Mathematik verstehen Band 1 - Werner Fricke - E-Book

Mathematik verstehen Band 1 E-Book

Werner Fricke

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Beschreibung

Dieses Buch kann für jeden Schüler einer weiterführenden Schule als begleitende Lektüre verwendet werden. Aber es ist auch für Lehrer geeignet, die sich mit meiner Darstellung des mathematischen Stoffes anfreunden können. Weiterhin ist dieses Buch für alle gedacht, die sich mit der mathematischen Materie auseinandersetzen müssen und eben nicht über die Gabe verfügen, komplizierte mathematische Zusammenhänge sofort zu durchschauen. Außerdem kann dieses Buch auch als Nachschlagewerk und in gewissen Grenzen auch als Begleitung für ein Studium mit physikalisch-technischem Hintergrund verwendet werden. Lösung von mathematischen Problemstellungen in kleinen, nachvollziehbaren Schritten, so dass dem Leser ein hohes Maß an Verständnis für die jeweilige Problemstellung vermittelt werden kann. Zunächst werden jeweils sehr einfache Beispiele für die Aufgabe angeführt, die dann nach und nach zu einer allgemeinen Lösung aufgebaut werden. Diese wird dann abgeleitet und durch weitere Beispiele untermauert.

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Vorwort

„Die Mathematik ist eine Mausefalle. Wer einmal in dieser Falle gefangen sitzt, findet selten den Ausgang, der zurück in seinen vormathematischen Seelenzustand leitet. ...“

So beginnt das Vorwort zu Egmont Colerus legendärem Lehrbuch der Mathematik für interessierte Nichtmathematiker: „Vom Einmaleins zum Integral (1934)“.

Als ich mich auf mein Studium vorbereiten wollte, fiel mir durch Zufall dieses Buch in die Hände. Nachdem ich zu lesen begonnen hatte, kam ich nicht mehr davon los und arbeitete das Buch in einem Zug durch. Ich muss sagen, dass ich nur selten eine derart klare, einfache und höchst verständliche Darstellung mathematischer Zusammenhänge gefunden habe. Leider ist dieses Buch nicht mehr erhältlich, so dass ich mich entschloss dem Vorbild zu folgen und eine möglichst verständliche und darüber hinaus flüssig lesbare Übersicht der Mathematik von den Grundlagen bis hin zum Integral zu erstellen. Ich bin sicher, dass dieses Buch für den mathematischen Laien eine große Hilfe sein kann, ein Verständnis mathematischer Zusammenhänge zu entwickeln.

Dieses Buch kann für jeden Schüler einer weiterführenden Schule als begleitende Lektüre verwendet werden. Ich hoffe auch, dass sich einige Lehrer mit meiner Darstellung des mathematischen Stoffes anfreunden können. Weiterhin ist dieses Buch für alle gedacht, die sich mit der mathematischen Materie auseinandersetzen müssen und eben nicht über die Gabe verfügen, komplizierte mathematische Zusammenhänge sofort zu durchschauen. Außerdem kann dieses Buch auch als Nachschlagewerk und in gewissen Grenzen auch als Begleitung für ein Studium mit physikalisch-technischem Hintergrund verwendet werden.

Egmont Colerus war Schriftsteller und arbeitete als Beamter im österreichischen Bundesamt für Statistik. Vielleicht gerade weil er kein Vollmathematiker war, musste er sich die mathematischen Zusammenhänge hart erarbeiten und konnte diese dann so deutlich darstellen. Auch ich bin kein Mathematiker, sondern Ingenieur des Maschinenbaus. Ich bin also keiner, der nach einem anfänglichen Ansatz mit den Worten:

„... und wie jeder deutlich erkennen kann, handelt es sich hierbei um...“

die Lösung eines mathematischen Problems aus dem Hut zaubert. Im Gegensatz dazu habe ich versucht, die mathematischen Problemstellungen in kleinen, nachvollziehbaren Schritten zu lösen, so dass dem Leser ein hohes Maß an Verständnis für die jeweilige Problemstellung vermittelt werden kann. Zunächst werden jeweils sehr einfache Beispiele für die Aufgabe angeführt, die dann nach und nach zu einer allgemeinen Lösung aufgebaut werden. Diese wird dann abgeleitet und durch weitere Beispiele untermauert.

Schwerte, im Frühjahr 2015

Werner Fricke

Inhaltsverzeichnis

Inhaltsübersicht Band 2

Fortgeschrittene Integralrechnung

Funktionen von mehreren unabhängigen Veränderlichen

Differentialgleichungen

Numerische Integration

Einführung in die lineare Algebra

Potenzreihenentwicklungen

Komplexe Zahlen

Inhaltsübersicht Band 3

Grundlagen der Kombinatorik

Permutation, Variation, Kombination

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Allgemeines, Laplace-Experimente, der Wahrscheinlichkeitsbaum, Definitionen, Regeln und Axiome, Wahrscheinlichkeitsverteilungen von Zufallsvariablen, Kenngrößen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen, Spezielle Verteilungen und ihre Kenngrößen

Grundlagen der Statistik

Einleitung, Merkmalsausprägungen, Analyse qualitativer Daten, beschreibende (deskriptive) Statistik, schließende Statistik, Regressionsanalyse

Statistische Tabellen

1 Grundlagen der Mengenlehre

1.1 Darstellung und Definition von Mengen

Unter einer Menge versteht man umgangssprachlich eine Ansammlung von Objekten oder Gegenständen, welche auch Elemente der Menge genannt werden. Sehr anschaulich ist z.B. die Menge der Menschen in einem Fußballstadion während eines Fußballspiels. In diesem Fall haben diese Objekte eine gemeinsame Eigenschaft, nämlich dass sie sich zur Zeit des Spiels im Stadion aufhalten. Es gibt allerdings auch Mengen, die völlig zusammenhanglos aufgestellt werden, z.B. die folgende Menge: {Fußball, Tisch, Hammer, Düsenflugzeug, Bakterie, Atom, Vakuum, Gedanke, Information}

Hier haben wir gleich eine Beschreibungsmöglichkeit für Mengen gefunden: Eine Menge wird beschrieben, indem man die Elemente der Menge als Aufzählung in geschweifte Klammern setzt.

Dies fällt bei einer Menge mit relativ wenigen Elementen noch leicht. Wenn wir z.B. die Menge der Menschen im besagten Fußballstadion so beschreiben wollten, dann hätten wir ein Problem. Hier würde man ersatzweise folgendermaßen schreiben:

Natürlich ist damit noch lange nicht die Gesamtanzahl der Elemente dieser Menge beschrieben, denn es gibt ja noch die Spieler, die Schiedsrichter, die Ersatzspieler, die Betreuer, die Ordner, die Kommentatoren und Berichterstatter, die Kameraleute, die technischen und organisatorischen Mitarbeiter, die Polizisten usw.

Der Begriff der Menge im mathematischen Sinne wurde von Georg Cantor in den Jahren 1874 bis 1897 begründet. Er definierte den Mengenbegriff wie folgt:

Definition des Mengenbegriffs nach Cantor

Unter einer „Menge“ verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die „Elemente“ von M genannt werden) zu einem Ganzen.

Interessant ist, dass auch Objekte des Denkens, also immaterielle Objekte, Elemente von Mengen sein können. In der Definition sind folgende Begriffe von besonderer Bedeutung:

Wohlunterschiedene Objekte:

Dies bedeutet, dass die Elemente einer Menge immer unterschiedlich und einzigartig sein müssen. Ein Element darf in einer Menge also nicht zweimal vorkommen. Eine Menge {Tisch, Tisch, Tisch} gibt es also nicht. Stattdessen gibt es die Menge {Tisch} mit genau einem Element. Dieses steht selbstverständlich als Stellvertreter für alle Tische.

Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens

Dies impliziert, dass Mengen nicht nur aus Zahlen oder Gegenständen gebildet werden können, sondern auch aus allen möglichen Begriffsbestimmungen auch immaterieller Art.

Zusammenfassung zu einem Ganzen

Dies besagt, dass die Elemente einer Menge zu einem abgeschlossenen Ganzen gehören.

Neben der Darstellung in geschweiften Klammern gibt es noch diejenige als Mengendiagramm. Diese ist besonders anschaulich und wird auch Euler-Venn-Diagramm oder auch kurz Venn-Diagramm genannt. Im Folgenden wollen wir einige grundlegende Eigenschaften von Mengen und deren Schreibweisen näher kennenlernen:

Bild 1: Darstellung von Mengen als Mengendiagramm

1.2 Die Mächtigkeit von Mengen

Hierunter versteht man die Anzahl der Elemente einer Menge. Bezeichnen wir eine Menge mit dem Buchstaben M, so schreibt man die Mächtigkeit von M wie folgt:

Analog dazu schreibt man die Mächtigkeit einer Menge K wie folgt:

Zahlende Zuschauer

80645

Spieler und Schiedsrichter

26

Ersatzspieler und Betreuer

30

(geschätzt)

Ordner

600

(geschätzt)

Rundfunk, Fernsehen, Presse, ...

100

(geschätzt)

technische und organisatorische Mitarbeiter

200

(geschätzt)

Polizisten

100

(geschätzt)

Mächtigkeit

Die Mächtigkeit der Menge der natürlichen Zahlen ist gleich unendlich. Nun werden wir neben den natürlichen Zahlen die Menge der ganzen Zahlen kennenlernen. Diese schreibt man wie folgt: ={...–2, –1, 0, 1, 2,...}

Jetzt können wir natürlich die Frage stellen: „Welche der beiden Mengen und ist mächtiger oder sind beide Mengen gleich mächtig?“

Auf den ersten Blick scheint die Antwort auf diese Frage leicht zu sein, besitzt doch die Menge zusätzlich zu den Zahlen 0, 1, 2, 3, … noch die Zahlen –1, –2, –3, …

Aber halt, ist denn 2 mal unendlich nicht auch gleich unendlich? Wenn ja, dann wären die beiden Mengen gleichmächtig.

Bild 2: Gleichmächtige unendliche Mengen

Deshalb führen wir jetzt ein anderes Kriterium für die Gleichmächtigkeit ein:

Zwei Mengen sind gleichmächtig, wenn man jedem Element der ersten Menge genau ein Element der zweiten Menge zuordnen kann.

Man nennt die Menge der natürlichen Zahlen auch eine abzählbar unendliche Menge. Dies gilt auch für jede zur Menge der natürlichen Zahlen gleichmächtige Menge.

Folgende Mengen sind gleichmächtig und abzählbar unendlich:

Menge der rationalen Zahlen Zur Menge der rationalen Zahlen gehören alle Zahlen , also auch die Menge der natürliche Zahlen . Trotzdem gehört diese Menge zu den abzählbaren Mengen, weil man jedem Element der Menge genau ein Element der Menge zuordnen kann.

Hier stellt sich natürlich gleich die Frage:

„Gibt es mächtigere Mengen als die Mengen mit abzählbar unendlichen Elementen?“

Nun, diese Frage können wir mit einem deutlichen „Ja“ beantworten, denn es gibt neben den Mengen mit abzählbar unendlichen Elementen auch noch die Mengen mit einer überabzählbar unendlichen Anzahl von Elementen. Betrachten wir hierzu die Menge der reellen Zahlen . Diese Menge umfasst alle Zahlen auf der sogenannten Zahlengeraden, also auch alle Zwischenwerte zwischen den rationalen Zahlen . Man kann nun nachweisen, dass zwischen zwei beliebig nahe beieinander liegenden rationalen Zahlen eine überabzählbar unendliche Anzahl von reellen Zahlen existiert. Die Menge der reellen Zahlen, die wir ebenso wie die anderen Zahlenmengen (,,*, ) im nächsten Kapitel kennenlernen werden, ist also überabzählbar unendlich und damit mächtiger als die Mengen mit abzählbar unendlichen Elementen.

Wir haben jetzt drei verschiedene Typen von Mengen kennengelernt (endlich, abzählbar unendlich, überabzählbar unendlich). Neben diesen drei Typen gibt es noch die sogenannte leere Menge. Damit ist einen Menge gemeint, die überhaupt kein Element enthält, vergleichbar mit einem leeren Behälter. Eine leere Menge schreibt man wie folgt: { } oder Ø

In der folgenden Übersicht sehen wir alle bisher behandelten Fälle von Mengen:

1.3 Beschreibung von Mengen durch ihre Eigenschaften

Bisher haben wir die behandelten Mengen durch Aufzählung oder durch eine verbale Umschreibung definiert. Man kann Mengen, insbesondere Zahlenmengen, aber auch durch die gemeinsamen Eigenschaften ihrer Elemente beschreiben. Im Folgenden wollen wir dies anhand von einigen Beispielen näher erläutern:

Bisher haben zur Mengenbeschreibung die etwas umständlichen Ausdrücke für die Zugehörigkeit benutzt, z.B.: „gehört zur Menge der ...“ oder ähnlich. In der Mathematik verwendet man hierfür folgendes Kürzel:

c ∈ M (gesprochen: c ist Element von M)

Unsere 4 Beispiele lassen sich jetzt wie folgt viel kürzer schreiben:

Neben dem Kürzel, welches die Zugehörigkeit zu einer bestimmten Menge beschreibt, gibt es umgekehrt auch ein Zeichen, welches die Nichtzugehörigkeit beschreibt:

c ∉ M (gesprochen: c ist kein Element von M)

1.4 Teilmengen, Unter-/Obermengen, Gleichheit von Mengen

Wie wir am Beispiel des Fußballstadions gut erkennen konnten, besteht eine Menge aus Teilmengen.

Gegeben sei z.B. die folgende bekannte Menge:

So ist sicherlich die Menge:

eine Teilmenge der Menge M. Für Teilmengen hat man folgende Schreibweise eingeführt:

B ⊂ M (gesprochen: B ist Teilmenge von M)

Definition einer Teilmenge

Diesen Sachverhalt kann man gut in einem Mengendiagramm darstellen:

Bild 3: Menge B als Teilmenge von M

Also gilt: Für für alle Mengen M

(gesprochen: für L gleich leere Menge folgt: L ist Teilmenge von M für alle Mengen M)

In der Literatur wird oft auch zwischen Teilmengen und echten Teilmengen unterschieden. Dabei versteht man unter einer echten Teilmenge, eine Teilmenge, die weniger Elemente enthält als die zugehörige Obermenge.

Definition einer Obermenge

Eine Menge M ist Obermenge von B, wenn jedes Element der Menge B auch in der Menge M enthalten ist.

M ⊃ B (gesprochen: M ist Obermenge von B)

Nicht Teilmengen

Eine Menge K ist nicht Teilmenge einer anderen Menge M, wenn nicht jedes Element der Menge K auch in der Menge L enthalten ist:

K ⊄ B (gesprochen: K ist nicht Teilmenge von M)

Gleichheit von Mengen

Wenn eine Menge K Teilmenge einer anderen Menge M ist und die Anzahl der Elemente (Mächtigkeit) beider Mengen identisch ist, dann sind die beiden Menge gleich, man schreibt: Wenn K ⊂ J und

(gesprochen:

Wenn K Teilmenge von J und Mächtigkeit von K gleich Mächtigkeit von J dann folgt K gleich J)

Man kann den Sachverhalt natürlich auch so formulieren:

Wenn eine Menge K Teilmenge einer anderen Menge J ist und wenn gleichzeitig die Menge J

Teilmenge der Menge K ist, dann sind die beiden Menge gleich, man schreibt:

(gesprochen: Wenn K Teilmenge von J und J Teilmenge von K dann folgt K gleich J)

Ungleichheit von Mengen

Die Ungleichheit von Mengen folgt aus der Negation der Gleichheit von Mengen. Man schreibt wie folgt: A ≠ B (gesprochen: A ungleich B)

Beispiele:

1.5 Mengenoperationen

Zunächst ist hier der Begriff „Operation“ zu klären. In der Mathematik versteht man darunter die Verknüpfung von zwei oder mehr Elementen, z.B. von Zahlen oder auch Mengen. Zwischen den zu verknüpfenden Elementen stehen die Operatoren. Allgemein bekannt sind z.B. die Operatoren der Grundrechenarten:

+ Plus: Addition

– Minus: Subtraktion

⋅ Mal: Multiplikation

:

geteilt durch: Division

Ein Operator ist in diesem Zusammenhang eine mathematische Handlungsvorschrift, wie mit den Elementen der Operation – den Operanden – zu verfahren ist.

Mit Hilfe von Mengenoperatoren werden zwei oder mehr Mengen zu einer neuen Menge verknüpft. Wir unterscheiden:

1.5.1 Die Schnittmenge

Betrachten wir zunächst ein einfaches Beispiel:

Gegeben ist die Einrichtung eines Schlafzimmers S und eines Esszimmers E mit:

Wenn wir nun die Elemente heraussuchen, welche in beiden Räumen vorkommen, so erhalten wir:

Definition der Schnittmenge

Die Schnittmenge der Mengen A und B ist diejenige Menge, welche alle Elemente enthält, die sowohl zu A als auch zu B gehören.

Man kann auch sagen, dass alle Elemente der Schnittmenge sowohl in A als auch in B vorkommen. Also kann man schreiben:

Bild 4: Darstellungen von Schnittmengen im Mengendiagramm

Schnittmenge einer Menge mit ihrer Teilmenge:

Eine Teilmenge ist so definiert, dass jedes Element der Teilmenge auch in der Obermenge enthalten ist. Die Teilmenge enthält also alle Elemente die sowohl zur Teilmenge als auch zur Obermenge gehören. Dies ist aber auch die Definition der Schnittmenge, so dass man sagen kann:

Die Teilmenge B einer Menge M ist identisch mit der Schnittmenge von B und M.

Bild 5: Teilmenge und Schnittmenge

Schnittmenge von Mengen ohne gemeinsame Elemente (disjunkte Mengen)

Haben zwei Mengen keine gemeinsamen Elemente, dann ist die Schnittmenge dieser beiden Mengen leer. Diese Mengen werden auch als disjunkt bezeichnet:

Afür

Bild 6: Disjunkte Mengen

Beispiele:

1.5.2 Die Vereinigungsmenge

Zur Erklärung betrachten wir erneut das Beispiel von der Schnittmenge:

Gegeben ist die Einrichtung eines Schlafzimmers S und eines Esszimmers E mit:

Wenn wir nun die Elemente heraussuchen, welche zu S oder E oder auch zu beiden Mengen gehören, dann erhalten wir die folgende Menge:

(gesprochen: S vereinigt mit E =...)

Also können wir die Definition der Vereinigungsmenge wie folgt schreiben:

Definition der Vereinigungsmenge

Die Vereinigungsmenge der Mengen A und B ist diejenige Menge, welche alle Elemente enthält, die zu A oder auch zu B gehören.

Man kann auch sagen, dass alle Elemente der Vereinigungsmenge zu A oder zu B gehören. Also kann man schreiben:

(gesprochen:

Bild 7: Beispiele für Vereinigungsmengen

Die Vereinigungsmenge enthält also alle Elemente beider beteiligten Mengen, wobei laut Definition kein Element doppelt vorkommen darf. Dies gilt natürlich auch für die Vereinigungsmenge zweier disjunkter Mengen (im Bild rechts dargestellt).

Vereinigungsmenge einer Menge mit ihrer Teilmenge:

Bildet man die Vereinigungsmenge einer Obermenge M mit einer Teilmenge B, so erhält man die Obermenge M.

Bild 8: Teilmenge und Vereinigungsmenge

Beispiele:

1.5.3 Die Differenzmenge (Restmenge)

Auch hier verwenden wir wieder unser Beispiel mit den beiden Zimmern:

Wir fragen uns nun, welche Elemente ausschließlich in S vorkommen. Also die Elemente von S, abzüglich der Elemente der Menge E. Wenn wir diese Elemente heraussuchen, erhalten wir:

(gesprochen: S ohne E =…)

Definition der Differenzmenge

Die Differenzmenge der Mengen A und B ist diejenige Menge, welche alle Elemente enthält, die zu A aber nicht zu B gehören.

Man kann auch sagen, dass die Differenzmenge alle Elemente der Menge A, abzüglich der Menge B enthält. Also kann man schreiben:

Man spricht hier auch von Komplementärmengen, also von zwei Mengen die sich gegenseitig ausschließen.

Bild 9: Differenzmenge A ohne B

Beispiele:

1.5.4 Die symmetrische Differenz

Noch einmal bemühen wir unser Beispiel mit den beiden Zimmern:

Wir fragen uns nun, welche Elemente kommen ausschließlich in S vor, aber nicht in E und umgekehrt. Man kann auch die Elemente der Vereinigungsmenge nehmen, abzüglich der Elemente der Schnittmenge. Wir erhalten die folgende Menge:

(gesprochen: symmetrische Differenz von S und E =...)

Definition der symmetrischen Differenz

Die symmetrische Differenz der Mengen A und B ist diejenige Menge, welche alle Elemente enthält, die zu A und B gehören außer den Elementen der Schnittmenge zwischen A und B.

Bild 10: Symmetrische Differenz

(gesprochen:

Beispiele:

1.6 Zusammenfassung Mengenlehre

Definition des Mengenbegriffs nach Cantor

Unter einer „Menge“ verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die „Elemente“ von M genannt werden) zu einem Ganzen.

Mächtigkeit von Mengen

Dies ist die Anzahl der Elemente einer Menge. Bezeichnen wir eine Menge mit M, so schreibt man ihre Mächtigkeit wie folgt:

Die Mächtigkeit von von endlichen Mengen kann man durch Abzählen ermitteln. Zwei Mengen A und B sind gleichmächtig, wenn sie dieselbe Anzahl von Elementen besitzen. Man schreibt:

Zwei Mengen sind gleichmächtig, wenn jedem jedem Element der ersten Menge genau ein Element der zweiten Menge zuordnen kann. Es gilt z.B.:

Die Mächtigkeit der Menge der irrationalen Zahlen \ (reelle Zahlen ohne rationale Zahlen) ist überabzählbar unendlich. Dasselbe gilt für die Mächtigkeit der Menge der reellen Zahlen.

Schreibweisen von Mengen (Notation)

Aufzählende Notation:

Beschreibende Notation:

2 Allgemeine Grundlagen der Arithmetik und Algebra

2.1 Zahlen und Zahlensysteme

2.1.1 Zahlenmengen, Zahlengerade und Eigenschaften von Zahlen

Üblicherweise bringt man die Mathematik mit Zahlen zusammen. Als Kinder lernen wir zunächst die ganzen Zahlen kennen, also: 1, 2, 3, 4 …

Diese Zahlen nennen wir die Menge der positiven ganzen Zahlen und schreiben:

1, 2, 3, 4,...:

Menge der positiven ganzen Zahlen

*

. (vgl. DIN 5473)

Ordnen wir eine Zahl

n

der Menge der positiven ganzen Zahlen zu, dann schreiben wir: n ∈

*

gesprochen: n ist Element von

*,

der Menge der positiven ganzen Zahlen.

Nehmen wir zur Menge der positiven ganzen Zahlen die Null hinzu, so nennen wir diese die Menge der natürlichen Zahlen und schreiben:

0, 1, 2, 3, 4,...:

Menge der natürlichen Zahlen

Wenn wir eine Zahl

n

der Menge der natürlichen Zahlen zuordnen, dann schreiben wir: n ∈

gesprochen: n ist Element von

,

der Menge der natürlichen Zahlen.

Nehmen wir zur Menge der natürlichen Zahlen die negativen ganzen Zahlen hinzu, so erhalten wir die Menge der ganzen Zahlen und schreiben:

...-2, -1, 0, 1,..:

Menge der ganzen Zahlen

Soll eine Zahl

n

zur Menge der ganzen Zahlen gehören, dann schreiben wir: n ∈

gesprochen: n ist Element von

,

der Menge der ganzen Zahlen.

Mit Hilfe der ganzen Zahlen können wir bereits eine ganze Reihe von Rechenoperationen durchführen, z.B.:

Die letzte Rechenoperation können wir mit den ganzen Zahlen nicht durchführen, weil die Berechnung nicht glatt aufgeht. Wenn wir die Zahlen in den Taschenrechner eingeben, dann erhalten wir folgendes Ergebnis: 17 : 3 =5,66666...

Dies ist eine rationale Zahl, deren Menge mit dem Zeichen benannt wird.

Definition der rationalen Zahlen:

Zu den rationalen Zahlen gehören alle Zahlen oder auch mit folgenden Eigenschaften von a und b:

a ist Element der Menge der ganzen Zahlen , a∈ b ist Element der Menge der positiven ganzen Zahlen *, b ∈ *

Die Zahl a oberhalb des Bruchstrichs nennt man Zähler und die Zahl b unterhalb des Bruchstrichs nennt man Nenner. In der Divisionsschreibweise nennt man die Zahl vor dem Doppelpunkt Dividend und die Zahl dahinter Divisor. Da im Nenner b auch die Zahl 1 stehen kann, gehören auch die ganzen Zahlen zu den rationalen Zahlen. Man kann auch schreiben:

Im Folgenden wollen wir einige Beispiele für rationale Zahlen aufschreiben:

Sind dies nun alle Zahlen die es gibt? Die Antwort ist ein klares Nein. Es kann sogar gezeigt werden, dass zwischen zwei beliebig dicht beieinander liegenden rationalen Zahlen eine unendliche Menge von weiteren Zahlen existiert, welche Irrationalzahlen genannt werden. Um diese zu erklären, müssen wir leider ein gutes Stück vorgreifen, denn die Potenz und Wurzelrechnung wird erst in Abschnitt 2.2.2 näher beschrieben. Hier also vorab eine kleine Einführung:

Wenn wir zwei identische rationale Zahlen miteinander multiplizieren, dann kann man das wie folgt schreiben: Den Ausdruck rechts vom Gleichheitszeichen spricht man a-Quadrat oder auch a hoch 2. Ist a eine rationale Zahl, z.B. 1,2 dann rechnen wir Wenn jedoch 1,44 gegeben ist und die Zahl gesucht wird, welche mit sich selbst multipliziert eben genau 1,44 ergibt, dann nennt man dies das Ziehen einer Wurzel (auch Quadratwurzel oder 2. Wurzel). Man schreibt auch Man kann dies auch noch weiter treiben und mehr als zwei identische rationale Zahlen miteinander multiplizieren. In diesem Fall kann man das wie folgt schreiben: Man spricht hier von a hoch 3. Ist nun a eine rationale Zahl, z.B. 1,8 dann rechnen wir Ist in diesem Fall 5,832 gegeben, dann kann man nach der Zahl suchen, die dreimal mit sich selbst multipliziert genau 5,832 ergibt. Dies nennt man dann das Ziehen einer dritten Wurzel (auch Kubikwurzel) und schreibt: Auf die gleiche Weise kann man natürlich fortfahren und auch die 4., 5. oder 6. Wurzel usw. ziehen. Dies ist aber hier nicht das Wesentliche. Darauf wollen wir anhand eines einfachen Beispiels zu sprechen kommen:

Gesucht ist die Zahl, die mit sich selbst multipliziert 2 ergibt!

Das hört sich doch zunächst einmal einfach an. Wenn wir jedoch anfangen zu rechnen, stoßen wir schnell an unsere Grenzen. Sooft wir auch probieren, es gelingt uns nicht, eine exakte Zahl für dieses Problem zu benennen. Dies liegt natürlich daran, dass es für dieses Problem überhaupt keine exakte Zahl gibt. Es gibt nicht einmal eine Lösung mit irgendeiner periodischen Ziffernfolge hinter dem Komma. Es ist in keiner Weise vorhersagbar, welche Ziffer als nächstes in der Folge der Ziffern auftreten wird. Jede Nachkommastelle muss also im einzelnen berechnet werden. Wenn wir einen Näherungswert, also einen Wert der relativ nahe am wahren Rechnungswert liegt, ermitteln wollen, so geben wir das Rechnungsproblem in ein leistungsfähiges Computerprogramm ein und erhalten als Ergebnis z.B. folgendes:

Eine derartige Zahl heißt „Irrationalzahl“. Fassen wir die rationalen und die irrationalen Zahlen zu einer neuen Zahlenmenge zusammen, dann erhalten wir die reellen Zahlen . Da die Menge der irrationalen Zahlen kein eigenes Kürzel hat, werden diese wie folgt geschrieben: \

gesprochen: Menge der reellen Zahlen ohne die Menge der rationalen Zahlen .

Es gilt also: „Zu der Menge der reellen Zahlengehören alle Zahlen der Zahlengeraden“

Fassen wir also zusammen:

Nach DIN 5473 werden Standardmengen mit einem Stern gekennzeichnet, wenn die Null nicht in der Menge enthalten sein soll. In der o.g. Tabelle taucht u.a. der Begriff „Zahlengerade“ auf. Was dies bedeutet, wollen wir im Folgenden näher erläutern.

Die Zahlengerade

Hierunter versteht man die Veranschaulichung der reellen Zahlen auf einer Geraden.

Bild 11: Die Zahlengerade

Wie man sieht, kann man immer nur einen Ausschnitt der Zahlengeraden darstellen, denn diese setzt sich sowohl in negative als auch in positive Richtung bis ins Unendliche fort.

Primzahlen

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als 1, welche nur durch 1 und durch sich selbst teilbar ist. Beispiele für Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67...

Zerlegung der natürlichen Zahlen in Primfaktoren

Jede natürliche Zahl größer 2 lässt sich als Produkt (siehe Abschnitt 2.2.1.2 Multiplikation) von Primzahlen darstellen. Im Folgenden einige Beispiele:

Größter gemeinsamer Teiler (ggT)

Der größte gemeinsame Teiler zweier oder mehrerer Zahlen ist die größte Zahl, durch die diese Zahlen ganzzahlig teilbar sind. Wir wollen dies anhand einiger Beispiele verdeutlichen: Gesucht ist der ggT der Zahlen 8 und 12.

Gesucht ist der ggT der Zahlen 32 und 28.

Für die Ermittlung des ggT gibt es folgende Regel: „Man zerlegt jede Zahl in ihre Primfaktoren und bildet das Produkt der Primfaktoren, die bei den Zahlen übereinstimmen“

Beispiele:

12 ist also die größte Zahl, durch die 660 und 1512 und 180 ganzzahlig teilbar sind.

Wir wollen jetzt an dieser Stelle wieder ein wenig vorgreifen und schreiben sogenannte Potenzen. Man kann damit die o.g. Gleichungen auch wie folgt schreiben:

Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier oder mehrerer Zahlen ist die kleinste Zahl, die sowohl ein ganzzahliges Vielfaches der ersten Zahl, als auch ein ganzzahliges Vielfaches des restlichen Zahlen ist. Wir wollen dies anhand einiger Beispiele verdeutlichen:

Gesucht wird das kgV der Zahlen 18 und 32. Wir schreiben nun die Vielfachen der beiden Zahlen auf:

Vielfache von

18: 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, 162, 180, 198, 216, 234, 252, 270,

288

...

Vielfache von

32: 32, 64, 96, 128, 160, 192, 224, 256,

288

, 320, 352, 384, ...

Das kleinste gemeinsame Vielfache von 18 und 32 ist 288.

Gesuch wird das kgV der Zahlen 7 und 12. Wieder schreiben wir die Vielfachen auf:

Vielfache von 7:

7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77,

84

, 91, 98, 105, ...

Vielfache von 12:

12, 24, 36, 48, 60, 72,

84

, 96, 108, ...

Das kleinste gemeinsame Vielfache von 7 und 12 ist 84.

Es ist kein Zufall, dass dies genau das Produkt der beiden Zahlen ist. Der Grund dafür liegt darin, dass 7 eine Primzahl ist und deshalb keine weiteren Teiler außer 1 und 7 hat.

Schon beim ggT hatten wir eine Regel zur Ermittlung mit Hilfe der Zerlegung in Primfaktoren aufgestellt. Wir wandeln diese Regel wie folgt ab: „Man zerlegt jede Zahl in ihre Primfaktoren und bildet das Produkt aller auftretenden Primfaktoren“.

Am Beispiel von 18 und 32 wollen wir diese Methode einmal ausprobieren:

Auch hier können zur Vereinfachung der Schreibweise natürlich Potenzen verwendet werden (siehe rechte Seite). Im Gegensatz zum ggT nimmt man jetzt aus jeder Spalte den Wert mit dem größten Exponenten, z.B.:

58800 ist also die kleinste Zahl, die sowohl ein ganzzahliges Vielfaches von 50 als auch von 48 und 49 ist.

617400 ist also die kleinste Zahl, die sowohl ein ganzzahliges Vielfaches von 2450 als auch von 72 und 1372 ist.

2.1.2 Das Dezimalsystem

Wenn wir heute jemanden auffordern zu zählen, dann wird folgendes dabei herauskommen: 1, 2, 3,...., 9, 10, 11, 12,...., 18, 19, 20, 21,...., 99, 100, 101, 102,...., 998, 999, 1000, 1001...

Diese Zählweise erscheint uns inzwischen so selbstverständlich, dass man sich zunächst nichts anderes vorzustellen vermag. Dies war in der Vergangenheit jedoch keineswegs immer so. Hierzu ein Beispiel entnommen aus Egmont Colerus: Vom Einmaleins... S.23 /1/.

Wenn z.B. die alten Römer die Zahl 1849 schreiben sollten, dann sah das so aus: MDCCCXLIX

Dass ein derartiges System zum Rechnen völlig ungeeignet ist, wird deutlich, wenn wir aufgefordert würden, zu dieser Zahl folgendes zu addieren:

Der römische „Algorithmiker“ wird zwar nach langem Rechnen und ggf. unter Verwendung eines Rechenbretts (Abakus) die richtige Lösung finden, jedoch wird er zugeben müssen, dass er keinen wirklichen Algorithmus zur Lösung des Problems besitzt. In der heutigen Zeit würde sich ein geübter Rechner nicht einmal die Mühe machen die Zahlen untereinander zu schreiben, schon nach wenigen Sekunden verkündet er das richtige Ergebnis: 3973.

Wie konnte der geübte Rechner so schnell das gewünschte Ergebnis ermitteln? Nun, er hat einfach die Tausender, die Hunderter, die Zehner und die Einer addiert und das Ergebnis also in vier einfachen Rechenschritten erhalten:

1 Tausender

+ 2 Tausender

8 Hunderter

+ 1 Hunderter

4 Zehner

+ 2 Zehner

9 Einer

+ 4 Einer

Eine Ziffer innerhalb einer Dezimalzahl steht also nicht allein für ihren Ziffernwert, sondern die Stellung innerhalb der Zahl teilt dieser einen entsprechenden Wert zu. Betrachten wir einmal die Stellungen der Ziffer 4 und deren Wertigkeit in folgenden Beispielen:

34127

4 Tausender

3214

4 Einer

59641

4 Zehner

847962

4 Zehntausender

9412

4 Hunderter

84397213

4 Millionen

Wir haben in Abschnitt 2.1.1 im Vorgriff bereits die Potenz kennengelernt. Diese haben wir dort eingeführt als fortgesetzte Multiplikation ein- und derselben Zahl, z.B.:

Die Zahl a wird in diesem Zusammenhang Basis genannt und die Hochzahl heißt Exponent. Wir wollen im Folgenden die Potenzen der Basis 10 aufschreiben:

10

7

10000000

10 Millionen

10

6

1000000

1 Million

10

5

100000

100 Tausend

10

4

10000

10 Tausend

10

3

1000

1 Tausend

10

2

100

1 Hundert

10

1

10

Zehn

10

0

?

?

Nun wollen wir mit unserer neuen Schreibweise eine Zahl schreiben, z.B.:

In Abschnitt 2.1.1 haben wir die Zahlenmengen kennengelernt. Bei der Beschreibung des Dezimalsystems haben wir uns bis jetzt jedoch auf die Menge der natürlichen Zahlen beschränkt. Wollen wir den Zahlenraum der Dezimalzahlen um die negativen Zahlen erweitern, dann müssen wir lediglich ein negatives Vorzeichen (auch Minuszeichen) vor den Zahlen zulassen. Eine negative Zahl kann man also wie folgt schreiben:

Auffällig ist, dass wir hierbei eine Klammer um die addierten Stellenwerte machen müssen und das negative Vorzeichen vor die Klammer schreiben. Auch hier haben wir im Vorgriff auf das nächste Kapitel einiges vorausgesetzt. Das negative Vorzeichen vor der Klammer ist nämlich gleichzusetzen mit einer Multiplikation der Summe innerhalb der Klammer mit –1. Führen wir diese Multiplikation aus, dann erhalten wir folgendes:

Nachdem wir nun die Menge der ganzen Zahlen im Dezimalsystem gezeigt haben, fehlt eigentlich noch der Schritt zur Menge der reellen Zahlen welche die Menge aller Zahlen auf der Zahlengeraden darstellt. Schreiben wir einmal eine rationale Zahl auf, von der wir ja wissen, dass sie zu der Menge der reellen Zahlen gehört:

Jetzt wollen wir versuchen dieses Zahl mit Hilfe unserer Potenzschreibweise darzustellen:

Jetzt stellt sich die Frage: „Wie können wir die Ziffern hinter dem Komma darstellen?“

Wir setzen hier einmal voraus, dass diese Schreibweise als Dezimalbruch bekannt ist. Danach ist die erste Stelle hinter dem Komma und die 2. Stelle so dass wir die Zahl hinter dem Komma auch wie folgt schreiben können:

Auffällig ist hier, dass die Zahlen unter dem Bruchstrich genau unseren Potenzen zur Basis Zehn entsprechen, so dass wir auch schreiben können:

Jetzt sind wir ganz nah dran. Wenn es uns gelingt, die Zehnerpotenzen unterhalb des Bruchstrichs genauso zu schreiben wie die übrigen Zehnerpotenzen, welche ja allesamt größer oder gleich 1 sind, dann haben wir es geschafft. Jetzt machen wir uns – wieder im Vorgriff auf die Potenzrechnung – folgenden Umstand zu Nutze:

Es gilt nämlich: und somit auch: so dass wir die o.g. Zahl jetzt wie folgt vollständig schreiben können:

Dies gilt natürlich auch für die unendlich periodischen Brüche sowie für die Irrationalzahlen:

Somit können wir die Menge der reellen Zahlen im Dezimalsystem darstellen.

2.1.3 Allgemeine Zahlensysteme

Nun fragen wir uns: „Können wir nun alle Zahlen darstellen, die es gibt?“

Die Antwort lautet wieder „Nein“.

Neben dem Dezimalsystem gibt es nämlich eine unendliche Anzahl von Zahlensystemen, weil jede positive ganze Zahl mit Ausnahme der 1 als Basis für ein Zahlensystem verwendet werden kann. Neben dem Zehnersystem sind noch das Dualsystem (Zweiersystem oder Binärsystem), das Oktalsystem (Basis 8) und das Hexadezimalsystem (Basis 16) in der Rechnertechnik (Informatik) von Bedeutung. Auch das Duodezimalsystem (Basis 12) hat eine historische Bedeutung. Wir wollen uns im Folgenden kurz mit diesen genannten Zahlensystemen beschäftigen. Dem Namen entsprechend finden wir in den genannten Systemen folgende Anzahlen von Ziffern vor:

Dezimalsystem – 10, Dualsystem – 2, Oktalsystem – 8, Hexadezimalsystem – 16 und Duodezimalsystem – 12. Mit diesen und natürlich auch allen anderen Zahlensystemen kann man sämtliche bisher dargestellten Zahlen abbilden. Um dies zu zeigen wollen wir die natürlichen Zahlen von 0 bis 16 einmal aufschreiben und diese den anderen Systemen gegenüberstellen:

Dezimalzahl

Dualzahl

Oktalzahl

Hexadezimalzahl

Duodezimalzahl

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

2

10

2

2

2

3

11

3

3

3

4

100

4

4

4

5

101

5

5

5

6

110

6

6

6

7

111

7

7

7

8

1000

10

8

8

9

1001

11

9

9

10

1010

12

A

A

11

1011

13

B

B

12

1100

14

C

10

13

1101

15

D

11

14

1110

16

E

12

15

1111

17

F

13

16

10000

20

10

14

Als Beispiel wollen wir einmal die Zahl elf in der jeweiligen Potenzschreibweise schreiben:

Dezimal:

Dual:

Oktal:

Hexadezimal:

Duodezimal:

In der Klammer zur jeweiligen Zahl ist die Basis eingetragen.

Anwendungen der jeweiligen Zahlensysteme

Dual-, Oktal- und Hexadezimalsystem werden hauptsächlich in der Computertechnik angewendet. Das Duodezimalsystem hat seine Herkunft eher in historischer Hinsicht. Der Grund liegt vermutlich in den 12 Mond-Monaten des Jahres und findet seine Anwendung auch heute noch in den 12 Stunden eines Halbtages. Auch die in vielen europäischen Sprachen verwendete eigenständige Bezeichnung der Zahlen elf und zwölf und die Verwendung des Begriffs „Dutzend“ deuten auf die Verwendung des Duodezimalsystems hin (vgl. Wikipedia, Stichwort Duodezimalsystem).

2.2 Rechnen mit reellen Zahlen

2.2.1 Die Grundrechenarten
2.2.1.1 Addition und Subtraktion

Bild 13: Addition von 5 und 3

Man kann also jede positive Zahl innerhalb einer Addition als Anweisung auffassen von, der aktuellen Position auf dem Zahlenstrahl eine entsprechende Anzahl von Einheiten nach rechts zu gehen. Die erste Zahl innerhalb einer Addition kann demnach als Anweisung aufgefasst werden, vom Nullpunkt aus eine der Zahl entsprechende Anzahl von Einheiten nach rechts zu gehen.

Wenn wir die beiden Zahlen unseres Beispiels vertauschen, dann erhalten wir 3 + 5, was ebenfalls 8 ergibt. Man sieht, dass die Reihenfolge, in denen die Zahlen innerhalb der Addition auftauchen, unerheblich ist. Dies nennt man das Vertauschungsgesetz oder Kommutativgesetz der Addition. Ob wir zunächst 5 Schritte nach rechts und anschließend 3 Schritte nach rechts gehen oder umgekehrt, wir erreichen anschließend immer die Position 8 auf der Zahlengeraden und damit dasselbe Ergebnis. Das gilt natürlich auch bei mehr als zwei Zahlen im Rahmen einer Addition – oder auch bei mehr als 2 Summanden, wie die Elemente einer Addition bezeichnet werden:

Auch wenn wir Klammern setzen und die Additionen innerhalb der Klammern zuerst und die restlichen Additionen zuletzt ausführen, ändert dies am Ergebnis nichts:

Dies nennt man auch das Verbindungsgesetz oder Assoziativgesetz der Addition.

Die schriftliche Addition

Dies wollen wir anhand von Beispielen näher erläutern. Nehmen wir einmal an, wir möchten die Zahlen 647 und 479 addieren. Zunächst erinnern wir uns daran, dass diese Zahlen in Potenzschreibweise wie folgt geschrieben werden können:

Wir stellen dies einmal als Rechentabelle (Abakus) dar, in der die Spalten mit den jeweiligen Potenzen von zehn überschrieben sind:

Als nächstes wollen wir uns an der Addition von mehreren Zahlen versuchen, und wenden unser Rechenschema auf folgende Aufgabe an:

4679+348+717+928+386+569+3288+10458+457+309+778+47+99+328

Wenn wir die Zahlen der Einerspalte addieren, erhalten wir 111 Einer. Einen Einer tragen wir in die Ergebnisspalte ein, den Zehner in die Zeile „Übertrag 1“ und den Hunderter ebenfalls. Nun addieren wir die Zehner und erhalten zusammen mit dem „Übertrag 1“ 69 Zehner. Die 9 wird in die Ergebniszeile und die 6 in die Hunderterspalte in Zeile „Übertrag 2“ geschrieben. Nach Addition der Hunderter (zusammen mit „Übertrag 1“ und „Übertrag 2“) erhalten wir 63 Hunderter und tragen die 3 in die Ergebnisspalte und die 6 in die Zeile „Übertrag 1“ ein. Die Addition der Tausender ergibt nun inklusive „Übertrag 1“ 13 Tausender, wobei 3 Tausender in der Ergebnisspalte landen und die 1 (Zehntausend) in Zeile „Übertrag 1“. Bleiben noch die Zehntausender übrig, welche inklusive „Übertrag 1“ 2 ergeben. Das Ergebnis lautet 23391.

In der Praxis lässt man die 1. Zeile, die Einträge „Übertrag“ und sämtliche Linien bis auf die unterste Linie über dem Ergebnis weg, so dass ein vereinfachtes Rechenschema wie nebenstehend aussieht.

Bis jetzt haben wir uns ausschließlich mit der Addition von ganzen Zahlen beschäftigt und die restlichen Zahlen außer acht gelassen. Dies wollen wir im Folgenden anhand eines Beispiels mit Hilfe unserer tabellarischen Schreibweise nachholen. Es sollen folgende Zahlen addiert werden: 146,478 + 34,97 + 4 + 7,5021.

Wie man sieht, funktioniert der Algorithmus genauso, wie bei den ganzen Zahlen. Man muss lediglich zusätzliche Spalten für die Stellenwerte mit negativen Exponenten einführen.

Auch periodische Dezimalzahlen und die Irrationalzahlen lassen sich nach diesem Schema problemlos addieren. Natürlich benutzt man auch hier, wie nebenstehend gezeigt die vereinfachte Schreibweise.

Die Subtraktion

Bild 14: Darstellung der Zahl –5

Bild 16: – 5 + 3

Die schriftliche Subtraktion

Sofern keine positiven Zahlen in der Subtraktion auftreten, gelten hier dieselben Rechenregeln, wie bei der schriftlichen Addition. Wir müssen lediglich vor jede Zeile ein Minuszeichen setzen.

Addition und Subtraktion

Bild 17: Addition und Subtraktion

Wenn positive und negative Zahlen zusammen in einer Rechnung auftauchen, dann können die entsprechenden Anweisungen in der Reihenfolge ihres Auftretens befolgt werden, z.B.:

Wir wollen nun Addition und Subtraktion in gemischter Reihenfolge kennenlernen:

–5 + 4 – 6 + 5 +17 – 45 + 20

Da wir jedoch die Zahlen (inklusive Vorzeichen) beliebig vertauschen dürfen, würde eine Anordnung der Zahlen mit jeweils gleichen Vorzeichen die Rechnung vereinfachen, z.B.:

In Vorgriff auf die Regeln der Klammersetzung (vgl. Abschnitt 2.2.1.5) kann man dann z.B. die negativen Terme (Ausdrücke) in Klammern setzen, ein Minuszeichen davor schreiben und die Zahlen innerhalb der Klammer addieren, z.B:

Etwas Ähnliches haben wir bereits bei der Beschreibung des Dezimalsystems (Abschnitt 2.1.2