Álgebra e introducción al cálculo E-Book

Irene F. Mikenberg

• Herausgeber: Ediciones UC
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Sprache: Spanisch
• Veröffentlichungsjahr: 2015

Seitenzahl: 389

Beschreibung

Este libro cubre todas las materias de un curso universitario inicial de matemáticas y está pensado para que sirva a los profesores como texto guía y a los alumnos para comprender y ejercitar de manera concreta los temas propuestos. Cada capítulo cuenta con problemas resueltos paso a paso, una completa guía de ejercicios con solucionario y una autoevaluación, para que el estudiante pueda medir sus conocimientos y avances, además de un examen final donde el alumno podrá integrar todas las materias en una misma prueba. "Álgebra e introducción al cálculo" es un libro claro, directo y efectivo, que concuerda con la forma actual de aprendizaje secuencial utilizado en la enseñanza superior en estos temas, pero puede también ser extremadamente útil para alumnos de los últimos cursos de enseñanza media que piensan en seguir carreras con ramos matemáticos.

Leseprobe

EDICIONES UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE

Vicerrectoría de Comunicaciones y Educación Continua

Alameda 390, Santiago, Chile

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ÁLGEBRA E INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO

Irene F. Mikenberg

©    Inscripción N° 257.946       Derechos reservados       Septiembre 2015       ISBN edición impresa 978-956-14-1680-2       ISBN edición digital 978-956-14-2645-0

Diseño: versión | producciones gráficas Ltda.

Diagramación digital: ebooks Patagonia

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CIP - Pontificia Universidad Católica de Chile

Mikenberg, IreneÁlgebra e introducción al cálculo / Irene F. Mikenberg.Incluye bibliografía.

1.   Álgebra2.   CálculoI.   t.

2015         512 + DC23           RCAA2

ÍNDICE

Prólogo

1. LENGUAJE MATEMÁTICO

1.1. Introducción

1.2. Lenguaje matemático

1.2.1. Proposiciones

1.2.2. Conectivos

1.2.3. Predicados

1.2.4. Cuantificadores

1.3. Las leyes de la lógica

1.3.1. Verdad

1.3.2. Verdad lógica o tautología

1.3.3. Contradicciones

1.3.4. Equivalencia lógica

1.3.5. Consecuencia lógica

1.3.6. Verdades lógicas usuales

1.4. Aplicaciones

1.4.1. Negación de una proposición dada

1.4.2. Demostraciones por contradicción

1.4.3. Demostraciones por contraposición

1.5. Problemas resueltos

1.6. Ejercicios Propuestos

Autoevaluación 1

2. LOS NÚMEROS REALES

2.1. Sistemas numéricos

2.2. Operaciones básicas en los números reales: Suma y Producto

2.3. Orden de los números reales

2.4. Conjuntos de números reales

2.5. Completud de los números reales

2.6. Ecuaciones e inecuaciones

2.6.1. Ecuaciones en una variable

2.6.2. La ecuación de primer grado

2.6.3. La ecuación de segundo grado

2.6.4. Inecuaciones en una variable

2.6.5. Inecuación de primer grado

2.6.6. Inecuación de segundo grado

2.7. Problemas resueltos

2.8. Ejercicios Propuestos

Autoevaluación 2

3. RELACIONES Y FUNCIONES

3.1. Pares ordenados y producto cartesiano

3.2. Relaciones

3.2.1. Noción intuitiva

3.3. Gráfico de relaciones reales

3.3.1. Ecuación e inecuación de primer grado

3.4. Concepto de función y propiedades básicas

3.5. Gráficos de las funciones reales

3.6. Estudio de una función real

3.7. Sucesiones

3.8. Ejercicios Propuestos

Autoevaluación 3

4. TRIGONOMETRÍA

4.1. Las razones trigonométricas

4.2. Las funciones trigonométricas

4.2.1. Estudio de la función seno

4.2.2. La función coseno

4.2.3. Las otras funciones trigonométricas

4.3. Identidades trigonométricas

4.4. Resolución de ecuaciones trigonométricas

4.4.1. Función seno

4.4.2. Función coseno

4.4.3. Función tangente

4.5. Funciones trigonométricas Inversas

4.5.1. Función inversa del seno

4.5.2. Función inversa del coseno

4.5.3. Función inversa de la tangente

4.6. Resolución de triángulos

4.6.1. Área de un triángulo

4.6.2. Teorema del seno

4.6.3. Teorema del coseno

4.6.4. Problemas resueltos

4.7. Ejercicios Propuestos

Autoevaluación 4

5. NÚMEROS NATURALES

5.1. Propiedades básicas de los números naturales

5.2. Inducción matemática

5.3. Definiciones recursivas

5.4. La exponenciación

5.5. Ejercicios Propuestos

Autoevaluación 5

6. APLICACIONES DE INDUCCIÓN

6.1. Sumatoria

6.2. Una desigualdad importante

6.3. Teorema del Binomio

6.4. Ejercicios Propuestos

Autoevaluación 6

7. POLINOMIOS Y NÚMEROS COMPLEJOS

7.1. Números complejos

7.1.1. Introducción

7.1.2. El sistema de los números complejos

7.2. Forma polar de un número Complejo

7.2.1. Gráfico de números complejos

7.2.2. Teorema de DeMoivre

7.3. Polinomios

7.3.1. División de un polinomio por un polinomio de grado uno

7.3.2. Teorema fundamental del Álgebra

7.4. Ejercicios Propuestos

Autoevaluación 7

8. LOGARITMO Y EXPONENCIA

8.1. Introducción

8.2. La Función Exponencial

8.2.1. Ejemplos de modelamiento con la función exponencial natural

8.3. La Función Logaritmo

8.3.1. Cambio de base

8.4. Ejercicios Propuestos

Autoevaluación 8

9. GEOMETRÍA ANALÍTICA

9.1. La línea Recta

9.1.1. Pendiente e inclinación de una recta

9.1.2. Ecuación de la recta

9.2. Distancia de un punto a una recta

9.3. La circunferencia

9.3.1. Eje radical

9.4. La parábola

9.4.1. Ecuación de la parábola

9.4.2. Elementos de una parábola

9.4.3. Translación de ejes coordenados

9.5. La elipse

9.5.1. La ecuación de la elipse

9.5.2. Los elementos de la elipse

9.6. La hipérbola

9.6.1. La ecuación de la hipérbola

9.6.2. Elementos de la hipérbola

9.7. Ecuación general de segundo grado

9.7.1. Rotación de ejes coordenados

9.8. Ejercicios Propuestos

Autoevaluación 9

10. AXIOMA DEL SUPREMO Y LÍMITES DE SUCESIONES

10.1. Axioma del supremo

10.1.1. Axioma del supremo

10.2. Limites de sucesiones

10.2.1. Teorema del sándwich

10.3. Ejercicios Propuestos

Autoevaluación 10

Autoevaluación Final

A. RESPUESTAS A ALGUNOS EJERCICIOS

A.1. Capítulo 1

A.2. Autoevaluación 1

A.3. Capítulo 2

A.4. Autoevaluación 2

A.5. Capítulo 3

A.6. Autoevaluación 3

A.7. Capítulo 4

A.8. Autoevaluación 4

A.9. Autoevaluación 5

A.10. Capítulo 6

A.11. Autoevaluación 6

A.12. Capítulo 7

A.13. Autoevaluación 7

A.14. Capítulo 8

A.15. Autoevaluación 8

A.16. Capítulo 9

A.17. Autoevaluación 9

A.18. Capítulo 10

A.19. Autoevaluación 10

A.20. Autoevaluación Final

B. BIBLIOGRAFÍA

B.1. Textos

B.2. Videos

PRÓLOGO

El presente texto tiene por objetivo entregar los conocimientos necesarios al alumno para que pueda tomar un primer curso de cálculo en la Pontificia Universidad Católica de Chile abarcando todos los temas de la asignatura “álgebra e introducción al cálculo” que se imparte a diversas carreras y en diferentes formas.

Este volumen se preocupa de los temas más formales, permitiendo al alumno familiarizarse con los lenguajes científicos y con el método deductivo, aspectos fundamentales en la formación de un profesional.

En el primer capítulo se presenta el lenguaje matemático, se introduce el uso de variables y se desarrollan algunos de los principales conceptos lógicos: verdad, consecuencia, equivalencia y demostración. Este capítulo es el eje transversal de todo el texto, pues entrega las herramientas necesarias para hacer demostraciones correctas en matemática.

El segundo capítulo se refiere a los números reales. Aquí se hace una presentación axiomática y en base a ella se estudian ecuaciones e inecuaciones.

En el tercer capítulo se introducen los conceptos de relación, función real, sus propiedades y sus gráficos.

El cuarto capítulo está dedicado a las funciones trigonométricas, sus propiedades, sus gráficos y sus aplicaciones.

En el capítulo 5 se presentan los números naturales, basado en los axiomas de los números reales. Aquí se estudian principalmente los conceptos de inducción y recursión.

En el capítulo 6 se desarrollan las principales aplicaciones de la inducción matemática, destacando las propiedades de sumatorias, progresiones, números combinatorios y el teorema del binomio.

En el séptimo capítulo se introducen los números complejos y los polinomios.

En el capítulo 8 se presentan las funciones exponencial y logaritmo, destacando las propiedades de modelamiento de estas funciones.

En el capítulo 9 se introducen los conceptos básicos de la geometría analítica, estudiando rectas y las cónicas.

Finalmente, en el capítulo 10 se introducen los primeros conceptos del cálculo diferencial, estudiando el concepto de completud de los números reales y el de límites de sucesiones.

Al final de cada capítulo se entrega una prueba de autoevaluación de los conocimientos relevantes de cada capítulo. Esta prueba consta de siete preguntas que el alumno deberá responder y autoevaluar cada pregunta con una nota entre cero y uno. El promedio de las 10 evaluaciones será el 70 por ciento de la nota del curso y el restante 30 por ciento es la nota que se obtenga en el examen final que se encuentra en el capítulo 11.

Con esta nota, el alumno podrá saber si está en condiciones apropiadas para tomar un primer curso de cálculo universitario.

Las respuestas a muchos de los ejercicios propuestos en cada capítulo, a las pruebas de autoevaluación y al examen final se encuentran en el capítulo 12.

Deseo agradecer muy especialmente a mi amiga y colega María Isabel Rauld por sus correcciones, revisión del presente texto y su invaluable cooperación.

IRENE MIKENBERG L.

1 Lenguaje matemático

1.1 Introducción

La matemática estudia las propiedades de ciertos objetos, tales como números, operaciones, conjuntos, funciones, relaciones, etc., y para ello, es necesario poder contar con un lenguaje apropiado para expresar estas propiedades de manera precisa. Desarrollaremos aquí un lenguaje que cumpla estos requisitos, al cual llamaremos lenguaje matemático.

Aunque algunas de estas propiedades son evidentes, la mayoría de ellas no lo son y necesitan de una cierta argumentación que permita establecer su validez. Es fundamental por lo tanto conocer las principales leyes de la lógica que regulan la corrección de estos argumentos. Desarrollaremos aquí los conceptos de verdad, equivalencia y consecuencia lógica y algunas de sus aplicaciones al razonamiento matemático.

1.2 Lenguaje matemático

El lenguaje matemático está formado por una parte del lenguaje natural, al cual se le agregan variables y símbolos lógicos que permiten una interpretación precisa de cada frase.

1.2.1 Proposiciones

Llamaremos proposiciones a aquellas frases del lenguaje natural sobre las cuales podamos afirmar que son verdaderas o falsas. Ejemplos de proposiciones son:

“Dos es par”.

“Tres es mayor que siete”.

“Tres más cuatro es nueve”.

“Si dos es mayor que cinco entonces dos es par”.

“Dos no es par”.

En cambio las siguientes frases no son proposiciones:

“¿Es dos número par?”.

“ Dos más tres”.

“¡Súmale cinco!”.

Usamos letras griegas α, β, γ... etc., para denotar proposiciones.

1.2.2 Conectivos

Una proposición puede estar compuesta a su vez por una o varias proposiciones más simples, conectadas por una palabra o frase que se llama conectivo.

Los conectivos más usados son:

Negación

Consideremos la proposición

“dos no es par”.

Ésta está compuesta por la proposición más simple “dos es par” y por la palabra “no”, que constituye el conectivo negación.

Si α es una proposición, ¬ α denotará la proposición “no es verdad que α”.

Conjunción

Consideremos la proposición

“dos es par y tres es impar”,

la cual está compuesta por las proposiciones más simples “dos es par” y “tres es impar”, conectadas por la palabra “y”, que constituye el conectivo conjunción.

Si α y β son dos proposiciones, usamos (α ∧ β) para denotar la proposición “α y β”.

Disyunción

Consideremos la proposición

“dos es mayor que siete o siete es mayor que dos”.

Esta está compuesta por las proposiciones más simples “dos es mayor que siete” y “ siete es mayor que dos”, conectadas por la palabra “o”, que constituye el conectivo disyunción.

Si α y β son dos proposiciones, usamos (α ∨ β) para denotar la proposición “α o β”

Implicación

Consideremos la proposición

“si dos es par, entonces tres es impar”.

Ésta está compuesta por las dos proposiciones más simples “dos es par” y “ tres es impar”, conectadas por las palabras “si... entonces... ”, que constituyen el conectivo implicación.

Como notación usamos (α → β) para la proposición “si α, entonces β”.

Bicondicional

Consideremos la proposición

“dos es mayor que siete si y solo si siete es menor que dos”.

Ésta está compuesta por las proposiciones más simples “dos es mayor que siete” y “ siete es menor que dos”, conectadas por las palabras “si y solo si”, que constituyen el conectivo bicondicional.

Denotamos por (α ↔ α) a la proposición “α si y solo si β”.

Una proposición es simple si ninguna parte de ella es a su vez una proposición. Ejemplos de proposiciones simples son:

“Dos es un número par”.

“Tres es mayor que cuatro”.

“Tres más cinco es mayor que cuatro”.

Se usan letras minúsculas p, q, r, s..., para denotar proposiciones simples.

Ejemplos

Ejemplo 1.1

Usando símbolos matemáticos conocidos y símbolos para los conectivos, podemos expresar las siguientes proposiciones:

a) “Si dos es par, entonces tres es impar” como (2 es par → 3 es impar).

b) “No es verdad, que dos es par o impar” como ¬ (2 es par ∨ 2 es impar).

Ejemplo 1.2

Usando los siguientes símbolos:

p: “2 es par,”      q: “3 es impar,”

r: “5 < 7”,            s: “5 > 7”,

podemos expresar:

a) “Si dos es par entonces tres es impar” como

(p → q).

b) “No es verdad que dos es par o impar” como

¬ (p ∨ u).

c) “Si no es verdad que cinco es menor que siete, entonces cinco es mayor que siete o cinco es igual que siete” como

(¬ r → (s v t)).

1.2.3 Predicados

Consideremos proposiciones en las que hemos reemplazado uno o más nombres de objetos por letras como: x, y, z, u, etc. Por ejemplo, las siguientes:

“x es positivo”

“y es par”

“x es mayor que y”

“x es mayor que y más z”

“Si x es mayor que 5, entonces x es positivo”.

Estas frases se llaman predicados o funciones proposicionales y las letras usadas se llaman variables. Los predicados no son verdaderos ni falsos, pero al reemplazar las variables por nombres de objetos se transforman en proposiciones.

Como en el caso de las proposiciones, los predicados pueden estar compuestos por otros más simples ligados entre sí por conectivos. Por ejemplo, el predicado: “x es par o x es primo” está compuesto por los predicados simples: “x es par” y “x es primo” unidos por el conectivo “o”.

Ejemplos

Ejemplo 1.3

Usando símbolos matemáticos conocidos y símbolos para los conectivos, podemos expresar los siguientes predicados:

a) “Si x es par, entonces x no es impar” como (x es par → ¬ (x es impar)).

Ejemplo 1.4

Usando además los siguientes símbolos:

p(x) : “x es par”,         q(x) : “x es impar”,

r(x, y) : “x > y”,           s(x, y) : “x < y”,

podemos expresar:

a) “Si x es par, entonces x no es impar” como

(p(x) → ¬ q(x))

b) “x es mayor que y si y solo si no es verdad, que x es menor que y o que x es igual a y como

(r(x, y) ↔ ¬ (s(x, y) ∨ t(x, y)))

1.2.4 Cuantificadores

A partir de un predicado se puede obtener una proposición anteponiendo una frase llamada cuantificador. Los cuantificadores más usados son:

Cuantificador universal

Consideremos el predicado

“x es positivo”

al cual le anteponemos la frase

“para todo número x se tiene que”.

Obtenemos la proposición

“para todo número x se tiene que x es positivo”

cuyo significado es equivalente al de la proposición

“todo número es positivo”.

La frase “para todo x” constituye el cuantificador universal.

Cuantificador existencial

Si al mismo predicado

“x es positivo”

le anteponemos la frase

“existe un número x tal que”

obtenemos la proposición

“existe un número x tal que x es positivo”

cuyo significado es equivalente al de la proposición

“existen números positivos”.

La frase “existe un x” constituye el cuantificador existencial.

Cuantificador “existe un único”

Si anteponemos al mismo predicado

“x es positivo”,

la frase

“existe un único número x tal que”,

obtenemos la proposición

“existe un único número x tal que x es positivo”,

cuyo significado es equivalente al de la proposición

“existe un único número positivo”.

La frase “existe un único x” constituye el cuantificador “existe un único”.

En todo cuantificador se debe especificar el tipo de objetos involucrados en la afirmación, y para hacer esto se usan colecciones o conjuntos de objetos que se denotan por letras mayúsculas: A, B, C... etc.

Como notación usamos:

∀x ∈ A (α(x)) :

“para todo x elemento de la colección A α(x).”

∃x ∈ A (α(x)) :

“existe al menos un elemento x de la colección A tal que α(x)”

∃!x ∈ A (α(x)) :

“existe un único elemento x de la colección A tal que α(x).”

α(a) denota la proposición obtenida de α(x) al reemplazar x por a.

Notemos que si se tiene un predicado con dos variables diferentes, es necesario anteponer dos cuantificadores para obtener una proposición. Por ejemplo, a partir del predicado x < y se pueden obtener entre otras:

Ejemplos

Ejemplo 1.5

Seael conjunto de los números naturales partiendo del 1. Entonces podemos expresar:

a) “Todo número natural impar es primo”

∀x ∈ (x es impar → x es primo)

b) “Existen números naturales impares que no son primos”

∃x ∈ (x es impar ∧¬ (x es primo))

c) “Existe un único número natural primo que no es impar”

∃!x ∈ (x es primo ∧ ¬ (x es impar))

Ejemplo 1.6

Seael conjunto de los números naturales. Usando los símbolos matemáticos usuales y los símbolos lógicos, podemos expresar las siguientes proposiciones:

a) Dos más dos es ocho:

b) Todo número natural es par:

∀x ∈ (x es par)

c) Si dos es par, todo número natural es par:

(2 es par → ∀x ∈ (x es par))

d) Si uno es par, entonces 3 no es par:

(1 es par → ¬ (3 es par))

e) Todo número natural mayor que cinco es par:

∀x ∈ (x > 5 → x es par)

f) Hay números naturales pares mayores que cinco:

∃x ∈ (x es par ∧ x > 5)

g) El producto de dos números naturales pares, es par:

∀x ∈ ∀y ∈ ((x es par ∧ y es par)→ x · y es par)

h) Existe un único número natural cuyo cuadrado es cuatro:

i) No hay un número natural que sea mayor que todo número natural:

¬∃x ∈ ∀y ∈ (x > y)

j) El cuadrado de la suma de dos números naturales es igual al cuadrado del primero más el doble del producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo

1.3 Las leyes de la lógica

1.3.1 Verdad

En cambio, la verdad de una proposición compuesta depende además de la verdad o falsedad de sus componentes más simples y está dada por las siguientes reglas, donde α y β son proposiciones, α(x) es un predicado y A es un conjunto:

1. ¬ α es verdadera si y solamente si α es falsa.

2. (α ∨ β) es verdadera si y solamente si al menos una de ellas es verdadera o incluso si ambas son verdaderas.

3. (α ∧ β) es verdadera si y solamente si ambas son verdaderas.

4. (α → β) es verdadera si y solamente no puede darse el caso que α sea verdadera y β sea falsa.

5. (α ↔ β) es verdadera si y solamente si ambas son verdaderas o ambas son falsas.

6. ∀x ∈ A α(x) es verdadera si y solamente si para todo elemento a de A se tiene que α(a) es verdadera.

7. ∃x ∈ A α(x) es verdadera si y solamente si existe al menos un elemento a de A tal que α(a) es verdadera.

8. ∃!x ∈ A α(x) es verdadera si y solamente si existe un único elemento a de A tal que α(a) es verdadera.

Observación

Notemos que en el caso de la implicación, si α es falsa, automáticamente (α → β) es verdadera y en este caso se dice que (α → β) estrivialmente verdadera.

Ejemplos

Ejemplo 1.7

Seael conjunto de los números naturales. Entonces,

d) (2 < 3 → 3 < 4) es verdadera porque ambas son verdaderas.

f) (2 < 3 ↔ 5 > 1) es verdadera porque ambas son verdaderas.

h) ∀x ∈ (x > 2) es falsa porque 1 ∈ y no se cumple que 1 > 2.

i) ∃x ∈ (x > 2) es verdadera porque por ejemplo, 3 ∈ y 3 > 2.

j) ∀ x ∈ (x > 2 ∨ x ≤ 2) es verdadera, porque si a ∈ , entonces (a > 2 ∨ a ≤ 2) es verdadera y esto último es cierto porque o bien a > 2 o bien a ≤ 2.

k) ∃!x ∈ (x > 2) es falsa, porque por ejemplo, 3 y 4 ∈ , 3 > 2,4 > 2 y 4 ≠ 3.

l) ∀x ∈ (x > 4 → x + 3 > 7) es verdadera porque si a ∈ se tiene que (a > 4 → a + 3 > 7) es verdadera, y esto último es cierto porque si a > 4, sumando tres se obtiene que a + 3 > 7.

m) ∀x ∈ ∀y ∈ ((x > 1 ∧ y > 1) → x · y < 1) es falsa, porque por ejemplo, 2 ∈ , 3 ∀ y ((2 > 1 ∧ 3 > 1) → 2 · 3 < 1) es falsa y esto último se debe a que 2 > 1 y 3 > 1 y no se cumple que 2 · 3 < 1.

ñ) ∃x ∈ ∀ y ∈ (y < x) es falsa porque si a ∈ , entonces por ejemplo, a + 1 ∈ y no se cumple que a + 1 < a.

Notemos que para ver que una proposición de la forma ∀x ∈ A α(x) es falsa, basta encontrar un objeto a de A que no cumpla con α(a). Este objeto se llama un contraejemplo de la proposición dada.

1.3.2 Verdad lógica o tautología

Consideremos la proposición

((p ∧ q) → p)

Esta es verdadera, independientemente del valor de verdad de p y de q, como podemos ver al hacer la siguiente tabla llamada tabla de verdad que se construye a partir de todas las posibles combinaciones de valores de verdad para las proposiciones simples que contiene la proposición original, tal como se muestra a continuación:

Tabla 1.1: Verdades lógicas

Este tipo de proposiciones se llaman verdades lógicas.

Por el contrario, si consideramos la proposición

((p ∨ q) → p),

y hacemos su tabla de verdad:

Tabla 1.2: Ejemplo de una proposición que no es verdad lógica

Vemos que esta es verdadera solo para algunos valores de verdad de p y q. Esta proposición no es una verdad lógica.

El método de las tablas de verdad para verificar una verdad lógica sirve solamente cuando se trata de proposiciones sin variables ni cuantificadores. Por ejemplo, la proposición

∀x ∈ A (p(x) ∨ ¬ p(x))

es lógicamente verdadera, pues si a es un objeto de la colección A, o bien se cumple p (a) o bien su negación ¬ p (a), y por lo tanto (p (a) ∨ ¬ p (a)) es siempre verdadera. En este caso no se puede usar tablas de verdad porque la verdad de

esta depende del universo A y de si para cada objeto a de A se cumple p (a) o no.

1.3.3 Contradicciones

Si consideramos la proposición

(p ∧ ¬ p)

vemos que esta es siempre falsa, cualquiera que sea el valor de verdad de p como podemos observar al hacer la tabla de verdad de la proposición:

Tabla 1.3: Contradicción

Este tipo de proposiciones se llaman contradicciones.

También existen contradicciones en el lenguaje con variables. Por ejemplo, la proposición

∀x ∈ A (p (x)) ∧ ∃x ∈ A (¬ p (x))

es siempre falsa, pues si para todo a ∈ A se cumple p (a), entonces no puede existir un a ∈ A tal que ¬ p (a).

1.3.4 Equivalencia lógica

La proposición

¬(∀x ∈ A (p (x))) ↔ ∀x ∈ A (¬p (x))

es lógicamente verdadera, pues ¬(∀x ∈ A (p (x))) es verdadera si y solo si no es cierto que para todo elemento a ∈ A se cumple p (a), lo cual equivale a que exista al menos un elemento a ∈ A que no cumple p(a) que a su vez es equivalente a que ∃x ∈ A (¬p (x)) sea verdadera.

En este caso se dice que las proposiciones ¬∀x ∈ Ap(x) y ∃x ∈ A¬ p(x) son lógicamente equivalentes, y como notación usamos:

Por el contrario, las proposiciones ¬ (p ∧ q) y (¬ p ∧ ¬ q) no son lógicamente equivalentes porque la proposición

(¬ (p ∧ q) ↔ (¬ p ∧ ¬ q))

no es una verdad lógica como se puede deducir de su tabla de verdad:

Tabla 1.4: Proposiciones no lógicamente equivalentes

Es decir,

(¬ (p ∧ q) (¬ p ∧ ¬ q))

1.3.5 Consecuencia lógica

La proposición

(p ∧ (p → q)) → q)

es lógicamente verdadera como se puede ver fácilmente al hacer su tabla de verdad:

Tabla 1.5: Consecuencia lógica

En este caso se dice que q (el consecuente), es consecuencia lógica de p y (p → q) (proposiciones que forman el antecedente).

Como notación también se usa:

Por el contrario, la proposición ∃x ∈ A (p (x) ∧ q (x)), no es consecuencia lógica de ∃x ∈ A (p (x)) y ∃x ∈ A (q (x)), porque la proposición

(∃x ∈ A (p (x)) ∧ ∃x ∈ A (q (x))) → ∃x ∈ A(p (x) ∧ q (x))

no es lógicamente verdadera.

Para verificar que no lo es, basta encontrar un conjunto A, y predicados particulares p(x) y q(x) que hagan falsa a la proposición anterior, es decir, que hagan verdadero al antecedente y falso al consecuente.

(∃x ∈ A (p (x)) ∧ ∃x ∈ A (q (x))

es verdadera.

Por otro lado, no existe un número natural que sea par e impar simultáneamente, por lo tanto la proposición ∃x ∈ A (p (x) ∧ q (x)) es falsa.

1.3.6 Verdades lógicas usuales

El siguiente teorema nos proporciona algunas de las verdades lógicas más usadas en el razonamiento matemático:

Teorema

Teorema 1.1

Sean α, β y γ proposiciones. Entonces, las siguientes proposiciones son lógicamente verdaderas:

Teorema 1.2

Sean α(x) y β(x) predicados simples. Entonces las siguientes son verdades lógicas:

Teorema 1.3

Sea α(x, y) predicado binario, esto es un predicado que relaciona dos varables, como por ejemplo x < y. Entonces las siguientes son verdades lógicas.

Demostración

La verificación de todas aquellas que no contienen variables ni cuantificadores, puede hacerse usando tablas de verdad. Por ejemplo, para demostrar Teorema 1.1 (XXVIII), construimos la tabla de verdad de la proposición

(¬ (α → β) ↔ (α ∧ ¬ β)),

Tabla 1.6: Tabla de verdad del Teorema 1.1 (XXVIII)

Esta tabla nos indica que independientemente de los valores de verdad de las proposiciones que la componen, (α y β en este caso) la proposición es siempre verdadera como puede observarse en la última columna.

Otra forma de demostrar una verdad lógica con o sin variables, es aplicar directamente el concepto de verdad. Por ejemplo, para verificar Teorema 1.1(XX):

((α → β) ↔ (¬α ∨ β))

tenemos que:

(α → β) es verdadera si y solamente si cada vez que α sea verdadera, también β es verdadera, si y solo si no es el caso que α sea verdadera y β sea falsa, es decir, si y sólo si α es falsa o β es verdadera, o sea, si y solo si ¬α es verdadera o β es verdadera, lo cual se cumple si y solo si (¬ α ∨ β) es verdadera.

Este método se aplica también para verificar verdades lógicas que contienen variables.

Por ejemplo, para verificar Teorema 1.3 (III):

(∃x ∈ A ∀y ∈ A (α(x, y)) → ∀y ∈ A ∃x ∈ A (α(x, y))),

tenemos que si ∃x ∈ A ∀y ∈ A (α(x, y)) es verdadera, entonces existe un elemento a de A tal que ∀y ∈ A (α(a, y)) es verdadera; luego, para todo elemento b de A se tiene que α(a, b) es verdadera. Pero entonces, para todo elemento b de A se tiene que ∃x ∈ A (α(x, b)) es verdadera, y por lo tanto, ∀y ∈ A ∃x ∈ A (α(x, y)) es verdadera.

Observación

Notemos que algunas de estas verdades lógicas son equivalencias; en cambio otras son consecuencias y la equivalencia falla.

Por ejemplo, la proposición (VI) del Teorema 1.1, (((α → β) ∧ α) ∧ β) es lógicamente verdadera, pero no es cierta la equivalencia lógica

(((α → β) ∧ α) ↔ β),

como puede verse al hacer su tabla de verdad:

Tabla 1.7: Tabla de verdad de la proposición ((α → β) ∧ α) ↔ β

También la proposición (VI) del Teorema 1.2:

(∀x ∈ A (α(x)) ∨ ∀x ∈ A (β(x))) → ∀x ∈ A (α(x) ∨ β(x)),

es lógicamente verdadera, pero no se cumple la equivalencia:

(∀x ∈ A (α(x)) ∨ ∀x ∈ A (β(x))) ↔ ∀x ∈ A (α(x) ∨ β(x)).

Entonces ∀x ∈ A (α(x) ∨ β(x)) es verdadera, porque si a ∈ , se tiene que (α(a) ∨ β(a)) es verdader, pues a es par o impar. Pero ∀x ∈ Aα(x) y ∀x ∈ Aβ(x) son falsas pues no todo número natural es par ni todo número natural es impar y por lo tanto su disyunción es falsa.

1.4 Aplicaciones

Si en nuestro trabajo matemático queremos establecer una propiedad que no es evidente, debemos dar un argumento acerca de su verdad, basado en todas las propiedades obtenidas previamente. Este argumento se llama demostración. Una demostración es una cadena de implicaciones y en cada paso de ella se obtiene una nueva verdad, ya sea porque es una verdad lógica o porque es equivalente a otra anterior, o porque es consecuencia de verdades obtenidas anteriormente.

Si en nuestro trabajo matemático queremos introducir nuevos objetos, debemos dar una explicación de estos en términos de los objetos ya conocidos. Esta explicación se llama definición. Las definiciones son igualdades entre nombres de objetos o equivalencias entre predicados y pueden ser usados como tales en las demostraciones.

Desarrollaremos a continuación tres aplicaciones de la lógica al razonamiento matemático que pueden ser muy útiles para el desarrollo de los capítulos siguientes.

1.4.1 Negación de una proposición dada

Para interpretar más fácilmente el símbolo de negación es conveniente que este aparezca siempre ante proposiciones simples. Para ver esta conveniencia, consideremos la proposición que afirma que la operación ⋆ es conmutativa en el conjunto A:

Esta se interpreta por:

Su negación, que afirma que la operación ⋆ no es conmutativa en A es:

que se interpreta por:

la cual es equivalente a:

y por lo tanto a

“existen objetos a y b de A tales que a ⋆ b ≠ b ⋆ a”    (*)

Por otro lado, en virtud de la equivalencia (I) del Teorema 1.2:

¬ (∀x ∈ A (α(x))) ↔ ∃x ∈ A (¬ a(x))

Se tiene que

La interpretación de esta última proposición es precisamente la anteriormente obtenida en (*).

Dada una proposición, siempre es posible encontrar otra equivalente, tal que el símbolo de negación aparezca solo ante proposiciones simples. Esta se obtiene aplicando las siguientes equivalencias del Teorema 1.1:

Por ejemplo, la proposición:

y esta última satisface las condiciones descritas anteriormente.

Negar una proposición dada es encontrar una proposición equivalente a su negación que contenga el símbolo de negación solo ante proposiciones simples. Por ejemplo, para negar la proposición:

aplicamos las equivalencias del teorema a

obteniendo:

la última de las cuales satisface las condiciones requeridas.

1.4.2 Demostraciones por contradicción

Supongamos que queremos demostrar la proposición a. En lugar de demostrarla directamente, demostraremos la siguiente proposición que es equivalente a a en virtud del Teorema 1.1(XXX):

(¬ α → (β ∧ ¬β)),

cuyo consecuente es una contradicción.

Si la proposición es verdadera, como el consecuente es falso, podemos concluir que el antecedente debe ser falso y por lo tanto α debe ser verdadera. Esto constituye el método de demostraciones por contradicción.

Por ejemplo, para demostrar que el sistema:

1.4.3 Demostraciones por contraposición

Para demostrar la proposición α → β, probaremos la siguiente proposición que es equivalente a esta en virtud del Teorema 1.1(XXI):

(¬ β → ¬ α)

Este procedimiento constituye el método de demostraciones por contraposición. Por ejemplo para demostrar:

∀x ∈ (x2 es par → x es par)

es más fácil probar que:

∀x ∈ (x es impar →x2 es impar).

1.5 Problemas resueltos

Problema 1.1

Luego de un crimen, se comprueban los siguientes hechos:

1. El asesino de don Juan es su hijo Pedro o su sobrino Diego.

2. Si Pedro asesinó a su padre, entonces el arma está escondida en la casa.

3. Si Diego dice la verdad, entonces el arma no está escondida en la casa.

4. Si Diego miente, entonces a la hora del crimen, él se encontraba en la casa.

5. Diego no estaba en la casa a la hora del crimen.

¿Quién es el asesino?

Solución

Usaremos los siguientes símbolos:

p : El asesino de don Juan es su hijo Pedro.

q : El asesino de don Juan es su sobrino Diego.

r : El arma está escondida en la casa.

s : Diego dice la verdad.

t : Diego estaba en la casa a la hora del crimen.

Entonces tenemos las siguientes proposiciones verdaderas:

(1) (p ∨ q)

(2) (p → r)

(3) (s → ¬ r)

(4) (¬s → t)

(5) ¬t

Luego:

Como por (5), ¬t es verdadera, podemos concluir que t es falsa y por (4) ¬ s también es falsa, de donde s es verdadera. Por(3), obtenemos que ¬ r es también verdadera y por lo tanto r es falsa. Entonces por (2) p debe ser falsa. Y por (1), q es verdadera.

Podemos concluir que el asesino de don Juan es su sobrino Diego.

Problema 1.2

Consideremos el nuevo símbolo ↓ e interpretemos la proposición (p ↓ q) por “ni pni q”. Es decir, (p ↓ q) es verdadera si y solo si p y q son ambas falsas. Demostrar las siguientes equivalencias lógicas:

1. ¬p ≡ (p ↓ p)

2. (p ∨ q) ≡ ((p ↓ q) ↓ (p ↓ q))

3. (p ∧ q) ≡ ((p ↓ p) ↓ (q ↓ q))

Solución

Basta hacer las correspondientes tablas de verdad y verificar que los valores de verdad de las proposiciones de ambos lados de la equivalencia sean los mismos.

Aquí coinciden los valores de verdad de la segunda y tercera columnas.

Aquí coinciden los valores de verdad de la tercera y quinta columnas.

Aquí coinciden los valores de verdad de la tercera y sexta columnas.

Problema 1.3

Encontrar un conjunto A y predicados p(x), q(x) y r(x) que satisfagan las proposiciones:

∀x ∈ A(p(x) → q(x))   y   ∃x ∈ A(q(x) ∧ r(x))

Solución

En primer lugar, construiremos el diagrama de Venn de este par de proposiciones, que consiste en un esquema general de todos aquellos conjuntos A y predicados p(x), q(x) y r(x), que satisfacen dichas proposiciones.

Como primer paso representamos A como el universo y los predicados p(x), q(x) y r(x), como los subconjuntos P, Q y R de A, respectivamente, obteniendo:

Figura 1.1: Diagrama de Venn para los conjuntos P, Q y R de A

En segundo lugar, modificamos este diagrama, eliminando regiones (achurando) o distinguiendo objetos en alguna región, de modo que cada una de las proposiciones se verifique en el diagrama. La primera proposición afirma que todo objeto de A que está en P, está también en Q. Eliminamos por lo tanto todas aquellas regiones que estando dentro de P, pero que están fuera de Q, reduciendo el tamaño de P y moviéndolo para que quede dentro de Q:

Figura 1.2: Modificación de la Figura 1.1

La segunda proposición afirma que hay un objeto de A que está en Q y en R. Ubicamos por lo tanto un objeto a en la intersección de Q con R, y como no podemos decidir si a está dentro o fuera de P, lo ubicamos en la frontera:

Figura 1.3: Objeto a que pertenece a R y Q

Este último diagrama constituye el diagrama de Venn de las proposiciones dadas.

En tercer lugar, construimos un conjunto A y predicados p(x), q(x) y r(x) que se ajusten al diagrama y que por lo tanto satisfacen las proposiciones dadas.

El más simple es:

Problema 1.4

Decidir si la proposición:

α: “Hay números naturales pares que son racionales”

es o no consecuencia lógica de las proposiciones:

β: “Todo número natural par es positivo”.

γ: “Hay números naturales positivos que son racionales”.

En el lenguaje aristotélico este problema consiste en decidir si el silogismo siguiente es o no es válido:

Solución

Consideremos los siguientes predicados:

p(x): “x es par”

q(x): “x es positivo”

r(x): “x es racional”

Seael conjunto de los números naturales.

Entonces, podemos expresar en símbolos:

α : ∃x ∈ (p(x) ∧ r(x))

β : ∀x ∈ (p(x) → q(x)) y

γ : ∃x ∈ (q(x) ∧ r(x))

El problema consiste por lo tanto en determinar si la proposición:

((∀x ∈ (p(x) →q(x)) ∧ ∃x ∈ (q(x) ∧ r(x))) → ∃x ∈ (p(x) ∧ r(x)))

es lógicamente verdadera. Para esto hay que probar que para todo x ∈ , si p(x), q(x) y r(x) verifican las premisas, también verifican la conclusión. Esto puede hacerse usando diagramas de Venn y el problema se reduce a verificar que en el diagrama de Venn de las premisas se satisface la conclusión.

En virtud del problema anterior este diagrama es:

Figura 1.4: Diagrama de Venn para la proposición “Hay números naturales pares que son racionales”

y en él no se verifica necesariamente la conclusión, puesto que el objeto a del diagrama puede estar dentro o fuera de P, por lo que se puede concluir que la proposición dada no es una verdad lógica. Con lo anterior se concluye que α no es consecuencia lógica de β y γ.

Problema 1.5

Encuentre una proposición α que contenga las letras p, q y r y cuya tabla de verdad sea la siguiente:

Solución

Mirando las líneas de la tabla de verdad en las cuales α es verdadera, podemos interpretar α por:

“O bien p es verdadera, q falsa y r falsa; o bien p es falsa, q verdadera y r verdadera; o bien p es falsa, q verdadera y r falsa; o bien p es falsa, q falsa y r falsa”.

Esto equivale a interpretar la siguiente proposición:

((p ∧ ¬ q ∧ ¬ r) ∨ (¬ p ∧ q ∧ r) ∨ (¬ p ∧ q ∧ ¬ r) ∨ (¬ p ∧ ¬ q ∧ ¬ r))

Esta última puede ser reducida aplicando las siguientes equivalencias:

Y también:

Obteniéndose finalmente la proposición:

((¬ p ∧ q) ∨ (¬ q ∧ ¬ r)),

que tiene la tabla de verdad pedida.

Problema 1.6

Determine si la frase:

“Yo estoy mintiendo”

es o no una proposición.

Solución

Supongamos que lo es. Entonces es verdadera o falsa.

Si es verdadera, es cierto que está mintiendo y por lo tanto es falsa.

Si es falsa, es falso que está mintiendo y por lo tanto dice la verdad, esto es, ella es verdadera.

Pero esto es una contradicción, por lo que nuestra suposición es falsa: esta frase no es una proposición.

Esta situación se conoce como “la paradoja del mentiroso”, y constituye una de las razones má s poderosas para desarrollar lenguajes formales y utilizarlos en lugar del lenguaje natural.

1.6 Ejercicios Propuestos

1. Exprese las siguientes proposiciones utilizando los símbolos matemáticos y lógicos usuales:

(a) No es cierto que si el doble de 4 es 16 entonces el cuadrado de 4 es 32.

(b) El cuadrado de –3 es 9 y es mayor que 7.

(c) Dos es positivo o –2 es positivo; pero ninguno de los dos es mayor que 10.

(d) Existe un número entero mayor que 2.

(e) Existe un número natural cuyo cuadrado sumado con 3 es 1.

(f) Todo número real cumple que él es positivo o su inverso aditivo es positivo, excepto el cero.

(g) El cuadrado de todo número real es mayor que el triple del número.

(h) La suma de dos números naturales es mayor que cada uno de ellos.

(i) Todo número real es igual a sí mismo.

(j) Existen números enteros pares y números enteros impares.

(k) Hay números reales que son negativos y positivos a la vez.

(l) El cero no es ni positivo ni negativo.

(m) El cuadrado de un número real negativo es un número real positivo.

(n) El uno es neutro del producto en el conjunto de los números reales.

(ñ) Todo número real distinto de cero tiene un inverso multiplicativo real.

(o) El producto de dos números enteros negativos es negativo.

(p) Todo número real es positivo, negativo o cero.

(q) Para todo número natural existe un natural mayor.

(r) Si un número real es positivo, entonces su inverso multiplicativo es positivo.

(s) No siempre la resta de dos números naturales es un número natural.

(t) No existe un número real negativo que sea mayor o igual que todo número negativo.

(u) El cuadrado de la suma de dos números reales es el cuadrado del primero más el doble del producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.

(v) La raíz cuadrada positiva de un número real positivo es aquel número real positivo cuyo cuadrado es el número dado.

(w) Dado cualquier número real, existe otro número real cuyo cuadrado es el número inicial.

2. Exprese en el lenguaje natural las siguientes proposiciones:

3. Dadas las proposiciones:

p: dos es par

q: dos es impar

r: tres es par

s: tres es impar

(a) Exprese en símbolos:

1) O bien 2 es par o bien 2 es impar.

2) Si 2 no es par entonces 3 es par y 2 es impar.

3) No solo 2 no es par, sino que tampoco es impar.

4) El que 3 sea par equivale a que no sea impar.

(b) Exprese en el lenguaje natural:

1) (¬ p → q)

2) (r ↔ ¬ s)

3) ((p ∧ r) → (¬ q ∧ ¬ s))

4. Dados los siguientes predicados:

p(x)  :  x es par

q(x)  :  x es impar

r(x)  :  x es mayor que 5

s(x)  :  x es menor que 10

(a) Exprese en símbolos:

1) Todo número entero es mayor que 5.

2) Existen números enteros pares mayores que 5.

3) Existen números enteros entre 5 y 10.

(b) Exprese en el lenguaje natural:

1) ∀x ∈ (p(x) ∨ q(x))

2) ∀x ∈ (¬ r(x) → s(x))

3) ¬ ∃x ∈ (s(x) ∧ ¬ r(x))

5. Sea A un conjunto, a un objeto de A y ⋆ una operación binaria en A.Exprese en símbolos:

(a) ⋆ es una operación conmutativa en A

(b) ⋆ es una operación asociativa en A

(c)a es neutro de ⋆ por la derecha

(d)a no es neutro de ⋆ por la izquierda

(e) No todo elemento operado por ⋆ consigo mismo resulta el mismo elemento

(f) Hay dos elementos de A que no conmutan por ⋆

6. Exprese los siguientes enunciados de teoremas, usando símbolos:

(a) La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo es 180°.

(b) En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

(c) El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término más el doble del producto del primer término por el segundo más el cuadrado del segundo término.

8. Sean a y b números enteros y consideremos las siguientes proposiciones:

p:  a > 0

q:  b < 0

r:  a2 > 0

s:  b2 > 0

Exprese las siguientes proposiciones en el lenguaje natural y determine su valor de verdad, sabiendo que p, q, r y s son verdaderas:

(a) (p ∨ ¬p)

(b) (p → r)

(c) (q → s)

(d) (s → ¬ q)

(e) (¬ p ∧ ¬ r)

(f) (¬¬ r ∧ ¬ r

(g) (r ∨ s)

(h) ¬ p

(i) (r → p)

(j) (s → p)

(k) (r ∧ p)

(l) (s ∧ p)

(ll) (r → ¬ p)

(m) (¬ s ∧ ¬ p)

(n) (q ∧ r)

(o) (¬ r ∧ ¬ q ∧ ¬ s)

9. Decida si cada una de las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas:

(a) (2 < 1 → 2 es impar)

(c) (2 > 0 → 3 > 1)

(d) (2 > 0 → 3 < 1)

(e) ((2 < 1 ∨ 2 > 0) → 2 es impar)

(f) (2 < 1 → (2 es impar ∨ 3 > 1))

(g) ((2 < 1 ∧ 2 > 0) → 2 es impar)

(h) (2 > 1 → (2 es impar ∧ 3 > 1))

11. Use contraejemplos para demostrar que cada una de las siguientes proposiciones son falsas:

12. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

(a) ∀ x ∈ A (x + 3 < 6)

(c) ∀ x ∈ A ∀ y ∈ A ((x2 + y) es par)

(d) ∃ x ∈ A ∀ y ∈ A ((x2 + y) es par)

(e) ∀ y ∈ A ∃ x ∈ A ((x2 + y) es par)

(f) ∀ x ∈ A ∃ y ∈ A ((x2 + y) es impar)

14. Demuestre todas las verdades lógicas de los teoremas 1.1, 1.2 y 1.3.

15. Demuestre que las siguientes proposiciones no son lógicamente verdaderas.

(a) (¬(p → q) ↔ (¬p → ¬q))

(b) (¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∧ ¬ q))

(c) (¬(p ↔ q) ↔ (¬p ↔ ¬ q))

16. Encuentre un conjunto A y predicados p(x) y q(x), tales que la proposición dada sea verdadera:

(a) ∀x ∈ A(p(x) → ¬ q(x)).

(b) ∃x ∈ A(¬ p(x) ∧ ¬ q(x))

17. Encuentre un conjunto A y predicados p(x) y q(x), tales que la proposición dada sea falsa:

(a) ∀x ∈ A(p(x) → ¬ q(x))

(b) ∃x ∈ A(p(x) ∧ q(x))

18. Encuentre un conjunto A y predicados p(x), q(x) y r(x) tales que los siguientes pares de proposiciones sean verdaderas:

19. Demuestre que las siguientes proposiciones no son lógicamente verdaderas:

20. Demuestre que las siguientes proposiciones son contradicciones:

21. Demuestre sin usar tablas de verdad las siguientes equivalencias donde a es una proposición lógicamente verdadera:

(a) (p ∧ α) ≡ p

(b) (p ∨ α) ≡ α

(c) (p ∧ (q ∧ α)) ≡ (p ∧ q)

(d) (p ∨ (q ∨ α)) ≡ α

(e) ((p ∧ (q ∨ α)) ≡ p

(f) (p ∨ (q ∧ α)) ≡ (p ∨ q)

22. Demuestre sin usar tablas de verdad, que las siguientes proposiciones son lógicamente verdaderas:

(a) ((p → q) ∨ (q → p))

(b) ((¬p ∧ p) ↔ ¬(¬p ∨ p))

(c) ((p ∨ (¬p ∧ q)) ↔ (p ∨ q))

23. Demuestre sin usar tablas de verdad, que las siguientes proposiciones son contradicciones:

(a) ¬((p → q) ∨ (q → p))

(b) ((¬p ∧ p) ↔ (¬p ∨ p))

(c) (¬(¬p → q) ↔ (p ∨ q))

24. Simplifique las siguientes proposiciones, es decir, obtenga proposiciones equivalentes a las dadas pero de menor largo:

(a) (¬(q ∧ ¬r) ∨ q)

(b) (p ∧ ¬(q ∧ p))

(c) (((p ∧ (q ∧ ¬ p)) ∧ ¬ q)

(d) ((¬(¬p → q) ∨ (p ∨ q)) ∧ ¬ q)

(e) ¬(¬p → (p ∧ ¬ p))

25. Exprese las siguientes proposiciones usando solamente los conectivos ¬ e ∧:

(a) (p ∨ q)

(b) ((p ∨ q) → p)

(c) ¬ (p → q)

(d) ((p ↔ q) ∧ (p ↔ r))

26. Niegue las siguientes proposiciones:

(a) (p ∧ ¬ p)

(b) (s → ¬q)

(c) (¬ p ∧ ¬ r)

(d) (¬ ¬ r ↔ ¬ r

(e) (¬ r ∧ ¬ q ∧ ¬ s)

27. Niegue las siguientes proposiciones:

28. Niegue las siguientes proposiciones:

29. Demuestre que p es consecuencia lógica de las premisas indicadas en cada uno de los siguientes casos:

(a)q, (¬p → ¬q)

(b) (p ∨ q), (q → r), (p ∨ ¬r)

(c) (p ∨ q ∨ r), (q → r), ¬(q ∧ r), ¬r

30. Demuestre que p no es consecuencia lógica de las premisas indicadas:

(a) ¬ q, (¬p → ¬q)

(b) (p ∨ q), (q → r), (¬q ∨ r)

(c) (p ∨ q ∨ r), (q → r), (p → q)

31. Analice la validez de los siguientes argumentos:

(a) Si hoy es martes entonces mañana es miércoles. Pero hoy no es martes. Luego mañana no es miércoles.

(b) O bien hoy es lunes o bien es martes. Pero hoy no es lunes. Luego hoy es martes.

32. Analice la validez de los siguientes argumentos:

(a) Todo hombre es mortal. Hay animales que son hombres. Luego, hay animales que son mortales.

(b) Hay mujeres sabias. Hay profesoras mujeres. Luego hay profesoras sabias.

33. Hay tres hombres: Juan, José y Joaquín, cada uno de los cuales tiene dos profesiones. Sus ocupaciones son las siguientes: chofer, comerciante, músico, pintor, jardinero y peluquero.

En base a la siguiente información, determine el par de profesiones que corresponde a cada hombre:

(a) El chofer ofendió al músico riéndose de su cabello largo.

(b) El músico y el jardinero solían ir a pescar con Juan.

(c) El pintor compró al comerciante un litro de leche.

(d) El chofer cortejaba a la hermana del pintor.

(e) José debía $1.000 al jardinero.

(f) Joaquín venció a José y al pintor jugando ajedrez.

34. Se tienen los siguientes datos acerca de un crimen:

(a) La asesina de la señora Laura fue una de sus tres herederas: María, Marta o Mercedes.

(b) Si fue María, el asesinato sucedió antes de medianoche.

(c) Si el asesinato fue después de las doce, no puede haber sido Marta.

(d) El asesinato fue después de las doce.

¿Quién asesinó a la señora Laura?

35. Considere el conectivo DOS (p, q, r) cuya interpretación está dada por la siguiente tabla:

Encuentre una proposición equivalente a DOS(p, q, r) que contenga los conectivos usuales.

36. La disyunción excluyente entre p y q denotada por: (p∨q) se interpreta por:

(p∨q) es verdadera si y solo si p es verdadera o q es verdadera, pero ambas no ambas.

(a) Construya una tabla de verdad para (p∨q)

(b) Demuestre que (p∨q) ≡ (p ∨ q) ∧ ¬ (p ∧ q)

(c) Demuestre que p ∧ (q∨r) ≡ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r))

37. Encuentre una proposición α que contenga las letras p, q y r cuya tabla de verdad sea:

Autoevaluación 1

1. Traduzca al lenguaje matemático la siguiente frase: