Sobre las líneas indivisibles. Mecánica. Óptica. caóptrica. Fenómenos. E-Book

Aristoteles

• Herausgeber: Gredos
• Kategorie: Poesie und Drama
• Serie: Biblioteca Clásica Gredos
• Sprache: Spanisch
• Veröffentlichungsjahr: 2016

Seitenzahl: 434

Beschreibung

El tratado Sobre las líneas indivisibles, atribuido a Aristóteles, está en la línea de los Elementos de Euclides. Combina aritmética y geometría, y apunta ya a su aplicación al tratamiento formal del pensamiento filosófico. Su influencia se mantuvo a lo largo de varios siglos. El tratado Sobre las líneas indivisibles, que la tradición atribuye a Aristóteles, está en la línea de los Elementos de Euclides. Combina aritmética y geometría, pero apunta ya a su aplicación al tratamiento formal del pensamiento filosófico, y mantuvo su influencia en el ámbito de las matemáticas a lo largo de varios siglos.

Leseprobe

BIBLIOTECA CLÁSICA GREDOS, 277

Asesor para la sección griega: CARLOS GARCÍA GUAL

Según las normas de la B. C. G., la traducción de este volumen ha sido revisada por JAIME CURBERA .

© EDITORIAL GREDOS, S.A.

Sánchez Pacheco, 85, Madrid, 2000.

www.editorialgredos.com

REF. GEBO362

ISBN 9788424932930.

PRÓLOGO

El presente volumen ofrece cinco trabajos poco divulgados atribuidos a dos de las mentes más preclaras del mundo antiguo, Aristóteles y Euclides. Cinco tratados que, en apariencia, se ocupan de materias muy diversas. Efectivamente, el debate Sobre las líneas indivisibles y su existencia o inexistencia nos puede parecer una cuestión propia de la filosofía; la astronomía, materia de los Fenómenos, es desde hace siglos una ciencia independiente; la mecánica y la óptica sobre las que versan los otros tres tratados son, también desde hace mucho tiempo, ramas separadas dentro de la física.

La primera razón para publicar juntas estas obras es de carácter literario: como característica literaria común presentan la de ser obras menores de autores de primera fila, al menos en la atribución de los antiguos; veremos después los problemas de autoría que conciernen a cada tratado.

La segunda razón, de más peso, es de carácter histórico-filológico, y nos la ofrece un texto de Herón (Definitiones, pág. 165), que es quien aporta el criterio para plantear la cuestión en sus justos términos: al considerar cuántas son las partes de la matemática, distingue entre una matemática «más honorable y primera», formada por la aritmética y la geometría, y otra «que se ocupa de lo sensible» y que consta de seis partes: la logística, la geodesia, la canónica, la óptica, la mecánica y la astronomía. Esta clasificación de las ciencias procede, seguramente, del período helenístico, pero sus antecedentes parciales son más antiguos, y podemos encontrarlos en un pasaje de la República platónica que comentaremos más adelante y en la Física aristotélica, en donde la óptica, la armonía y la astronomía son consideradas «las ramas de la matemática más próximas a la ciencia natural».

Desde este planteamiento, cuatro de los tratados que ofrecemos en este volumen tienen en común, según el punto de vista de los griegos de la Antigüedad, el hecho de pertenecer a la matemática «que se ocupa de lo sensible»: son la Mecánica aristotélica y los tratados euclidianos de Óptica, Catóptrica y Fenómenos. Todos ellos comparten, además, la característica de ser los más antiguos que se nos conservan sobre las materias a que se refieren.

El tratado Sobre las líneas indivisibles tiene que ver, más bien, con la matemática «más honorable y primera». Al leer en los Elementos las Definiciones 2 y 3 del Libro I, que afirman que «una línea es longitud sin anchura» y «los extremos de una línea son puntos», lo inmediato es preguntarse: «Y entonces la línea, ¿de qué está hecha?». Es difícil responder a esa pregunta sin que la respuesta nos lleve a la contradicción y seguramente por eso la dejó Euclides sin responder. Pero tal planteamiento no puede proceder de una intuición genial; ser consciente de ese hecho requiere reflexión y contraste de argumentos. Y eso es precisamente lo que nos ofrece el tratado Sobre las líneas indivisibles: el testimonio de los debates previos indispensables para levantar sobre fundamentos sólidos el formidable monumento lógico que son los Elementos.

En estos tratados se encuentran, por tanto, los resultados de los esfuerzos de los primeros pensadores por someter nuestro conocimiento sobre el mundo a un tratamiento formal que nos permita explicar la realidad, predecirla y dominarla mediante la razón. En algunos de ellos, incluso, como en la Óptica y la Catóptrica de Euclides, encontramos enunciados algunos de los principios básicos de esas materias, tan vigentes hoy como hace más de dos mil años y en los Fenómenos veremos cómo las hipótesis de los pitagóricos y el desarrollo de la Esférica se unen para descubrir aplicaciones sumamente valiosas en el estudio de lo concerniente a los astros; tan valiosas, que sus planteamientos seguirían vigentes, en lo fundamental, hasta Copérnico y Galileo.

El hecho de que estas obras se consideren secundarias dentro del conjunto de los trabajos de sus autores les hace tener otros rasgos comunes, como son el menguado número de traducciones a las lenguas modernas y la escasez de estudios literarios o filológicos que se les han dedicado. La Mecánica y el tratado Sobre las líneas indivisibles aún no cuentan con traducción francesa; en inglés no hay traducción de la Catóptrica, la Óptica ha sido publicada una sola vez —en una versión sin notas aparecida en una revista especializada— y los Fenómenos han sido vertidos por primera vez a esta lengua en 1996. En español, sólo la Óptica y la Catóptrica fueron impresas, con las limitaciones de que daremos cuenta en el lugar correspondiente, en el siglo XVI ; la Mecánica fue traducida en la misma época, pero la versión no llegó a pasar a la imprenta.

En cuanto a los estudios de que han sido objeto, baste decir que hemos de remontarnos casi un siglo para encontrar los nombres de dos especialistas familiarizados a fondo con estas materias: Heath, el gran historiador de la matemática griega, traductor y comentador de los Elementos y estudioso de la obra aristotélica, y Heiberg, el filólogo danés editor de textos matemáticos y científicos; la mayor parte de los autores posteriores no han ido más allá del comentario puntual de algún pasaje o el estudio concreto de una de las obras; en el mejor de los casos, de una de las materias.

Precisamente por el escaso número de ediciones, traducciones y estudios que se les han dedicado, cuestiones de gran importancia siguen pendientes de ser dilucidadas. En los últimos tiempos han aparecido varios trabajos relativos a las ilustraciones que debían acompañar a los textos antiguos: en general, para señalar la poca atención que se les ha prestado. Las obras que presentamos no son excepción: no existe ningún trabajo de conjunto sobre las ilustraciones para las obras de Euclides, ni tampoco relativo a las ilustraciones de una de las obras concretas, ni se han publicado trabajos basados en las ilustraciones que den cuenta de las relaciones entre manuscritos… El caso de los dos tratados aristotélicos va más allá: la Mecánica hace referencia a las figuras; el tratado Sobre las líneas indivisibles menciona cuestiones matemáticas que los manuscritos antiguos abordan siempre con la ayuda de ilustraciones; pero los manuscritos conservados carecen de figuras.

Abordar en profundidad y con seriedad esas cuestiones queda fuera de los objetivos perseguidos en esta colección, pero debemos reclamar la atención del lector sobre ese punto y señalarlo entre las tareas pendientes de los filólogos. No habiendo nosotros llevado a cabo colación de manuscritos, en las obras de Euclides nos hemos limitado a reproducir las figuras que aparecen en la edición de Heiberg, la que hemos tomado como base para nuestra traducción, y en los tratados de Aristóteles hemos incluido figuras que son obra nuestra —y que no difieren mucho de las ofrecidas por otros traductores, puesto que las indicaciones del texto son, en general, inequívocas—; van junto al cuerpo de los escritos cuando en ellos se hace referencia a la ilustración; de otro modo, las figuras aparecen en las notas.

Y una última cuestión: aun reconociendo que resulta más que tópico al hablar de los griegos de la época clásica reconocer en ellos a los padres del pensamiento, el arte y la ciencia occidentales, también hemos de aceptar que, si en cuestión de pensamiento y arte cualquier ciudadano conoce, al menos someramente, las obras más destacadas y los nombres de sus autores, cuando nos aproximamos al terreno de lo científico el asunto ya varía. Los nombres de Euclides, Arquímedes o Ptolomeo sí son conocidos para la mayor parte de las personas cultas, pero es probable que ni siquiera los estudiosos de lo antiguo puedan enumerar los títulos de las obras de cada uno de ellos. Y los científicos, por su parte, suelen prestar más atención a las investigaciones para el futuro que a los logros del pasado. Por ello hemos considerado conveniente, en la presentación de cada uno de estos opúsculos, ofrecer una breve aproximación general al desarrollo de las materias que en ellos se tratan, de manera que el lector pueda más fácilmente apreciar el valor de cada escrito per se y en el marco histórico de la ciencia que desarrollan. La importancia absoluta de los descubrimientos de los antiguos ha ido quedando menguada con los avances posteriores, pero su importancia relativa sigue siendo inmensa, y se hace perceptible cuando se la contempla a la luz de su tiempo y sus antecedentes inmediatos.

No puedo dejar de expresar aquí mi agradecimiento a los profesores Mariano Martínez y Antonio Arribas, que han tenido la gentileza de leer algunas de las traducciones que siguen y ayudarme a subsanar algunos errores.

BIBLIOGRAFÍA

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II. TRADUCCIONES

1. Del tratado «Sobre las líneas indivisibles»

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2. De la «Mecánica»

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ARISTÓTELES

SOBRE LAS LÍNEAS INDIVISIBLES

INTRODUCCIÓN

LA AUTORÍA Y EL MARCO ANTIGUO DEL DEBATE

La tradición atribuye a Aristóteles los escritos de tema matemático que ofrecemos ahora, que llevan por título Sobre las líneas indivisibles y Mecánica, que han sido publicados en los últimos tiempos como parte de lo que se ha dado en llamar las Obras menores1 . Considerados generalmente espurios, presentan ciertos rasgos comunes, como la brevedad y el ocuparse de materias muy precisas. Coinciden además en que todos ellos tratan temas que el propio Aristóteles no había abordado específicamente en sus obras, con lo cual vienen a colmar lagunas que habrían redundado en perjuicio de los trabajos de la escuela y contribuyen, en sentido general, a redondear el carácter enciclopédico del Corpus.

El tratado, que sólo en los últimos cien años ha sido objeto de la atención que merece, despertará sin duda el interés de los filólogos y los historiadores de la filosofía y las matemáticas.

Los manuscritos lo atribuyen unánimemente a Aristóteles. Los autores antiguos, sin embargo, no lo mencionan entre las obras del Estagirita, sino que Diógenes Laercio, Simplicio y Filópono lo citan entre las obras de Teofrasto. El acuerdo de estas fuentes no ha convencido, sin embargo, a los especialistas: Zeller opina que el tratado parece haber sido escrito en época de Teofrasto aunque no puede ser obra suya; Heath participa de esa opinión, pero considera también la posibilidad de que el propio Estagirita hubiera encargado a un discípulo la redacción. Los especialistas en Aristóteles en general se refieren a él como pseudo-aristotélico y rechazan tanto la autoría de Teofrasto como la de Eudemo 2 , a quien también se había atribuido.

Al plantear la cuestión de la autoría hemos de tomar en consideración las siguientes evidencias textuales: en primer lugar, Aristóteles rechaza en varios pasajes de sus obras la existencia de líneas indivisibles; en segundo lugar, en el tratado aparecen múltiples expresiones que revelan que el autor conocía la obra de Aristóteles 3 ; por último, las fuentes tardías afirman unánimemente que la teoría de las líneas indivisibles era obra de Jenócrates. De todo ello cabe deducir que en tiempo de Aristóteles y sus sucesores inmediatos la cuestión debía de ser de completa actualidad. Estos hechos pueden ser tomados como argumentos —aunque secundarios y no concluyentes— a favor de la teoría de Heath según la cual este escrito sería el resultado del encargo hecho por Aristóteles a un discípulo.

Sea quien sea su autor, ha construido una obra de intención polémica sobre una cuestión que afecta a las bases teóricas de la geometría, tratándola en términos de lógica más que de matemática. A pesar de que no se menciona a Jenócrates, es sumamente verosímil que la polémica fuera dirigida contra él, puesto que era el principal sostenedor de la teoría de las líneas indivisibles.

Timpanaro-Cardini plantea el origen de la cuestión del siguiente modo: los pitagóricos más antiguos consideraban que la estructura de la realidad espacial era un reflejo de la naturaleza discreta de la serie de los números. La mónada, la unidad, no número ella misma, pero generatriz de la serie numérica, podía, una vez transferida al espacio, identificarse con el punto. En la concepción monádica de la realidad, la mónada-punto sería la medida mínima común a dos líneas y éstas, por tanto, serían siempre conmensurables, pero el descubrimiento de los inconmensurables —la diagonal del cuadrado respecto al lado del mismo, el diámetro del círculo respecto a la circunferencia— rompió esta correspondencia y la unidad originaria se transformó en la antinomia finitoinfinito.

Lógicamente, los conceptos de punto y línea entraron en crisis de inmediato. Los intentos de avance en el conocimiento de los inconmensurables suscitaron a lo largo del siglo V a. C. debates que dieron origen a diversas especulaciones filosóficas, como las paradojas de Zenón en las que, admitiendo la infinita divisibilidad del continuo, deduce que el ser es uno e inmóvil y, una vez admitido esto, niega la evidencia del movimiento. Las especulaciones eran, otras veces, de carácter matemático, como los estudios de Hipócrates de Quíos sobre la cuadratura de las lúnulas, el intento de Antifonte de cuadrar el círculo mediante sucesivas aproximaciones de polígonos inscritos y circunscritos o las investigaciones geométricas de Demócrito en relación con el continuo 4 . La polémica sobre la existencia de líneas indivisibles debió de surgir en el marco de estos debates.

Contamos con tres grupos de fuentes que nos permiten reconstruir los argumentos empleados. El primer grupo, el más antiguo y muy próximo en el tiempo al origen de la cuestión, está formado por las referencias que nos han quedado en las obras de Aristóteles; en segundo lugar tendríamos a los comentaristas de la Antigüedad tardía, como Alejandro de Afrodisias, Proclo, Simplicio, Temistio o Filópono 5 ; en tercer lugar, el documento que nos ofrece la información más completa, aunque desde luego podría estar dándonos una visión parcial, es el propio tratado Sobre las líneas indivisibles.

Aristóteles pone en boca de Platón el término «líneas indivisibles» e indica que éste trató el tema muchas veces, lo que retrotrae el origen del debate al primer tercio del siglo IV a. C., dos generaciones antes de la fecha más probable de nuestro escrito —fines del siglo IV o principios del III a. C.—; testimonia también que Platón consideraba el punto una «mera noción geométrica», lo llamaba «principio de una línea» y utilizaba como sinónimo de «punto» la expresión «líneas indivisibles» (Metafísica I 9, 992 a 20).

Frente al testimonio aristotélico, los comentaristas tardíos concuerdan en señalar como autor de la teoría de las líneas indivisibles a Jenócrates, contemporáneo de Aristóteles algo mayor que él y sucesor de Espeusipo al frente de la Academia. Insisten en afirmar que la intención de Jenócrates era la de refutar las teorías eleáticas que aceptaban la infinita divisibilidad del continuo, y en indicar que al rechazar la divisibilidad infinita mediante la suposición de las líneas indivisibles, Jenócrates incurría en una contradicción aún mayor, la de hacer que una sola cosa fuera al mismo tiempo magnitud y no magnitud.

EL TRATADO Y SU VALORACIÓN

La obra consta de tres partes de extensión desigual y decreciente. En la primera, la más extensa, se intenta refutar la teoría de la existencia de las líneas indivisibles; en la segunda, notablemente más breve, se intenta probar que la línea no está compuesta de puntos; en la tercera, sólo unas pocas frases, se intenta tirar por tierra dos definiciones de «punto», la que dice que el punto es «lo más pequeño que hay en la recta» y la que lo presenta como una «articulación sin partes».

Todos estos temas están ya anunciados en la Física aristotélica: el primero en 206a16-18: «y ya se ha dicho que la magnitud no es actualmente infinita, aunque es infinitamente divisible —no es difícil refutar la hipótesis de las líneas indivisibles» y en 220a30: «toda línea es siempre divisible»; el segundo y el tercero en 215b12-22: «no hay ninguna proporción según la cual el vacío sea superado por un cuerpo, como no hay ninguna proporción entre la nada y el número… por esto tampoco la línea supera al punto, a menos que la línea esté compuesta de puntos».

El contenido preciso del escrito puede ser resumido de la manera siguiente:

Primera parte (968a1-971a5): ¿Existen las líneas indivisibles?

968a5-968b22: Exposición de los cinco argumentos de quienes defienden la existencia de las líneas indivisibles.

968b22-969b26: Refutación de los argumentos anteriores.

969b26-971a2: Exposición de las dos series de argumentos matemáticos que contradicen la existencia de las líneas indivisibles. La primera serie (969b26-970a18) contiene seis argumentos y la segunda (970a18-971a2) añade otros once argumentos más.

971a2-971a5: Conclusión: es evidente que no existe una línea indivisible.

Segunda parte (971a6-972a31): La línea no se compone de puntos.

971a6-972a12 Contiene diez argumentos; unos son matemáticos, otros lógicos y otros de carácter analógico con hechos físicos.

972a12-972a31: Conclusiones.

Tercera parte (972a32-972b33): El punto no es lo más pequeño que hay en la recta ni tampoco una articulación indivisible.

972a32-972b24: Cinco argumentos tendentes a probar que el punto no es lo más pequeño que hay en la recta.

972b24-972b33: Cinco argumentos en contra de la definición del punto como «articulación indivisible».

Para Heath 6 el autor «se dedica a desmenuzar la lógica más que a contribuir seriamente a la filosofía de las matemáticas» y «el interés de la obra para la historia de las matemáticas es ínfimo». Por el contrario, Hett afirma que «sin el punto de vista moderno sobre el infinito, hay mucha brillantez matemática, y el autor parece probar su tesis en sus propios términos». Esta opinión no ganó, sin embargo, muchos partidarios, hasta que el comentario de Timpanaro-Cardini planteó la cuestión en términos más acordes con el valor de la obra.

Esta autora lamenta que no nos haya llegado otro opúsculo semejante en el que se defendiera la tesis contraria y observa que el título figura entre las obras atribuídas a Teofrasto, deduciendo de ello que «no es improbable que tomase esta cuestión como argumento de lecciones y discusiones escolásticas, lo que demostraría que esta cuestión se contaba entre las más debatidas en el ambiente cultural de la época y estaba relacionada con los mismísimos principios de las doctrinas físico-matemáticas».

La cuestión debatida afecta a las bases teóricas de la geometría. Por ello merece especial consideración, si tomamos en cuenta que la naturaleza y la definición de puntos y líneas son cuestiones fundamentales en el sistema geométrico euclidiano. En efecto, las dos primeras definiciones del libro I de Euclides son precisamente las de «punto» y «línea», temas centrales de este tratado. Dado que todos los autores consultados parecen datar el tratado en fecha previa a la aparición de los Elementos de Euclides 7 , no parece desatinado considerar que este tratado es testimonio de los múltiples debates que debieron preceder a dicha obra.

Ciertos rasgos de estilo y pensamiento parecen confirmar la idea señalada por Heath de que nos enfrentamos a un texto de carácter escolar, sin introducción ni recapitulación; los argumentos han sido recogidos y presentados ordenadamente, pero se introducen de modo abrupto, sin previa introducción, y se enumeran de modo mecánico con la ayuda de la fórmula éti dè kaì («y además»); la exposición pretende ser clara y completa y da, en efecto, esa sensación, pero carece de brillantez: un útil trabajo de escuela, aparentemente complementario de las palabras del maestro, pero muy lejos de la agudeza de sus análisis.

EDICIONES Y TRADUCCIONES

La primera edición del tratado fue la de Henricus Stephanus (Henri Étienne, París, 1557), seguida por la de Bekker (Berlín, 1831). Debido al lamentable estado de los manuscritos el texto se presentaba lleno de pasajes incomprensibles; uno de los copistas se desahoga en el margen: «El modelo está demasiado estropeado; y que no me echen la culpa: como lo veo, así lo escribo». En 1874 Hayduck publicó un artículo (cf. bibliografía) en el que pasaba revista al texto: sus acertadas y elogiadas propuestas dieron pie a una nueva edición, que fue preparada por Apelt (Leipzig, 1888). En ella se han basado todos los editores y traductores posteriores hasta la fecha presente. Los esfuerzos por sanar el texto no habían concluido: Joachim, Timpanaro-Cardini, Harlfinger y Federspiel han dedicado importantes trabajos a este intento. Las enmiendas a la edición de Apelt son ya tan numerosas que se hace tarea indispensable elaborar una nueva edición. En cuanto a comentarios, son dignos de mención los de Joachim y Timpanaro-Cardini. El primero es sobre todo un comentario textual y exegético, mientras que el segundo procura situar la obra en el contexto de la historia de las matemáticas y del debate intelectual de los siglos IV y III a. C.

En España será ésta la primera traducción directa del griego. Para prepararla he seguido el texto de Apelt en la versión editada por Hett, si bien he alterado la puntuación procurando hacer coincidir los puntos y aparte con los finales de la exposición de cada argumento.

Para la numeración marginal he seguido, como es tradicional, la de la edición de Bekker; la numeración que figura en el cuerpo del texto en romanos, es obra mía y pretende facilitar la intelección de la secuencia argumental.

PASAJES EN LOS QUE ME APARTO DE LA EDICIÓN DE HETT

1 Bajo ese título se publican en la edición inglesa de las obras de Aristóteles dirigida por W. D. Ross (Opuscula) y la colección Loeb (Minor Works).

2 En ese sentido se manifiesta HIRSCH en Der pseudo-Aristotelische Traktat «De lineis insecabilibus» (tesis doctoral inédita, Heidelberg, 1953). No he podido consultarlo; lo cito según las referencias de Timpanaro-Cardini.

3 HIRSCH , op. cit., cap. IX, ofrece un catálogo de esos pasajes.

4 Uno de los problemas que planteó fue el siguiente: si se corta un cono mediante un plano paralelo a la base ¿cómo serán las dos secciones, iguales o desiguales? Si son desiguales, la superficie exterior del cono no será recta; si son iguales, será un cilindro.

5 Los testimonios han sido recogidos por R. HEINZE , Xenokrates..., págs. 175-178.

6A History of Greek Mathematics, vol. I, pág. 347.

7 De ser así debemos incluir este escrito entre los pocos textos de carácter matemático anteriores a Euclides que se nos han conservado y tener presente que sería la única obra completa de esa característica junto con los tratados de AUTÓLICO DE PITANESobre la esfera en movimiento y Sobre los ortos y los ocasos.

¿Existen acaso las líneas indivisibles y hay en todas las [968a] magnitudes, en general, algo sin partes, como afirman algunos?

I. Pues 1 si se da semejantemente lo «mucho» y lo «grande» y los opuestos de éstos, lo «poco» y lo «pequeño» y, [5] por otra parte, lo que tiene divisiones casi infinitas no es «poco», sino «mucho», es evidente que lo «poco» y lo «pequeño» tendrán divisiones finitas. Y si sus divisiones son finitas, es necesario que exista una magnitud sin partes, de modo que en todas las magnitudes habrá alguna sin partes, puesto que en todas hay lo «poco» y lo «pequeño».

II. Además, si existe la idea de «línea» y la idea es la [10] primera de las de su nombre y las partes son previas al todo por su naturaleza, esta línea 2 sería indivisible, de la misma manera que el cuadrado y el triángulo y las demás figuras y, en general, el propio plano y el cuerpo 3 . Pues ocurrirá que aquéllas son previas a éstas.

III. Además, si existen los elementos de un cuerpo y no [15] hay nada previo a los elementos, y las partes son previas al todo, el fuego sería indivisible y, en general, lo sería cada uno de los elementos del cuerpo, de manera que existe algo sin partes no sólo en los inteligibles sino también en los sensibles.

IV. Además, por otro lado, según el argumento de Zenón, [20] es necesario que exista una magnitud sin partes, si es que es imposible en un tiempo finito tocar un número infinito de cosas tocadas una por una; y es necesario que lo que se mueve llegue primero a la mitad; y de lo que tiene partes [25] sin duda existe la mitad. En ese caso, si lo que es transportado sobre la línea también toca un número infinito de cosas en un tiempo finito y lo más rápido también consigue más en el mismo tiempo y el movimiento del pensamiento es el más rápido, entonces el pensamiento tocaría una por una un [968b] número infinito de cosas en un tiempo finito; de esa manera, si tocar las cosas una por una el pensamiento es contar, se admite como posible contar lo infinito en un tiempo finito: y si esto es imposible, existiría una línea indivisible 4 .

[5] V. Además, también a partir de lo que afirman los que se ocupan de las matemáticas existiría una línea indivisible, según dicen; si «conmensurables» son las que se miden con la misma medida 5 , son conmensurables todas cuantas son medidas, pues existiría una longitud con la que todas son medidas. Y esa longitud por fuerza ha de ser indivisible, [10] pues si fuera divisible también sus partes tendrían una medida, pues son conmensurables con el todo. De manera que su mitad sería el doble de una parte. Pero puesto que esto es imposible, sería una medida indivisible.

Así, se componen de elementos sin partes tanto las líneas medidas una sola vez por esta medida como todas las líneas compuestas de la medida. Lo mismo ocurrirá en el [15] caso de las figuras planas. Todas las compuestas por rectas racionales 6 serán conmensurables entre sí, de manera que la medida de éstas carecerá de partes. Pero si una medida va a ser cortada de acuerdo con una línea fijada y determinada, esa línea no será ni racional ni irracional —ni ninguna de [20] aquéllas de las que se ha venido hablando 7 , como la apótoma o la binomial 8 — sino que ni siquiera por sí mismas tendrán características naturales; por el contrario, serán entre sí racionales e irracionales.

I. Ahora bien 9 , en primer lugar, no es preciso que lo que admite divisiones infinitas no pueda ser «pequeño» y «poco». Y es que llamamos «pequeño» al espacio, a la magnitud [25] y, en general, a lo continuo —incluso en los casos en los que conviene el calificativo «poco»— y sin embargo decimos que tienen infinitas divisiones.

Además, si hay líneas indivisibles en la longitud compuesta, [969a] «pequeño» se dice en relación con ésas indivisibles, y en ellas hay infinitos puntos. En tanto que línea, admite una división por un punto, y de la misma manera por cualquier otro punto. Por tanto, cualquier línea que no fuera indivisible tendría infinitas divisiones. Algunas de éstas son pequeñas. Y las razones 10 son infinitas y es posible cortar cualquier recta que no sea indivisible según la razón dada. [5]

Además, si lo «grande» se compone de varias cosas pequeñas, o bien «grande» no significará nada o bien «grande» consistirá en tener divisiones finitas; pues de manera semejante lo «entero» tiene las divisiones de sus partes. Pero es irracional que lo «pequeño» tenga divisiones finitas y lo «grande» infinitas: eso opinan. [10]

De modo que es evidente que no se les llamaría «grande» y «pequeño» por la razón de tener divisiones finitas o infinitas. Y si alguien creyera que porque en los números lo «poco» tiene divisiones finitas, también las tendrá 11 en las líneas lo «pequeño», es que es tonto. Pues en aquel caso 12 el origen procede de cosas sin partes y existe algo que es el [15] principio de los números; y todo lo que no es infinito tiene divisiones finitas. Pero en el caso de las magnitudes no es lo mismo.

II. Por otro lado, los que proponen que las líneas indivisibles están en las Ideas toman quizás como axioma de lo precedente el argumento menos valioso, a saber: suponer que existen Ideas de estas cosas; y, en cierto modo, invalidan [20] el razonamiento mediante aquello que demuestran. Y es que por estos razonamientos se invalidan las Ideas.

III. A la vez, es estúpido considerar que lo que no tiene partes se cuenta entre los elementos corpóreos. Aunque algunos demuestren que es así, toman como argumento para la investigación propuesta lo mismo que tomaron como principio. Y sobre todo, que cuanto más parece que usan el [25] principio, tanto más parece que el cuerpo y la longitud son divisibles en volúmenes y en longitudes.

IV. Y el razonamiento de Zenón no prueba que en un tiempo finito lo movido toque infinitas cosas así, en este [30] sentido. Pues «infinito» y «finito» se dicen del tiempo y de la longitud, y tienen las mismas divisiones.

Y a la vez, el que el pensamiento toque una por una las infinitas cosas no es contar, si es que alguien cree que el pensamiento toca así las infinitas cosas, lo cual es tal vez imposible, pues el movimiento del pensamiento no transcurre, [969b] como el de las cosas movidas, entre sujetos continuos.

Y si, en efecto, cabe que se mueva así, eso no es contar, pues contar va acompañado de pausas. Pero quizá sea irracional que presten sumisión a su debilidad quienes no han [5] tenido fuerza para resolver el razonamiento y se engañen a sí mismos con engaños mayores reforzando su incapacidad.

V. En lo relativo a las líneas conmensurables, lo de que todas son medidas por una cierta y única medida es un argumento completamente sofístico y en completo desacuerdo con las hipótesis matemáticas, que ni plantean esa hipótesis [10] ni les es útil. A la vez, incluso es contradictorio pensar que cualquier recta es conmensurable y que existe una medida común a todas las conmensurables.

De manera que es ridículo, tras decir que se va a demostrar las opiniones de aquéllos 13 y aquello sobre lo que las fundan, inclinar el discurso a lo erístico y a lo sofístico y [15] eso tan débilmente. Pues es débil en muchos sentidos para escapar plenamente a las paradojas y a las refutaciones 14 .

Además, sería irracional, de un lado, que por causa del argumento de Zenón que establece que algunas líneas son indivisibles nos desviemos del razonamiento correcto por no poder argüir en contra. Y por otro lado es fácil dejarse persuadir por el argumento del movimiento de la recta que genera un semicírculo, que es necesario si es que alcanza los [20] puntos infinitos que hay entre los arcos y los radios; y lo mismo cuando genera un círculo, porque por fuerza ha de moverse de un punto a otro si se mueve por el semicírculo; y por los restantes teoremas que se han estudiado en relación con las líneas, que no es posible admitir que exista un movimiento semejante si no cae primero sobre cada uno de [25] los puntos intermedios 15 . Pues estos argumentos son más aceptados que el primero 16 .

De manera que a partir de los razonamientos expuestos es evidente que no es necesario que existan rectas indivisibles, ni creíble. Y a partir de los que siguen será aún más [30] evidente. Primero, por lo demostrado y propuesto en los tratados matemáticos, que lo justo es o bien mantenerlo o bien rechazarlo mediante argumentos más convincentes 17 .

I. Y es que ni la definición de «línea» ni la de «recta» concordarán con la de «indivisible», puesto que ni está entre nada ni tiene medio 18 .

[970a] II. Además, todas las líneas serán conmensurables, pues todas serán medidas por las indivisibles, tanto las conmensurables en longitud como las conmensurables en cuadrado 19 . Y las indivisibles serán todas conmensurables en longitud, puesto que son iguales; de manera que también serán conmensurables en cuadrado. Y si es así, el cuadrado será siempre racional 20 .

[5] III. Además, si la recta aplicada a la mayor produce determinada anchura, el 〈paralelogramo〉 igual al cuadrado de la indivisible —tómese como tal una recta de un pie de largo 21 — aplicado al doble de esa recta, producirá una anchura menor que la indivisible; luego esa anchura será menor que la indivisible 22 .

IV. Además, si un triángulo se compone de tres rectas dadas 23 , también se compondrá de indivisibles. Pero en todo [10] equilátero la perpendicular 24 cae sobre su punto medio, de manera que también sobre el punto medio de la indivisible.

V. Además, si existe el cuadrado de las indivisibles, trazada la diagonal y la perpendicular a ésta, el cuadrado que tenga un lado tal 25 será igual al cuadrado que tenga por lado la perpendicular más media diagonal, de manera que no es la recta más pequeña posible 26 .

[15] VI. Y tampoco el área del cuadrado de la diagonal será el doble del cuadrado de la indivisible. Pues una vez restada la parte igual, la recta restante será menor que la indivisible; y, si fuera igual, la diagonal habría producido un cuadrado que fuera el cuádruple.

Se podrían reunir otras muchas objeciones semejantes; pues, por así decirlo, se opone 27 a todo lo que hay en las obras matemáticas.

[20] I. A la vez, la indivisible tiene una forma de contacto, mientras que la línea tiene dos, ya que la línea puede estar en contacto ella entera con otra línea entera y por los extremos enfrentados 28 .

II. Además, una línea 29 unida a una línea no hará la línea entera mayor, pues las cosas indivisibles unidas no harán una cosa mayor.

III. Además, si a partir de dos indivisibles no surge ningún continuo, ya que todo lo continuo admite múltiples divisiones y toda línea es continua salvo la indivisible, no [25] existiría la línea indivisible.

IV. Además, si toda línea salvo la indivisible se puede dividir en partes iguales y desiguales, aun si hubiera una línea compuesta de tres indivisibles y, en general, de un número impar de indivisibles, la indivisible sería divisible. Y lo mismo si se corta en partes iguales. Pues se puede cortar también cualquiera compuesta de un número impar de indivisibles. Pero si no se puede cortar por la mitad cualquiera, [30] sino la compuesta de un número par de indivisibles, y también si es posible cortar cualquier número de veces la línea cortada por la mitad, también así quedará dividida la indivisible, cuando se divida en partes desiguales la línea compuesta de un número par de indivisibles.

V. A la vez, si lo movido recorre el trayecto completo [970b] en determinado tiempo, recorrerá la mitad en la mitad y en un tiempo menor, menos de la mitad, de manera que si la magnitud está compuesta de un número impar de partes, se repetirá el corte medio de las indivisibles, si es que en la mitad de tiempo va a recorrer la mitad del trayecto; pues el [5] tiempo y la línea quedarán cortados de manera semejante. De manera que ninguna de las líneas compuestas quedará cortada en partes iguales y desiguales. Y si van a ser cortadas de manera semejante a los tiempos, no serán líneas indivisibles. Lo propio de este mismo argumento es, como se había dicho, el hacer que todas estas cosas 30 estén compuestas [10] de indivisibles.

VI. Además, toda la que no es infinita tiene dos extremos, pues ellos delimitan la línea 31 . Pero la indivisible no es infinita, así que tendrá extremo: luego es divisible, pues una cosa es el extremo y otra aquello de lo que es extremo. O habrá, aparte de éstas, una línea que no sea ni infinita ni finita.

VII. Además, no habrá un punto en cualquier línea: en [15] la indivisible no lo habrá. Pues si hay sólo uno, la línea será un punto y si hay más la línea será divisible. Por consiguiente, si en la indivisible no hay un punto, tampoco lo habrá, en absoluto, en la línea, pues las demás se componen de las indivisibles.

VIII. Además, o no habrá nada entre medias de los [20] puntos o habrá una línea. Y si entre medias hay una línea, como en todas las líneas hay muchos puntos, la línea no será indivisible.

IX. Además, no existirá el cuadrado de una línea cualquiera, pues tendrá longitud y anchura, de modo que será divisible, ya que lo uno y lo otro son magnitudes. Y si el cuadrado es divisible, también lo será la línea.

X. Además, el extremo de la línea será una línea, pero [25] no un punto, pues lo último es el extremo, pero último es la línea indivisible 32 . Y si el extremo es un punto, el punto será el extremo de la línea indivisible, y habrá una línea mayor que otra línea en un punto; pero si el punto está dentro de la línea indivisible, por ser extremo común de las líneas que se continúan, existirá el extremo de lo que no tiene partes. Y entonces, en general, ¿en qué diferirá el punto de la línea? Pues la línea indivisible no tendrá nada propio frente al punto excepto el nombre. [30]

XI. Además, de manera semejante, también el plano y el cuerpo serán indivisibles. Pues siendo uno indivisible, se seguirá también lo restante, por dividirse el uno según el otro. Pero el cuerpo no es indivisible, ya que en él hay profundidad [971a] y anchura; luego tampoco la línea sería indivisible, pues el cuerpo es divisible por planos y el plano por líneas.

Y puesto que los razonamientos mediante los cuales intentan convencer son débiles y falsos, y esas opiniones son contrarias a todos los argumentos vigentes que gozan de crédito, es evidente que no existiría una línea indivisible. [5]

* * *

A partir de esto queda claro que la línea tampoco se compondría de puntos 33 , y para ello convendrá la mayoría de los mismos argumentos.

I. Así, el punto quedará necesariamente cortado cuando se corte en partes iguales la recta compuesta de un número impar de partes o en partes desiguales la compuesta de un número par de partes.

II. Y también es necesario que una parte de una recta no [10] sea una recta, ni tampoco una parte del plano, un plano.

III. Y también sería necesario que exista una línea mayor que una línea en un punto, pues podrá excederla en aquello de lo que está compuesta. (Que eso es imposible queda claro a partir de lo que se contiene en las obras matemáticas; y además ocurrirá que un objeto transportado [15] atravesará el punto en un tiempo, si es que va a recorrer la distancia mayor en un tiempo mayor y la igual en uno igual; y si es que el exceso en el tiempo es tiempo. Pero quizá también el tiempo está formado de los «ahora» y afirmar ambas cosas corresponde al mismo discurso. Si efectivamente el «ahora» fuera el principio y el extremo del tiempo y el punto lo fuera de la línea —y no cabe que el principio y [20] el extremo sean continuos, sino que hay algo entre medias— no existirían ni los «ahora» ni los puntos continuos por sí mismos.)

IV. Además, la línea es una magnitud y la suma de los puntos no forma ninguna magnitud, puesto que no ocupa un espacio mayor. Pues cuando a una línea se le añade y aplica [25] una línea, no resulta una anchura mayor. Y si los puntos están dentro de la línea, los puntos no ocuparían un espacio mayor, de manera que no formarían una magnitud.

V. Además, si en todo 34 todas las cosas tocan o bien la cosa entera a la cosa entera, o bien una parte toca otra, o bien el todo toca una parte y, si el punto carece de partes, el contacto sería completo. Pues sería necesario que la cosa entera tocada por la cosa entera fuera una sola cosa. Pero si una de las cosas es algo que la otra no es, entonces la cosa entera no sería tocada por la cosa entera. Y a la vez, si las [30] cosas sin partes existen, varias cosas ocupan el mismo espacio que ocupaba antes una sola cosa. Puesto que es propio [971b] de las cosas que existen simultáneamente y carecen de amplitud por sí mismas que ambas ocupen el mismo espacio. Y lo que no tiene partes no tiene dimensiones, de manera que no existiría una magnitud continua compuesta de cosas sin partes. Luego tampoco la línea se compone de puntos ni el tiempo de «ahoras».

VI. Y además, si es posible que se componga de puntos, [5] el punto tocará al punto. Por consiguiente, si desde el punto K se trazan las rectas AB y GD , tocarán a K tanto el punto que hay en AK como el que hay en KD , de manera que se tocarán ambos entre sí, ya que lo que no tiene partes entero toca entero a lo que no tiene partes. De manera que ocupará el mismo lugar de K y estarán en contacto mutuo los puntos que ocupan el mismo lugar 35 . Y si están en el mismo lugar, [10] también están en contacto; pues es necesario que las cosas que están las primeras en el mismo lugar se toquen y, si es así, una recta toca a una recta en dos puntos, pues el punto que hay en AK toca al punto que hay en KG y a otro punto, de manera que la recta AK toca a la GD en varios puntos. El [15] mismo razonamiento se aplicaría también si se tratara no de dos rectas, sino de un número cualquiera de ellas que se tocaran entre sí.

Y además, también la circunferencia del círculo tocaría a la tangente en varios puntos 36 , pues el punto de contacto tanto el que hay en la circunferencia como el que hay en la tangente se tocarían entre sí. Y si eso no es posible, entonces tampoco es posible que un punto toque a un punto; y si [20] no es posible que se toquen, entonces tampoco es posible que la línea esté hecha de puntos, pues de otra manera sería necesario que se tocaran.

VII. Y además, ¿cómo será entonces lo de la línea recta y curva? En nada diferirá el contacto de los puntos en la recta y en la curva. Pues lo que no tiene partes entero toca entero a lo que no tiene partes, y no cabe que se toquen de otra manera; por consiguiente, si las líneas son distintas y el [25] contacto es indiferente, no habrá una línea que se componga del contacto, de manera que tampoco compuesta de puntos.