Bruchrechnung für Dummies E-Book

Mark Zegarelli

• Herausgeber: Wiley-VCH
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Serie: Für Dummies
• Sprache: Deutsch

Seitenzahl: 252

Veröffentlichungsjahr: 2025

Beschreibung

Gut erklärt und unterhaltsam geschrieben. So macht Bruchrechnen Spaß!

Wer mathematische Brüche versteht, besitzt beste Grundlagen für das Erlernen mathematischer Zusammenhänge. Mark Zegarelli erklärt praxisorientiert und anschaulich, wie Brüche, Dezimalzahlen und Pro-zente zusammenhängen und wie man damit rechnet. Sie lernen intuitiv das Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren von Brüchen mit ganzen und gemischten Zahlen und üben Prozentrechnung. Der Autor unterstützt Sie mit Tipps, lässt Sie Beispielaufgaben rechnen und hilft Ihnen beim Finden des Lösungswegs. Dieses didaktisch durchdachte Buch macht nicht nur Schülern Spaß!

Sie erfahren

• Warum Bruchrechnung so wichtig ist
• Was Brüche mit Pro-zenten zu tun haben
• Was die »Popcorn-Methode« ist
• Wie Sie Bruchrechnung praktisch im Alltag einsetzen

Leseprobe

Bruchrechnung für Dummies

Schummelseite

Viele Schülerinnen und Schüler empfinden das Rechnen mit Brüchen als Herausforderung. Diese Schummelseiten zeigen einige grundlegende Schritte, die im Mathematikunterricht hilfreich sein können.

Brüche in äquivalente Formen umwandeln

Bei der Arbeit mit Brüchen kann es erforderlich sein, einen Bruch in eine andere, äquivalente Form zu überführen. Dies geschieht, indem man Zähler und Nenner des Bruchs mit derselben Zahl multipliziert oder dividiert.

Brüche vereinfachen

Das Vereinfachen eines Bruchs bedeutet, ihn in eine äquivalente Form mit kleineren Zähler- und Nennerwerten zu überführen. Hierzu werden Zähler und Nenner durch denselben Wert dividiert.

Um den Bruch zu vereinfachen, können Zähler und Nenner durch 2 geteilt werden:

Jeder Bruch besitzt eine einfachste Form, in der Zähler und Nenner die kleinsten ganzen Zahlen darstellen, die den Wert des Bruchs unverändert lassen. Wenn Sie aufgefordert werden, einen Bruch zu vereinfachen, wird in der Regel erwartet, dass Sie ihn in dieser einfachsten Form angeben. Dies kann die wiederholte Anwendung des im vorherigen Beispiel gezeigten Divisionsprozesses erfordern.

Um den Bruch in seine einfachste Form zu überführen, gehen Sie wie folgt vor:

Teilen Sie Zähler und Nenner durch 2.

Da sowohl 42 als auch 60 durch 2 teilbar sind, können Sie diesen Faktor herausdividieren:

Teilen Sie Zähler und Nenner durch 3.

Da sowohl 21 als auch 30 durch 3 teilbar sind, können Sie diesen Faktor herausdividieren:

Das Ergebnis ist der Bruch , die einfachste Form, in die der Bruch umgewandelt werden kann. Das bedeutet, er lässt sich nicht weiter vereinfachen, indem ein weiterer gemeinsamer Faktor herausdividiert wird.

Brüche durch Multiplikation von Zähler und Nenner erweitern

Bei der Addition und Subtraktion von Brüchen ist es häufig erforderlich, einen Bruch durch Multiplikation des Zählers und des Nenners mit demselben Faktor in einen äquivalenten Bruch zu überführen. Dieser Vorgang wird als Erweitern des Bruchs bezeichnet.

In den meisten Fällen, in denen eine Erweiterung erforderlich ist (zum Beispiel um Brüche mit gleichem Nenner für die Addition oder Subtraktion zu erhalten), sind der Ausgangsbruch und der Zielnenner gegeben. Die Aufgabe besteht darin, den entsprechenden Zähler des neuen Bruchs zu ermitteln.

Um beispielsweise den Bruch in einen gleichwertigen Bruch mit dem Nenner 20 umzuwandeln, multiplizieren Sie den aktuellen Nenner 4 mit 5, um den Zielnenner 20 zu erhalten:

Um sicherzustellen, dass der neue Bruch denselben Wert wie der Ausgangsbruch hat, multiplizieren Sie auch den Zähler 3 mit 5:

Unechte Brüche in gemischte Zahlen umwandeln – und umgekehrt

Jede gemischte Zahl kann in einen unechten Bruch umgewandelt werden. Ein einfacher Trick, der manchmal als »Popcorn-Methode« bezeichnet wird, macht diesen Vorgang besonders anschaulich. Die Methode verdankt ihren Namen der grafischen Darstellung, die an ein Stück Popcorn erinnert. Betrachten Sie die Umwandlung von als Beispiel:

Multiplikation:

Multiplizieren Sie den Nenner des Bruchteils (4) mit der ganzen Zahl (2):

Addition:

Addieren Sie das Ergebnis (8) zum Zähler des Bruchteils (3):

N

enner beibehalten:

Der Nenner des unechten Bruchs ist derselbe wie der des Bruchteils der gemischten Zahl (4).

Die grafische Darstellung dieser Schritte, bei der die Verbindungslinien an ein Stück Popcorn erinnern, macht die Methode besonders einprägsam.

Für die Umwandlung unechter Brüche in gemischte Zahlen gibt es zwei gängige Methoden:

Die Subtraktionsmethode:

Besonders geeignet, wenn der Zähler nur geringfügig größer als der Nenner ist. Sie ermöglicht eine schnelle Umwandlung durch einfache Subtraktion.

Die Divisionsmethode:

Empfehlenswert, wenn der Zähler deutlich größer als der Nenner ist. Hierbei wird eine Divisionsaufgabe mit Rest verwendet, um das Ergebnis zu ermitteln.

Die Subtraktionsmethode im Detail

Diese Methode eignet sich hervorragend für die schnelle Umwandlung kleinerer unechter Brüche in gemischte Zahlen. Befolgen Sie einfach diese Schritte:

Schreiben Sie die Zahl 1 als ganzzahligen Teil der gemischten Zahl auf.

Beispiel:

Subtrahieren Sie den Nenner des unechten Bruchs vom Zähler.

Verwenden Sie das Ergebnis der Subtraktion als Zähler des Bruchteils.

?

Der Nenner des Bruchteils entspricht dem Nenner des ursprünglichen unechten Bruchs.

Die Methode der Division

Wenn ein unechter Bruch sehr groß wird, das heißt, wenn der Zähler den Nenner deutlich übersteigt, ist die Divisionsmethode oft effizienter als die wiederholte Subtraktion. Betrachten Sie beispielsweise die Umwandlung von in eine gemischte Zahl:

In solchen Fällen bietet die Divisionsmethode eine direkte und elegante Lösung. Folgen Sie diesen Schritten:

Schreiben Sie den unechten Bruch als Divisionsaufgabe:

Führen Sie eine Division mit Rest durch.

Das Ergebnis ist 13 mit einem Rest von 1.

Drücken Sie den Rest als Bruch aus, indem Sie den gleichen Nenner wie für den unechten Bruch verwenden, mit dem Sie begonnen haben.

Brüche addieren und subtrahieren

Dieser Abschnitt bietet Ihnen einen Überblick über die Grundlagen der Addition und Subtraktion von Brüchen. Ziel ist es, Ihnen ein sicheres Gefühl zu vermitteln und Sie auf die Lösung verschiedenster Bruchaufgaben vorzubereiten.

Trotz der zahlreichen Regeln, die das Addieren und Subtrahieren von Brüchen umgeben, verlieren viele Menschen den Überblick, wenn sie mit einer konkreten Aufgabe konfrontiert werden. Tatsächlich lassen sich jedoch alle Aufgaben dieser Art auf maximal drei Schritte reduzieren:

Bevor Sie Brüche addieren oder subtrahieren können, müssen Sie einen gemeinsamen Nenner für alle beteiligten Brüche finden.

Um einen gemeinsamen Nenner zu finden, müssen Sie möglicherweise einen, zwei oder sogar drei oder mehr Nenner anpassen. Techniken wie die Kreuzmultiplikation oder das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) können hierbei hilfreich sein.

Wenn die Brüche bereits denselben Nenner haben, können Sie diesen Schritt überspringen.

Führen Sie die Addition oder Subtraktion durch.

Dieser Schritt ist immer notwendig. Nachdem Sie einen gemeinsamen Nenner gefunden haben, werden lediglich die Zähler addiert oder subtrahiert. Der Nenner bleibt unverändert.

Bringen Sie das Ergebnis in die korrekte Form.

Überprüfen Sie, ob das Ergebnis vereinfacht werden kann (zum Beispiel durch Umwandlung von in ) oder ein unechter Bruch in eine gemischte Zahl umgewandelt werden muss (zum Beispiel in ).

Wenn das Ergebnis bereits in der korrekten Form vorliegt, können Sie diesen Schritt überspringen.

Brüche multiplizieren und dividieren

Die meisten Menschen empfinden das Multiplizieren und Dividieren von Brüchen als einfacher als das Addieren oder Subtrahieren. Ein Hauptgrund dafür ist, dass kein gemeinsamer Nenner gefunden werden muss!

So multiplizieren Sie zwei Brüche:

Multiplizieren Sie die beiden

Zähler

(oberen Zahlen) und verwenden Sie das Ergebnis als Zähler Ihrer Antwort.

Multiplizieren Sie die beiden

Nenner

(unteren Zahlen) und verwenden Sie das Ergebnis als Nenner Ihrer Antwort.

Um beispielsweise das Ergebnis von zu berechnen, gehen Sie wie folgt vor:

Die Multiplikation von Brüchen durch das Kürzen gemeinsamer Faktoren erleichtern

Beim Multiplizieren von Brüchen können Sie sich die Arbeit oft erleichtern, indem Sie gemeinsame Faktoren vor der eigentlichen Multiplikation kürzen. Das bedeutet, Sie teilen Zähler und Nenner durch denselben Wert, um die Zahlen kleiner zu machen.

Nehmen wir das Beispiel . Hier sehen Sie, dass 8 und 22 jeweils durch 2 teilbar sind. Sie kürzen also:

Nun steht statt 8 die Zahl 4 (weil 8 ÷ 2 = 4) und statt 22 die Zahl 11 (weil 22 ÷ 2 = 11).

Als Nächstes fällt auf, dass 15 und 25 beide durch 5 teilbar sind ( und ). Sie kürzen erneut:

Jetzt gibt es keine gemeinsamen Teiler mehr. Wir können also die Multiplikation durchführen:

Der Bruch ist bereits die einfachste Form, da Sie alle gemeinsamen Faktoren im Vorfeld gekürzt haben.

Brüche mithilfe der Kehrwertmethode dividieren

Die Division von Brüchen unterscheidet sich nur geringfügig von der Multiplikation. Der entscheidende Unterschied liegt in der Anwendung der »Kehrwertmethode«, mit der eine Division von Brüchen in eine Multiplikation von Brüchen umgewandelt wird.

Um beispielsweise zu berechnen, folgen Sie diesen Schritten:

Der erste Bruch bleibt unverändert.

Wandeln Sie das Divisionszeichen in ein Multiplikationszeichen um.

Wandeln Sie den zweiten Bruch in seinen

Kehrwert

, indem Sie die Positionen von Zähler und Nenner vertauschen.

Somit gilt:

Um die Aufgabe fertigzustellen, multiplizieren Sie die resultierenden Brüche.

Wie bei der Multiplikation können Sie auch bei der Division gemeinsame Faktoren kürzen, um die Berechnung zu vereinfachen.

Wandeln Sie Divisionsaufgaben immer zuerst in Multiplikationsaufgaben um, bevor Sie mit dem Kürzen von Faktoren beginnen! Wenn Sie Faktoren kürzen, bevor Sie die Division in eine Multiplikation umwandeln, kürzen Sie Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner. Dies ändert den Wert des Bruchs und führt mit hoher Wahrscheinlichkeit zu einem falschen Ergebnis.

So vereinfachen Sie :

Wenden Sie die Kehrwertmethode an, um die Division in eine Multiplikation umzuwandeln.

Kürzen Sie gemeinsame Faktoren in den Zählern und Nennern.

Multiplizieren Sie die verbleibenden Zähler und Nenner.

Bruchrechnung für Dummies

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek

Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar.

1. Auflage 2025

© 2025 Wiley-VCH GmbH, Boschstraße 12, 69469 Weinheim, Germany

Original English language edition Fractions for Dummies © 2025 by Wiley Publishing, Inc. All rights reserved including the right of reproduction in whole or in part in any form. This translation published by arrangement with John Wiley and Sons, Inc.

Copyright der englischsprachigen Originalausgabe Fractions for Dummies © 2025 by Wiley Publishing, Inc. Alle Rechte vorbehalten inklusive des Rechtes auf Reproduktion im Ganzen oder in Teilen und in jeglicher Form. Diese Übersetzung wird mit Genehmigung von John Wiley and Sons, Inc. publiziert.

Wiley, the Wiley logo, Für Dummies, the Dummies Man logo, and related trademarks and trade dress are trademarks or registered trademarks of John Wiley & Sons, Inc. and/or its affiliates, in the United States and other countries. Used by permission.

Wiley, die Bezeichnung »Für Dummies«, das Dummies-Mann-Logo und darauf bezogene Gestaltungen sind Marken oder eingetragene Marken von John Wiley & Sons, Inc., USA, Deutschland und in anderen Ländern.

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Das vorliegende Werk wurde sorgfältig erarbeitet. Dennoch übernehmen Autoren und Verlag für die Richtigkeit von Angaben, Hinweisen und Ratschlägen sowie eventuelle Druckfehler keine Haftung.

Coverfoto: © Natali - stock.adobe.comKorrektur: Geesche Kieckbusch

Print ISBN: 978-3-527-72361-4ePub ISBN: 978-3-527-85346-5

Über den Autor

Mark Zegarelli ist der Autor von Grundlagen der Mathematik für Dummies, Mathe kompakt für Dummies und weiteren Büchern der Reihe »… für Dummies«. Er hat einen Abschluss in Englisch und Mathematik und lehrt an der Rutgers University. In letzter Zeit bietet er Online-Unterricht für Kinder ab vier Jahren an und zeigt ihnen einfache Methoden, um Quadratzahlen und Quadratwurzeln, Faktoren, Primzahlen, Brüche und sogar grundlegende algebraische Konzepte zu verstehen – und dabei Spaß zu haben! Darüber hinaus hat er ShortStack ins Leben gerufen, eine Online-App, um Mathematik zu lernen (mehr dazu unter shortstacklearn.com).

李光耀,永远。

Und für Joseph Bavaresco, der dort weitermacht, wo Schwester Helen-Claire aufgehört hat!

Danksagung des Autors

Seit nun 20 Jahren schreibe ich Bücher für die Reihe »… Für Dummies«, und ich kann mich wirklich glücklich schätzen! Ich habe einen tollen Job, der mir Spaß macht, und arbeite mit Menschen, deren Gesellschaft ich schätze und die auf ihrem Fachgebiet kompetent sind.

Deshalb möchte ich es erneut betonen und werde nicht müde, es zu wiederholen: Mein herzlicher Dank gilt meinen Wiley-Lektorinnen Lindsay Berg, Leah Michael, Laura K. Miller, Kristie Pyles, Amy Nicklin und Saikarthick Kumarasamy. Ein besonderer Dank geht auch an Chris Mark für seine Unterstützung bei der Korrektur der Druckfahnen.

Einen besonderen Dank möchte ich Aaron und Orion aussprechen, zwei außergewöhnlichen Studenten der Mathematik und Lebensweisheit. Sie haben mir genauso viel beigebracht, wie ich ihnen hoffentlich vermitteln konnte.

Und weil ich dieses Mal unterwegs schreibe, danke ich meinem besten Freund, dass er mir eine tragbare Kaffeemühle und eine French Press besorgt hat, die ich jederzeit bei mir tragen kann!

Inhaltsverzeichnis

Cover

Titelblatt

Impressum

Über den Autor

Danksagung des Autors

Inhaltsverzeichnis

Einleitung

Über dieses Buch

Konventionen in diesem Buch

Törichte Annahmen

In diesem Buch verwendete Symbole

Materialien zum Buch

Wie geht es weiter?

Teil I: Überblick über Brüche, Dezimalzahlen und Prozentzahlen

Kapitel 1: Was sind Brüche, Dezimalzahlen und Prozentsätze?

Ein erster Blick auf Brüche

Warum sich Dezimalzahlen so leicht anwenden lassen

Prozente in die richtige Perspektive rücken

Kapitel 2: Die Grundkenntnisse ausbauen

Mathematische Grundbegriffe

Die Grundlagen der Zahlenreihen kennenlernen

Den Stellenwert bei ganzen Zahlen überprüfen

Die Division ganzer Zahlen

Lösungen zu den Übungsaufgaben

Kapitel 3: Faktoren und Multiplikatoren verstehen

Teilbarkeit verstehen

Einführung in Faktoren und Vielfache

Mit dem größten gemeinsamen Teiler groß rauskommen

Mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen spielen

Lösungen zu den Übungsaufgaben

Teil II: Brüche

Kapitel 4: Darstellung von Brüchen

Visualisierung von Brüchen

Die grundlegende Terminologie der Bruchrechnung verstehen

Äquivalente Brüche verstehen

Mit unechten Brüchen und gemischten Zahlen arbeiten

Vergleich der Werte von Brüchen

Lösungen zu den Übungsaufgaben

Kapitel 5: Addition und Subtraktion von Brüchen

Addition und Subtraktion von Brüchen mit gemeinsamem Nenner

Addition und Subtraktion von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern

Größere Aufgaben mit unterschiedlichen Nennern lösen

Lösungen zu den Übungsaufgaben

Kapitel 6: Multiplikation und Division von Brüchen

Brüche multiplizieren

Brüche dividieren

Lösungen zu den Übungsaufgaben

Kapitel 7: Rechnen mit gemischten Zahlen

Addition gemischter Zahlen

Subtraktion gemischter Zahlen

Multiplikation gemischter Zahlen

Division gemischter Zahlen

Lösungen zu den Übungsaufgaben

Kapitel 8: Textaufgaben mit Brüchen

Textaufgaben durch Addition und Subtraktion von Brüchen lösen

Multiplikation von Brüchen zur Lösung von Textaufgaben

Textaufgaben lösen durch Division von Brüchen

Lösen von Textaufgaben mithilfe von Verhältnissen

Verwendung von Verhältnisgleichungen zum Lösen von Textaufgaben

Lösungen zu den Übungsaufgaben

Teil III: Dezimalzahlen

Kapitel 9: Dezimalzahlen entschlüsseln

Euro in Cent umwandeln

Den Stellenwert von Dezimalzahlen verstehen

Multiplikation und Division durch Verschiebung des Dezimalkommas

Die Umrechnung zwischen Dezimalzahlen und Brüchen

Lösungen zu den Übungsaufgaben

Kapitel 10: Operationen mit Dezimalzahlen: die Grundrechenarten

Addition von Dezimalzahlen

Subtraktion von Dezimalzahlen

Multiplikation von Dezimalzahlen

Division von Dezimalzahlen

Lösungen zu den Übungsaufgaben

Kapitel 11: Textaufgaben mit Dezimalzahlen

Lösen von Textaufgaben durch Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen

Dezimalzahlen multiplizieren, um Textaufgaben zu lösen

Mit Dezimalbrüchen in Textaufgaben rechnen

Lösungen zu den Übungsaufgaben

Teil IV: Prozentrechnung

Kapitel 12: Prozentwerte ermitteln

Prozentsätze verstehen

Prozentsätze im Kopf berechnen

Das Umstellen von Zahlen zum Berechnen von Prozenten

Prozentwerte und Dezimalzahlen ineinander umwandeln

Umrechnung zwischen Prozenten und Brüchen

Lösungen zu den Übungsaufgaben

Kapitel 13: Prozentaufgaben meistern

Prozente berechnen

Drei Arten von Prozentaufgaben lösen

Prozentaufgaben durch das Aufstellen von Gleichungen lösen

Lösungen zu den Übungsaufgaben

Kapitel 14: Textaufgaben mit Prozentangaben

Einfache Textaufgaben zur Prozentrechnung lösen

Komplexe Textaufgaben mit Prozentwerten lösen

Grundlegende Aufgaben zur Berechnung prozentualer Veränderungen

Anspruchsvolle Textaufgaben zur prozentualen Veränderung

Lösungen zu den Übungsaufgaben

Teil V: Der Top-Ten-Teil

Kapitel 15: Zehn wichtige Aspekte des Bruchrechnens

Brüche vereinfachen

Brüche erweitern

Gemischte Zahlen in unechte Brüche umwandeln

Gemeinsamen Nenner ermitteln

Erkennen, wann kein gemeinsamer Nenner erforderlich ist

Vereinfachung vor der Multiplikation

Die Anwendung der Kehrwertregel bei der Division von Brüchen

Vereinfachung durch Kehrwertbildung vor dem Kürzen von Faktoren

Die Umwandlung gemischter Zahlen in unechte Brüche

Prüfen, ob die Umwandlung in unechte Brüche überflüssig ist

Kapitel 16: Zehn Anwendungsbereiche von Brüchen in der realen Welt

Kochen und Backen

Bauwesen und Konstruktion

Geld und Finanzen

Sport

Zeitmessung

Musik und bildende Kunst

Glücksspiel

Krankenpflege und Medizin

Gesundheit und Fitness

Reisen und Benzinverbrauch

Abbildungsverzeichnis

Stichwortverzeichnis

End User License Agreement

Tabellenverzeichnis

Kapitel 2

Tabelle 2.1: Definition verschiedener Mengen

Kapitel 3

Tabelle 3.1: Kombinierte Teilbarkeitskriterien

Tabelle 3.2: Faktorenpaare zur Charakterisierung von Zahlen

Tabelle 3.3: Die 25 Primzahlen kleiner als 100

Tabelle 3.4: Primfaktorzerlegungen der Zahlen 2 bis 25

Kapitel 4

Tabelle 4.1: Brüche und ihre Kehrwerte

Kapitel 9

Tabelle 9.1: Euromünzen als Dezimalzahlen und Brüche

Tabelle 9.2: Stellenwerttabelle für die Zahl 345,678

Kapitel 12

Tabelle 12.1: Gebräuchliche Prozentzahlen, Dezimalzahlen und Brüche

Illustrationsverzeichnis

Kapitel 2

Abbildung 2.1: Darstellung der ganzen Zahlen von −5 bis 5 auf dem...

Kapitel 4

Abbildung 4.1: Unterteilte Kreisdiagramme, die die Brüche bis

Abbildung 4.2: Kreisdarstellungen weiterer Bruchwerte, die kleine...

Abbildung 4.3: Segmentierung eines Zahlenstrahls

Abbildung 4.4: Unterteilung eines Zahlenstrahls mit verschiedenen...

Abbildung 4.5: Visuelle Darstellung äquivalenter Brüche

Abbildung 4.6: Weitere visuelle Darstellungen äquivalenter Brüche

Abbildung 4.7: Äquivalente Brüche auf einem Zahlenstrahl, der in ...

Abbildung 4.8: Äquivalente Brüche auf einem Zahlenstrahl, der in ...

Abbildung 4.9: Kreisdarstellungen unechter Brüche

Abbildung 4.10: Darstellung unechter Brüche auf dem Zahlenstrahl

Abbildung 4.11: Zuordnung gemischter Zahlen zu Kreisdiagrammen

Abbildung 4.12: Darstellung von gemischten Zahlen mithilfe des Z...

Kapitel 9

Abbildung 9.1: Dezimalzahlen von 0,1 bis 0,9, als schattierte Kreise dargestellt

Abbildung 9.2: Dezimalzahlen von 0,1 bis 0,9 auf einem Zahlenstrahl

Orientierungspunkte

Cover

Titelblatt

Impressum

Über den Autor

Danksagung des Autors

Inhaltsverzeichnis

Einleitung

Fangen Sie an zu lesen

Abbildungsverzeichnis

Stichwortverzeichnis

End User License Agreement

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Einleitung

Als Mathematik- und Nachhilfelehrer höre ich oft, wie schwer sich viele Schülerinnen und Schüler mit Brüchen tun. Daher bin ich sehr froh, dass mir dieses Buch, Bruchrechnen für Dummies, die Möglichkeit bietet, mich ausschließlich auf Brüche, Brüche und noch mehr Brüche zu konzentrieren – ganz zu schweigen von den eng verwandten Themen Dezimalzahlen und Prozentrechnung.

Ich habe mein Bestes getan, um einen wirklich behutsamen und stetigen Ansatz für das Thema Brüche zu entwickeln. Teil I dieses Buches bietet einen umfassenden Überblick über Brüche und legt eine solide Grundlage der wichtigsten mathematischen Kenntnisse.

In Teil II finden Sie fünf Kapitel, die sich ausschließlich mit den wichtigsten Kompetenzen im Bereich Brüche befassen. Dazu gehören das Vereinfachen von Brüchen, das Finden eines gemeinsamen Nenners, das Umwandeln zwischen unechten Brüchen und gemischten Zahlen sowie das Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren von Brüchen.

In den Teilen III und IV werden Dezimalzahlen und Prozentsätze behandelt. Zur Abrundung gibt es in Teil V zwei nützliche Top-Ten-Listen zu Brüchen.

Über dieses Buch

Dieses Buch bietet leicht verständliche Anleitungen zur Arbeit mit Brüchen sowie den verwandten Themen Dezimalzahlen und Prozentangaben. Jedes Kapitel gliedert sich in mehrere Abschnitte, die jeweils Folgendes bereithalten:

eine verständliche Erläuterung

des jeweiligen Themas

eine Vielzahl von Beispielaufgaben

, die jeweils mit einer schrittweisen Lösung versehen sind

Übungsaufgaben

, deren Lösungen am Ende des Abschnitts bereitgestellt werden

Ich präsentiere die Themen in einer Reihenfolge, die nach meiner Überzeugung das beste Verständnis für Brüche, Dezimalzahlen und Prozentsätze vermittelt. Dennoch sind Sie nicht verpflichtet, diesem Verlauf von Anfang bis Ende zu folgen! Sie können jederzeit zu dem Thema wechseln, an dem Sie gerade arbeiten möchten.

Jedes Kapitel enthält Querverweise, die es Ihnen ermöglichen, bei der Verwendung eines Begriffs, Ausdrucks oder Konzepts, das Ihnen möglicherweise nicht vertraut ist, zu dem entsprechenden Abschnitt zu blättern und eine Erklärung zu finden. Diese Querverweise weisen auf die Stellen im Buch hin, an denen ich den betreffenden Punkt einführe oder näher erläutere.

Konventionen in diesem Buch

Damit alle Unklarheiten beseitigt werden, hier auch ein paar Hinweise zum Gebrauch von Begriffen und Zeichen:

Viele der in diesem Buch verwendeten Schlüsselbegriffe und Zeichen gibt es in verschiedenen Varianten. Sie wissen wahrscheinlich, dass man bei der Multiplikation sowohl den Punkt (·) als auch das Kreuz (×) verwenden kann. Bei der Division sind im Allgemeinen der Doppelpunkt (:), der Schrägstrich (/) und das Geteilt-Zeichen aus der digitalen Darstellung gebräuchlich. Genauso verhält es sich bei bestimmten Begriffen. Ein Produkt setzt sich aus Faktoren zusammen, genauso gebräuchlich ist aber der Begriff Teiler, der das Gleiche bedeutet und den Sie vielleicht im Zusammenhang mit dem größten und kleinsten gemeinsamen Teiler (ggT und kgT) kennen.

Keine Sorge – ich beginne hier noch nicht mit Rechnungen! Aber ich möchte Sie darauf hinweisen, dass in den folgenden Kapiteln manche Begriffe parallel verwendet werden. Sie wollen ja schließlich vorbereitet sein, wenn Sie im Alltag (und bei der Anwendung des hier Gelernten) auf abweichende Formulierungen treffen!

Törichte Annahmen

Meine erste Annahme ist, dass Sie Ihr Wissen über Brüche, Dezimalzahlen und Prozentsätze vertiefen möchten, möglicherweise aus einem der folgenden Gründe:

Sie sind Schülerin oder Schüler und möchten ein fundiertes Verständnis von Brüchen erlangen, sei es zur Erledigung von Hausaufgaben oder zur Vorbereitung auf einen bevorstehenden Test.

Sie sind ein Erwachsener, der Klarheit über bestimmte Aspekte von Brüchen sucht, um Unsicherheiten auszuräumen und sicherzustellen, dass die Mathematik Ihre Bildungs- oder Karriereziele nicht behindert.

Sie sind Eltern, Verwandte oder Freunde einer Person aus einer der oben genannten Gruppen und möchten diese bei der Bewältigung von Bruchrechnungen unterstützen.

Unabhängig von Ihrem Beweggrund, dieses Buch zu lesen, möchte ich versuchen, Ihnen bestmöglich zu helfen. Vorausgesetzt, Sie verfügen über ein grundlegendes Verständnis von Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division mit ganzen Zahlen, sollten Sie startklar sein. Hier ist ein kurzer Test, um zu überprüfen, ob Sie bereit sind:

8 + 4 = ____________

14 − 7 = __________

7 × 5 = ___________

30 ÷ 6 = __________

Wenn Sie diese vier Fragen beantworten können (die Antworten lauten 12, 7, 35 und 5), sind Sie bereit.

In diesem Buch verwendete Symbole

Im gesamten Buch begegnen Ihnen die folgenden Symbole, die Ihnen die Navigation erleichtern.

Dieses Symbol kennzeichnet wichtige Informationen, die Sie verstehen und sich einprägen sollten. Vergewissern Sie sich, dass Sie diese Inhalte verinnerlicht haben, bevor Sie fortfahren. Sie können diese Symbole auch nutzen, um sich auf einen Test vorzubereiten.

Tipps bieten einfachere und in der Regel schnellere Wege, um Probleme zu lösen. Schauen Sie sie sich an, um die Übungsaufgaben leichter zu bewältigen.

Dieses Symbol warnt Sie vor häufigen Fehlern, die aus Unachtsamkeit geschehen. Achten Sie darauf und handeln Sie mit Bedacht!

Übungsaufgaben bieten Ihnen die Gelegenheit, die neu erlernten Kenntnisse anzuwenden und zu überprüfen, ob Sie sie vollständig verstanden haben. Sollten Sie auf Schwierigkeiten stoßen, blättern Sie einfach zum Ende des Kapitels, wo die Antworten auf die Fragen auf Sie warten – in einigen Fällen sogar mit einer schrittweisen Anleitung zur Lösung.

Materialien zum Buch

Bruchrechnen für Dummies ist nicht nur ein Buch, sondern darüber hinaus habe ich mehrere englischsprachige YouTube-Playlists erstellt, die Ihnen bei der Arbeit mit Brüchen Unterstützung bieten können. Sie finden diese unter den folgenden Links:

Mathematik – Brüche 1:

https://tinyurl.com/5yh7dcpc

Mathematik – Brüche 2:

https://tinyurl.com/y9x6nmn7

Mathematik – Brüche 3:

https://tinyurl.com/4vkvj2cj

Wie geht es weiter?

Sie können dieses Buch auf vielfältige Weise nutzen. Wenn Sie es in Ruhe lesen, ohne den Druck von Hausaufgaben oder Tests, können Sie gerne am Anfang beginnen und sich Schritt für Schritt vorarbeiten.

Kapitel 1 bietet Ihnen einen umfassenden Überblick über Brüche, Dezimalzahlen und Prozentrechnung. In den Kapiteln 2 und 3 werden verschiedene Fähigkeiten vermittelt, die Ihnen auf vielfältige Weise zum Erfolg verhelfen können.

Wenn Sie jedoch gleich jetzt dringend Informationen benötigen, um mit Ihrem aktuellen Mathematikunterricht Schritt zu halten, können Sie im Index oder Inhaltsverzeichnis nachschlagen und direkt zu dem entsprechenden Thema springen. In jedem Kapitel gebe ich mein Bestes, um Sie in das jeweilige Thema einzuführen, und stelle zahlreiche durchgerechnete Beispiele bereit, damit Sie nicht nur verstehen, was Sie wissen müssen, sondern auch, wie Sie es selbst anwenden können.

Egal, in welcher Reihenfolge Sie dieses Buch lesen, ich verspreche Ihnen, dass Sie auf jeder Seite wertvolle Informationen finden werden, die Ihr Verständnis von Brüchen vertiefen.

Teil I

Überblick über Brüche, Dezimalzahlen und Prozentzahlen

IN DIESEM TEIL …

Sich mit Brüchen, Dezimalzahlen und Prozentzahlen vertraut machenDie für die Arbeit mit Brüchen benötigten Grundrechenarten auffrischenMit Faktoren und Vielfachen als wichtigen Bestandteilen von Brüchen arbeiten

Kapitel 1

Was sind Brüche, Dezimalzahlen und Prozentsätze?

IN DIESEM KAPITEL

Brüche als Quotient aus Zähler und Nenner darstellenDas Stellenwertsystem bei Dezimalzahlen anwendenProzentsätze als Anteile von Hundert verstehenTeilmengen eines Ganzen durch Brüche, Dezimalzahlen oder Prozentsätze darstellen

Willkommen auf Ihrer Reise in die faszinierende Welt der Brüche! Wenn Sie dieses Buch in die Hand nehmen, fühlen Sie sich möglicherweise etwas unsicher im Umgang mit Brüchen. Das ist vollkommen verständlich, denn viele Menschen empfinden Brüche als Herausforderung. Doch die gute Nachricht ist: Wie alle neuen Kenntnisse ist auch der Umgang mit Brüchen erlernbar. So wie Sie vielleicht gelernt haben, das Gleichgewicht zu halten, um Fahrrad zu fahren, oder die Regeln eines neuen Spiels verinnerlicht haben, können Sie auch die Konzepte und Berechnungen rund um Brüche meistern. Mit Geduld, Übung und der richtigen Anleitung werden Sie bald sicher im Umgang mit Brüchen sein.

Dieses Buch ist Ihr freundlicher Begleiter auf der Entdeckungsreise durch die Welt der Brüche sowie ihrer engen Verwandten, den Dezimalzahlen und Prozenten. Ich werde Ihnen die Grundlagen vermitteln und erklären, was Brüche sind und warum sie von Bedeutung sind. Zudem unterstütze ich Sie dabei, Probleme Schritt für Schritt anzugehen, und biete Ihnen zahlreiche Beispiele, hilfreiche Tipps und Ermutigungen auf Ihrem Weg. Mein Ziel ist es, dass Sie sich bei der Arbeit mit Brüchen niemals verloren oder überfordert fühlen.

Denken Sie daran, dass jeder in seinem eigenen Tempo lernt. Nehmen Sie sich also die Zeit, die Sie brauchen, stellen Sie Fragen und scheuen Sie sich nicht, Fehler zu machen – das gehört zum Lernen dazu. Mit der Unterstützung, die Ihnen dieses Buch bietet, werden Sie nicht nur Brüche besser verstehen, sondern vielleicht auch feststellen, dass sie gar nicht so beängstigend sind.

Ein erster Blick auf Brüche

Auf einer grundlegenden Ebene ermöglichen Brüche, Teile eines Ganzen darzustellen. Stellen Sie sich vor, Sie schneiden eine Pizza in acht gleich große Stücke. Wenn Sie eines der acht Stücke essen, haben Sie den achten Teil der Pizza gegessen – oder der Pizza. Das ist ein Bruch! Brüche helfen uns, Teile eines Ganzen zu verstehen und damit zu arbeiten, egal, ob es sich um Lebensmittel, Zeit, Geld oder andere Dinge handelt, die in gleich große Teile geteilt werden können.

In den folgenden Abschnitten werde ich erklären, wie Brüche funktionieren, wie man sie liest und schreibt, wie man sie in Berechnungen verwendet und warum sie so nützlich sind.

Verstehen, wie Brüche funktionieren

Bei Brüchen werden zwei Zahlen verwendet, um anzugeben, wie viel von einem Gegenstand übrig bleibt, nachdem man ihn in gleich große Teile geteilt hat. Wenn Sie zum Beispiel einen Schokoriegel in 4 gleich große Stücke teilen und dann 3 Stücke essen, lautet der Bruch, der angibt, wieviel Sie gegessen haben: