David Hilbert E-Book

Encyclopaedia Universalis

• Herausgeber: Encyclopaedia Universalis
• Kategorie: Bildung
• Sprache: Französisch

Seitenzahl: 69

Veröffentlichungsjahr: 2016

Beschreibung

Le mathématicien allemand David Hilbert a ouvert la voie à plusieurs générations de chercheurs et a joué un rôle important dans l'élaboration des idées, non seulement dans sa spécialité, mais dans le cadre d'une réflexion générale sur la science. Alors que sa contribution à la physique a été un...

Leseprobe

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ISBN : 9782341003735

© Encyclopædia Universalis France, 2016. Tous droits réservés.

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David Hilbert

Introduction

Le mathématicien allemand David Hilbert a ouvert la voie à plusieurs générations de chercheurs et a joué un rôle important dans l’élaboration des idées, non seulement dans sa spécialité, mais dans le cadre d’une réflexion générale sur la science.

Alors que sa contribution à la physique a été un simple épisode, Hilbert a été, avec H. Poincaré, le mathématicien qui a exercé la plus forte influence de 1900 à 1950, et son nom est associé à de nombreux termes mathématiques et théorèmes (espace de Hilbert, symbole de Hilbert en théorie des nombres, théorème des zéros de Hilbert, théorème fondamental de Hilbert, etc.). Ses recherches et ses découvertes recouvrent un vaste domaine s’étendant de la théorie des invariants à la métamathématique et à la théorie de la démonstration, en passant par la théorie du corps de classes, la géométrie algébrique, le calcul des variations et les équations intégrales. La formulation par Hilbert en 1900 des vingt-trois célèbres problèmes alors ouverts en mathématique allait jouer un rôle prophétique pendant tout le XXe siècle.

1. Sa vie et son œuvre

• Éléments biographiques

Né le 23 janvier 1862 à Königsberg, Hilbert y passa pratiquement toute sa vie d’écolier et d’étudiant jusqu’à la soutenance de sa thèse en 1884. C’est l’université Albert de cette même ville qui, pendant plus de dix ans – de sa nomination comme privat-docent (1886) à celle de professeur titulaire, où il succéda à A. Hurwitz en 1892, puis à F. Lindemann en 1893 –, a constitué le premier cadre de sa carrière scientifique. Appelé à Göttingen en 1895 pour y remplacer H. Weber, Hilbert, aux côtés de R. Courant, F. Klein, E. Landau et H. Minkowski, fit de cette université un « centre mondial des mathématiques » (N. Wiener), dont l’activité fut interrompue brutalement par les persécutions nazies et l’expulsion des collaborateurs et des élèves de Hilbert – israélites pour la plupart. Après sa retraite en 1930, Hilbert se consacra presque exclusivement aux fondements des mathématiques, domaine dans lequel il avait ouvert la voie du « formalisme ».

Hilbert a été témoin du succès de ses idées scientifiques et lorsqu’il mourut à Göttingen, le 14 février 1943, ses conceptions et ses techniques étaient devenues depuis longtemps les outils de base des spécialistes.

• Algèbre et théorie des nombres

Théorie des invariants

Hilbert avait consacré sa thèse à la théorie des invariants et ce domaine est resté un de ses thèmes principaux de recherche jusqu’en 1893. Les prédécesseurs de Hilbert (de Cayley à Gordan) avaient trouvé la « méthode symbolique », c’est-à-dire un procédé mécanique de construction de tous les invariants et avaient constaté, dans les quelques cas particuliers où le calcul pouvait être mené à bout, que tous les invariants sont des polynômes d’un nombre fini d’entre eux, mais ils ne savaient pas montrer ce résultat a priori dans tous les cas. En un temps très court, Hilbert obtint de profonds théorèmes qui décrivaient complètement les structures algébriques en jeu. Ces théorèmes mettaient en évidence des conditions de finitude dans les anneaux de polynômes et ont été le point de départ de disciplines nouvelles comme la théorie des idéaux de polynômes (à l’origine de la théorie axiomatique des idéaux développée par E. Noether) ou la géométrie algébrique.

Sous sa forme classique, on peut formuler ainsi le problème. On considère l’espace des polynômes homogènes :

de degré donné p à m variables, qui dépendent donc de :

coefficients ; cet espace s’identifie donc à CN. Soit alors s une transformation linéaire de déterminant égal à 1 dans l’espace des m variables x1, ..., xm ; on en déduit une transformation linéaire U(s) dans l’espace CN, au polynôme f correspondant le polynôme fs défini par :

on dit alors que le polynôme f est un invariant si :

pour toute transformation unimodulaire s. Sous les hypothèses précédentes, les invariants forment un anneau. On peut généraliser la situation en considérant, à la place du groupe des transformations unimodulaires, un groupe G abstrait et une représentation linéaire s ↦ U(s) de G dans l’espace CN (cf. GROUPES – Représentation linéaire des groupes, Groupes de Lie).

Les principaux résultats obtenus par Hilbert sont les suivants. Tout d’abord, les invariants ont une base entière finie ; cela signifie que l’on peut trouver un nombre fini d’invariants f1, ..., fp tels que tout invariant s’exprime comme un polynôme en f1, ..., fp. On appelle alors relation entre ces invariants fondamentaux tout polynôme F(z1, ..., zp) tel que :

le second théorème de Hilbert affirme alors que les relations forment un idéal de type fini dans l’anneau des polynômes à p variables, c’est-à-dire qu’on peut trouver des relations F1, ..., Fq telles que toute relation F s’exprime sous la forme :

ces syzygies forment un module engendré par un nombre fini de ses éléments, et on peut introduire des syzygies de second ordre, etc. Le troisième théorème de Hilbert affirme qu’il existe un entier r à partir duquel il n’y a plus que la syzygie nulle. Cette idée de « dévisser » ainsi les relations entre générateurs d’un idéal, ou plus généralement d’un module, s’est révélée très fructueuse et est à la base de l’algèbre homologique ; là encore la condition de finitude obtenue par Hilbert joue un rôle théorique essentiel.

Dans son interprétation géométrique, le théorème fondamental est l’outil adapté à l’étude des ensembles algébriques et, joint au célèbre Nullstellensatz de Hilbert, est à l’origine de la géométrie algébrique abstraite.

Citons enfin, dans une direction un peu différente, le théorème d’irréductibilité de Hilbert : Si P(x, t) est un polynôme de deux variables, à coefficients rationnels, irréductible sur le corps des nombres rationnels, il existe une infinité de valeurs rationnelles t0 de t telles que le polynôme d’une variable P(x, t0) soit irréductible sur le corps des nombres rationnels.

Théorie des nombres

Après avoir ainsi clos de manière si complète la théorie des invariants, Hilbert se tourne vers la théorie des nombres algébriques. Sa première contribution importante est la théorie des corps de Galois relatifs K sur un corps donné k de nombres algébriques, dans lequel il décrit, à partir des propriétés du groupe de Galois de K sur k, la manière dont les idéaux premiers de k se décomposent dans K (cf. théorie des NOMBRES - Nombres algébriques).

Mais les recherches de Hilbert allaient devenir systématiques. En 1893, l’Union des mathématiciens allemands demande à Hilbert et à H. Minkowski de donner un résumé de la théorie des nombres algébriques. En moins de trois ans, Hilbert élabora un volumineux rapport, Die Theorie der algebraischen Zahlkörper, où il exposait avec d’importantes simplifications tous les résultats connus antérieurement depuis Kummer, Dirichlet, Dedekind et Kronecker, auxquels il ajoutait de nombreux résultats nouveaux. Son intention déclarée était de donner des démonstrations « dont les principes soient susceptibles d’être généralisés et d’être le plus utiles possible pour les recherches ultérieures » ; c’est ainsi que les notations et la terminologie de Hilbert sont encore utilisées de nos jours. Par ses résultats, il fondait la théorie générale des corps abéliens relatifs et la théorie du corps de classes, qui avait déjà été abordée dans un cas particulier par Leopold Kronecker. Il introduisit le symbole de restes normiques (symbole de Hilbert : cf. DIVISIBILITÉ) et énonça la formule générale de réciprocité en termes de ce symbole. Il ouvrait ainsi la voie aux recherches de Teiji Takagi, Emil Artin, Claude Chevalley et bien d’autres, qui confirmèrent presque toutes les conjectures qu’il avait lui-même formulées avec une prescience divinatoire.

Indiquons aussi une démonstration nouvelle très simple de la transcendance des nombres e et π (1893) et la première démonstration de la célèbre conjecture, formulée par Waring en 1782, affirmant que, pour tout entier n