Razonar y Conocer E-Book

Mabel Panizza

• Herausgeber: Libros del Zorzal
• Kategorie: Bildung
• Sprache: Spanisch
• Veröffentlichungsjahr: 2021

Beschreibung

El enunciado general de que la enseñanza debe tomar a su cargo el aprendizaje de los alumnos del razonamiento matemático constituye, sin duda, un avance respecto de una tradición educativa que sólo se planteaba como objetivo la enseñanza de los contenidos curriculares. Significa el reconocimiento de que aprender a razonar según las reglas legítimas del pensamiento matemático no es algo que se produzca de manera espontánea. Nos proponemos discutir esta idea general, buscando profundizarla. Sin pretensión de ser exhaustivos, abordaremos diferentes líneas de análisis, que tienen en cuenta la relación del razonamiento con los conocimientos de los alumnos, los problemas ligados a la validez lógica y la verdad, y la necesidad de tener en cuenta aspectos no sólo lógicos al interpretar los razonamientos de los alumnos. Estas líneas de análisis nos han conducido a la necesidad de pensar en la enseñanza del razonamiento no como un objeto (en sí mismo) sino en estrecha relación con los contenidos. Asimismo, a identificar que la responsabilidad didáctica en relación al razonamiento debe asumir no sólo el problema de las propuestas de enseñanza, sino muy especialmente el desafío de la intervención docente ajustada a los razonamientos de los alumnos.

Leseprobe

Mabel Panizza

Razonar y Conocer

Aportes a la comprensión de la racionalidad matemática de los alumnos

Panizza, Mabel

Razonar y conocer : aportes a la comprensión de la racionalidad matemática de los alumnos . - 1a ed. - Ciudad Autónoma de Buenos Aires : Libros del Zorzal, 2014. - (Formación docente. Matemática; 4)

E-Book.

ISBN 978-987-599-346-4

1. Matemática. 2. Formación Docente. I. Título

CDD 371.1

Las investigaciones de la autora que se mencionan en este libro han sido desa-rrolladas en el marco del proyecto UBACYT “Didáctica del Razonamiento Mate-mático” que dirige desde 1998 como Profesora Asociada del Ciclo Básico Común de la Universidad de Buenos Aires.

Realizado con el apoyo del Fondo Cultura B.A. de la Secretaría de Cultura del Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires.

Edición: Octavio Kulesz

Revisión: Lucas Bidon-Chanal

Diseño: Verónica Feinmann

© Libros del Zorzal, 2005

Buenos Aires, Argentina

Libros del Zorzal

Printed in Argentina

Hecho el depósito que previene la ley 11.723

Para sugerencias o comentarios acerca del contenido de Razonar y Conocer, escríbanos a: [email protected]

www.delzorzal.com.ar

Índice

Introducción | 6

1 Inferir, conocer, significar | 8

Algunas cuestiones de lógica y simbolización | 14

Razonamientos válidos/razonamientos no válidos | 17

Relaciones entre razonamiento válido y verdad | 18

Inferencias deductivas/inferencias no deductivas | 22

Un análisis desde el punto de vista de la validez lógica | 22

Un análisis desde el punto de vista de la producción de conocimientos | 25

2 Inferencias no deductivas | 36

La abducción | 36

Importancia de distinguir la abducción de otros modos de razonamiento | 42

La abducción en matemática | 44

La analogía | 46

La inducción | 48

Tipología de generalizaciones espontáneas | 55

3 Problemas que se plantean en la enseñanza y el aprendizaje | 60

Problemas comunes a todos los modos de razonamiento | 60

Validación y control | 61

Reglas utilizadas al razonar y construcción de reglas | 69

Problemas específicos del razonamiento deductivo | 76

Problemas específicos de los modos no deductivos de razonamiento | 79

Validación y contextos de emergencia | 81

Anexo | 88

Estudio experimental: el problema de la circunferencia | 88

Resultados | 88

Ejemplo representativo de esta primera clase de producción: | 89

Procesos ligados al nivel de familiaridad con los objetos de referencia de los enunciados | 90

Procesos ligados a formulaciones en lenguaje natural | 94

Algunas conclusiones de interés para la enseñanza | 99

Bibliografía | 102

Introducción

El enunciado general de que la enseñanza debe tomar a su cargo el aprendizaje de los alumnos del razonamiento matemático constituye, sin duda, un avance respecto de una tradición educativa que sólo se planteaba como objetivo la enseñanza de los contenidos curriculares. Significa el reconocimiento de que aprender a razonar según las reglas legítimas del pensamiento matemático no es algo que se produzca de manera espontánea.

Nos proponemos discutir esta propuesta general, buscando profundizarla. Sin pretensión de ser exhaustivos, abordaremos diferentes líneas de análisis, que tienen en cuenta la relación del razonamiento con los conocimientos de los alumnos, los problemas ligados a la validez lógica y la verdad y la necesidad de tener en cuenta aspectos no sólo lógicos al interpretar los razonamientos de los alumnos.

En primer lugar, nos interesamos por poner en relieve que el razonamiento concebido como la producción de conocimiento nuevo a partir de conocimiento anterior deja suponer que este último es un dato a partir del cual se desencadena todo el proceso. La mayoría de las veces, sin embargo, razonar supone un conjunto de elecciones y anticipaciones que son posibles o no según los conocimientos del sujeto. Por otra parte, a partir de sus inferencias, los alumnos construyen conocimiento. Según sea la manera en que se regulen los procesos que afectan a la validez y a la verdad, resultarán los objetos, propiedades y significados que formen parte de sus conocimientos.

En segundo lugar, analizamos diversas vinculaciones entre validez y verdad que los alumnos realizan y que explican algunas de sus dificultades para razonar según las reglas del hacer matemático. Su comprensión del funcionamiento de los distintos modos de razonamiento, sus nociones de verdad, el grado de credibilidad que otorgan a los enunciados, los contextos en los cuales realizan los razonamientos, son algunos de los elementos que intervienen en sus procesos de validación y de control. Estos aspectos explican en parte por qué a menudo otorgan valor verdadero a una conjetura obtenida mediante un razonamientos no deductivo y valor falso a una conjetura obtenida por medio de un razonamiento deductivo, o valor verdadero contingente, pero no necesario.

Por último, presentamos algunos fenómenos que interfieren en los procesos de razonamiento: la forma en que los alumnos describen los objetos matemáticos, la relativa disponibilidad de los objetos de referencia de los enunciados, y las asociaciones que se producen por traducciones al lenguaje natural son aspectos que facilitan o dificultan la posibilidad de razonar en matemática, aunque no son específicamente problemas de razonamiento.

Estos análisis nos han conducido a la necesidad de pensar en la enseñanza del razonamiento no como un objeto (en sí mismo) sino en estrecha relación con los contenidos. Asimismo, nos han conducido a identificar que la responsabilidad didáctica en relación con el razonamiento debe asumir no sólo el problema de las propuestas de enseñanza, sino muy especialmente el desafío de lograr intervenciones docentes ajustadas a los razonamientos de los alumnos. Esto supone actuar al nivel del razonamiento y de los otros aspectos que forman parte de la complejidad de los procesos de razonamiento.

1 Inferir, conocer, significar

El primer médico que descubrió una relación constante entre una serie de manchas rojas en el rostro y el sarampión hizo una inferencia; pero tan pronto como esa relación se volvió convencional y fue registrada en los tratados de medicina, hubo una convención semiótica. Así pues, existe signo siempre que un grupo humano decide usar una cosa como vehículo de cualquier otra.

Umberto Eco (2000)

Al razonar, a partir de conocimientos disponibles, obtenemos nuevos conocimientos. A partir de verdades aceptadas o supuestas, inferimos verdades irrefutables o que tienen cierto grado de certeza.

En tan pocas palabras se condensa un mundo de relaciones entre nociones que a su vez son complejas: conocimiento (disponible, nuevo), verdad, certeza, irrefutabilidad, inferencia. En una perspectiva de enseñanza y de aprendizaje, nos interesará profundizar en los alcances y los límites de dichas relaciones, cosa que haremos a lo largo de este libro.

Como punto de partida, distinguiremos los conocimientos o significados de los que dispone un sujeto con anterioridad, de aquellos que obtiene mediante un razonamiento. La cita de Umberto Eco –extraída de un contexto en el cual está analizando una identificación planteada por la filosofía clásica entre significación e inferencia– la hemos elegido con ese propósito.

Eco propone corregir tal identificación (entre significación e inferencia) especificando que, por ejemplo, cuando se afirma que la presencia de manchas rojas en la cara de un individuo es signo de sarampión, se reconozca que se trata de una asociación reconocida y codificada sistemáticamente. En caso de que no haya una tal asociación previa, se trata de una inferencia.

En el ámbito escolar, por ejemplo, a menudo se utilizan conocimientos reconocidos y codificados en el marco de una clase (pequeña comunidad), y se producen –infieren– nuevos conocimientos. Esto, claro está, no sería importante de destacar si no fuera porque al poner la mirada en el razonamiento de los alumnos, tendremos acceso solamente a una parte del mismo, lo que llamaremos razonamiento producto: ese conjunto de oraciones que sirven a fines comunicativos (al profesor, a la clase), pero que no reflejan el proceso de razonamiento (Arsac, 1996). Como veremos, discriminar lo que es conocido y lo que es nuevo para un individuo a partir de (su) razonamiento producto no es para nada evidente: en el proceso de razonamiento, los alumnos han utilizado conocimientos que no explicitan en el razonamiento producto. Volveremos sobre esto en varias oportunidades.

Por el momento, intentamos destacar algunas dimensiones del aporte de Eco de interés para nuestro trabajo: la idea de novedad y la de signo, la idea de comunidad (que establece una convención), e implícitamente, ligada a lo anterior, la idea de comunidad (que acepta o legitima el conocimiento nuevo).

En ese sentido, en algunos momentos hablaremos de los saberes de la comunidad de matemáticos, en otros será apropiado considerar los saberes establecidos en el marco de una clase, y en otras hablaremos de los saberes de un sujeto individual. Nos encontraremos, claro está, con una red de interacciones entre estos distintos niveles.

En este libro nos interesaremos por cómo se legitiman los saberes en estas distintas comunidades. Se sobreentiende que como educadores buscamos que los alumnos se apropien de la forma de validación propia de la comunidad de matemáticos. Ahora bien, para ello, será importante identificar, comprender y hacer evolucionar las maneras con que los alumnos aceptan y validan sus conclusiones. En ese sentido, retendremos una distinción debida a Balacheff (1987), sobre todo en lo que concierne a la noción de prueba y de demostración, que explicita una comunidad de referencia.

Balacheff distingue entre explicación, prueba y demostración. Llama explicación a un discurso tendiente a hacer entendible el carácter de verdad, adquirido por un locutor, de una proposición o de un resultado. Llama prueba a una explicación aceptada por una comunidad dada en un momento dado. En el seno de la comunidad matemática, se aceptan pruebas que adoptan una forma particular, y que son las demostraciones: a partir de una serie de enunciados organizados según reglas determinadas, un enunciado es aceptado como verdadero, o bien es deducido de aquellos que le preceden con la ayuda de las reglas de deducción tomadas de un conjunto de reglas bien definidas.

Pasemos ahora a profundizar en la diferenciación entre signo e inferencia al pasar al terreno del aprendizaje. Más allá de los aspectos convenidos en la comunidadclase, será importante reconocer que cada individuo realiza asociaciones que, aunque no las reconozca y codifique sistemáticamente, funcionarán como signos

(para él). A partir de su práctica, sus reflexiones e interacciones, establecerá conexiones (conscientes o no) entre sus conocimientos y también establecerá criterios para legitimar los conocimientos nuevos. Por estas razones, será conveniente entonces reconocer una nueva comunidad: la comunidadalumno1.

Desde este punto de vista, diremos que cuando un individuo establece por primera vez una relación entre dos enunciados, está realizando una inferencia. En cambio, cuando dicha relación haya sido establecida ya (por ese individuo) hablaremos de interpretación, si uno de ellos es evocado o utilizado en relación con el otro. Dada esta diferenciación, de aquí en adelante diremos que las conclusiones que un sujeto obtiene mediante una inferencia se inscriben en la construcción de nuevo conocimiento, en la asignación de nuevos significados, etc.; y que al realizar una interpretación está utilizando conocimientos/significados anteriores. Y esto, independientemente del grado de explicitación, del grado de conciencia por parte del sujeto acerca de esos procesos, y aun cuando cualesquiera de ellos involucren otras asociaciones o inferencias en el ámbito de la resolución de un problema.

Estas primeras distinciones nos permitirán precisar la relación entre conocimiento, significación e inferencia que establecimos inicialmente, a través de profundizar las relaciones entre las “cosas conocidas” y “lo que llegamos a conocer” a partir de un razonamiento.

Veamos estas cosas a través de algunos ejemplos:

La primera vez que una persona debe demostrar que:

“Un triángulo es equilátero si y sólo si es equiángulo” deberá realizar un razonamiento deductivo que garantice que cualquiera sea el triángulo, las proposiciones “ser equilátero” y “ser equiángulo” tienen el mismo valor de verdad. A través de esa demostración la relación quedará establecida, por lo menos formalmente.

En este caso, la propiedad “Un triángulo es equilátero si y sólo si es equiángulo” constituye algo que la persona ha “llegado a conocer” gracias a una inferencia.