Los números E-Book

Bruno D´Amore

• Herausgeber: Magisterio
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Sprache: Spanisch

Seitenzahl: 345

Veröffentlichungsjahr: 2025

Beschreibung

Este libro se convierte, como casi todas las obras de los autores, en un documento obligado para comprender, de mejor manera muchos aspectos históricos involucrados en la compresión de los números, pues ayuda a entender que trabajar con este concepto implica estudiar en profundidad con diversos aspectos de estos. Además, la rigurosidad con la que se presenta el contenido desarrollado por los autores permite a los lectores a conocer y profundizar sobre los números y su utilidad en el desarrollo en el trabajo en la matemática.

Leseprobe

Bruno D’Amore • Miglena Asenova • Agnese Del Zozzo Martha Isabel Fandiño Pinilla • Maura Iori Giovanni Giuseppe Nicosia • Giorgio Santi

Los números

Matemática, historia, juegos y curiosidades, para una enseñanza correcta y eficaz

Prólogo de

Luis Ángel Bohórquez Arenas

Título: Los números. Matemática, historia, juegos y curiosidades, para una enseñanza correcta y eficaz.

Autores: Bruno D’Amore - Miglena Asenova - Agnese Del Zozzo - Martha Isabel Fandiño Pinilla - Maura Iori - Giovanni Giuseppe Nicosia - Giorgio Santi

ISBN: 978-958-20-1503-9

Primera edición: 2025

© Cooperativa Editorial Magisterio

Calle 99 No. 49-78, La Castellana

Bogotá D.C. Colombia

www.magistyerio.com.co

info@magisterio,.com.co

Se prohíbe la reproducción total o parcial de esta obra -incluido el diseño tipográfico y de portada-, sea cual fuere el medio, electrónico o mecánico, sin el consentimiento por escrito del editor.

Cataloecaión de la publicación. Biblioteca Nacional de Colombia

D’Amore, Bruno, autor

Los números: matemática, historia, juegos y curiosidades, para una enseñanza correcta y eficaz /Bruno D’Amore [y otros seis]; prólogo de Luis Angel Bohórquez Arena. Primera edición. Bogotá: Editorial Magisterio, 2025.

212 paginas

Incluye referencias bibliográficas.

ISBN 978-958-20-1503-9

1. Números, Historia. 2, Concepto de número. 3. teoría de los números. 4. Aritmética y Historia I. Asenova, Miglena, autora II. Zozzo, Agnese del, autora III. Fandiño Pinilla, Martha Isabel, autora IV. Iori, Maura, autora V. Giuseppe Nicosia, Giovanni, autor VI. Santi, Giorgio, autor

CDD: 513.5 ed. 23CO-BoBN–a1154720

Este libro ha sido publicado en italiano:

D’Amore, B., Asenova, M., Del Zozzo, A., Fandino Pinilla, M.I., lori, M., Nicosia, G. G., Santi, G. (2021). I numeri. Matematica, storia, giochi e curiosità, per una didattica corretta ed efficace.

Bologna: Pitagora. [Nuova edizione: (2023) Bologna: Bonomo].

Traducción de Luis Ángel Bohórquez Arenas.

Índice

Prólogo de Luis Ángel Bohórquez Arenas

Advertencia para el Lector: simbolismo utilizado en este texto

Prefacio

Cap. 1. Los números naturales N

1.1. La idea de número

1.2. Los algoritmos fundamentales

1.3. Definición de los números naturales por abstracción según Frege y Russell …

1.4. Definición por abstracción

1.5. El conjunto N y sus estructuras algebraicas

1.6. Otra idea para describir los números naturales

1.7. El sistema axiomático de Peano

1.8. Los estudios de Dedekind y la lógica matemática contemporánea

1.9. El conjunto N de los números naturales

1.10. Los números primos

Cap. 2. Los números enteros Z

2.1. Extensión de N al conjunto Z de los números enteros

2.2. La historia de los números enteros

2.3. La estructura algebraica del conjunto Z

Cap. 3. Números racionales Q; la raíz cuadrada; números máquina; historia del cálculo automático

3.1. De Z al conjunto Q de los números racionales

3.2. Representaciones de los elementos de Q: fracciones y números escritos con la coma

3.3. El conjunto Q de los números racionales

3.4. Breve historia de las fracciones

3.5. La presencia de diferentes interpretaciones y usos de la idea de fracción en la escuela

3.6. La operación de extracción de raíz cuadrada

3.7. Algoritmos para la extracción de raíz cuadrada

3.8. Breve mención de la historia del cálculo automático

Cap. 4. Números irracionales II y los números reales R

4.1. Segmentos conmensurables e inconmensurables. Números irracionales II

4.2. La continuidad

4.3. El conjunto R de los números reales

4.4. De los números irracionales a los números reales; números irracionales algebraicos A y números irracionales trascendentes T

4.5. Un irracional famoso: π

4.6. Cómo recordar de memoria los dígitos de π

Cap. 5. Los números imaginarios IIy los números complejos C

5.1. Los números imaginarios II

5.2. Los números complejos C

5.3. La historia de los números complejos

5.4. Los números complejos multiunitarios. Los cuaterniones

5.5. Los cuaterniones y el espín de una partícula

Cap. 6. Cardinalidad y ordinalidad de los conjuntos transfinitos

6.1. La cardinalidad de los conjuntos N, Z, Q, A

6.2. La cardinalidad de los conjuntos R, II, I, C, T

6.3. Los números transfinitos

Cap. 7. Historia, juegos y trivialidades sobre los números

7.1. El problema del camello

7.2. Criptoaritmética

7.3. Los conejos de Fibonacci

7.4. Operaciones mágicas

7.5. Juegos y magias con el sistema numérico positional binario

7.6. Juegos aritméticos de Peano

7.7. Adivinar el número

7.8. Recreaciones aritméticas de los griegos

7.9. Números figurados

7.10. Los cuadrados mágicos

7.11. La numeración corporal y digital

Bibliografía

Prólogo

Luis Ángel Bohórquez Arenas

En muchas oportunidades he escrito sobre el trabajo y propuesta de Bruno D’Amore y Martha Fandiño-Pinilla que cuenta de manera maravillosa la evolución, recorrido de la matemática y la educación matemática, en un leguaje claro y preciso que permite que muchos se adentren de una manera sencilla a este maravilloso mundo. Sus múltiples artículos, individuales y en conjunto, dan muestra de esa intención a lo largo del tiempo. Este libro, Números, es una obra donde logran consolidar, con la preciosa colaboración de varios estimados autores, su espléndida manera de escribir explicando muchos aspectos relacionados con la aritmética.

El lenguaje utilizado en este libro, escrito por diferentes autores de la escuela de Bologna, es muy claro, sencillo ya agradable, aunque presenta aspectos en algunos casos complejos. Este trabajo presenta diferentes aspectos y características de los números de acuerdo con el conjunto al que pertenezcan. Esto se puede apreciar en la tabla de contenido del libro, en donde aparece en el primer capítulo los números naturales. Capítulo muy interesante porque no sólo habla de las características de este conjunto, sino que recoge en sus páginas una idea de número y presenta algunos algoritmos para operar en este conjunto. La importancia en este capítulo, además de las definiciones y aclaraciones teóricas que se hacen, es que anticipa la estructura que tendrán la mayoría de los 7 capítulos del libro.

El último capítulo de esta obra, al igual que los otros de este libro, es muy interesante. Sin embargo, las observaciones y reflexiones que allí se presentan permiten reconocer la utilidad de cada uno de los capítulos anteriores. Los autores han elegido magistralmente que en este capítulo se presentan historias, juegos y curiosidades sobre los números. Es posible apreciar en este capítulo la importancia de varios libros anteriores de estos autores porque muchas de sus explicaciones dependen de manera clara de lo presentado anteriormente. Esa es precisamente la fortaleza de la organización del libro y es la manera como los autores organizan el contenido para que el lector poco a poco llegue a la comprensión sobre los números y las operaciones en cada uno de los conjuntos presentados a lo largo de los capítulos. En este capítulo se encuentran aspectos históricos y otros muy interesantes presentados de manera oportuna y necesaria para comprender cada uno de los problemas y ejercicios propuestos.

Este libro se convierte, como todas las obras de estos siete autores, en un documento obligado para comprender, de mejor manera, muchos aspectos históricos involucrados en la comprensión de la matemática, en este caso de los números, pues ayuda a entender que trabajar con este concepto implica estudiar en profundidad diversos aspectos de estos. Además, la rigurosidad con la que se presenta el contenido desarrollado por estos autores permite a los lectores conocer y profundizar sobre los números y su utilidad en el desarrollo y en el trabajo en matemática.

Advertencia para el Lector: simbolismo utilizado en este texto

Este libro trata de temas clásicos relacionados con la aritmética, especialmente aquellos de carácter estructural-lógico-algebraico y epistemológico-históricocrítico.

Nuestra esperanza es que, después de la edición en italiano, esta edición en español pueda distribuirse entre los profesores de todas las naciones donde se habla este idioma, en sus diversas variantes.

Pero tales naciones son verdaderamente muchas y las metodologías simbólicas adoptadas son muy diferentes entre sí; por ejemplo: en la ejecución de operaciones, en el simbolismo y a veces en la denominación de los objetos de esta disciplina.

Así que decidimos utilizar un simbolismo aritmético y lógico presente en Europa, aunque sabemos que en varios países no es exactamente el adoptado en las escuelas y universidades.

Dado que el texto está dirigido a los docentes, por el tipo de reflexiones que contiene (que a menudo son metareflexiones), estamos seguros de que esta elección no producirá problemas de lectura ni de interpretación.

Por ejemplo, si escribimos:

5+

3=

8

en lugar de:

5

+3

8

(como es habitual en algunos países) el Lector adulto no tendrá seguramente problemas de interpretación.

Y así, escribiremos las divisiones:

a:b

en lugar de:

a÷b.

Etc.

Como se puede observar se trata de una elección que no conlleva complicaciones.

Agradecemos a nuestro Lector que no utiliza este simbolismo en su trabajo diario, por su paciencia y disponibilidad.

Prefacio

A menudo se oye decir que la matemática es un resultado culturalmente específico de la mente humana, el producto de una experiencia multimilenaria que demuestra la capacidad del género primate Homo para realizar abstracciones. Pero hoy se cree, en cambio, que existe una matemática natural, primordial, que caracteriza a todos los seres vivos. El animal humano lleva innato en su ADN no sólo el lenguaje, sino también el pensamiento matemático; sin embargo, otros animales no carecen de él, aunque a niveles profundamente distintos.

Cuando se mencionan los primeros artefactos matemáticos creados por el ser humano, siempre se hace referencia a huesos de lobo o astas de ciervo en los que se grabaron hendiduras profundas y evidentes, artefactos originados entre el –50 000 y el –30 000 y, por tanto, no sólo atribuibles al Homo sapiens, como todo el mundo afirma, sino posiblemente también al Homo neanderthalensis. Pero más de un antropólogo sugiere que, si hubiera que fabricar un instrumento de conteo dentado, nadie se plantearía espontáneamente tallar un objeto tan difícil con piedras astilladas; sería mucho más natural tallar una ramita o un palo. Y así, ahora, hay hipótesis acreditadas y convergentes de que es muy probable que los primeros instrumentos de conteo con muescas se fabricaran con otros materiales y que se remontan al menos al –60 000, algunos incluso proponen el –100 000. Siempre se sugiere, como ejemplo de necesidad, el del pastor que debe comprobar al final de la jornada que todos los animales han regresado al espacio cerrado que habitualmente se denomina redil; pero esta hipótesis es contraria a nuestros conocimientos actuales derivados de la investigación arqueológica. En efecto, el pastoreo sólo se desarrolló entre el –9 000 y el –8 000; los recuentos de nuestros antepasados, por tanto, servían ciertamente a necesidades diferentes, recuentos sí, pero no sabemos de qué.

Para confirmar que otros animales de la Tierra también saben contar, disponemos ahora de abundantes estudios científicos.

Para más información sobre todo lo mencionado hasta ahora, remitimos a D’Amore y Sbaragli (2017).

Así, el conteo, el uso de “números” ordinales en conexión con los cardinales tiene orígenes antiguos que tienen referencia en la propia Naturaleza.

Mirando las cosas desde este punto de vista, uno no puede sino asombrarse de la capacidad que ha tenido el ser humano para realizar verdaderos prodigios culturales, pasando de esa aritmética natural que lo asimila a todos los seres vivos de la Tierra a una aritmética abstracta, profunda desde el punto de vista lógico y epistemológico, que hoy identificamos con la aritmética que empezamos a estudiar en la escuela, de los sofisticados sistemas de representación posicional de los números naturales a los números que pueden pensarse como fracciones de los enteros (racionales), a los que no admiten escrituras fraccionarias (irracionales), a las exigencias medievales y renacentistas que condujeron a la distinción entre números positivos y negativos (enteros), a los reales que lograron unir racionales e irracionales en un todo único, con la distinción de los irracionales en algebraicos y trascendentes, y luego a ese invento que aún hoy asombra, que abrió el camino a los números imaginarios y luego, más adelante, a los cuaterniones. Etcétera.

No todo esto se estudia en la escuela. Comienza en el jardín de infancia (pero también antes, en la familia), continúa hasta la universidad, pero ni siquiera en estos niveles superiores se nos permite conocer estas alturas del conocimiento abstracto.

Y no digamos el hecho de que las cardinalidades que estudiamos en primaria y secundaria son sólo finitas, pero se abren, deben hacerlo, a cardinalidades infinitas (¡sí, en plural!) a lo largo de la secundaria, apenas insinuando este fascinante problema que sólo se tratará en estudios especializados de matemática.

Fascinados por una historia tan apasionante, nos propusimos escribir un breve tratado que pudiera acompañar al profesor (no al alumno) por este fascinante camino, citando lo menos posible, contando lo más posible, narrando historias no sólo de hechos científicos, sino también de seres humanos, mostrando, ejemplificando, hasta los límites de lo posible. Todo ello con el fin de proporcionar al profesor interesado más noticias de las que podrá enseñar, pero noticias que puedan proporcionarle un fuerte estímulo cultural, una especie de reserva de energía teórica esclarecedora, que responda a los muchos “porqués” que un profesor inquieto, a lo largo de su vida profesional, se pregunta. No sólo con una finalidad didáctica explícita y concreta, por tanto, sino sobre todo para la formación personal.

Y, por último, para demostrar que el ser humano siempre es capaz de jugar con todo aquello que encuentra en la Naturaleza o que él mismo crea, hemos dado cabida a un apartado final que recoge y propone curiosidades, juegos, problemas, que esperamos resulten amenos, útiles y divertidos, para llevar al aula (cada profesor elegirá los que considere más adecuados a su propio nivel de enseñanza).

Esperamos que este libro polifacético pueda calificarse de obra útil e inspiradora; este reconocimiento será la máxima satisfacción para nosotros como autores.

Nota

La escritura: (aprox. -500 – -428) significa que ambas fechas (-500 y -428) son aproximadas;

la escritura: (-287 aprox. – -212) significa que solo la primera fecha es aproximada;

la escritura: (-287 – -212 aprox.) significa que solo la segunda fecha es aproximada.