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- Herausgeber: tredition
- Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
- Serie: Mathematik-Abitur Band 1
- Sprache: Deutsch
- Veröffentlichungsjahr: 2022
In diesem Buch werden die in dergymnasialen Oberstufe zur Analysis bzw. Infinitesimalrechnung geforderten Inhalte an Beispielen vorgestellt und passende Aufgaben ausführlich, möglichst anschaulich und verständlich durchgerechnet.
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Seitenzahl: 105
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Ähnliche
Mathematik-Abitur
Band 1
Analysis Infinitesimalrechnung
zur
Abiturvorbereitung
und zum
Selbststudium
von
Reinhold Goldmann
Inhaltsverzeichnis
Vorbemerkungen
1. Einführung
2. Funktionen
2.1 Definitionsbereich
2.2 Wertebereich
2.3 Achsenschnittpunkte
2.3.1 Schnitt mit der x-Achse - Nullstellen
2.3.2 Schnitt mit der y-Achse
2.4 Symmetrie
2.4.1 Achsensymmetrie zur Ordinate
2.4.2 Punktsymmetrie zum Ursprung
2.4.3 Symmetrie zu beliebiger Achse
2.4.4 Symmetrie zu beliebigem Zentrum
2.5 Periodizität
2.6 Grenzwerte
2.6.1 Grenzwertberechnungen
2.6.1.1 Termumformung
2.6.1.2 Die „h-Methode“
2.6.2 Grenzwertsätze
2.7 Stetigkeit
2.7.1 Zusammengesetzte Funktionen
2.7.2 Verschachtelte Funktionen
2.8 Steigung und Gefälle
2.8.1 Sekantensteigung
2.8.2 Tangentensteigung
3. Differenzierbarkeit
3.1 Ableitungsfunktionen
3.1.1 Allgemeine Potenzfunktion
3.1.2 Konstante Funktion
3.2 Einfache Ableitungsregeln
3.2.1 Summenregel
3.2.2 Faktorregel
3.3 Tangenten
3.3.1 Tangentengleichung
3.3.2 Schnittwinkel von Tangenten
3.4 Berührpunkte von Graphen
3.5 Die Normale
3.6 Wichtige Ableitungsregeln
3.6.1 Die Produktregel
3.6.2 Die Kettenregel
3.6.3 Die Quotientenregel
4. Kurvendiskussion
4.1 Monotonie
4.2 Krümmungsverhalten
4.3 Wendepunkte
4.4 Extremwerte
4.5 Sattelpunkte
4.6 Zusammenfassung der Kurvendiskussion
4.7 Gebrochen-rationale Funktionen
4.8 Definitionslücken
4.8.1 Polstelle mit Vorzeichenwechsel
4.8.2 Polstelle ohne Vorzeichenwechsel
4.8.3 Hebbare Definitionslücken
4.9 Asymptoten
4.9.1 Senkrechte Asymptoten
4.9.2 Waagerechte Asymptoten
4.9.3 Schiefe Asymptoten
4.9.4 Asymptotische Kurven
4.9.5 Zusammenfassung der Asymptoten
5. Extremwertaufgaben
6. Rekonstruktion von Funktionen
7. Integralrechnung
7.1 Streifenmethode des Archimedes
7.2 Die Stammfunktion
7.3 Das unbestimmte Integral
7.4 Das bestimmte Integral
7.5 Flächenberechnungen
7.5.1 Flächen zwischen Funktionsgraphen
7.5.2 Rekonstruktion mit Flächenangaben
7.5.3 Nicht schneidende Funktionen
7.6 Trigonometrische Funktionen
7.6.1 Flächen mit Trigonometrie
7.6.2 Kurvendiskussion mit Trigonometrie
7.6.3 Extremwertprobleme mit Trigonometrie
7.7 Partielle Integration
7.8 Die Substitutionsmethode
7.9 Uneigentliche Integrale
7.10 Integration von Rotationskörpern
7.10.1 „Unendliche“ Rotationskörper
7.10.2 Rotation um die y-Achse
8. Die Exponentialfunktion
8.1 Die allgemeine Exponentialfunktion
8.2 Extremwertfragen bei e-Funktionen
8.3 Rekonstruktion von e-Funktionen
8.4 Berührung von e-Funktionen
8.5 Flächen an e-Funktionen
8.6 Kurvendiskussion mit e-Funktionen
8.7 Kurvenscharen bei e-Funktionen
8.7.1 Ortskurven bei Kurvenscharen
8.7.2 Aufgaben zu Exponentialfunktionen
8.8 Kettenlinie (Katenoide) - cosh und sinh
8.9 Die Gauß’sche Glockenkurve
8.9.1 Diskussion des Glockenkurventerms
8.9.2 Anwendung der Glockenkurve
9. Ableitung der Umkehrfunktion
10. Logarithmus zur Basis e (ln)
10.1 Ableitung des Logarithmus naturalis
10.2 Integration des Logarithmus naturalis
10.3 Integration der Funktion f:
10.4 Verschachtelte ln-Funktionen
11. Anmerkungen zur Stammfunktion
12. Ergänzende Beispiele & Aufgaben
13. Ausgewählte AbituraufgabenUmstrittene Abituraufgabe 2019 (Bayern)
14. Lösungen aller Aufgaben
1. Einführung
Gottfried Wilhelm Leibniz und Isaac Newton entwickelten im 17. Jahrhundert unabhängig voneinander die Infinitesimalrechnung. Beide kamen mit verschiedenen Ansätzen zu sehr ähnlichen Ergebnissen.
Leibniz beschrieb eine mathematische Kurve als Menge unendlich vieler winzig kleiner Punkte. Er verstand eine Kurve als ein Unendlich-Eck. Leibniz erkannte auch, dass die Flächenberechnung unter einer Kurve die umgekehrte Art zur Differenzenbildung, also die Integralrechnung ist.
Newton setzte Tangenten an die Punkte einer Kurve und betrachtete diese als Resultat stetiger Bewegung.
Er benannte eine vergrößerte oder fließende Größe als Fluente.
Die Geschwindigkeit nannte er Fluxion, ein unendlich kleines Zeitintervall.
Leibniz veröffentlichte seine Ergebnisse im Jahre 1684, Newton erst 1687. Er schrieb verständlicher als Newton. Auch deshalb hat sich weitgehend seine Symbolik durchgesetzt: Zum Beispiel „d“ für Differential, der Differentialquotient und das Integral ∫f(x)dx.
Auch der Begriff „Infinitesimalrechnung“ stammt von Leibniz, während Newton seine Variante „Fluxionsrechnung“ nannte.
Im 19. Jahrhundert erhielt die Infinitesimalrechnung eine mathematisch strenge formale Form. Die Mathematiker Cauchy, Weierstraß und Dedekind führten Grenzwertbetrachtungen ein, welche die Nutzung infinitesimaler Zahlen überflüssig machten.
Augustin-Louis Cauchy entwickelte die von Leibniz und Newton erarbeiteten Grundlagen weiter, wobei er deren fundamentale Aussagen auch formal bewies und einer neuen Auffassung des Funktionsbegriffs zum Durchbruch verhalf.
Karl Weierstraß widmete sich der logisch korrekten Fundierung der Analysis über Konvergenzkriterien für Reihen, Behandlung unendlicher Produkte und erste Axiomatisierungen der reellen Zahlen
Richard Dedekind führte u. a. eine exakte Fundierung der reellen Zahlen ein und er präzisierte den Grenzwertbegriff.
