Équations différentielles E-Book

Encyclopaedia Universalis

• Herausgeber: Encyclopaedia Universalis
• Kategorie: Bildung
• Sprache: Französisch

Seitenzahl: 68

Veröffentlichungsjahr: 2016

Beschreibung

Les équations différentielles sont apparues historiquement tout au début du développement de l'analyse, en général à l'occasion de problèmes de mécanique ou de géométrie. Si, dans les premières investigations, l'on s'attachait surtout à en calculer les solutions au moyen de fonctions déjà connue...

Leseprobe

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ISBN : 9782341003285

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Équations différentielles

Introduction

Les équations différentielles sont apparues historiquement tout au début du développement de l’analyse, en général à l’occasion de problèmes de mécanique ou de géométrie. Si, dans les premières investigations, l’on s’attachait surtout à en calculer les solutions au moyen de fonctions déjà connues, très vite ce point de vue s’affirma trop étroit ; c’est qu’en effet le problème fondamental de la théorie des équations différentielles est de déduire les propriétés des solutions d’une équation ou d’un système donné de la forme analytique de ceux-ci ; or, en général, les équations qui résultent d’une investigation théorique en mathématiques ou en physique ne sont pas explicitement intégrables et constituent, bien souvent, la principale source pour la définition de nouvelles fonctions dont les propriétés peuvent être prévues par une analyse systématique de grandes classes d’équations ou de systèmes.

On développera, dans les quelques rubriques qui suivent, les méthodes propres à mettre en évidence l’existence de solutions sous des conditions appropriées et à en étudier les propriétés les plus fondamentales.

1. Les systèmes différentiels linéaires dans le champ réel

On se propose d’étudier l’existence et les propriétés des solutions du système différentiel linéaire :

pour i, j = 1, 2, ..., n, où les fonctions aij(t), bi(t ) de la variable réelle t sont à valeurs réelles ou complexes. Introduisant la matrice n × n, c’est-à-dire à n lignes et à n colonnes, A(t ) = (aij(t )), et les vecteurs x = (x1, x2, ..., xn), b = (b1, b2, ..., bn), on peut écrire au lieu de (1) :

On notera que toute équation différentielle linéaire d’ordre n :

u(j) désignant la dérivée d’ordre j de la fonction u(t ) peut être ramenée à la forme (1) ou (2) au moyen de substitutions x1u, x2u′, ..., xnu(n-1), la matrice A et le vecteur b étant alors définis par :

• Existence des solutions

Un premier résultat fondamental est donné par le théorème suivant : Le système

où A(t ) est une matrice n × n fonction continue de t ∈ [0, t0] et où c est un vecteur donné, a une solution unique x(t ) définie pour t ∈ [0, t0].

Il faut souligner qu’à l’équation (4) on a adjoint la condition initiale (5) ; on obtient ainsi un résultat d’existence et d’unicité.

On notera qu’au système (4), (5) on peut substituer l’équation intégrale équivalente :

qui se prête fort bien au calcul d’approximations successives inventé par Picard :

avec x0c (cf. espaces MÉTRIQUES, chap. 7).

On établit la convergence de la suite xm(t ) vers une fonction x(t ) ; on montre ensuite que x(t ) est solution de (4), (5) et qu’il y a unicité.

Le même type d’argument permet d’établir le théorème suivant : Le système

où A(t) est une matrice n × n fonction continue de t ∈ [0, t0], et D une matrice n × n constante donnée, a une solution, matrice n × n, X(t ), unique pour t ∈ [0, t0].

On réservera, dans la suite, la notation X(t ) à cette solution quand on prend pour D la matrice identité I, et l’on dira que X(t ) est la matrice résolvante. Le théorème de Jacobi montre que :

ainsi la matrice X(t ) est toujours inversible.

Il est clair que la solution du système (4), (5) peut être représentée par x(t ) = X(t )c.

En prenant pour c les éléments de la base de l’espace vectoriel Rn ou Cn, on obtient n solutions de (4), qui sont les vecteurs dont les composantes sont inscrites successivement dans les colonnes de X(t ). Puisque det X(t ) ≠ 0, les vecteurs sont indépendants quel que soit t. D’ailleurs, si l’on dispose de n solutions indépendantes à l’instant t = 0, elles le demeurent pour tout t : on dira que c’est un système fondamental de solutions. Enfin, il ne peut exister plus de n solutions indépendantes.

Dans le cas de l’équation différentielle (3), supposée homogène (b(t ) = 0), les n solutions u1, u2, ..., un sont indépendantes si, et seulement si, le déterminant de Wronski :

est ≠ 0 pour tout t. Il suffit que cela soit vrai pour une valeur particulière de t.

• L’équation linéaire non homogène

L’équation linéaire non homogène est l’équation :

Toute solution de (8) où A(t ) et w(t ) sont respectivement une matrice n × n et un vecteur fonction continue donnée de t ∈ [0, t0] et c un vecteur constant peut être recherchée sous la forme : x = X(t ) y, où X(t ) est la matrice résolvante de (7).

Il est aisé de voir que (8) conduit à :

système qui a la solution unique :

d’où, pour (8), la solution unique :

• Le cas des systèmes à coefficients constants

Si A est une matrice à éléments indépendants de t, la matrice résolvante X(t ) peut être représentée par la série convergente :

On pourra introduire sur l’espace vectoriel des matrices carrées n × n la norme définie par :

avec la topologie correspondante, on peut s’assurer que la série (9) converge uniformément par rapport à t sur tout intervalle fini, et satisfait (7). Par le théorème d’unicité on montre aisément que :

ce qui, avec (9), suggère la définition :

Il est connu que les puissances entières successives d’une matrice ne sont pas indépendantes ; si f (λ) est le polynôme caractéristique f (λ) = det (A − λI), on a f (A) = 0. Cela suggère que l’on peut donner à X(t ) une structure plus simple.

Pour tout nombre complexe λ, il existe un entier ν, le plus petit entier ≥ 0 tel que :

ν = 0 si, et seulement si, λ n’est pas valeur propre de la matrice A. Si λ est valeur propre, ν est au plus égale à l’ordre de multiplicité algébrique de λ. Soit λ1, ..., λk, avec k ≤ n, les valeurs propres distinctes de A, et soit :

les sous-espaces Mj sont sans élément commun autre que 0 et leur somme directe est Cn ; on introduit les opérateurs de projection Ej par la formule Ejxxj, où xx1 + x2 + ... + xk, xj ∈ Mj (décomposition spectrale). On établit que ces opérateurs permutent avec A et que :

est la matrice résolvante de (7).

Cette formule fondamentale montre que les éléments de la matrice X(t ) sont des sommes de produits d’exponentielle eλjt par un polynôme en t dont le degré est inférieur à l’indice νj de λj, donc a fortiori à l’ordre de multiplicité algébrique de λj. On voit que les solutions de dX/dt = Ax convergent toutes vers 0 quand t → + ∞ si et seulement si les valeurs propres de la matrice A ont toutes leur partie réelle négative.

• Le cas des systèmes à coefficients périodiques. La théorie de Floquet

Si X(t ) est la matrice résolvante de :

où P(t ) est une matrice n × n continue et périodique de période T par rapport à t, X(t + T) vérifie (11) et en vertu du théorème d’unicité : X(t + T) = X(t ) X(T). Comme X(T) est non singulière, il existe une matrice constante B telle que X(T) = eBT. La matrice Q(t ) = X(t )e-Bt est périodique de période T et on obtient la représentation : X(t ) = Q(t )e-Bt. Les valeurs propres de la matrice B sont les coefficients caractéristiques de la matrice périodique P(t ) ; il faut et il suffit qu’ils soient tous à partie réelle négative pour que toute solution de dx/dt = P(t )x tende vers 0 quand t → + ∞.

• Stabilité des solutions

Revenons au cas général dx/dt = A(t )x, où A(t ) est une matrice fonction continue de t ∈ [0, + ∞] ; il est souvent utile de connaître certaines propriétés asymptotiques de la solution, par exemple, de savoir si elles demeurent bornées ou tendent vers 0 quand t → + ∞. Pour conduire cette étude on utilise en général des méthodes de comparaison et, à cette fin, on peut introduire un concept de stabilité du genre suivant : les solutions de dx/dt = A(t )x seront dites stables par rapport à une propriété P et une classe F de matrices B(t ) si les solutions de dx/dt = (A(t ) + B(t ))x ont toutes les propriétés P quel que soit B(t ) ∈ F. On peut illustrer ce concept en citant le théorème suivant : Si les solutions dx/dt