»Was kostet es, ein Handy aufzuladen?« und andere nützliche Mathe-Fragen E-Book

Nick Klupak

• Herausgeber: mvg Verlag
• Kategorie: Bildung
• Sprache: Deutsch
• Veröffentlichungsjahr: 2024

Seitenzahl: 216

Beschreibung

Wer hat sich nicht in der Schule gefragt »Und wofür brauche ich das später?«, wenn der Mathe-Unterricht mal wieder viel zu trocken und langweilig war. Doch Fakt ist: Wir begegnen Mathe überall, und das richtige Wissen sowie die besten Tricks können unser tägliches Leben leichter machen. Dass Mathe dabei auch Spaß machen kann, beweist Nick Klupak, besser bekannt unter @MatheMitNick, in diesem alltagstauglichen Buch über die wichtigsten Mathe-Anwendungen, die du im Leben brauchst. Mit Humor und Praxisnutzen bietet Nick dir einen einfachen Zugang zu vielen Anwendungsbereichen und Problemlösungen. So lernst du spielend leicht das wichtigste Mathe-Wissen. Wer schon immer wissen wollte, wie lange es dauert, ein Zahlenschloss zu knacken, ob sich ein Wassersprudler lohnt oder ob der Leasingvertrag wirklich attraktiv ist, für den ist dieses Buch ein Muss.

Leseprobe

NICK KLUPAK

»WAS KOSTET ES, EIN HANDY AUFZULADEN?«

und andere nützliche Mathe-Fragen

NICK KLUPAK

»WAS KOSTET ES, EIN HANDY AUFZULADEN?«

und andere nützliche Mathe-Fragen

PRAKTISCHES MATHE-WISSEN FÜR DEN ALLTAG, DAS DU SO IN DER SCHULE NICHT GELERNT HAST

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek

Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie. Detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://d-nb.de abrufbar.

Für Fragen und Anregungen

[email protected]

Wichtiger Hinweis

Ausschließlich zum Zweck der besseren Lesbarkeit wurde auf eine genderspezifische Schreibweise sowie eine Mehrfachbezeichnung verzichtet. Alle personenbezogenen Bezeichnungen sind somit geschlechtsneutral zu verstehen.

Originalausgabe

2. Auflage 2024

2024 by mvg Verlag, ein Imprint der Münchner Verlagsgruppe GmbH

Türkenstraße 89

80799 München

Tel.: [phone]

Alle Rechte, insbesondere das Recht der Vervielfältigung und Verbreitung sowie der Übersetzung, vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf in irgendeiner Form (durch Fotokopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren) ohne schriftliche Genehmigung des Verlages reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme gespeichert, verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden. Wir behalten uns die Nutzung unserer Inhalte für Text und Data Mining im Sinne von § 44b UrhG ausdrücklich vor.

Redaktion: Rainer Weber

Umschlaggestaltung: Pamela Machleidt

Umschlagabbildung: shutterstock/Bigmouse108; BNP Design Studio

Abbildungen Innenteil: Manuela Amode sowie shutterstock/kuroksta;

Yevgenij_D; PCH. Vector; stockvit; 4zevar

Satz: abavo GmbH, Buchloe

eBook: ePUBoo.com

ISBN Print 978-3-7474-0592-5

ISBN E-Book (PDF) 978-3-96121-993-3

ISBN E-Book (EPUB, Mobi) 978-3-96121-994-0

Weitere Informationen zum Verlag finden Sie unter

www.mvg-verlag.de

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Inhalt

Vorwort

1 Gar nicht mal so staubige Grundlagen der Mathematik

1.1 Wenn 100 (Kilogramm) eine Binärzahl wäre: Zahlensysteme

1.2 Warum die Quersumme Großmutters letzten Willen erfüllt: Quersumme

1.3 Warum 15 Bratwürste besser sind als 13: Teilbarkeit

1.4 Warum Zikaden nicht unter Rechenschwäche leiden können: Primzahlen

1.5 Warum ihr auf einer Bierbank nicht mehr in derselben Reihenfolge sitzen werdet: Fakultät

1.6 Warum die Satanszahl 666 sogar mit der Papstkrone in Verbindung gebracht wird: Römische Zahlen

1.7 Wie dir ein Affe im Hotel die Unendlichkeit erklären kann: Unendlichkeit

1.8 Aufgaben zum Üben und Intensivieren

2 Bowle weg! Jetzt wird gerechnet

2.1 100 Prozent Steigung ist keine Wand: Dezimalzahlen, Brüche und Prozent

2.2 Wie mir der Mittelwert bei den Hochzeitsvorbereitungen geholfen hat: Rechnen mit Dezimalzahlen

2.3 Auf einer Party kann schon mal etwas zu Bruch gehen – damit solltest du rechnen: Bruchrechnung

2.4 Warum ich »Hausverbot« in einer Bäckerei bekommen habe: Prozentrechnung

2.5 1 Million Euro sofort geschenkt oder 1 Cent 30 Tage lang verdoppeln? Potenzen

2.6 Warum du schon beim ersten Schluck Kaffee auch etwas Mathematik konsumierst: Einheiten

2.7 Wie du wahrscheinlich zum gefeierten Erfolgsguru wirst: Wahrscheinlichkeiten

2.8 Aufgaben zum Üben und Intensivieren

3 Was du über Längen, Flächen und Volumina vielleicht noch nicht wusstest

3.1 Passt die Maus unter dem Seil hindurch? Längen

3.2 Die maximale Fläche mit 10 Meter Zaun: Flächen

3.3 Alle Volumina mit nur einer Volumenformel?! Volumenberechnung

3.4 Aufgaben zum Üben und Intensivieren

4 Wenn es funktioniert, waren es meistens Funktionen

4.1 Soll ich Gerät A oder Gerät B leasen? Lineare Funktionen

4.2 Wie lange dauert es, einen Rasen zu mähen, wenn die Anzahl der Personen steigt? Gebrochen rationale Funktionen

4.3 Bremswegberechnung – Faustformel der Fahrschule vs. Physik: Quadratische Funktionen

4.4 Wie entwickelt sich dein Kapital bei einer Festgeldanlage: Die Exponentialfunktion

4.5 Aufgaben zum Üben und Intensivieren

5 Finanzielle Entscheidungen leichter treffen – ganz ohne Finanzmathe-Fetisch

5.1 Wie viel ist ein Abitur in Deutschland wert?

5.2 Ersparnis Leitungswasser vs. Mineralwasser

5.3 Warum du nicht für 1,34 Euro deinen Job riskieren solltest

5.4 3225 Euro Stundenlohn bequem von zu Hause aus?

5.5 Ersparnis, wenn man mit dem Rauchen aufhört

5.6 Wie rentabel ist eine Fotovoltaikanlage?

5.7 Kannst du dir ein Kind leisten?

5.8 Lohnt es sich, die übernächste Tankstelle anzufahren, um 2 Cent pro Liter zu sparen?

5.9 Wie viel Vermögen musst du haben, um vorzeitig in Rente gehen zu können?

5.10 Aufgaben zum Üben und Intensivieren

6 Mathematik ist eine bittersüße Arznei. Schmeckt nicht, hilft aber – sogar im Gesundheitsbereich

6.1 Was bedeutet »Lichtschutzfaktor 30«?

6.2 So berechnest du deinen Kalorienbedarf

6.3 Mein BMI ist nicht zu groß. Ich bin nur zu klein ...

6.4 So groß werden deine Kinder

6.5 Immer richtig dosieren!

6.6 Aufgaben zum Üben und Intensivieren

7 Wegen Mathe musst du dir keine Sorgen machen. Eher ohne

7.1 Wie weit ist das Gewitter noch von dir entfernt?

7.2 Wie lange dauert es, ein Zahlenschloss zu knacken?

7.3 So viel Urlaubsanspruch hast du bei Teilzeit

7.4 Berechne, ob sich das Glücksrad lohnt

7.5 So viel Lebenszeit kostet dich jede einzelne Zigarette

7.6 Aufgaben zum Üben und Intensivieren

Schlusswort – was, schon vorbei?!

Anhang

Danksagung

Quellen

Lösungen

Der Autor

Für unseren kleinen Sohn.

Willkommen auf der Welt. »Leben« bedeutet Abenteuer. Und »Leben« bedeutet Herausforderung. Ich wünsche dir, dass du die Welt mit offenen Augen wahrnimmst, deine Herausforderungen meisterst und deine bevorstehenden Abenteuer in vollen Zügen genießt. Mögest du mit Stolz auf dein Leben blicken. Mit dem gleichen Stolz, mit dem du mich erfüllst.

Vorwort

Der Moment, als mir meine Mitarbeiterin Anna erzählte, dass sich für ihre Tochter Mathilda eine ganz neue Welt erschließt, weil sie Lesen lernt und plötzlich alles verstehen kann, was auf Straßenschildern, der Speisekarte oder auf der Rückseite einer Cornflakes-Verpackung steht, war die Geburtsstunde dieses Buchs. Mathilda kann ihre Umgebung nun völlig neu wahrnehmen.

Was bei Buchstaben funktioniert, muss doch auch bei Zahlen möglich sein, dachte ich mir, denn auch Zahlen erschließen uns die Welt auf ihre ganz eigene Weise. Wer ein grundlegendes Verständnis der Mathematik hat und vielleicht sogar Spaß daran findet, mathematische und logische Probleme zu lösen, dem erschließt sich ebenfalls eine neue Welt: Räume, Preise, Zeit, Geschwindigkeiten, Rentabilität und vieles mehr. Mathematik begegnet uns in unserem Alltag überall! Und viele Fragen lassen sich mit ein wenig abstraktem Denkvermögen oft leichter beantworten als mit dem berühmten »Knoten im Kopf«. Also war ich mir sicher, dass es machbar sein muss, mehr Menschen die Freude an Mathematik und logischen Fragestellungen zu ermöglichen.

Aber von Anfang an. Mein Weg begann in der fünften und sechsten Klasse auf der Hauptschule. Zu Beginn der siebten Klasse wechselte ich auf die Realschule. Dort stand ich dann in der neunten Klasse auf einer 5 in Mathe.

Ja, du hast richtig gelesen! Das war sicherlich einerseits meiner Faulheit und dem Mangel an Erfolgserlebnissen geschuldet – andererseits hatte ich damals aber auch nicht den Sinn hinter der Mathematik verstanden oder verstehen wollen. Was genau nützen einem abstrakte Formeln jenseits der Grundrechenarten im täglichen Leben? Mir war das damals nicht so recht klar. Genau in dem Jahr, als ich nach der zehnten Klasse Realschule auf die Fachoberschule wechseln wollte, hat man in Bayern dann einen Notenschnitt eingeführt.

»So viel Pech kann auch nur ich haben«, dachte ich mir. Was sich anfänglich für mich wie ein Fluch angefühlt hatte – ich war Lichtjahre von diesem Numerus clausus entfernt –, stellte sich am Ende als Segen heraus. Ich hatte nun wieder ein Ziel vor Augen und wusste, dass ich einiges ändern musste, wenn mein Weg auf der Fachoberschule weitergehen sollte.

Tatsächlich hat mein Sinneswandel Früchte getragen, sodass ich sowohl die Realschule als auch die Fachoberschule mit einer 2 in Mathe abschließen konnte und am Ende sogar Mathematik studierte. Neben der Tatsache, dass ich mein gesamtes Studium mit der Erteilung von Nachhilfeunterricht (natürlich Mathe) finanziert hatte, schloss ich das Mathe-Studium ebenfalls mit Note 2 ab. Irgendwie zog sich diese Note bei mir seit der zehnten Klasse durch.

Eine Zusammenfassung meines Werdegangs könnte also lauten: Von einer 5 in Mathe zum Mathe-Sinnfluencer.

Meine Leidenschaft, Menschen die Mathematik näherzubringen, möchte ich auch mit diesem Buch ausleben. Daher ist das, was du gerade in Händen hältst, ein echtes Herzensprojekt für mich.

Ich habe dieses »Mathe-Buch« bewusst für Erwachsene geschrieben und richte mich nicht direkt an Schüler (indirekt natürlich schon, ab der Mittelstufe kann ich die Lektüre nur empfehlen). Vielen Erwachsenen stellen sich bei dem Wort »Mathematik« die Nackenhaare auf. Das dürfte wohl an den meist schlechten Erinnerungen an die eigene Schulzeit liegen. Berührungsängste sind nicht selten die Folge der schlechten Erfahrungen. Gleichzeitig wenden wir Mathematik viel häufiger im Alltag an, als uns manchmal überhaupt bewusst ist. Darüber hinaus kann Mathematik in vielen weiteren Alltagssituationen tatsächlich von Nutzen sein. Oft, ohne dass wir es auch nur ahnen.

Über die Inhalte dieses Buchs hinaus möchte ich es dir ermöglichen, mathematische bzw. logische Fragen, die uns ständig im Alltag begegnen, künftig selbst beantworten zu können. Natürlich könntest du vieles auch ohne dieses Buch herausfinden, indem du beispielsweise googelst (was ich übrigens für dieses Buch auch hin und wieder getan habe), deinen Nachbarn fragst oder einen Experten konsultierst. Ich meine aber, dass es manchmal gar nicht so schlecht ist, wenn man sich seine eigene Meinung bilden kann und sich selbst zu helfen weiß.

Und genau darum soll es in diesem Buch gehen. Wie kannst du dir die Mathematik am besten zunutze machen? Idealerweise soll das Ganze dann auch noch etwas Spaß machen. Wenn du so möchtest, soll dieses Buch ein unterhaltsamer Ratgeber für dich sein. Die Messlatte hängt also hoch.

Die Inhalte dieses Buchs folgen übrigens keinem Lehrplan aus der Schule. Außerdem ist es kein Lehrbuch, was bedeutet, dass mathematische Beweise und umfangreiche Herleitungen nur im äußersten Notfall verwendet werden. An manchen Stellen wird es vielleicht sogar notwendig sein, bewusst etwas Ungenauigkeit zuzulassen, um die Dinge unkompliziert zu halten. Das Buch erhebt darüber hinaus auch keinen Anspruch auf Vollständigkeit.

Was also kommt jetzt auf dich zu? In den ersten Kapiteln wiederholen wir ein paar Grundlagen, die entweder so interessant sind, dass sie es in dieses Buch geschafft haben, oder einfach nur für spätere Folgekapitel relevant sind. Diese vielleicht gar nicht so staubigen Grundlagen hast du schnell gelesen – versprochen. Außerdem finden sich in fast allen Abschnitten spannende Beispiele aus dem Alltag. Je nachdem, wie gut du in Mathe aufgestellt bist, kannst du die Grundlagen auch nur überfliegen oder gar überspringen. In den darauffolgenden Kapiteln widmen wir uns dann praktischeren Themen, die vielleicht sogar positiven Einfluss auf deinen Kontostand oder deine Gesundheit haben könnten – oder beides.

In allen Kapiteln findest du am Ende ein paar Übungsaufgaben, um dein Verständnis der Materie zu unterstützen. Manchmal musst du dabei rechnen, manchmal knobeln. Ich lade dich herzlich ein, sie zu lösen. Eine mögliche Lösung dieser Aufgaben findet sich dann am Ende dieses Buchs.

Einige Abschnitte habe ich in kurze Geschichten gepackt. Viele davon sind tatsächlich wahr und größtenteils mir selbst passiert. Ein paar sind auch frei erfunden oder zumindest frei erzählt nach wahren Begebenheiten. In einigen Abschnitten spreche ich auch direkt mit dir – in anderen Abschnitten schreibe ich in der dritten Person. Wenn du so willst, ist kein Abschnitt wie der andere. Ich habe mich bewusst für etwas Dynamik in meinem Buch entschieden. Außerdem sei es mir bitte verziehen, dass meine Ausführungen nicht immer gendergerecht oder genderneutral sind. Das hat ausschließlich mit dem Lesefluss zu tun und in keiner Weise mit mangelndem Respekt.

Dieses Buch soll mit Berührungsängsten gegenüber der Mathematik ein für alle Mal Schluss machen. Darüber hinaus soll es dir Mut machen, Mathematik im Alltag wieder bewusst anzuwenden. Und wenn du dabei sogar noch etwas Spaß hast, wäre das die Kirsche auf dem Sahnehäubchen. Ich wünsche dir jedenfalls sehr viel Freude mit diesem Buch und meinem damit verbundenen Herzensprojekt.

Möge die Mathematik mit dir sein.

Dein Nick

1

Gar nicht mal so staubige Grundlagen der Mathematik

Es ist der 7. September 1930. Ein junger Mann betritt in Königsberg die Bühne einer Mathematiker-Tagung. Seine recht kurze Rede besteht im Kern aus einem Satz: »Man kann – unter Widerspruchsfreiheit der klassischen Mathematik – sogar Beispiele für Sätze angeben, die zwar inhaltlich richtig sind, aber im formalen System der klassischen Mathematik unbeweisbar.«1

Moment mal, was hat er da gerade gesagt? Es gibt mathematische Sätze, die zwar richtig sind, aber trotzdem kann man sie nicht beweisen? Es war eine Aussage, die der Gilde der damals anerkanntesten Mathematiker einen Schlag ins Gesicht verpasste. Der junge Mann hieß Kurt Gödel.

Die »Gödelschen Unvollständigkeitssätze« gehören zu den wichtigsten Sätzen der modernen Logik und weisen die Mathematik sprichwörtlich in ihre Schranken. Letztlich gibt es ein »Minimum« an mathematischen Aussagen, die man nicht beweisen kann, auf denen aber die gesamte Mathematik aufgebaut ist.

Ungeachtet der Tatsache, dass die Mathematik »unvollständig« ist, ist unbestritten, dass ihre Elemente aufeinander aufbauen. Du kannst dir die Mathematik bildlich wie ein Kartenhaus vorstellen. Die unterste Reihe, die Grundlagen, bildet das Fundament für alle Reihen darüber. Je mehr Karten in den untersten Reihen fehlen (im übertragenen Sinne sind das Wissenslücken), desto instabiler ist das Fundament. Zieht man noch ein paar Karten heraus, fällt das Kartenhaus letztendlich irgendwann in sich zusammen. Was das für meine Mathenote in der neunten Klasse bedeutet hat, hast du eventuell bereits im Vorwort gelesen.

Damit dein Kartenhaus möglichst stabil bleibt, kommen wir auch in diesem Buch nicht ganz drum herum, ein paar Grundlagen für Folgekapitel zu schaffen. Lass uns starten.

1.1 Wenn 100 (Kilogramm) eine Binärzahl wäre: Zahlensysteme

Starten wir mit etwas ganz Grundsätzlichem. Beim Einkaufen im Supermarkt, beim Blick auf die Straßenschilder beim Autofahren oder während du beim Zähneputzen auf die Waage steigst und feststellst, dass deine neue Zahnbürste schon wieder zwei Kilogramm schwerer ist als deine letzte – überall begegnen uns Zahlen. Die wenigsten hinterfragen dabei, warum Zahlen so dargestellt werden, wie sie eben dargestellt werden.

In Deutschland nutzen wir die arabischen Zahlen, die eigentlich indische sind (aber das ist ein anderes Thema), erst seit ca. 700 Jahren.2

Zahlensysteme wiederum dienen (welch Wunder) der systematischen Darstellung von Zahlen durch Ziffern. Dabei sind die meisten Zahlensysteme polyadisch. Das Wort darfst du gerne wieder vergessen, aber die Bedeutung dahinter ist recht interessant. Bei polyadischen Zahlensystemen ist der Wert der Zahl von der Stelle der Ziffer abhängig. Klingt komplizierter, als es ist, aber dazu kommen wir gleich.

Im Alltag nutzen wir das Dezimalsystem. Das Wort kommt aus dem Lateinischen (deci für zehn) und bedeutet letztlich, dass wir zehn verschiedene Ziffern (0–9) für unser Zahlensystem nutzen und jede Dezimalzahl (Kommazahlen wie etwa 3,45) mithilfe von Zehnerpotenzen darstellen können. Was damit gemeint ist, erläutere ich schrittweise im Folgenden.

  Mathe-Reminder

100, 101, 102, 103 ... sind Beispiele für Zehnerpotenzen.

Dabei ist (siehe Abschnitt 2.5)

und so weiter.

Was meint denn noch mal »polyadisch«? Hier einige Beispiele:

Sobald du das Grundprinzip eines Zahlensystems verstanden hast, wirst du auch relativ leicht das Binärsystem verstehen. Ich meine, du wirst jetzt nicht gleich den Matrixcode entziffern können, aber für ein oder zwei einfache Beispiele sollte es reichen.

Schauen wir dazu einfach mal in die Informatik. Sicherlich weißt du, dass dort Einsen und Nullen eine wichtige Rolle spielen. Und wahrscheinlich hast du auch schon einmal eine Zahl wie diese hier gesehen: 10110.

Mit deinen jetzigen Kenntnissen sollte es leicht sein, die Binärzahl 10110 in eine »gebräuchliche« Dezimalzahl umzuwandeln.

  Mathe-Reminder

Wenn im Dezimalsystem Zehnerpotenzen eine wichtige Rolle spielen, dann sind es im Binärsystem (auch wieder aus dem Lateinischen, binarius für »zweifach«)3 die Zweierpotenzen.

20, 21, 22, 23 ... sind Beispiele für Zweierpotenzen.

Hier die Umwandlung unserer Binärzahl in eine Dezimalzahl:

Et voilà, du hast in Sekunden eine Binärzahl in eine Dezimalzahl umgewandelt! Das Ganze funktioniert natürlich auch umgekehrt, also bei der Frage, wie man ermittelt, welche Binärzahl beispielsweise der Zahl 19 entsprechen würde. Hier führt das aber zu weit. So oder so: Wenn du dich je gefragt hast, wie elektronische Systeme nur mit Binärcodes, also Nullen und Einsen, Informationen aller Art digital abbilden und verarbeiten können: »Umwandlungen« der beschriebenen Art sind das ganze Geheimnis.

Aber Achtung: 100 (Kilogramm) auf deiner Waage ist keine Binärzahl, sondern bittere Dezimal-Realität!

Falls es eine Binärzahl wäre, wären das nur:

1.2 Warum die Quersumme Großmutters letzten Willen erfüllt: Quersumme

Stell dir vor, dass Großmutters letzter Wille ist, 39.321 Euro fair auf ihre drei Enkel aufzuteilen. Wenn du und ich dieselbe Vorstellung von »fair« haben, bedeutet das, dass jeder Enkel exakt dasselbe erben soll – also auf den Cent genau. Du solltest außerdem wissen, dass Großmutter immer sehr genau bei ihren Finanzen war. Klar, als ehemalige Filialleiterin einer Bank! Möchten wir also verhindern, dass sich Großmutter im Grab umdreht, sollten wir beten, dass ihr Nachlass durch 3 teilbar ist. Um das festzustellen, könntest du entweder die schriftliche Division aus deiner Grundschulzeit auspacken oder du weißt, dass eine Zahl durch 3 teilbar ist, wenn die Quersumme dieser Zahl durch 3 teilbar ist. Und damit hätten wir auch schon eine Anwendung der Quersumme, nämlich Teilbarkeiten.

Als Quersumme (oder auch Ziffernsumme) bezeichnet man die Summe der einzelnen Ziffernwerte einer natürlichen Zahl (siehe Mathe-Reminder). Die Quersumme erhältst du also, indem du die einzelnen Ziffern der Zahl addierst.

  Mathe-Reminder

Als natürliche Zahl bezeichnet man alle positiven ganzen Zahlen: 1, 2, 3, 4, 5, 6 usw. Natürliche Zahlen sind letztlich die Zahlen, die du auch beim Zählen verwendest.

Beispiele:

Die Quersumme von 8 ist 8

Manchmal höre und lese ich, dass »doch jede Zahl durch 3 teilbar ist«. Vielleicht möchtest du zu dieser Behauptung zunächst den nächsten Abschnitt lesen, bevor sich Großmutter doch noch im Grab umdreht.

1.3 Warum 15 Bratwürste besser sind als 13: Teilbarkeit

Du bist im Begriff, am Wochenende zu grillen. In deiner linken Hand hältst du eine Packung mit 15 Nürnberger Bratwürsten, in deiner rechten eine Packung mit 13 Bratwürsten. Da ihr insgesamt zu dritt seid, fällt dir die Entscheidung leicht. Du kaufst die Packung mit den 15 Bratwürsten. Ganz einfach, weil 15 Bratwürste durch 3 teilbar sind und somit jeder 5 Bratwürste bekommt. Mit 13 Bratwürsten wäre das schon deutlich schwerer. Dass sich 5 Bratwürste aber schlecht auf mehrere Brötchen aufteilen lassen (niemand isst nur ein Nürnberger Rostbratwürstchen pro Brötchen), wird dir erst später bewusst. Das ist jetzt zugegebenermaßen ein einfacher Fall gewesen und sollte nur als Anregung für ein Alltagsbeispiel dienen. Es gibt durchaus noch weitere Anwendungen. Eine davon hast du bereits im vorherigen Abschnitt (Quersumme) kennengelernt. Teilbarkeiten spielen beispielsweise auch in der Kryptografie (Verschlüsselung) eine Rolle, genauer gesagt bei den Primzahlen, aber dazu kommen wir noch. Widmen wir uns zunächst einmal dem Begriff der Teilbarkeit.

Ich habe dir die Teilbarkeitsregeln auf der nächsten Seite kurz und knapp zusammengefasst.

Später im Aufgabenteil darfst du dich hierzu noch austoben. Ich würde allerdings gerne vorher noch einmal auf die Teilbarkeit mit 7 eingehen. Man hört des Öfteren, dass es keine Regel für die Teilbarkeit mit 7 gibt. Einigen wir uns an dieser Stelle vielleicht darauf, dass es keine wirklich gute, sprich »griffige« Teilbarkeitsregel für 7 gibt, und schauen uns dafür noch ein Beispiel an:

Schnappen wir uns die Zahl 7245 und prüfen, ob diese durch 7 teilbar ist:

(dafür die letzte Ziffer der Zahl verdoppeln und von der restlichen Zahl abziehen)

(Den vorherigen Schritt wiederholen)

Also ist 7245 auch durch 7 teilbar.

1.4 Warum Zikaden nicht unter Rechenschwäche leiden können: Primzahlen

Was haben Zikaden (die man auch Zirpen nennt), Fichten und Verschlüsselung gemeinsam? Alle machen sich die Primzahlen zunutze! Im letzten Abschnitt hast du die Teilbarkeitsregeln kennengelernt. Was ist aber, wenn eine Zahl gar keine Teiler außer 1 und die Zahl selbst hat? Dann sprechen wir von einer Primzahl – zumindest, wenn sie größer als 1 ist.

  Mathe-Reminder

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die genau zwei Teiler hat.

1 ist keine Primzahl!

Häufiger liest und hört man, eine Primzahl sei nur durch sich selbst und 1 teilbar. Dann wäre aber 1 auch eine Primzahl. Sie ist ja schließlich nur durch 1 und sich selbst teilbar. Man kann also selbst in der Mathematik, die ja zu den sogenannten »exakten Wissenschaften« gehört, über die eine oder andere Sache streiten und tatsächlich haben viele Mathematiker lange darüber diskutiert. Letztlich hat man sich darauf geeinigt, dass 1 keine Primzahl ist, weil sie nicht genau zwei Teiler, also zwei verschiedene Teiler aufweist.

Hier ein paar Primzahlen:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127 …

Fun Fact: Es gibt unendlich viele Primzahlen.4 Man weiß seit der Antike durch den Satz von Euklid, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Das ist insofern interessant, als die Primzahlen ja fortlaufend größer werden und damit theoretisch auch mehr potenzielle Teiler besitzen könnten.

Selbst in der Biologie spielen Primzahlen eine Rolle. Zikaden zum Beispiel5 – die kleinen, nur wenige Millimeter großen Insekten – sind anscheinend wahre Primzahlexperten, obwohl sie nie die Schulbank gedrückt haben. Sie vermehren sich nämlich genau alle 13 oder 17 Jahre massenhaft, danach leben die Larven wieder 12 bzw. 16 Jahre unter der Erde.

Anscheinend stehen Zikaden nicht so sehr auf das Motto »Fressen und gefressen werden«. Hätten sie eine Zyklenlänge von beispielsweise 12 Jahren, müssten sie natürliche Feinde fürchten, die alle 1, 2, 3, 4, 6 oder 12 Jahre in Erscheinung treten. Aber bei einer Zyklenlänge von 13 Jahren haben sie nur noch Fressfeinde, die entweder jedes Jahr oder ebenfalls alle 13 Jahre auftreten. Gar kein schlechter Evolutionsvorteil.

Auch Fichten sind äußerst smart. Sie bilden nämlich alle 11 Jahre massenhaft Zapfen und machen es damit Eichhörnchen und Vögeln ganz schön schwer, sich auf diesen Zyklus einzustellen.

In der Kryptografie, also bei der Verschlüsselung, macht man sich die Eigenschaften von Primzahlen ebenfalls zunutze, um Codes (Schlüssel) zu entwerfen, die selbst Supercomputer nicht lösen können. Einer davon ist das Grundgerüst in der sogenannten asymmetrischen Verschlüsselung RSA.6 Hierfür werden zwei gigantisch große Primzahlen (mehr als 300 Stellen) miteinander multipliziert.

Die dadurch entstandene, noch sehr viel größere Zahl (Schlüsselzahl) bietet nun den Vorteil, dass es quasi unmöglich ist, sie durch Rechenleistung wieder in ihre ursprünglichen beiden Primfaktoren zu zerlegen (Primfaktorzerlegung). Nur wer beide ursprünglichen Primzahlen kennt, kann die Schlüsselzahl herstellen.

1.5 Warum ihr auf einer Bierbank nicht mehr in derselben Reihenfolge sitzen werdet: Fakultät

Warst du schon mal auf dem Münchner Oktoberfest? Oder auf irgendeinem anderen Volksfest? Dann kennst du sicherlich die typischen Bierbänke, auf denen es mitunter schon mal recht eng zugehen kann. Und hier kommt die sogenannte Fakultät ins Spiel. Nehmen wir an, ihr geht zu fünft (du und vier Freunde) in ein Bierzelt und habt das unendliche Glück, dass eine Bierbank komplett frei ist. Nachdem du dir vor lauter Unglauben mehrfach die Augen gerieben hast und es darum geht, wer wo sitzt, fragst du dich, wie viele verschiedene Sitzmöglichkeiten es für fünf Personen auf dieser Bierbank gibt.

Nun bietet die Bank 5 freie Plätze. Die erste Person, die sich setzt, hat 5 Möglichkeiten, die zweite Person hat noch 4 Möglichkeiten, die dritte Person noch 3 usw.