Iniciación al estudio didáctico de la Geometría E-Book

Guy Brousseau

• Herausgeber: Libros del Zorzal
• Kategorie: Bildung
• Sprache: Spanisch
• Veröffentlichungsjahr: 2021

Seitenzahl: 105

Beschreibung

Lograr que otros –los jóvenes que asisten a la escuela secundaria– se involucren en un proyecto de estudio tomando los modos de pensar y producir conocimiento típicos del quehacer geométrico es una tarea compleja y desafiante a la vez. Discutir algunas ideas que hagan viable una empresa tal es un propósito de este libro. ¿Con qué criterios elegir problemas fértiles para que los alumnos comprendan el funcionamiento de la Geometría? ¿Cuáles son las propiedades imprescindibles para "arrancar"? ¿Cómo "entrarán" en la escena del aula? ¿Qué relaciones se pueden plantear entre las construcciones a la Euclides y la producción de conocimiento geométrico? ¿Y entre dibujo y discurso? ¿Qué relaciones entre exploraciones y demostraciones? ¿Y entre Álgebra y Geometría? Este libro invita a pensar los problemas didácticos que plantea la enseñanza de la Geometría cuando la misma sitúa como núcleo fundamental la construcción por parte de los estudiantes de herramientas que les permitan actuar sobre una porción de la realidad a través del sistema conceptual que ofrece una disciplina científica.

Leseprobe

Horacio Itzcovich

Iniciación al estudio didáctico de la Geometría

De las construcciones a las demostraciones

Itzcovich, Horacio

Iniciación al estudio didáctico de la geometría : de las construcciones a las demostraciones . - 1a ed. - Ciudad Autónoma de Buenos Aires : Libros del Zorzal, 2014. - (Formación docente. Matemática; 3)

E-Book.

ISBN 978-987-599-338-9

1. Geometría. 2. Formación Docente. I. Título

CDD 371.1

Realizado con el apoyo del Fondo Cultura B.A. de la Secretaría de Cultura del Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires.

Edición: Octavio Kulesz

Revisión: Lucas Bidon-Chanal

Diseño: Verónica Feinmann

© Libros del Zorzal, 2005

Buenos Aires, Argentina

Libros del Zorzal

Printed in Argentina

Hecho el depósito que previene la ley 11.723

Para sugerencias o comentarios acerca del contenido de Iniciación al estudio didáctico de la Geometría, escríbanos a: [email protected]

www.delzorzal.com.ar

Índice

1 Introducción | 5

2 Las construcciones como medio para explorar propiedades de las figuras | 12

2.1. Relaciones entre datos y propiedades | 16

2.2. Relaciones entre datos y cantidad de soluciones | 21

2.3 Hacia una exploración más sistemática | 23

3 La entrada en el trabajo argumentativo | 33

3.1. Conocimientos y recursos necesarios para “entrar” en el juego deductivo | 40

3.2. Comparar medidas sin medir | 46

3.3. El camino del absurdo | 48

4 El intento de establecer condiciones | 55

4.1. Problemas parecidos, prácticas diferentes | 59

4.2 Diferentes conocimientos al servicio de un mismo problema | 66

5 Relaciones entre construcciones geométricas y álgebra | 73

5.1. Una mirada crítica al modo de plantear relaciones entre álgebra y geometría | 85

6 Una secuencia posible | 89

7 A modo de cierre | 102

Bibliografía | 104

1 Introducción

Es reconocido por quienes tienen un vínculo con la enseñanza de la matemática, el hecho de que el trabajo geométrico ha ido perdiendo espacio y sentido, tanto en los colegios como en la formación docente.

Los motivos resultan variados y no es la finalidad de este libro profundizar en ellos ni proponer medidas que garanticen un cambio. Pero es probable que entre las razones de esta pérdida se encuentren:

 La dificultad, por parte de los docentes, de encontrar suficientes situaciones o problemas que representen verdaderos desafíos. Es decir, si se trata de pensar en un recorrido que permita a los alumnos iniciarse e involucrarse en el trabajo con las funciones lineales, podríamos imaginar variados problemas, actividades, situaciones, etc. En geometría, en cambio, no es muy claro a qué podríamos llamar “problema”.

 En numerosas oportunidades, la enunciación de los contenidos que se presentan en las currículas es poco específica. Hay un predominio de vocabulario y definiciones y pocas veces es claro el sentido que adquieren los conocimientos geométricos.

 Como consecuencia de los comentarios recientemente esbozados y, al ser más reconocido el trabajo en otras ramas de la matemática (aritmética, álgebra, funciones) si algo “se cae” del programa por falta de tiempo es la geometría. Al punto de que nadie dudaría en promover a un alumno de quinto año de EGB a sexto por no conocer la propiedad de la suma de los ángulos interiores de un triángulo.

Si bien no se pretende revertir tal situación a través de estas páginas, se remarca dicho fenómeno con el fin de advertir que si esta tendencia continúa, se priva a los alumnos de la posibilidad de conocer otro modo de pensar, se les quita la oportunidad de vivir la experiencia de involucrarse con otras formas de razonamiento, que son específicas de este dominio. A su vez, la práctica geométrica, tal como la estamos entendiendo –de esto se trata este libro–, tiene un alto valor formativo y es por tal motivo que todos los alumnos tienen derecho a acceder a ella.

No es que se plantea sólo volver a enseñar a los alumnos las definiciones clásicas de la geometría. No se intenta que conozcan únicamente los teoremas más importantes. Se busca promover el vínculo de los jóvenes con un modo cultural diferente. Y este modo de trabajo incluye, entre otras, algunas de las siguientes características:

 Los objetos de la geometría (puntos, figuras, cuerpos, etc.) no pertenecen a un espacio físico real, sino a un espacio teórico, conceptualizado. Esto trae ya un primer problema didáctico: ¿cómo ayudar a los alumnos a comprender que los objetos con los que trabaja la geometría son teóricos y no reales?

 Los dibujos trazados son representantes de esos objetos teóricos. Es decir, la marca que deja un lápiz cuando traza un triángulo no hace más que representarlo. Y es bien conocido que los alumnos asignan a estos dibujos numerosas propiedades o características que no tienen categoría de tales para la geometría, como la posición en la hoja. Incluso, los dibujos son “leídos” por los alumnos de una cierta manera que no siempre es aceptada por la geometría. La pregunta sería entonces: ¿cómo ayudar a los alumnos a despegarse del trabajo meramente perceptivo o visual?

 Muchos problemas geométricos pueden ser, en un comienzo, explorados empíricamente, analizando diferentes dibujos que resultan sumamente útiles (como se verá más adelante) o recurriendo a mediciones. Estas experiencias permiten la obtención de resultados, la formulación de propiedades que, a esta altura del trabajo, adquirirán estatus de conjeturas. ¿Cómo se decide la verdad o falsedad de la conjetura planteada? ¿Cómo se va instalando la idea de que la decisión acerca de la verdad o falsedad de una respuesta, de una nueva relación o de una propiedad no se establece empíricamente, por intermedio de dibujos o de la medición, sino que se apoya en las propiedades de los objetos geométricos? ¿Cómo se van generando condiciones que les permitan a los alumnos ingresar a un trabajo de características deductivas?

 En el trabajo geométrico, los enunciados, relaciones y propiedades son generales, y se establece un dominio de validez, es decir, se explicitan las condiciones a partir de las cuales una colección de objetos (los triángulos rectángulos, por ejemplo) cumplen una cierta propiedad o relación. Adquieren un cierto nivel de convencionalidad en la formulación apelando a un vocabulario mínimo necesario para poder socializarlas. En consecuencia, ¿cómo acompañar a los alumnos en la producción de estas generalidades, cuando en numerosas oportunidades el trabajo geométrico se realiza apoyando los razonamientos en dibujos particulares, tratados por quienes saben geometría como casos generales? ¿El vocabulario y la formalidad constituyen una necesidad previa, simultánea o posterior al trabajo geométrico?

Si bien no se dispone de respuestas acabadas para cada uno de los interrogantes, la intención de este libro consiste en proponer y analizar algunas situaciones que favorezcan la entrada de los alumnos en el trabajo geométrico que se detalló anteriormente. Es decir, la preocupación principal gira en torno a cómo generar condiciones que permitan a los alumnos involucrarse en la producción de conocimientos geométricos, no sólo de aquellos que son reconocidos en el sistema educativo con nombre y apellido (Teorema de Pitágoras, Suma de los ángulos interiores del triángulo, etc.) sino también de aquellos referidos al tipo de tarea que se despliega, a esa racionalidad propia del trabajo geométrico, pocas veces explicitada, pocas veces reconocida como parte troncal del “saber geometría” y que podríamos sintetizar con la siguiente frase: “inferir, a partir de los datos y con el apoyo de las propiedades, relaciones que no están explicitadas y que llevarán a establecer el carácter necesario de los resultados de manera independiente de la experimentación”1.

La caracterización del trabajo geométrico detallada anteriormente permite, en cierta medida, comenzar a identificar las particularidades que debería tener una situación para poder ser designada con el tinte de “problema geométrico”. Entre ellas, vale la pena destacar las siguientes2:

Para resolver el problema se ponen en juego las propiedades de los objetos geométricos.

El problema pone en interacción al alumno con objetos que ya no pertenecen al espacio físico sino a un espacio conceptualizado; las figurasdibujos trazadas por este sujeto no hacen más que representarlo.

La función que cumplen los dibujos en la resolución del problema no es la de permitir arribar a la respuesta por simple constatación sensorial.

La validación de la respuesta dada al problema –es decir, la decisión autónoma del alumno acerca de la verdad o falsedad de su repuesta– no se establece empíricamente, sino que se apoya en las propiedades de los objetos geométricos. Las argumentaciones a partir de las propiedades conocidas de los cuerpos y figuras producen nuevo conocimiento sobre los mismos.

A partir de estas particularidades propias de un problema geométrico, se han organizado en el desarrollo de este libro diferentes clases de tareas que, por supuesto, no son las únicas que se podrían hacer. Son más bien ejemplos de tipos de actividades que propician vínculos cada vez más próximos al modo de trabajar y de razonar que se pretende desplegar en geometría.

De esta manera, se inicia un análisis del trabajo de construcciones geométricas, partiendo de la premisa de que, bajo ciertas condiciones, las construcciones con los instrumentos clásicos de la geometría permiten explorar, identificar, conjeturar y validar propiedades de las figuras. Arsac (1992)

plantea que la práctica geométrica consiste en un ida y vuelta constante entre un texto y un dibujo. En consecuencia, analizar los datos con los que se debe construir una figura, determinar si la construcción es posible o no, establecer relaciones entre los datos conocidos y el dibujo a obtener, etc, resultan una experiencia sumamente útil en el camino hacia entender a una figura como el conjunto de de relaciones que la caracterizan y que pueden ser enunciadas en un texto. Y el dibujo debe ser sólo un representante. En este sentido, la presencia de una figura de análisis comienza a ser un referente importante.

En segundo lugar, se proponen y analizan algunas situaciones que implican un trabajo vinculado a la producción de argumentos deductivos. Es decir, conociendo algunas propiedades, se busca obtener respuestas a preguntas sobre las figuras, como así también poder argumentar sobre las respuestas obtenidas. En ese sentido, la comparación o la determinación de áreas, longitudes, ángulos, ocupan un lugar privilegiado, ya que, como señala Serres (1996), “la geometría resulta de un ardid, de un sesgo, en el cual la ruta indirecta permite acceder a aquello que no consigue una práctica inmediata”3, y se podría agregar que la geometría también se preocupa por explicar los motivos por los cuales el resultado es el obtenido y no otro. En tercer lugar, se proponen y analizan actividades que favorecen la entrada de los alumnos en un trabajo de una naturaleza diferente. Esto es, se busca establecer condiciones para que una propiedad sea cierta, a partir de otras conocidas. Se pone en el centro de atención una exploración exhaustiva de dominios de validez de ciertos enunciados. Una vez más, las figuras de análisis juegan un papel importante en esta tarea. Pero también se incluye el problema de la búsqueda de razones y argumentos que sostengan la validez de la propiedad estudiada así como argumentos que expliquen el dominio para el cual es válido el enunciado.

En cuarto término, se incluyen algunos problemas que buscan establecer relaciones entre el trabajo geométrico y el trabajo algebraico. En este punto se prioriza el vínculo entre las construcciones geométricas y los recursos algebraicos que aparecen y son necesarios en función de intentar explicar y dar cuenta de la validez de las construcciones realizadas. A su vez, ciertas expresiones algebraicas ayudan a anticipar las condiciones de los dibujos que se pueden obtener. Esta tarea se diferencia de las relaciones entre álgebra y geometría desde, por ejemplo, el lugar de las ecuaciones o la geometría analítica, que en este punto se han dejado de lado por cuestiones de espacio.

En quinto lugar, se propone una secuencia de trabajo que intenta hacerse cargo de un contenido en particular: las relaciones entre ángulos inscriptos y ángulos centrales. Para ello se recogen aspectos vinculados a los diferentes tipos de tarea propuestos en los puntos anteriores. Esta organización pretende mostrar la posibilidad de conjugar estas diferentes modalidades y ponerlas todas al servicio de un trabajo más organizado, planificado y secuenciado.

Los ejemplos seleccionados en este libro no son exclusivamente integrantes de una categoría o tipo de tarea. Bien podrían algunos de ellos formar parte de dos o más tipos de tareas en simultáneo. Simplemente, para ordenar y explicitar la intencionalidad de cada ejemplo, se lo ha ubicado en el lugar que más posibilidades brinda de desplegar un trabajo cada vez más próximo al planteado anteriormente.

2 Las construcciones como medio para explorar propiedades de las figuras

Los problemas con construcciones geométricas son un medio que, bajo ciertas condiciones, permitiría a los alumnos desarrollar un tipo de trabajo geométrico en consonancia con las líneas que se han planteado en la introducción.