Problemas de Cabecera: Pensados Durante Horas de Vigilia E-Book

Lewis Carroll

• Herausgeber: Bonilla Artigas Editores
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Sprache: Spanisch
• Veröffentlichungsjahr: 2023

Beschreibung

Ya fuera por una somnolencia excesiva durante la tarde anterior, o por las preocupaciones hostiles, o por insomnio puro, la realidad es que Charles L. Dodgson (o, como lo conoce la mayoría de la gente, Lewis Carroll) tenía problemas para conciliar el sueño. Y ante esta situación del tipo "entre la espada y la pared", decidió convertir sus noches de vigilia en noches de actividad creativa. Entre 1872 y 1890 pensó y resolvió los 72 Problemas de Cabecera que forman este tercer número de nuestras Textopías. Estos problemas tratan sobre Geometría Pura en el Plano, Geometría Algebraica, Álgebra, Cálculo Diferencial, Probabilidades Trascendentes y Aritmética. No obstante, no permitamos que los nombres de estos grandes temas de las Matemáticas nos intimiden: hacer Matemáticas se trata de un gusto por pensar profundamente que nos reconforta y nos ayuda a sonreír mientras cazamos relojes de pared y relojes de bolsillo que se adelantan o atrasan respecto al tiempo verdadero, mientras buscamos botellas de vino en Bodegas de finales del siglo XIX en la Inglaterra de Victoria, o mientras tomamos largas caminatas, junto con Dodgson, para disfrutar del buen clima y pensamos, y pensamos más. Así que invitamos al lector a que nos acompañe en esta hermosa excursión por el "buen pensar", y que se divierta al encontrar las respuestas, correctas o equivocadas, a estos maravillosos Problemas. No se requiere papel ni lápiz, ni ser matemáticos expertos: lo que hace falta es tener la disposición de aprender y estar contentos mientras aprendemos

Leseprobe

1ª de forros

3

Problemas de cabecera

Lewis Carroll

(Charles L. Dodgson, M. A.)

Estudiante y antiguo Profesor de Matemáticas

de Christ Church, Oxford

Problemas de cabecerapensados durante

las horas de vigilia

Traducción de Elsa Puente Vázquez

Primera edición: septiembre de 2018

© Elsa Puente Vázquez, por la traducción y notas

Coedición: Bonilla Artigas Editores, S.A. de C.V. / Secretaría de Cultura

D.R. © 2018,Bonilla Artigas Editores, S.A. de C.V.

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ISBN: 978-607-8560-62-2,

Bonilla Artigas Editores

ISBN: 978-607-745-839-5,

Secretaría de Cultura

ISBN ePub: 978-607-8838-84-4

Responsables en los procesos editoriales: Bonilla Artigas Editores

Cuidado de la edición: Elsa Puente Vázquez

Diseño editorial: Saúl Marcos Castillejos

Diseño de portada: Mariana Guerrero del Cueto

Realización ePub: javierelo

Todos los Derechos Reservados. Queda pro-hibida la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, la fotocopia o la grabación, sin la previa autorización por escrito de los editores.

Impreso en México /Printed in Mexico

Dodgson, Charles L. Problemas de cabecera pensados durante las horas de vigilia / Lewis Carroll (Charles L. Dodgson). -- México: Bonilla Artigas Editores, 2018 192 p.; 14 x 21 cm. -- (Colección Textopías ; 3)

ISBN 978-607-8560-62-2 (Bonilla Artigas Editores)

ISBN 978-607-745-839-5 (Secretaría de Cultura)

1. Matemáticas – estudio y enseñanza I. t.

LC QA12

DEWEY 510

Puente Vázquez, Elsa, tr.

La cuarta edición de CuriosaMathematica,PartII(Pillow Problems,Thoughtoutduringwakefulhours), escri-ta por Charles Lutwidge Dodgson, fue publicada por Macmillan and Company, Ltd. en Londres, en 1895, con ilustraciones del propio Dodgson.

Charles Lutwidge Dodgson falleció en 1898. Por los artículos 7, 8 y 18 (2) del Convenio de Berna para la Protección de las Obras Literarias y Artísticas, en su versión del 28 de septiembre de 1979, la men-cionada cuarta edición (incluyendo las ilustraciones) de CuriosaMathematica,PartIIes una obra literaria que pertenece al dominio público en México y en el Reino Unido; la presente traducción está basada en dicha edición.

Contenido

Clasificación de temas

7

Prefacio de la cuarta edición

9

Prefacio de la segunda edición

11

Introducción

15

Capítulo I:Preguntas

23

Capítulo II: Respuestas

45

Capítulo III:Soluciones

55

Datos biográficos de Charles Lutwidge Dodgson

alias Lewis Carroll

153

El tema del sueño en su obra fotográfica

169

Bibliografía (1832-1898)

183

Clasificación de los temas

Aritmética: No. 31.

Álgebra:

Problemas relacionados con ecuaciones: Nos. 8, 25, 39, 52, 68.

Series: Nos. 21, 32.

Ecuaciones Indeterminadas: No. 47.

Propiedades de los Números: Nos. 1, 14, 29, 44, 61.

Probabilidades: Nos. 5, 10, 16, 19, 23, 27, 38, 41, 45, 50, 58, 66.

Geometría pura en el plano:Nos. 2, 3, 9, 15, 17, 18, 20, 24, 26, 30, 34, 35, 36, 40, 46, 51, 57, 62, 64, 71.

Trigonometría:

Plana: Nos. 4, 6, 7, 11, 12, 13, 18, 22, 28, 37, 42, 43, 48, 54, 55, 56, 57, 60, 65, 69.

Sólida: Nos. 49, 59, 63, 70.

Geometría algebraica:

Plana: No. 53.

Sólida: No. 67.

Cálculo diferencial:

Máximos y mínimos: No. 33.

Probabilidades trascendentes: No. 72.

Prefacio de la cuarta edición

Aprovechoesta oportunidad para explicar el motivo por el cual (como se establece en la Nota al pie de página en la Introducción) he utili-zado los símbolos y para representar a los vocablos ‘seno’ y ‘coseno’.

El uso de algunossímbolos, me imagino, no requiere mayor justifi-cación que el uso de + y – para representar a ‘más’ y ‘menos’.

Estos símbolos en concreto, están basados en la antigua teoría de la Trigonometría, en la cual senos, cosenos, etc. eran, propiamente dicho, líneas.

En este diagrama, considerando a OPcomo la unidad de longitud, PNes el senodel ángulo NOP, y ONsu coseno.

En cada uno de mis dos símbolos he conser-vado al semicírculo; en el símbolo , simplemente he movido a PNal centro; y, en el símbolo , he alargado a ON, llevándolo un poco más alláde la curva, para evitar la confusión con el símbolo existen-te para ‘semicírculo’.

Asimismo aprovecho esta oportunidad para añadir una especie de Corolario (elaborado recientemente) a la solución del Problema 59 (ver la página 125).

Si a, by cson longitudes dadas, entonces es necesario, para que sea posibleformar el Tetraedro, que satisfagan ciertas condiciones, de la manera siguiente:

(1) Tienen que constituir las longitudes de los lados de un Trián-gulo; de ahí que la suma de cualesquiera dos de ellas tiene que ser mayor que la tercera.

Charles L. Dodgson, M.a.

10

(2) Los tres ángulos de este Triángulo tienen que dar forma a un ángulo sólido; en consecuencia, la suma de cualesquiera dos de estos ángulos tiene que ser mayor que el tercero; en consecuencia, la suma de cualesquiera dos de ellos tiene que ser mayor que 90º; por tanto, cualquiera de ellos tiene que ser menorque 90º; en consecuencia, el cosenode cualquiera de ellos tiene que ser mayor que 0; i.e. b² + c² - a² tiene que ser mayor que 0, etcétera; por lo tanto, las longitudes a, b y ctienen que ser tales que la suma de los cuadradosde cualesquie-ra dos de ellas es mayor que el cuadradode la tercera.

Por ejemplo, las longitudes 2, 3 y 4 no serán de utilidad como las longitudes dadas, puesto que, a pesar de que satisfacen la primeracondición, ya que 2+3>4 [y 2+4>3, 3+4>2], no satisfacen la segun-da, debido a que 2²+3² noes > 4².

C. L. D.

Ch. Ch., Oxford

marzo de 1895

Prefacio de la segunda edición

Lasprincipales modificaciones, hechas en esta Segunda Edición de “Problemas-de-Cabecera”, son las siguientes:

(1) Después del número que precede a cada Pregunta, Respuesta o Solución, se proporcionan referencias a las páginas en las cuales se puede encontrar el tema correspondiente.

(2) Se ha reordenado algunas de las Soluciones, y se ha añadido duplicados de algunos de los diagramas, con el objetivo de que cada parte del texto contenga de manera visible su diagrama ilustrativo, y que de este modo le evitemos al lector la complicación, y la moles-tia, que involucra el voltear la hoja hacia atrás y hacia delante cuan-do se remite de uno al otro.

(3) En el título del libro, se ha substituido a las palabras ‘noches de desvelo’ por ‘horas de vigilia’.

Esta última modificación se ha hecho con el objetivo de disipar la preocupación de los amables amigos, quienes me han escrito para ex-presar su simpatía respecto a mi maltrecho estado de salud, al creer que padezco de ‘insomnio’ crónico; y que es como un remedio para esa agotadora enfermedad que he recomendado el realizar cálculos matemáticos.

Mucho me temo que el título no fue prudentemente elegido; y con certeza noestabaexento de sugerir un significado el cual no era mi in-tención transmitir, a saber, que mis ‘noches’ son con mucha frecuen-cia totalmente‘de desvelo’. Este no es en ningún modo el caso: nunca he padecido de ‘insomnio’; y las horas de excesivo desvelo, que he tenido que pasar durante la noche, han sido con frecuencia ¡sencilla-mente el resultado de las horas de excesiva somnolencia que he pa-sado la tarde anterior! Tampoco es como un remedio para el estado de

Charles L. Dodgson, M.a.

12

vigiliaque he propuesto el realizar cálculos matemáticos; sino como un remedio para los pensamientoshostilesque son propensos a inva-dir una mente completamente sin ocupación. Espero que el nuevo tí-tulo expresará con mayor lucidez lo que intento decir.

Para explicar el asunto de manera lógica, el dilema que mis ami-gos suponenque me tiene entre la espada y la pared, consiste en ele-gir entre el tolerar una noche de desvelo, o el adoptar alguna fórmula para inducir el sueño. Ahora bien, hasta donde miexperiencia abar-ca, ninguna fórmula de este tipo surte efecto alguno, a menos que uno esté somnoliento; y el realizar cálculos matemáticos tendría ma-yores posibilidades de demorar, en lugar de acelerar, la llegada del sueño.

El auténticodilema, al que he tenido que enfrentarme, es el si-guiente: dado que la mente se encuentra en un estado de tal alerta que, haga lo que haga, tengo la certezade que permaneceré despier-to durante la siguiente hora más o menos, debo elegir entre dos op-ciones, a saber: someterme a la infructuosa tortura que yo mismo me impongo al empeñarme, una y otra vez, en pensar en algún asunto preocupante, o, de lo contrario, imponerme el considerar algún asun-to lo suficientemente absorbente como para mantener a raya a la pre-ocupación. Para mí, un problema matemático esun asunto de este tipo; y es un beneficio, incluso si prolonga un poco el periodo de vigi-lia. Creo que una hora dedicada a realizar cálculos me viene mucho mejor que media hora de preocupaciones.

Me parece que el lector estará interesado en ver una solución cu-riosamente ilógica que me ha sido propuesta, por un corresponsal del Educational Times1, para el Problema 61, a saber: “Demostrar que si se considera a cualesquiera 3 Números que no pueden ser dispuestos en Progresión Aritmética2, y cuya suma es un múltiplo de 3, enton-

1Asumimos que Dodgson se refiere al predecesor del TimesEducationalSupplement, el cual es un suplemento relacionado con la enseñanza, del periódico TheTimesde Londres. Este su-plemento apareció por primera vez en 1910; se publica semanalmente en todo el Reino Unido, y está dirigido principalmente a maestros de escuela (ver http://www.tes.com/).

2 Una progresión aritméticaes una sucesión de números tal que la diferencia entre cualesquie-ra dos términos consecutivos es una, y la misma, constante.

Prefacio

13

ces la suma de sus cuadrados es también la suma de los elementos de otro conjunto, formado por los cuadrados de 3 Números, de mane-ra tal que los 2 conjuntos no tienen ningún término en común”.

La solución propuesta es la siguiente:

“Sean 3m, 21my 30mlos tres Números; entonces 3m+21m+30m=3(18m).

Asimismo, tenemos que (3m)²+(21m)²+(30m)²=(6m)²+(15m)²+(33m)²=(5m)²+(13m)²+(34m)²=(10m)²+(17m)²+(31m)²=(14m)²+(23m)²+(25m)².”

Ahora bien, si denotamos por αa la propiedad “que no pueden ser dispuestos en Progresión Aritmética, y cuya suma es un múltiplo de 3”, y por βa la propiedad “la suma de cuyos cuadrados es también la suma de los elementos de otro conjunto, formado por los cuadrados de 3 Números, de manera tal que los 2 conjuntos no tienen ningún término en común”, entonces vemos que todo lo que este correspon-sal ha logrado demostrar, es que ciertos Números seleccionados, los cuales poseen la propiedad α, también poseen la propiedad β; pero esto no demuestra mi Teorema, a saber, que cualesquiera que sean los Númerosque poseen la propiedad α, también poseen la propiedad β. Si este argumento fuera dispuesto en forma silogística, encontraría-mos que supone una Premisa Mayor bastante insostenible, a saber, “que aquello que es verdadero para ciertos Númerosseleccionadosque poseen la propiedad α, es verdadero para cualesquiera que sean los Nú-merosque poseen la propiedad α”.

C. L. D.

Ch. Ch., Oxford

septiembre de 1893

Esta ilustración hace referencia a la solución de Dodgson para el Problema 67, la cual iniciaba en la página 100 de la cuarta edición de su Curiosa Mathematica, Part II (Pi-llow-Problems, Thought out during wakeful hours), publicada por Macmillan and Company, Ltd., en Londres en 1895. En la presente edición de Bonilla Artigas Editores, el amable lector podrá encontrar dicha solución en las páginas 143a 144.

Introducción

CASI todos los setenta y dos Problemas siguientes son auténticos “Problemas-de-Cabecera”, ya que fueron resueltos, dándoles vueltas en la cabeza, mientras permanecía despierto durante la noche (para algunos de ellos, he dejado constancia de las fechas exactas). El No. 37, y uno o dos más, corresponden a la luz del día, debido a que fue-ron resueltos mientras tomaba una caminata solo; no obstante cada uno de ellos fue resuelto, hasta el mismísimo final, antes de trazar cualquier diagrama o de escribir una sola palabra de la solución. Por lo general, y antes que nada, escribí la respuesta: y la pregunta y su solución después. Por ejemplo, para el No. 70, las palabras que escri-bí al mero principio fueron las siguientes: “(1) hacia abajo por la aris-ta de atrás; hacia arriba otra vez; hacia abajo otra vez; y etcétera; (2) aproximadamente 0.7 del trayecto hacia abajo por la arista de atrás; (3) aproximadamente 18°18’; (4) aproximadamente 14°.” Estas res-puestas no son totalmente correctas; pero por lo menos son genuinas, como resultados de un proceso únicamente mental. “¡Una pobre cosa, Señor, pero mía!”3

Mi intención, al publicar estos Problemas, junto con sus solucio-nes obtenidas mentalmente, noes, con toda certeza, cualquier anhe-lo de hacer alarde de algún dominio para realizar cálculos mentales. Mi capacidad para tal cosa, estoy seguro, no es nada fuera de lo co-mún; y no tengo duda alguna de que hay muchos matemáticos que podrían elaborar, mentalmente, soluciones mucho más cortas y mejo-

3Esta es una referencia que Dodgson hace a Comogustéisdel poeta y dramaturgo inglés William Shakespeare (1564-1616). Se piensa que esta comedia fue escrita en 1599, y fue pu-blicada hasta 1623. En el acto V, escena IV, el bufón Paragón dice “...una pobre virgen, Señor, y poco agraciada, pero mía...”.

Charles L. Dodgson, M.a.

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res. Mi pequeño libro no está pensado para tales personas; sino más bien para la clase mucho más amplia formada por matemáticos co-munes y corrientes, quienes quizá nunca han recurrido a este medio, cuando han necesitado de una actividad mental, y quienes, espero, se sentirán alentados —al ver lo que se puede lograr, después de un poco de práctica, por alguien que posee habilidades matemáticas nor-males— para experimentar ellos mismos, y encontrarlo tan provecho-so y reconfortante como lo ha sido para mí.

La palabra “reconfortante” podría quizá parecer fuera de lugar, en relación con una actividad tan completamente intelectual; sin embar-go, me parece que resultará familiar para aquellas personas quienes han sabido lo que significa ser perseguido por algún asunto preocu-pante, el cual ningún esfuerzo de la voluntad logra apartar del pen-samiento. Una y otra vez me he dicho, al acostarme en la noche, después de un día lleno de amargura debido a algún asunto irritan-te, “¡Nopensaré más en eso! Lo he examinado totalmente, a concien-cia. No me hace absolutamente ningún bien el examinarlo de nuevo. ¡Pensaréen otra cosa!” Y al transcurrir otros diez minutos me he en-contrado, una vez más, en lo más denso del deprimente asunto, y atormentándome, inútilmente, con todas las antiguas preocupacio-nes.

Ahora bien, no es posible —esto, creo, será reconocido por todos los psicólogos— por medio de un acto de la voluntad, llevar al cabo la determinación de “nopensaré en esto y aquello” (tal como lo de-muestra el artificio común, utilizado con un niño, de decir “le daré un penique4, si se queda quieto en el rincón durante cinco minutos, y no piensa ni siquiera una vezen la mermelada de fresa”. ¡Ningún niño humano ha ganado jamás, hasta la fecha, la tentadora apuesta!). No obstante, esposible —como estoy de lo más agradecido en saber— llevar al cabo la determinación “pensaréen esto y aquello”. Una vez que se ha fijado la atención en un asunto elegido de esta manera, us-ted encontrará que el asunto que le preocupaba, y que usted quería

4Un peniquees una moneda británica que vale la centésima parte de la libra esterlina; y que, en la época de Dodgson, valía la duodécima parte del chelín, el cual es otra moneda británi-ca, que se utilizó hasta 1970, y que era equivalente a la vigésima parte de una libra esterlina.

Introducción

17

apartar del pensamiento, ha sido prácticamenteanulado. Es probable que vuelva a presentarse de vez en cuando —sólo echando un vista-zo por la puerta, por así decirlo; pero se encontrará recibido con tal frialdad y se le prestará tan poca atención que, después de un tiem-po, dejará por completo de ser una preocupación.

Tal vez pueda atreverme, por un momento, a utilizar un tono más serio, y señalar que existen dificultades, mucho más graves que la simple preocupación, para las cuales un asunto que domine al pen-samiento podría servir como remedio. Existen pensamientos escépti-cos, los cuales aparente y momentáneamente arrancan de raíz a la fe más sólida; existen pensamientos blasfemos, los cuales se abalanzan de motu propio sobre las almas más reverentes; existen pensamien-tos profanos, los cuales atormentan, con su aborrecible presencia, a la imaginación que de buen grado sería pura. Contra todos estos, al-gún tipo de esfuerzomental auténtico es un aliado de lo más eficaz. Aquel “espíritu impuro y malvado” de la parábola, quien trajo con él a otros siete mucho más malignos que él mismo, lo hizo solamente porque encontró la cámara “limpia y adornada”, y a su dueño senta-do con las manos quietas5: de haber encontrado todo animado por el “murmullo de mucho movimiento”6debido al ajetreo del trabajo, ¡hu-biera existido una escasa bienvenida para él y sus siete!

Mi propósito —de alentar de esta manera a otros— no estaría tan bien logrado si me hubiera tomado la libertad, al escribir mis solu-ciones, de mejorarel trabajo hecho en mi cabeza. Me pareció que era mucho más importante dejar registrado lo que enrealidad había sido rea-lizado en la cabeza, que el proporcionar soluciones más cortas o más ordenadas, las cuales quizá habría sido mucho más difícil obtener sin contar con papel para escribirlas. Por ejemplo, al calcular una Multi-

5No hemos podido determinar a cuál de todas las parábolas donde se menciona a algún “es-píritu impuro y malvado” es a la que se refiere Dodgson aquí.

6Esta es una referencia que Dodgson hace a la égloga L’Allegro(“El hombre alegre”) del poeta y polemista inglés John Milton (1608-1674), cuya obra más célebre es el poema épico Elparaísoperdido(publicado en Londres, en 1667). Esta égloga forma parte de los PoemsofMrJohnMilton,bothEnglishandLatin,compos’datseveraltimes(publicado en 1645, también en Londres). Invitamos al amable lector interesado en toda la obra de Milton a que consulte la página electrónica http://www.dartmouth.edu/~milton/reading_room/contents/text.shtml.

Charles L. Dodgson, M.a.

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plicación Larga (digamos, multiplicar dos cantidades de 7 dígitos) es sin duda mejor hacerlo, en el papel, empezando por el extremo de las unidades, y escribir 7 renglones de cifras, y sumar las columnas en la manera usual. No obstante, sería ciertamente muy difícil —verda-deramente imposible para mí— realizar tal cosa en la cabeza. Parece que la única posibilidad es la de iniciar por los millones, y agrupar a es-tosde manera adecuada; después las centenas de millares, añadiendo el resultado al anterior; y etcétera. Como suele ocurrir con mucha fre-cuencia, el procedimiento mentalmás sencillo se convierte en algo deci-didamente tedioso y con muchos rodeos cuando se le consigna al papel.

Cuando emprendí este esquema por primera vez, todo lo que me fue posible manipular fueron problemas geométricos sencillos; y, hasta para este caso, tuve que hacer una pausa de vez en cuando, para trazar de nuevo al diagrama, el cual persistíaen ser ‘borrado’. En un inicio eludí a los problemas algebraicos, debido al molesto he-cho de que, si un solo coeficiente se me olvidaba, no quedaba otro re-curso salvo el de empezar los cálculos otra vez desde el principio. Sin embargo pronto superé ambas dificultades, y descubrí que era capaz de recordar coeficientes numéricos bastante grandes, y también de retener, como si los estuviera viendo, diagramas realmente compli-cados, hasta el grado de poder encontrar mi caminopara llegar desde una parte del diagrama a otra. Los rótulospara los diagramas resul-taron ser una cosa tan problemática de memorizar, que estuve a pun-to de desecharlos, y aprendí a reconocer a los Puntos solamente por su ubicación. En mi Manuscrito para el No. 53, me encuentro con el siguiente memorando:

“Nunca me había planteado este Problema antes de la semana que finalizó el 6 de abril de 1889. Intenté resolverlo, durante dos o tres noches, sin poder dormir; y finalmente lo resolví en la noche del 6 al 7 de abril. Obtuve mentalmente todas las conclusiones antes de hacer cualquier uso de pluma y papel. Mientras lo resolvía, no le di nombresa ningunos Puntos, salvo por A, B, C, y P: simplemente pen-saba en ellos por su ubicación (por ejemplo, ‘el pie de la perpendicu-lar a BCdesde P’).”

Introducción

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Si alguno de mis lectores se sintiera inclinado a reprocharme por haber trabajado de modo demasiado uniforme en la región de lo Tri-llado, y por nunca haberme aventurado a caminar sin rumbo fijo fuera del sendero marcado, puedo señalar con orgullo hacia mi único Pro-blema en ‘Probabilidades Trascendentes’ —un tema en el cual, me parece, hasta la fecha se ha hecho muypoco incluso por los explo-radores matemáticos con la máxima iniciativa. Para el lector ocasio-nal esto puede resultar anómalo, e incluso paradójico; sin embargo, le pediría a tal lector que se haga a sí mismo, con franqueza, la pre-gunta “¿Acaso no es la Vida misma una Paradoja?”7

Para darle al Lector alguna idea del proceso de elaboración de es-tos Problemas, daré la biografía del No. 63. La historia de uno es, en buena medida, la historia de todos.

Fue iniciado durante la noche del 3 al 4 de septiembre de 1890, y concluido durante la siguiente noche. Poco tiempo antes, se me había ocurrido la idea de que algo interesante se podría encontrar respecto a lo que yo llamaría Sólidos ‘parcialmente regulares’. Resulta moles-to la poca cantidad de Sólidos ‘regulares’ que hay; y sería imposible encontrar alguna pregunta, relacionada con ellos, que no haya sido ya analizada exhaustivamente: también algunos de los Sólidos ‘par-cialmente regulares’ (por ejemplo, los cristales romboidales) proba-blemente han sido estudiados de modo similar; no obstante, parecía que había margen para la invención de otros Sólidos de esta clase.

En consecuencia, ideé un Sólido encerrado, por encima y por de-bajo, por 2 Cuadrados paralelos e idénticos, con sus centros en la misma línea vertical, y el de arriba girado de manera tal que sus la-dos fueran paralelos a las diagonales del Cuadrado de abajo. Después me imaginé al de arriba elevado hasta que sus puntas formaran los vértices de 4 Triángulos equiláteros, cuyas bases se encontraban so-

7Nos parece que esto es una referencia que Dodgson hace a un pasaje de los “Tratados An-tipelagianos de San Agustín” editados por William Bright (ver la página 159 del Volumen XI de TheChurchQuarterlyReviewforOctober1880:January1881, publicado en Londres en 1881, por Spottis Woode & Company). El inglés William Bright (1824-1901) fue un historia-dor y pastor de la Iglesia Anglicana quien, como Doctor en Teología, llegó a ser el canónigo de Christ Church en Oxford, y es sumamente probable que Dodgson y él se conocieron ahí.