Jetzt lerne ich Mathematik für die Oberstufe - Marco Schuchmann - E-Book

Jetzt lerne ich Mathematik für die Oberstufe E-Book

Marco Schuchmann

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Beschreibung

Mit diesem Buch kann man die drei großen Themen der Oberstufe lernen, erlernen oder üben: Analysis, analytische Geometrie bzw. lineare Algebra und Stochastik. Dabei wird alles mit vielen Beispielen und Abbildungen erklärt. Die Beschreibungen orientieren sich an den Aufgaben- und Problemstellungen, wie sie in der Oberstufe an Gymnasien als auch an Fachoberschulen behandelt werden. Das Buch kann man auch zur Abiturvorbereitung verwenden, wenn man selbstständig noch mal den Stoff der Oberstufe aufarbeiten möchte. Es wurden viele Erklärungen, wichtige Hinweise für bestimmte Aufgabentypen, Aufgabenbeispiele mit Lösungstipps und Grafiken eingefügt. Bei allen Beschreibungen wurde darauf geachtet, dass diese für Schülerinnen und Schüler möglichst verständlich sind. Weitere Aufgaben, Beispiele und Erklärungen zum Buch sind auf der Seite www.mathe-total.de zu finden. Das Buch beginnt mit den Anwendungen der Analysis in der Oberstufe. Hier werden ebenso Grundlagen, wie die Bestimmung einer Geradengleichung, die quadratischen Ergänzung, die p-q-Formel und die Polynomdivision beschrieben, wie auch Anwendungen der Differentialrechung (Ableitungsregeln, Extrema, Wendepunkte, Tangentengleichungen, Kurvendiskussion, ) und der Integralrechnung (Flächen zwischen Kurven, partielle Integration, ). Einige Funktionstypen, wie beispielsweise gebrochenrationale Funktionen, werden auch ausführlich beschrieben (Polstellen, hebbare Definitionslücken, Asymptoten).Danach kommen wir zu den Anwendungen der analytischen Geometrie in der Oberstufe. Dabei beginnen wir mit Grundlagen, wie die Berechnung der Länge eines Vektors oder eines Mittelpunktes zweier Punkte und die Bestimmung von Geradengleichungen und Ebenengleichungen in Parameterformen. Danach wird die Untersuchung der Lagebeziehungen beschrieben, die Berechnung von Abständen und Schnittwinkel, die Umrechnung der verschiedenen Formen von Ebenengleichungen und die Berechnung von Flächen. Zuletzt kommen wir zu den Anwendungen der Stochastik in der Oberstufe. Hier werden Grundlagen der Kombinatorik beschrieben, die Erstellung von Wahrscheinlichkeitsbäumen, die Berechnung des Erwartungswertes und der Varianz, die Berechnung von Kenngrößen von Stichproben, bedingte Wahrscheinlichkeiten und Kreuztabellen, das Bernoulli-Experiment und die Binomialverteilung, die Berechnung der Sigma-Umgebung, die Durchführung von Hypothesentests und Grundlagen zur Normalverteilung.

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Vorwort

Mit diesem Buch kann man die drei großen Themen der Oberstufe lernen, erlernen oder üben: Analysis, analytische Geometrie bzw. lineare Algebra und Stochastik. Dabei wird alles mit vielen Beispielen und Abbildungen erklärt. Die Beschreibungen orientieren sich an den Aufgaben- und Problemstellungen, wie sie in der Oberstufe an Gymnasien als auch an Fachoberschulen behandelt werden. Das Buch kann man auch zur Abiturvorbereitung verwenden, wenn man selbstständig noch mal den Stoff der Oberstufe aufarbeiten möchte.

Es wurden viele Erklärungen, wichtige Hinweise für bestimmte Aufgabentypen, Aufgabenbeispiele mit Lösungstipps und Grafiken eingefügt. Bei allen Beschreibungen wurde darauf geachtet, dass diese für Schülerinnen und Schüler möglichst verständlich sind. Die Grafiken und auch die meisten hier beschriebenen Methoden können mit der Seite www.alles-mathe.de erstellt bzw. angewendet werden, um beispielsweise eigene Lösungen von Aufgaben zu überprüfen oder auch mal um eine Wertetabelle zu erstellen. Weitere Aufgaben, Beispiele und Erklärungen zum Buch sind auf der Seite www.mathe-total.de zu finden.

Begonnen wird mit den Anwendungen der Analysis in der Oberstufe. Hier werden ebenso Grundlagen, wie die Bestimmung einer Geradengleichung, die quadratischen Ergänzung, die p-q-Formel und die Polynomdivision beschrieben, wie auch Anwendungen der Differentialrechung (Ableitungsregeln, Extrema, Wendepunkte, Tangentengleichungen, Kurvendiskussion,…) und der Integralrechnung (Flächen zwischen Kurven, partielle Integration,…). Einige Funktionstypen, wie beispielsweise gebrochenrationale Funktionen, werden auch ausführlich beschrieben (Polstellen, hebbare Definitionslücken, Asymptoten).

Im Herbst 2012

Dr. Marco Schuchmann     

(e-mail: [email protected])

Inhalt

1 ANALYSIS

1.1 Geraden

1.1.1 Untersuchung linearer Funktion

1.1.2 Bestimmung der Geradengleichung

1.1.3 Schnittpunkte und Schnittwinkel

1.2 Parabeln

1.2.1 Nullstellen

1.2.2 Scheitelpunkt und Scheitelform

1.2.3 Bestimmung der Funktionsgleichung einer Parabel

1.3 Polynome oder ganzrationale Funktionen

1.4 Gebrochenrationale Funktionen

1.5 Exponentialfunktionen

1.6 Differentialrechnung

1.6.1 Tangenten und Normalen

1.6.2 Regeln zur Differentialrechnung

1.6.3 Extremwerte

1.6.4 Wendepunkte

1.6.5 Kurvendiskussion

1.7 Integralrechnung

1.7.1 Flächen berechnen

1.7.2 Partielle Integration und Substitution

1.8 Funktionen über Angaben bestimmen

2 ANALYTISCHE GEOMETRIE

2.1 Grundlagen

2.1.1 Vektoren

2.1.2 Länge eines Vektors und Abstand von zwei Punkten

2.1.3 Skalarprodukt und Winkel zwischen Vektoren

2.1.4 Flächenberechnung

2.1.5 Lineare Unabhängigkeit

2.1.6 Lösen linearerer Gleichungssysteme mit dem Gauß-Algorithmus

2.2 Geraden

2.2.1 Geradengleichung

2.2.2 Lagebeziehung zwischen Geraden, Schnittpunkt, Schnittwinkel

2.2.3 Abstand Punkt Gerade

2.2.4 Abstand zweier Geraden

2.2.5 Spurpunkte

2.3 Ebenen

2.3.1 Ebenengleichung in Parameterform

2.3.2 Ebenengleichung in Koordinatenform / Normalform

2.3.3 Parameterform in Koordinatenform

2.3.4 Koordinatenform in Parameterform

2.3.5 Punktprobe Ebenen

2.3.6 Schnittpunkt Ebene / Gerade, Schnittwinkel

2.3.7 Spurpunkte bei Ebenen

2.3.8 Lagebeziehung Ebene / Ebene, Schnittgerade, Schnittwinkel

2.3.9 HNF, Abstand Punkt/Ebene, Lotfußpunkt

2.4 Kreise und Kugeln

2.5 Anwendungsaufgaben

2.5.1 Anwendungsaufgabe 1

2.5.2 Anwendungsaufgabe 2

3 STOCHASTIK

3.1 Grundlagen

3.1.1 Grundbegriffe

3.1.2 Wahrscheinlichkeitsbaum

3.2 Kombinatorik

3.3 Erwartungswert und Varianz

3.4 Stichproben und deren Kenngrößen

3.5 Bedingte Wahrscheinlichkeit, Kreuztabellen und Unabhängigkeit

3.6 Die Binomialverteilung

3.6.1 Bernoulli-Experiment und die Binomialverteilung

3.6.2 Approximation der Binomialverteilung über die Normalverteilung

3.6.3 Der Binomialtest

3.7 Die Tschebyscheff-Ungleichung

3.8 Aufgaben zur Stochastik

3.9 Anhang

3.9.1 Tabellen für P(X ≤ k), falls X mit den Parametern n und p binomialverteilt ist

3.9.2 Tabelle für Funktionswerte der Standardnormalverteilung Φ(x)

1   Analysis

1.1   Geraden

1.1.1   Untersuchung linearer Funktion

Der Graf einer Funktion der Form

ist eine Gerade.

Die waagrechte Achse ist im Folgenden immer die x-Achse (Abszisse) und die senkrechte Achse die y-Achse (Ordinate).

Nullstellen bestimmen:

Es sei m ≠ 0

Beispiel:

Mit der y-Achse: Sy(0; 4)

1.1.2   Bestimmung der Geradengleichung

Gegeben seien zwei Punkte P(x1; y1) und Q(x2; y2) und gesucht ist die Gleichung der Geraden durch diese zwei Punkte.

Beispiel:

Gegeben sind die Punkte P(-2; 4) und Q(1; 10). Gesucht ist die Gleichung der Geraden durch diese Punkte.

(2)     f(1) =   m + b  = 10

Es handelt sich hier um ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten.

Subtrahiert man die Gleichung (1) von der Gleichung (2), so „fällt b weg“:

Man könnte die Gleichung auch mit folgenden Formeln bestimmen:

Würde man die Formel im Beispiel von oben verwenden, so gilt:

Statt zwei Punkten könnte auch ein Punkt P(x1; y1) und die Steigung m gegeben sein. In diesem Fall kann man m und die Koordinaten des Punktes P direkt in (I) einsetzen.

Ein weiteres Beispiel:

a) Liegt P(1; 4) auf der Geraden f?

b) Bestimme die fehlenden Koordinaten der Punkte Q(3;?) und R(?; -4) auf der Geraden f.

1.1.3   Schnittpunkte und Schnittwinkel

Stimmen die Steigungen zweier Geraden überein, so sind diese parallel zueinander. Sind die Achsenabschnitte verschieden, dann sind sie „echt parallel“ und haben auch keinen Schnittpunkt.

Schnittstellen bestimmt man allgemein durch Gleichsetzten beider Funktionsgleichungen.

Beispiel:

Also ist S(-1; 2) der Schnittpunkt.

Kommen wir nun zur Berechnung des Schnittwinkels:

Hier kann sich auch ein negativer Wert für α ergeben, falls die Gerade eine negative Steigung hat. In diesem Fall ergibt sich die Gerade durch Drehung der x-Achse in negativer Drehrichtung (d.h. mit dem Uhrzeigersinn) um die Nullstelle der Geraden. Der Schnittwinkel mit der x-Achse ist |α|.

Somit gilt für die Gerade f:

Und für die Gerade g:

Da αf > αg ist, ergibt sich der Schnittwinkel durch:

Für αf ≤ αg wäre dieser gleich αg - αf, oder allgemein:

Nun ist noch eines zu beachten: Wenn sich bei dieser Berechnung ein Winkel größer als 90° ergibt, so gibt man 180° - α als Schnittwinkel an, d.h. in unserem Beispiel beträgt dieser ca. 71,57°.

Den Schnittwinkel könnte man auch mit der folgenden Formel berechnen, wenn m1 die Steigung der Geraden f und m2 die Steigung der Geraden g ist:

Bemerkung:

Beispiele zu orthogonalen Geraden:

Für den Abstand d von zwei Punkten P(x1; y1) und Q(x2; y2) gilt allgemein (die Formel ergibt sich über Pythagoras, siehe Grafik):

Im Beispiel ist der Abstand von P und Q bzw. der Abstand von f zu P:

In der unteren Grafik (von www.alles-mathe.de) wird der Schnittpunkt der beiden Geraden f und g mit F, für Fußpunkt des Lotes, bezeichnet.

1.2   Parabeln

Für a > 0 ist die Parabel nach oben und für a < 0 nach unten geöffnet.

1.2.1   Nullstellen

Somit kann man jede quadratische Gleichung auf die Form

bringen.

Wir betrachten zunächst Beispiele, bei denen man noch relativ einfach die Nullstellen bestimmen kann.

Beispiele:

Hätte auf der rechten Seite -16 gestanden, so hätte f keine Nullstellen, denn es gibt keine reelle Zahl, die mit sich selbst multipliziert -16 ergibt.

Somit haben wir zwei Nullstellen und die x-Achse wird in den Punkten N1(4; 0) und N2(-4; 0) vom Graf von f geschnitten.

Hier kann man x ausklammern:

Nun ist ein Produkt gleich Null, wenn ein Faktor Null ist, also ist

Ist b ≠ 0 und c ≠ 0, so muss man einen Trick anwenden, oder die so genannte p-q-Formel verwenden.

Beispiel:

Wir haben die Gleichung zur Bestimmung der Nullstelle zunächst auf die Form

gebracht. Nun zeigen wir zunächst, wie man die Gleichung mit einer quadratischen Ergänzung gelöst werden kann (wie in der Mittelstufe, bevor die p-q-Formel hergeleitet wurde). Danach wenden wir direkt die p-q-Formel an (wie es in der Oberstufe üblich ist).

Bemerkungen zur quadratischen Ergänzung:

Hätte man keine Formel, wie die p-q-Formel, die wir gleich herleiten werden, dann müsste man diese Gleichung durch eine quadratische Ergänzung lösen:

Dies kann man mit einem Trick erreichen, indem man 4 addiert und 4 subtrahiert:

Man hätte hier auch, da es sich um eine Gleichung handelt, auf beiden Seiten 4 addieren können. Nun kann man einen Teil der Gleichung als Binom schreiben:

Nun muss man nicht jedes mal eine quadratische Ergänzung durchführen, man kann auch die p-q-Formel verwenden, die sich auch aus einer quadratischen Ergänzung ergibt:

Herleitung:

Also gilt:

Es ergibt sich:

Nun sind drei Fälle denkbar:

Fall (p/2)2 - q > 0:

Hier gibt es zwei Lösungen der quadratischen Gleichung bzw. zwei Nullstellen.

Hier gibt es eine Lösungen der quadratischen Gleichung bzw. eine (doppelte) Nullstellen, an der der Graf die x-Achse berührt.

Fall (p/2)2 - q < 0:

Hier gibt es keine Lösungen der quadratischen Gleichung bzw. keine Nullstellen.

Anwendung der p-q-Formel im Beispiel:

1.2.2   Scheitelpunkt und Scheitelform

Der Scheitelpunkt einer Parabel ist der tiefste oder höchste Punkt auf der Parabel, je nachdem ob diese nach oben oder nach unten geöffnet ist. In der Oberstufe kann der Scheitelpunkt über die Differentialrechnung einfach bestimmt werden, indem man die erste Ableitung Null setzt. In der Mittelstufe muss hierzu die Scheitelform

einer Parabel bestimmt werden. An dieser kann der Scheitelpunkt S(xs; ys) direkt abgelesen werden. Ist eine Parabel in der Form

gegeben, so muss dies erst in die Scheitelform gebracht werden. Hier gilt:

In der Mittelstufe wird dieser Schritt für Schritt über die quadratische Ergänzung bestimmt.

Beispiele:

Nun kann man einen Teil der Gleichung als Binom schreiben:

Falls a ≠ 0 ist, dann muss zunächst a ausgeklammert und in der Klammer die quadratische Ergänzung durchgeführt werden.

Beispiel:

Wir klammern 2 vor, wobei wir die Konstante 8 auch außerhalb der Klammern stehen lassen können (in kursiv ist die quadratische Ergänzung zu sehen):

     = 2[x2 – 6x + (6/2)2 - (6/2)2] + 8

     = 2[(x – 3)2 – 9] + 8

     = 2(x – 3)2 - 10

1.2.3   Bestimmung der Funktionsgleichung einer Parabel

Kennt man beispielsweise zwei Nullstellen, so ist es relativ einfach, die Parabelgleichung zu findenden, denn es gilt:

Beispiel:

Ist a beliebig, dann benötigt man einen weiteren Punkt um a bestimmen zu können.

Beispiel:

Es gilt:

Also ist

Eine weitere Möglichkeit wäre, dass der Scheitelpunkt bekannt ist und ein weiterer Punkt gegeben ist.

Beispiel:

Eine Parabel hat den Scheitelpunkt S(1; 4) und geht durch den Punkt P(3; 12).

Die Scheitelform ist:

Nun bestimmen wir noch a:

Oder ausmultipliziert:

      = 2(x2 – 2x + 1) + 4

      = 2x2 – 4x + 6

Als letztes Beispiel nehmen wir den Fall, dass drei beliebige Punkte der Parabel bekannt sind. In diesem Fall muss man ein Gleichungssystem mit drei Unbekannten a, b und c lösen.

Beispiel:

Eine Parabel verläuft durch die folgenden Punkte A(-2; -6), B(2; 10) und C(-1; 4).

Nun entscheidet man sich für eine Variable (z.B. c), die man eliminieren möchte und addiert/subtrahiert vielfache einer Gleichung zu/von einer anderen. Dabei macht man zunächst aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Wäre ein Punkt z.B. (0;…) gewesen, so hätte man bereits mit einer Gleichung schon den Wert von c und könnte diesen in die anderen beiden einsetzen.