemble des vecteurs de E de la forme αx, où α appartient à K.

Soit E un espace vectoriel sur K et (Ei)i∈I une famille de sous-espaces vectoriels de E. Le sous-espace vectoriel de E engendré par la réunion des sous-espaces vectoriels Ei est constitué des vecteurs de E de la forme :

où, pour tout élément i de I, xi appartient à Ei, et où la famille (xi)i∈I est à support fini. Ce sous-espace vectoriel s’appelle aussi somme des sous-espaces vectoriels Ei, et se note :

Dans le cas particulier où I = {1, 2}, la somme des sous-espaces vectoriels E1 et E2 se note E1 + E2.

• Espaces vectoriels d’applications linéaires

Soit E et F deux espaces vectoriels sur K. L’ensemble des applications linéaires de E dans F est un sous-espace vectoriel, noté L(E, F), de l’espace vectoriel F(E, F) des applications de E dans F.

Soit E, F et G trois espaces vectoriels sur K. L’application V ↦ V ∘ U est une application linéaire de L(F, G) dans L(E, G), et l’application U ↦ V ∘ U une application linéaire de L(E, F) dans L(E, G).

En particulier, l’ensemble des endomorphismes d’un espace vectoriel E, muni des trois lois de composition :

est une algèbre associative unitaire, notée L(E). Le produit V ∘ U se note encore VU.

Les automorphismes de E constituent un groupe multiplicatif, appelé groupe linéaire de E, et noté GL(E) ; c’est le groupe multiplicatif des éléments inversibles de l’anneau unitaire L(E).

• Factorisation des applications linéaires

Soit E et F deux espaces vectoriels sur K, et U une application linéaire de E dans F. L’image d’un sous-espace vectoriel de E par U est un sous-espace vectoriel de F. En particulier, l’image de E par U est un sous-espace vectoriel de F, appelé aussi image