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- Herausgeber: Dorling Kindersley Verlag
- Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
- Sprache: Deutsch
Faszination Mathematik auf den Punkt gebrachtDas 1x1 der Mathematik! Dieses innovative Nachschlagewerk führt mit informativen Diagrammen & ansprechenden Grafiken leicht verständlich in die Geschichte der Mathematik sowie in über 85 mathematische Probleme, Begriffe, Theoreme & Beweise sowie Biografien berühmter Mathematiker ein – von Mustern in der Natur bis zu moderner Computertechnologie. Der neue Titel aus der DK Kultreihe Big Ideas! Das große Mathematik-Buch zum Nachschlagen – Zusammenhänge, Theorien & Biografien kurzweilig und einfach aufbereitet: • Über 85 der wichtigsten mathematischen Probleme.• Wissen grafisch auf den Punkt gebracht.• Interessante Fragen rund um die Mathematik werden in diesem Buch verständlich und anschaulich beantwortet und regen zum Nachdenken an.• Die Geschichte der Mathematik in sechs großen Kapiteln! Mathematik entdecken und verstehen! Der perfekte zugängliche Komplettüberblick zu einer komplexen Wissenschaft – Basiswissen zum Studieren, Informieren oder Nachschlagen!
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Seitenzahl: 556
Veröffentlichungsjahr: 2021
Ähnliche
INHALT
EINLEITUNG
FRÜHZEIT UND ANTIKE
3500 V. CHR.–500 N. CHR.
Ziffern finden ihre Stelle
Stellenwertsystem
Das Quadrat als höchste Potenz
Quadratische Gleichungen
Genaues Rechnen: Kenntnis aller Dinge dieser Welt
Der Papyrus Rhind
Gleiche Summe in alle Richtungen
Magische Quadrate
Die Zahl ist der Ursprung von Göttern und Dämonen
Pythagoras
Eine reelle Zahl, die nicht rational ist
Irrationale Zahlen
Der schnellste Läufer kann den Langsamsten nie überholen
Zenons Paradoxa der Bewegung
Ihre Kombinationen führen zu Komplexitäten ohne Ende
Platonische Körper
Beweisbare Wissenschaft leitet sich aus notwendigen Grundsätzen ab
Syllogistik
Das Ganze ist größer als ein Teil davon
Euklids Elemente
Zählen ohne Zahlen
Der Abakus
Die Erforschung von Pi ist wie die Erforschung des Universums
Berechnung von Pi
Wir trennen die Zahlen wie mit einem Sieb
Das Sieb des Eratosthenes
Ein geometrischer Gewaltmarsch
Kegelschnitte
Die Kunst, Dreiecke zu messen
Trigonometrie
Zahlen können weniger als nichts sein
Negative Zahlen
Die Blume der ganzen Arithmetik
Diophantische Gleichungen
Ein unvergleichlicher Stern am Firmament der Weisheit
Hypatia
Der beste Näherungswert für Pi für ein Jahrtausend
Zu Chongzhi
DAS MITTELALTER
500–1500
Null minus ein Vermögen ist eine Schuld
Null
Algebra ist eine wissenschaftliche Kunst
Algebra
Befreiung der Algebra von den Fesseln der Geometrie
Der binomische Lehrsatz
Vierzehn Arten mit all ihren Zweigen und Fällen
Kubische Gleichungen
Die allgegenwärtige Musik der Sphären
Die Fibonacci-Folge
Die Macht der Verdoppelung
Weizenkörner auf dem Schachbrett
DIE RENAISSANCE
1500–1680
Die Geometrie der Kunst und des Lebens
Der Goldene Schnitt
Wie ein großer Diamant
Mersenne-Primzahlen
Auf einer Rumbenlinie segeln
Loxodromen
Zwillingslinien gleicher Länge
Gleichheitszeichen und andere Notationen
Plus von Minus mal Plus von Minus macht Minus
Imaginäre und komplexe Zahlen
Das Zehntel
Dezimalstellen
Umwandlung der Multiplikation in eine Addition
Logarithmen
Die Natur verwendet so wenig wie möglich von allem
Das Problem der Maxima
Die Fliege an der Decke
Koordinaten
Eine Vorrichtung von wunderbarer Erfindungsgabe
Die Fläche unter einer Zykloide
Aus drei Dimensionen zwei machen
Projektive Geometrie
Symmetrie ist, was wir auf den ersten Blick sehen
Das pascalsche Dreieck
Auch der Zufall befolgt feste Gesetze
Wahrscheinlichkeit
Die Summe der Abstände entspricht der Höhe
Der Dreieckssatz von Viviani
Die Schwingung eines Pendels
Die Tautochrone
Mit der Analysis kann ich die Zukunft vorhersagen
Analysis
Die Vervollkommnung der Wissenschaft der Zahlen
Binärzahlen
DIE AUFKLÄRUNG
1680–1800
Die Wirkung ist stets der Gegenwirkung gleich
Die newtonschen Bewegungsgesetze
Das empirische und erwartete Ergebnis sind gleich
Das Gesetz der großen Zahlen
Eine dieser seltsamen Zahlen, die ein eigenes Leben haben
Die eulersche Zahl
Zufällige Variationen ergeben ein Muster
Die Normalverteilung
Die sieben Brücken von Königsberg
Graphentheorie
Jede gerade Zahl ist die Summe zweier Primzahlen
Die goldbachsche Vermutung
Die schönste aller Gleichungen
Eulers Identität
Die Wahrscheinlichkeit zukünftiger Ereignisse
Der Satz von Bayes
Einfach eine Frage der Algebra
Die analytische Lösung von Gleichungen
Lasst uns Fakten sammeln
Buffons Nadelexperiment
Die Algebra gibt oft mehr, als man erbeten hatte
Der Fundamentalsatz der Algebra
DAS 19. JAHRHUNDERT
1800–1900
Komplexe Zahlen sind Koordinaten in einer Ebene
Die komplexe Zahlenebene
Die Natur als fruchtbarste Quelle für mathematische Entdeckungen
Fourier-Analyse
Das hypothetische Wesen, das von allen Atomen des Universums weiß, wo sie sich befinden
Der laplacesche Dämon
Wie stehen die Chancen?
Die Poisson-Verteilung
Unersetzbares Werkzeug der angewandten Mathematik
Bessel-Funktionen
Sie wird den zukünftigen Kurs der Wissenschaft steuern
Mechanische Computer
Eine neue Art von Funktionen
Elliptische Funktionen
Ich habe eine neue, andere Welt aus dem Nichts erschaffen
Nichteuklidische Geometrien
Algebraische Strukturen haben Symmetrien
Gruppentheorie
Geradezu wie ein Taschenatlas
Quaternionen
Zwei aufeinanderfolgende ganze Zahlen außer 8 und 9 können keine exakten Potenzen sein
Die catalansche Vermutung
Die Matrix ist überall
Matrizen
Eine Untersuchung der Gesetze des Denkens
Boolesche Algebra
Eine Fläche mit nur einer Seite
Das Möbiusband
Die Musik der Primzahlen
Die riemannsche Vermutung
Einige Unendlichkeiten sind größer als andere
Transfinite Arithmetik
Die Diagrammdarstellung von Schlussfolgerungen
Venn-Diagramme
Der Turm wird fallen und es wird das Ende der Welten sein
Der Turm von Hanoi
Formen und Größen spielen keine Rolle, nur Verbindungen
Topologie
Die Verteilung der Primzahlen zeigt ein Muster
Der Primzahlsatz
MODERNE MATHEMATIK
1900–HEUTE
Der Schleier, unter dem die Zukunft verborgen liegt
23 Probleme für das 20. Jahrhundert
Die Grammatik der Wissenschaft
Die Geburt der modernen Statistik
Eine fortgeschrittene Logik befreit uns
Mathematische Logik
Das Universum ist vierdimensional
Minkowski-Raum
Eine ziemlich langweilige Zahl
Taxicab-Zahlen
Eine Million Affen schlagen auf eine Million Schreibmaschinen ein
Das Infinite-Monkey-Theorem
Die Algebra hat ein anderes Gesicht bekommen
Emmy Noether und abstrakte Algebra
Strukturen sind die Waffen des Mathematikers
Das Bourbaki-Kollektiv
Eine einzige Maschine, um jede berechenbare Folge zu berechnen
Die Turing-Maschine
Kleine Dinge sind häufiger als große Dinge
Das benfordsche Gesetz
Ein Bauplan für das Digitalzeitalter
Informationstheorie
Jeder kennt jeden über etwa sechs Ecken
Das Kleine-Welt-Phänomen
Eine kleine positive Schwingung kann den ganzen Kosmos verändern
Der Schmetterlingseffekt
Logisch können Dinge nur teilweise wahr sein
Fuzzy-Logik
Eine große vereinheitlichte Theorie der Mathematik
Das Langlands-Programm
Ein neues Dach, ein neuer Beweis
Mathematische Kollaboration
Fünfecke sehen einfach nett aus
Penrose-Kacheln
Endlose Vielfalt und unbegrenzte Kompliziertheit
Fraktale
Vier Farben, aber nicht mehr
Der Vier-Farben-Satz
Verschlüsselung von Daten mit einer Einwegfunktion
Kryptografie
Juwelen auf einem noch unsichtbaren Faden
Endliche einfache Gruppen
Ein wahrhaft wunderbarer Beweis
Beweis des Satzes von Fermat
Keine andere Anerkennung ist nötig
Beweis der Poincaré-Vermutung
ANHANG
GLOSSAR
ZITATQUELLEN
DANK
VORWORT
Die ganze Mathematik in einem Buch – das ist unvorstellbar, denn es gibt einfach zu viel Mathematik. In der Tat existiert Mathematik seit mindestens 5000 Jahren. Während dieser langen Zeit haben Mathematikerinnen und Mathematiker unablässig mathematische Erkenntnisse erzielt und veröffentlicht. Heute ist Mathematik produktiver denn je: Täglich, ja stündlich werden neue Ergebnisse publiziert. Wie soll man das zusammenfassen?
Die Autoren dieses Buches schaffen es jedoch, den Dschungel zu lichten. Dazu schlagen sie große Schneisen und ermöglichen so Blicke in die Welt der Mathematik, die Einsichten eröffnen. Was das Buch wirklich einzigartig macht, ist, dass es nicht in der Vergangenheit stehen bleibt, sondern durchgängig die Verbindung zu moderner Mathematik sucht.
Die ganze Mathematik in einem Buch – das kann nicht funktionieren, weil das viel zu kompliziert ist. In der Tat hat die Mathematik in den letzten 500 Jahren eine Sprache voller Symbole, Spezialausdrücke und Zeichen entwickelt. Die Mathematikerinnen und Mathematiker sind zu Recht stolz darauf. Denn die mathematische Sprache ist ein Präzisionsinstrument, mit dem man auch noch die kühnsten Expeditionen menschlichen Denkens ermöglichen und absichern kann. Aber wer soll das verstehen?
Doch, es geht. Das Buch schlägt einen klugen Mittelweg ein: Es vermeidet einerseits, so zu tun, als ob die mathematische Sprache im Grunde nur eine Art Zuckerguss sei, auf den man auch verzichten kann, und es vermeidet andererseits, ein mathematisches Lehrbuch zu sein, bei dem die mathematische Sprache ganz selbstverständlich benutzt wird. So werden an vielen Stellen der Nutzen und der Vorteil einer symbolischen Darstellung klar.
Die ganze Mathematik in einem Buch – das interessiert doch niemanden, weil Mathe angeblich langweilig ist. In der Tat haben die wenigsten Menschen eine Vorstellung von der Lebendigkeit der Mathematik. Es ist weitgehend unbekannt, dass Mathematik eine der wichtigsten Wissenschaften für unser Leben und unsere wirtschaftliche Entwicklung ist, dass man über das Leben von Mathematikerinnen und Mathematikern spannende Geschichten erzählen kann, und, nicht zuletzt, dass mathematische Probleme und die Versuche, ihnen auf die Spur zu kommen, unglaublich faszinierend sein können.
Doch auch dies leistet das vorliegende Buch: Es entwirft ein Panorama von kühnen mathematischen Gedanken und ihren Anwendungen, es erzählt von den handelnden Personen und stellt Probleme dar, deren Faszination man sich kaum entziehen kann.
Insgesamt ein Buch mit einem umfassenden Anspruch, das Leserinnen und Leser aber nicht erschlägt. Vielmehr kann man einfach irgendwo anfangen und mal ein Kapitel lesen. Ich bin überzeugt: Aus dem einen Kapitel werden zwei und drei oder noch mehr.
Viel Vergnügen!
Professor Dr. Albrecht Beutelspacher
Direktor des Mathematikums Gießen
EINLEITUNG
»Es ist unmöglich, Mathematiker zu sein, ohne die Seele eines Dichters zu haben.«
Karl WeierstraßDeutscher Mathematiker zitiert vonSofja KowalewskajaRussische Mathematikerin Brief, Herbst 1890
Frühe Anwendungen
Die Entdeckung der Mathematik begann in der Frühgeschichte mit der Notwendigkeit, Dinge zu zählen. Im einfachsten Fall legte man Strichlisten auf Knochen oder Holzstäben an – ein einfacher, aber zuverlässiger Weg, die Anzahl von Dingen festzuhalten. Später wurden den Zahlen Namen und Symbole zugeordnet, und die ersten Zahlensysteme entstanden, die auch Operationen wie hinzufügen oder wegnehmen von Mengen ermöglichten, also die einfachsten Rechenregeln.
Als die Jäger und Sammler Handel trieben, mit dem Ackerbau sesshaft und die Gesellschaften komplexer wurden, stellten Rechenregeln und Zahlensysteme unverzichtbare Hilfsmittel für alle Geschäftsvorgänge dar. Für den Handel, die Inventur und die Besteuerung von nicht zählbaren Gütern wie Öl, Getreide oder Grundstücken wurden Messsysteme entwickelt, die Größen wie Gewicht oder Länge einen numerischen Wert zuwiesen. Berechnungen wurden komplexer, und das Konzept der Multiplikation und Division wurde aus der Addition und Subtraktion abgeleitet, um damit etwa Grundstücksflächen zu berechnen.
In den frühen Zivilisationen wurden die neuen Entdeckungen, insbesondere die Messung von Objekten im Raum, die Grundlage der Geometrie, in der Architektur und anderen Handwerken anwendbar. Dabei erkannte man einige Muster, die sich als nützlich erwiesen. Braucht ein Baumeister etwa einen rechten Winkel, kann er ihn einfach (aber genau) mit einem Dreieck der Seitenlängen drei, vier und fünf Einheiten erhalten. Ohne derartige genaue Hilfsmittel und Kenntnisse hätte man die Straßen, Kanäle, Zikkurate und Pyramiden Mesopotamiens und Ägyptens nicht bauen können.
Als man neue Anwendungen der mathematischen Entdeckungen vor allem in der Astronomie, aber auch der Navigation, Buchhaltung, im Steuerwesen und vielen anderen Bereichen fand, tauchten weitere Muster und Ideen auf. Die einzelnen antiken Kulturen trieben die Mathematik durch dieses Wechselspiel zwischen Anwendung und Entdeckung voran, entwickelten aber auch eine Faszination für mathematische Konzepte an sich, die »reine Mathematik«. Ab Mitte des ersten Jahrtausends v. Chr. kam die reine Mathematik in Griechenland und etwas später in Indien und China auf. Sie beruht auf dem Erbe praktischer Pioniere: den Baumeistern, Astronomen und Entdeckern einstiger Kulturen.
Zwar waren diese frühen »reinen« Mathematiker weniger an den praktischen Anwendungen interessiert, dennoch beschränkten sie sich nicht auf Mathematik. Bei der Erforschung der Eigenschaften von Zahlen, Formen und Methoden entdeckten sie allgemeingültige Regeln und Muster, die metaphysische Fragen über die Natur des Kosmos aufwarfen oder sogar vermuten ließen, dass diese Muster mystische Eigenschaften hätten. Daher wurde die Mathematik oft als ergänzende Disziplin zur Philosophie gesehen. Viele der großen Mathematiker waren auch Philosophen, und umgekehrt. Die Verbindung der beiden Disziplinen besteht auch heute noch.
»Geometrie ist Erkenntnis des immer unveränderlichen Seins.«
PlatonAntiker griechischer Philosoph Politeia (»Der Staat«), Buch VII
Arithmetik und Algebra
Damit begann die Geschichte der Mathematik, wie wir sie heute kennen. Diese Entdeckungen, Vermutungen und Einsichten von Mathematikern bilden einen Großteil dieses Buchs. Neben einzelnen Denkern und deren Ideen beschreibt es einen sich stetig fortentwickelnden Gedankengang in der Geschichte der Gesellschaften und Kulturen. Er reicht von den antiken Zivilisationen Mesopotamiens und Ägyptens über Griechenland, China, Indien ins islamische Reich bis zum Europa der Renaissance und schließlich zur modernen Welt. Im Laufe der Zeit teilte man die Mathematik dabei in mehrere separate, aber miteinander verknüpfte Teilgebiete auf.
Das früheste und in vielerlei Hinsicht das fundamentalste Teilgebiet nennen wir heute Arithmetik, nach dem griechischen Wort arithmos (»Zahl«). Im einfachsten Fall geht es um das Abzählen und um die Zuordnung numerischer Werte und auch um Rechenregeln, also Operationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division, die man auf Zahlen anwenden kann. Aus dem einfachen Zahlbegriff entstand das Studium ihrer Eigenschaften und des Konzepts der Zahlen selbst – die Zahlentheorie. Bestimmte Zahlen – etwa die Konstanten π und e, die Primzahlen oder die irrationalen Zahlen faszinierten die Mathematiker seit jeher. Daher studierte man sie umso ausgiebiger.
Ein weiteres großes Teilgebiet ist Algebra, die sich mit der Struktur und Ordnung der Mathematik beschäftigt und damit für jedes andere Gebiet relevant ist. Die Algebra unterschiedet sich von der Arithmetik u. a. durch die Verwendung von Symbolen, etwa Buchstaben, für Variablen (unbekannte Zahlen). Einfach gesagt erforscht die Algebra die zugrundeliegenden Regeln, wie die Symbole verwendet werden, etwa in Gleichungen. Methoden zur Lösung von sogar ziemlich komplizierten quadratischen Gleichungen entdeckten in der Antike schon die Babylonier. Aber die Begründer der Algebra waren mittelalterliche Gelehrte im goldenen Zeitalter des Islam. Sie verwendeten Symbole, um Rechnungen zu vereinfachen. Aus ihrem Wort al-Dschabr (wörtlich: »die Einrenkung [gebrochener Teile]«) entstand der Name Algebra. Neuere Entwicklungen abstrahieren selbst die Strukturen der Algebra, genannt »abstrakte Algebra«.
Geometrie und Analysis
Ein weiterer großer Teilbereich, die Geometrie, beschäftigt sich mit dem Konzept des Raums und der Beziehung von Objekten in diesem: also ihrer Form, Größe und Lage. Die Geometrie entstand aus dem Problem, physische Dimensionen zu beschreiben, etwa von Dingen in der Technik und Bauprojekten, der Vermessung und Verwaltung von Land oder bei astronomischen Beobachtungen für die Navigation und die Kalenderberechnung. Ein Zweig der Geometrie, die Trigonometrie (das Untersuchen von Dreiecken), erwies sich als besonders nützlich. Wohl wegen ihres konsequent logischen Aufbaus galt die Geometrie in vielen antiken Kulturen als Grundstein der Mathematik. Sie lieferte die Methoden der Problemlösung und Beweisführung in anderen Teilgebieten.
»In der Mathematik muss die Kunst, eine Frage zu stellen, höher bewertet werden als die Kunst, diese Frage zu lösen.«
Georg CantorDeutscher Mathematiker Dissertation, Berlin 1867
Das galt besonders für das antike Griechenland, wo Geometrie und Mathematik fast als Synonyme galten. Das Erbe der großen Mathematiker wie Pythagoras, Platon und Aristoteles wurde von Euklid gefestigt. Seine Prinzipien der Mathematik, basierend auf einer Kombination von Geometrie und Logik, bildeten etwa zwei Jahrtausende lang das anerkannte Fundament der Disziplin. Im 19. Jahrhundert schuf man Alternativen zur euklidischen Geometrie und entwickelte neue Bereiche wie die Topologie, die nicht nur Eigenschaften von Objekten im Raum, sondern den Raum selbst erforscht.
Seit der Antike hatte sich die Mathematik mit statischen Situationen beschäftigt oder Dinge zu einem festen Zeitpunkt beschrieben. Es gab aber noch kein Mittel, um kontinuierliche Veränderungen zu messen oder zu berechnen. Die Infinitesimalrechnung, die im 17. Jahrhundert von Gottfried Leibniz und Isaac Newton unabhängig voneinander entwickelt wurde, lieferte Antworten. Ihre zwei Teilgebiete, die Differenzial- und Integralrechnung, analysierten Merkmale wie die Steigung oder die Fläche unter einer Kurve. Damit konnten sie Veränderungen beschreiben.
Die Entdeckung der Infinitesimalrechnung begründete die Analysis, die im 20. Jahrhundert besonders wichtig für etwa die Quantenmechanik oder Chaostheorie wurde.
Neue Grundlagen
Im späten 19. und frühen 20. Jahrhundert entstand ein neuer Teilbereich: die Grundlagen der Mathematik. Dieses Gebiet begutachtete die Verbindung zwischen Philosophie und Mathematik. Wie schon Euklid im 3. Jahrhundert v. Chr. wollten Gelehrte wie Gottlob Frege und Bertrand Russell die logischen Grundlagen mathematischer Prinzipien entdecken. Das regte eine Neubeurteilung der Natur der Mathematik selbst an: Wie funktioniert sie und wo sind ihre Grenzen? Die Erforschung der grundlegenden mathematischen Konzepte ist wohl das abstrakteste Teilgebiet, eine Art von Metamathematik, jedoch eine unerlässliche Ergänzung jedes anderen Gebiets der modernen Mathematik.
Neue Technik, neue Ideen
Die verschiedenen Gebiete der Mathematik – Arithmetik bzw. Zahlentheorie, Algebra, Geometrie, Analysis, Logik, Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik – sind um ihrer selbst Willen würdige Studiengebiete, und das gängige Bild der akademischen Mathematik ist die nahezu unbegreifliche Abstraktion. Aber meist haben sie auch praktische Anwendungen, und umgekehrt treiben Fortschritte in Wissenschaft und Technik das mathematische Denken voran.
Ein wichtiges Beispiel ist das symbiotische Verhältnis zwischen Mathematik und Computertechnik. Computer wurden ursprünglich als Werkzeug für Routinearbeiten entwickelt: die Berechnung von Tabellen für Mathematiker oder Astronomen. Doch ihre Konstruktion erforderte neue mathematische Denkmodelle. Daher waren es Mathematiker ebenso wie Techniker, die die Grundlagen von erst mechanischen und dann elektronischen Rechenmaschinen lieferten, die dann wieder Hilfsmittel zur Entdeckung neuer Konzepte waren. Zweifellos werden auch in Zukunft neue Anwendungen für mathematische Lehrsätze gefunden – und da noch zahllose Probleme ungelöst sind, ist auch für mathematische Entdeckungen kein Ende in Sicht.
Die Geschichte der Mathematik ist die Erkundung von Teilgebieten und Entdeckung neuer. Aber sie ist auch die Geschichte der Entdecker, der Mathematiker, die ein festes Ziel hatten, etwa ein ungelöstes Problem zu lösen oder in unbekannten Territorien nach neuen Ideen zu suchen. Oder andere, die bei ihrer Arbeit über eine neue Idee stolperten und sie verfolgten, um zu sehen, wo sie hinführt. Manche Entdeckungen waren bahnbrechende Erkenntnisse, die den Weg in neue, unbekannte Bereiche öffneten, andere waren von »Zwergen auf den Schultern von Riesen«: die Fortentwicklung oder Anwendung der Arbeiten früherer Denkergenerationen.
Dieses Buch stellt viele der »großen Ideen« der Mathematik von den frühesten Entdeckungen bis zur Gegenwart vor und erklärt in verständlicher Sprache, wo sie herkommen, wer sie entdeckte und warum sie wichtig sind. Einige sind wohl vielen Lesern bekannt, andere nicht. Mit dem Verständnis dieser Ideen und der Menschen und Gesellschaften, die sie entdeckten, können wir nicht nur die Allgegenwart und Nützlichkeit der Mathematik würdigen, sondern auch die Eleganz und Schönheit, die Mathematiker in ihr sehen.
»Richtig betrachtet besitzt die Mathematik nicht nur Wahrheit, sondern erhabene Schönheit.«
Bertrand RussellBritischer Philosoph und Mathematiker The Study of Mathematics, 1919
FRÜHZEIT UND ANTIKE
3500 V. CHR.–500 N. CHR.
UM 3500 V. CHR.
Sumerische Tontafeln enthalten verschiedene Maßangaben: ein Vorläufer eines Zahlensystems.
UM 1650 V. CHR.
Die Ägypter beschreiben Methoden zur Berechnung von Flächen und Volumen im Papyrus Rhind.
UM 430 V. CHR.
Hippasos von Metapont entdeckt die irrationalen Zahlen: Zahlen, die sich nicht als Brüche darstellen lassen.
UM 300 V. CHR.
Eines der einflussreichsten Lehrbücher aller Zeiten, Euklids Elemente, enthält mathematische Fortschritte wie den Beweis, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.
UM 3000 V. CHR.
Die Sumerer nutzen ein Hexagesimalsystem (Zahlensystem mit Basis 60), in dem ein kleiner Kegel 1 und ein großer Kegel 60 repräsentiert.
UM 530 V. CHR.
Pythagoras gründet eine Schule, in der er metaphysischen Glauben und Mathematik lehrt, etwa den Satz von Pythagoras.
UM 387 V. CHR.
Platon gründet die Akademie in Athen – angeblich stand über dem Eingang: »Niemand soll eintreten, der keine Geometrie versteht«.
UM 200 V. CHR.
Wichtige Fortschritte in der Geometrie macht Apollonios von Perge in dem Buch Konika.
UM 150 V. CHR.
Die alten Chinesen nutzen ein System zur Darstellung negativer und positiver Zahlen mit schwarzen und roten Bambusstäben.
263
Liu Hui schreibt wichtige Kommentare zum Jiu Zhang Suanshu (»Neun Kapitel der Rechenkunst«), eine Sammlung älterer Texte verschiedener Gelehrter aus dem 1. Jt. v. Chr.
UM 250 V. CHR.
Archimedes nähert den Wert von Pi durch eine Methode mit Polygonen an.
UM 150 V. CHR.
Hipparchos von Nicäa stellt die ersten trigonometrischen Tabellen zusammen.
UM 250 N. CHR.
Diophantos von Alexandria veröffentlicht in Arithmetica neue Symbole für die Darstellung von Unbekannten in Gleichungen.
470
Zu Chongzhi nähert Pi auf sieben Dezimalstellen an, ein Wert, der ein Jahrtausend lang nicht weiter verbessert wird.
Schon vor 40 000 Jahren schnitten Menschen Kerben als Strichlisten in Holz- oder Knochenstäbe. Zweifellos hatten sie ein rudimentäres Verständnis für Zahlen und Rechnen, aber die Geschichte der eigentlichen Mathematik begann mit der Entwicklung von Zahlensystemen in den frühen Hochkulturen. Das erste entstand im vierten Jahrtausend v. Chr. in Mesopotamien (im heutigen Irak und Iran), wo die weltweit früheste Landwirtschaft und die ersten Städte entstanden. Hier verfeinerten die Sumerer das Prinzip von Strichlisten mit verschiedenen Symbolen für verschiedene Mengen, und die Babylonier entwickelten es zu einem komplizierten Zahlensystem aus Keilschriftzeichen weiter. Ab etwa 1800 v. Chr. wandten die Babylonier elementare Geometrie und Algebra auf praktische Probleme an. Etwa in der Architektur, bei Bauprojekten, in der Landvermessung, im Rechnungswesen sowie in der Buchhaltung für den Handel und Steuererhebungen.
Ähnliches wiederholte sich in der etwas jüngeren ägyptischen Zivilisation. Der Handel und das Steuerwesen erforderten ein kompliziertes Zahlensystem. Auch Bauarbeiten und Technik waren nur dank Messverfahren und gewissen Kenntnissen in Geometrie und Algebra möglich. Mit ihren mathematischen Fähigkeiten und guten Himmelsbeobachtungen konnten die Ägypter auch astronomische Zyklen und Jahreszeiten berechnen und vorhersagen. Sie stellten Kalender für die Landwirtschaft und den religiösen Jahreslauf auf. Ebenso legten sie die Grundlagen für die Geometrie und Arithmetik schon um 2000 v. Chr.
Griechische Sorgfalt
Ab dem 6. Jahrhundert v. Chr. nahm der Einfluss Griechenlands im östlichen Mittelmeerraum rapide zu. Griechische Gelehrte übernahmen mathematische Konzepte aus Babylonien und Ägypten. Die Griechen benutzten ein Stellenwertsystem zur Basis 10 (also zehn Zahlzeichen), abgeleitet vom ägyptischen System. Vor allem die Geometrie schwang mit der griechischen Kultur mit, die Formen und Symmetrien schätzte. Die Mathematik wurde zu einer Basis des Denkens und zeigte sich in der Kunst, Architektur und sogar der Philosophie. Die fast mystischen Eigenschaften der Geometrie und der Zahlen inspirierten Pythagoras und seine Anhänger zur Gründung einer fast kultartigen Gemeinde. Sie betrachteten mathematische Prinzipien, die sie als Fundament des Universums und aller Dinge ansahen.
Jahrhunderte vor Pythagoras hatten Ägypter Dreiecke mit Seiten von 3, 4 und 5 Längeneinheiten benutzt, um beim Bau rechte Winkel zu konstruieren. Diese Faustregel hatten sie durch zufällige Beobachtungen entdeckt. Doch die Pythagoreer fanden einen strikten Beweis für einen allgemeinen Satz über die Seitenverhältnisse rechtwinkliger Dreiecke. Die Grundidee, allgemeine Sätze strikt zu beweisen, gilt als einer der wichtigsten Beiträge der Griechen zur Mathematik.
Platons Akademie in Athen war der Philosophie und der Mathematik gewidmet, und Platon selbst beschrieb die fünf platonischen Körper (Tetraeder, Würfel, Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder). Man wandte Logik auf die Grundlagen der Mathematik an. Insbesondere deckte Zenon von Elea logische Probleme der Unendlichkeit und des Wandels auf. Die Griechen erforschten auch die seltsamen Merkmale irrationaler Zahlen. Platons Schüler Aristoteles erkannte durch die methodische Analyse logischer Formen den Unterschied zwischen Induktion (von Beobachtungen allgemeine Regeln ableiten) und Deduktion (aus etablierten Annahmen bzw. Axiomen durch logische Schritte folgern).
Darauf aufbauend erklärte Euklid das Prinzip mathematischer Beweise aus axiomatischen Wahrheiten in seinem Werk Elemente. Es bildete zwei Jahrtausende lang die Grundlage der Mathematik. Mit ähnlicher Sorgsamkeit verwendete Diophantos von Alexandria Buchstabensymbole für unbekannte Zahlen in Gleichungen: ein wichtiger Schritt zur symbolischen Notation in der Algebra.
Ein Neubeginn im Osten
Der griechische Einfluss wurde schließlich vom Aufstieg Roms überschattet. Für die Römer war die Mathematik eher ein praktisches Werkzeug als ein würdiges Studienthema. Etwa zur gleichen Zeit entstanden in Indien und China jeweils eigene Zahlensysteme. Insbesondere in China erblühte die Mathematik zwischen dem 2. und 5. Jahrhundert n. Chr. vor allem dank Liu Hui, der die klassischen Texte der chinesischen Mathematik überarbeitete und erweiterte.
ZIFFERN FINDEN IHRE STELLE
STELLENWERTSYSTEM
IM KONTEXT
SCHLÜSSELZIVILISATION
Babylonier
TEILGEBIET
Arithmetik
FRÜHER
vor 40 000 Jahren Menschen der Steinzeit in Europa und Afrika kerben Strichlisten auf Holz und Knochen.
3500–3200 v. Chr. Die Sumerer haben Rechensysteme zur Landvermessung und für astronomische Beobachtungen.
3200–3000 v. Chr. Die Babylonier verwenden kleine Tonkegel als Symbol für 1, große Kegel für 60 und Tonkugeln für 10 als Schritt zum Stellenwertsystem mit der Basis 60.
SPÄTER
2. Jh. n. Chr. Die Chinesen entwickeln den Abakus für ihr Zehnersystem.
7. Jh. In Indien führt Brahmagupta die Null als eigenständige Zahl, nicht nur als Platzhalter, ein.
»Es ist uns gegeben zu rechnen, zu wiegen, zu messen, zu beobachten; das ist Naturphilosophie.«
VoltaireFranzösischer Philosoph
Die früheste Kultur, von der wir ein fortgeschrittenes Zahlensystem kennen, ist die sumerische Hochkultur in Mesopotamien, dem Zweistromland zwischen den Flüssen Tigris und Euphrat im heutigen Irak. Schon ab dem 4. Jahrtausend v. Chr. zeigen sumerische Tontafeln Symbole für verschiedene Mengenangaben. Die Sumerer, und später die Babylonier, brauchten effiziente mathematische Hilfsmittel für die Verwaltung ihrer komplexen Staaten.
Was die Babylonier von anderen Völkern – etwa den Ägyptern – unterschied, war das Stellenwertsystem. Bei diesen Zahlensystemen wird der Wert einer Ziffer sowohl vom Symbol als auch von seiner Stelle (der Position relativ zu anderen Ziffern) bestimmt. Im heutigen Zehnersystem bestimmt die Stelle eines Zahlzeichens, ob es ein Vielfaches von eins, zehn, hundert usw. darstellt. Berechnungen sind in Stellenwertsystemen effizienter, weil man mit einer kleinen Anzahl von Zeichen eine enorme Menge an Zahlen darstellen kann. Dagegen hatten die Ägypter verschiedene Zeichen für Einer, Zehner, Hunderter, Tausender usw. und kein Stellenwertsystem. Große Zahlen erforderten 50 oder mehr Hieroglyphen.
Verschiedene Basen
Das indisch-arabische System, das wir heute verwenden, ist ein Zehner- bzw. Dezimalsystem. Seine Basis ist zehn, d. h. man braucht nur zehn Zahlzeichen: die zehn Ziffern 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Die Stelle einer Ziffer zeigt die Wertigkeit an, wobei die niedrigste Stelle rechts steht. Die Zahl 22 im Dezimalsystem bedeutet (2 · 101) + 2. Der Wert der linken 2 ist zehnmal so groß wie der Wert der rechten 2. Weitere Stellen links davon bedeuten Hunderter, Tausender und höhere Potenzen von zehn. Im gleichen System kann man auch Bruchteile darstellen: Ziffern rechts der ganzen Zahl nach einem Dezimaltrennzeichen (im Deutschen und in vielen anderen Sprachen ein Komma, im Englischen ein Punkt) haben jeweils ein Zehntel der Wertigkeit der vorangehenden Stelle.
Im babylonischen Sexagesimalsystem wurde ein Symbol (bis zu neunmal wiederholt) für die Zahlen 1 bis 9 verwendet. Für 10 gab es ein anderes Symbol, das links neben dem Einersymbol stand und bis zu fünfmal wiederholt wurde, um Zahlen bis 59 zu bilden. Für 60 (also 1 · 60) wurde wieder das Einersymbol verwendet, aber weiter links platziert als zur Darstellung der Eins. Weil es ein Stellenwertsystem zur Basis 60 war, repräsentierten zwei Einersymbole nebeneinander 1 · 60 + 1, also 61, und drei Symbole 1 · 602 + 1 · 60 + 1, also 3661.
Das Sexagesimalsystem hatte offensichtliche Nachteile. Es benötigt mehr Zahlzeichen als ein Zehnersystem. Zudem gab es jahrhundertelang keine Platzhalter und kein Trennzeichen, das den ganzzahligen Anteil vom Bruchteil einer Zahl trennt. Um 300 v. Chr. aber markierten die Babylonier fehlende Ziffern durch zwei Keile, ähnlich wie wir heute die Null als Platzhalter verwenden. Dies war wohl die früheste Verwendung der Null.
Der babylonische Sonnengott Shamash belohnt auf dieser Tontafel von etwa 1000 v. Chr. neu ausgebildete Landvermesser mit einem Stab mit aufgewickeltem Seil als Messgerät.
Das babylonische Zahlensystem zur Basis 60 wiederholte zwei Symbole: das Einersymbol für die Zahlen 1 bis 9 und das Zehnersymbol für 10, 20, 30, 40 und 50.
Andere Zahlensysteme
Ab etwa 500 v. Chr. bis zum 16. Jahrhundert, als man offiziell die indisch-arabischen Zahlen übernahm, verwendete man in China Stabzahlen. Es war das erste Zehnersystem: Durch Kombinationen senkrechter und waagrechter Stäbe konnte man Zehner, Hunderter, Tausender und höhere Potenzen von 10 darstellen, ähnlich wie in unserem heutigen Zahlensystem. So schrieb man 45 als vier horizontale Stäbe für 4 · 101 (= 40) und fünf vertikale Stäbe für 5 · 1 (= 5). Dagegen ergaben vier vertikale, gefolgt von fünf weiteren vertikalen Stäben 405, nämlich 4 · 102 + 5 · 1. Fehlten horizontale Stäbe, so hatte die Zahl keine Zehnerstellen. Zum Rechnen nutzte man Zählstäbe auf einem Rechenbrett, wobei man positive und negative Zahlen durch schwarze bzw. rote Stäbe oder verschiedene Stabquerschnitte (drei- bzw. viereckig) unterschied. Stabzahlen werden in China heute noch gelegentlich verwendet, so wie man im Westen manchmal römische Zahlen nutzt.
Das chinesische Stellenwertsystem spiegelt sich auch im Abakus (Suanpan) wider. Er datiert auf vor 200 v. Chr. und ist damit eine der ältesten Rechenhilfen. Auch in Rom gab es ein ähnliches Gerät. Das chinesische Suanpan, das heute noch verwendet wird, hat einen horizontalen Mittelbalken und eine variable Zahl vertikaler Drähte für die Einer, Zehner, Hunderter usw. Auf jedem Draht sitzen über dem Balken zwei Kugeln, die jeweils fünf bedeuten, und darunter fünf Kugeln mit jeweils dem Wert eins.
In Japan wurde das Suanpan im 14. Jahrhundert übernommen und zu einer neuen Form, dem Soroban, weiterentwickelt, mit einer Kugel mit Wert fünf über dem Balken und vier Kugeln mit Wert eins darunter. Er wird in Japan noch heute verwendet. Es gibt sogar Wettbewerbe, Soroban-Rechnungen im Geist auszuführen (genannt Anzan).
»Die babylonische und assyrische Zivilisation sind untergegangen … doch die babylonische Mathematik ist immer noch interessant, und die babylonische Skala von 60 wird in der Astronomie immer noch verwendet.«
G. H. HardyBritischer Mathematiker A Mathematician’s Apology, 1940
»Dass wir in Zehnern statt irgendeiner anderen Zahl arbeiten, ist alleine eine Folge unserer Anatomie. Wir verwenden unsere zehn Finger zum Zählen.«
Marcus du SautoyBritischer Mathematiker When numbers were dotty in: Telegraph, 29. Sept. 2011
Moderne Zahlensysteme
Das indisch-arabische Dezimalsystem, das heute auf der ganzen Welt verwendet wird, hat seinen Ursprung in Indien. Im 1. bis 4. Jahrhundert n. Chr. wurde dieses Stellenwertsystem mit neun Zahlsymbolen und der Null entwickelt. Man kann damit jede Zahl effizient schreiben. Das System wurde im 9. Jahrhundert von islamischen Mathematikern übernommen und verbessert. Sie führten ein Dezimaltrennzeichen (entsprechend unserem Dezimalkomma) ein, um Dezimalbrüche auszudrücken.
Drei Jahrhunderte später machte Leonardo von Pisa (Fibonacci) die indisch-arabischen Zahlen im Liber Abbaci (»Buch vom Rechnen«, 1202) in Europa bekannt. Doch die Debatte, ob diese Zahlen traditionelle römische Zahlen und Rechenmethoden ersetzen sollten, dauerte mehrere hundert Jahre an. Schließlich setzte sich das neue System durch und ermöglichte viele moderne Fortschritte.
Ebisu, der japanische Gott der Fischer und einer der sieben Glücksgötter, berechnet seinen Profit mit einem Soroban in Der Traum des Roten Schnappers von Utagawa Toyohiro.
Das Binärsystem folgt den Prinzipien aller modernen Zahlensysteme jeder Basis. Das Stellenwertsystem – ein babylonisches Erbe – ist immer noch eine mächtige, verständliche und effiziente Art, große Zahlen darzustellen.
Keilschrift
Im späten 19. Jahrhundert entzifferte man die keilförmigen Zeichen auf babylonischen Tontafeln, die im und um den Irak gefunden wurden. Die Markierungen, die Buchstaben und Ziffern eines komplexen Zahlensystems darstellten, wurden mit beiden Enden eines Schreibgriffels in weichen Ton gedrückt. Wie später in Ägypten verwalteten Schreiber in Babylonien die Gesellschaft, daher stammen wohl viele der Tontafeln aus Schulen, in denen sie ausgebildet wurden.
Heute wissen wir eine Menge über die babylonische Mathematik, die sich über Multiplikation, Division, Geometrie, Bruchrechnung, Quadrat- und Kubikwurzeln, Gleichungen und mehr erstreckte, denn Tontafeln haben sich (anders als ägyptische Papyri) gut erhalten. Mehrere tausend, vor allem von 1800–1600 v. Chr., befinden sich heute in Museen der ganzen Welt.
Keilschrift, benannt nach dem keilförmigen Aussehen der Zeichenelemente, wurde auf feuchtem Ton geschrieben, in Stein gemeißelt oder Metall graviert.
Zahlensystem der Maya
Die Maya, deren Kultur in Mittelamerika um 2000 v. Chr. aufkam, verwendeten ab etwa 1000 v. Chr. ein Zwanzigersystem (Vigesimalsystem) für astronomische und kalendarische Berechnungen. Wie bei den Babyloniern hatte der Kalender 360 Tage plus Festtage, was im Mittel ein Sonnenjahr von 365,24 Tagen ergab. Er half insbesondere bei der Landwirtschaft.
Im Zahlensystem der Maya repräsentierte ein Punkt 1 und ein Strich 5. Kombinationen von Punkten über Strichen ergaben Zahlzeichen bis 19. Größere Zahlen ab 20 schrieb man mit mehreren Stellen vertikal untereinander, wobei die unterste Ziffer den geringsten Wert hatte. So rechneten sie wohl bis in die hundert Millionen. Eine Inschrift von 36 v. Chr. zeigt erstmals eine Muschel als Symbol für die Null, das ab dem 4. Jahrhundert weit verbreitet war.
Die Maya-Zahlschrift wurde in Mittelamerika bis zur spanischen Eroberung im 16. Jahrhundert verwendet, doch sie breitete sich nicht weiter aus.
Der Dresdner Kodex aus dem 13. Jh., die wohl älteste der vier authentischen Maya-Handschriften, zeigt Zahlensymbole und Glyphen.
DAS QUADRAT ALS HÖCHSTE POTENZ
QUADRATISCHE GLEICHUNGEN
IM KONTEXT
SCHLÜSSELZIVILISATIONEN
Ägypter (um 2000 v. Chr.),
Babylonier (um 1600 v. Chr.)
TEILGEBIET
Algebra
FRÜHER
um 1800 v. Chr. Der Papyrus Berlin 6619 zeigt die Lösung einer quadratischen Gleichung aus dem alten Ägypten.
SPÄTER
7. Jh. n. Chr. Der Inder Brahmagupta findet positive ganzzahlige Lösungen für einige quadratische Gleichungen.
10. Jh. n. Chr. Der Ägypter Abu Kamil Schudscha ibn Aslam löst quadratische Gleichungen mit negativen und irrationalen Zahlen.
1545 Der italienische Arzt und Mathematiker Gerolamo Cardano beschreibt in Ars Magna algebraische Regeln.
Quadratische Gleichungen beinhalten eine unbekannte Zahl (meist x geschrieben), die als zweite Potenz (quadratisch: x2) vorkommt, aber nicht als höhere Potenz: x3, x4 usw. Ein Nutzen der Mathematik ist, mit Gleichungen Probleme der realen Welt zu lösen. Geht es um Flächen oder bestimmte Kurven wie Parabeln, sind quadratische Gleichungen nützlich und beschreiben physikalische Phänomene wie etwa die Flugbahn eines Balls.
Uralte Wurzeln
Die Geschichte der quadratischen Gleichungen erstreckt sich über die ganze Welt. Sie kamen vermutlich erstmals auf, um Fragen der Erbteilung von Land oder Probleme der Addition und Multiplikation zu lösen.
Der Berliner Papyrus, 1900 von dem deutschen Ägyptologen Hans Graf von Schack-Schackenburg veröffentlicht, enthält zwei mathematische Probleme, darunter eine quadratische Gleichung.
Für quadratische Gleichungen gibt es eine Lösungsformel (»Mitternachtsformel«, weil Schüler sie wissen sollten, wenn man sie um Mitternacht weckt). Um sie zu benutzen schreibt man quadratische Gleichungen als Zahl a, multipliziert mit x2, plus einer Zahl b mal x plus einer Zahl c gleich Null auf. Die Lösungen sind grafisch leicht zu sehen: die Punkte, an denen die Kurve die x-Achse schneidet. Die Abbildung unten zeigt, wie man a, b und c in die Formel einsetzt, um die zwei Lösungen x1 und x2 zu berechnen.
Im 8. Jahrhundert benutzte der persische Mathematiker al-Chwarizmi eine geometrische Lösungsmethode für quadratische Gleichungen, die heute quadratische Ergänzung heißt. Bis ins 10. Jahrhundert waren geometrische Methoden üblich, weil es eher um praktische Fragen, etwa der Landvermessung, als um abstrakte algebraische Herausforderungen ging.
Negative Lösungen
1545 veröffentlichte der Italiener Gerolamo Cardano Artis Magna, sive de Regulis Algebraicis (»Große Kunst«, oder »Algebraische Regeln«), in dem folgendes Problem vorkommt: »Welche zwei Zahlen haben die Summe 10 und das Produkt 40?« Das Problem führt auf eine quadratische Gleichung und zu den Lösungen 5 ±. Keine der damals bekannten Zahlen ergab eine negative Zahl, wenn man sie mit sich selbst multiplizierte, aber Cardano schlug vor, dennoch mit der Quadratwurzel der negativen Zahl zu rechnen, um die beiden Lösungen zu finden. Zahlen wie nennt man heute imaginäre Zahlen.
Struktur von Gleichungen
»Politik ist für die Gegenwart, aber eine Gleichung ist etwas für die Ewigkeit.«
Albert Einstein
Parabeln
Parabeln haben wichtige Anwendungen. So haben Satellitenschalen eine parabolische Form, weil alle Signale aus einer Richtung (vom Satelliten) dann so reflektiert werden, dass sie an einem einzigen Punkt auftreffen: dem Empfänger.
Ein Parabolspiegel ist ein Paraboloid (ein Körper, der durch die Rotation einer Parabel entsteht). Lichtstrahlen parallel zur Symmetrieachse werden im Brennpunkt A gesammelt.
Anwendungen
Zwar dienten quadratische Gleichungen ursprünglich zur Lösung geometrischer Probleme, doch heute sind sie in vielen Bereichen der Mathematik, Wissenschaft und Technik wichtig. So werden etwa Flugbahnen damit modelliert: Wirft man ein Objekt in die Höhe, fällt es durch die Schwerkraft wieder nach unten. Die Höhe in Abhängigkeit der Zeit kann durch eine quadratische Funktion angegeben werden. Generell beschreiben quadratische Gleichungen oft die Beziehung zwischen Zeit, Strecke und Geschwindigkeit und sie sind bei Berechnungen von paraboloiden Objekten wie Linsen ein wichtiges Hilfsmittel. Auch ökonomische Vorhersagen nutzen sie. Unternehmen stellen eine quadratische Gleichung, (Gewinnfunktion) auf, um den optimalen Preis zu berechnen, der den Gewinn maximiert.
Quadratische Gleichungen werden beispielsweise gebraucht, um die Flugbahnen von Geschossen zu berechnen – wie bei dieser Boden-Luft-Rakete MIM-104 Patriot, einer häufigen Rakete der US-Armee.
GENAUES RECHNEN: KENNTNIS ALLER DINGE DIESER WELT
DER PAPYRUS RHIND
IM KONTEXT
SCHLÜSSELZIVILISATION
Altes Ägypten (um 1650 v. Chr.)
SCHWERPUNKT
Arithmetik
FRÜHER
um 2480 v. Chr. Steinritzungen halten die Nilfluten fest, gemessen in Meh (Königsellen, etwa 52,4 cm) und Schesep (Handbreiten, 7,5 cm).
um 1850 v. Chr. Der Papyrus Moskau 4676 enthält Lösungen für 25 mathematische Probleme, darunter die Berechnung der Oberfläche einer Halbkugel und des Volumens einer Pyramide.
SPÄTER
um 1800 v. Chr. Der Berliner Papyrus zeigt die Verwendung einer quadratische Gleichung.
6. Jh. v. Chr. Der Grieche Thales von Milet reist nach Ägypten und studiert dort die mathematischen Theorien.
Der Papyrus Rhind im Britischen Museum in London gibt einen faszinierenden Einblick in die Mathematik des alten Ägypten. Er wurde nach dem schottischen Anwalt und Ägyptologen Alexander Henry Rhind benannt, der ihn 1858 in Ägypten erwarb. Der Text wurde von dem Schreiber Ahmose vor über 3500 Jahren von anderen Dokumenten kopiert. Der Papyrus ist 32 cm mal 200 cm groß und enthält 84 Probleme der Arithmetik, Algebra, Geometrie und der Vermessung. Dieser Papyrus sowie der etwas ältere Papyrus Moskau 4676 und einige weitere Fragmente dokumentieren Techniken zur Berechnung von Flächen, Verhältnissen und Volumen.
Das Auge des Gottes Horus war ein Symbol der Macht und des Schutzes. Mit Teilen des Symbols repräsentierte man auch Bruchzahlen, deren Nenner Potenzen von 2 sind, der Augapfel etwa für ¼ und die Augenbrauen für 1/8.
Zahlensymbole
Das ägyptische Zahlensystem war das erste System mit der Basis 10, aber kein Stellenwertsystem. Es nutzte Striche für die Einerziffern und verschiedene Symbole für Potenzen von 10, andere Zahlen wurden aus diesen Symbolen zusammengesetzt. Bruchzahlen stellte man durch einen Punkt über der Zahl dar. Damit ließen sich aber nur Stammbrüche bilden – also Brüche der Form 1/n, wobei n eine positive, ganze Zahl ist. Andere Brüche musste man als Summe von Stammbrüchen schreiben: 2/3 etwa war in ägyptischer Notation ½ + 1/6 (nicht 1/3 + 1/3, da man den gleichen Stammbruch nicht wiederholte).
Die alten Ägypter repräsentierten die Zahlen 1 bis 9 mit vertikalen Strichen. Zehnerpotenzen, vor allem in Steininschriften, wurden als Hieroglyphen (Bildsymbole) dargestellt.
Viele Probleme des Papyrus handeln von Waren oder Ländereien. Problem 41 berechnet das Volumen eines zylindrischen Getreidespeichers mit einem Durchmesser von 9 Meh (Ellen) und einer Höhe von 10 Meh. Dazu findet man die Fläche eines Quadrats mit einer Seitenlänge von 8/9 des Durchmessers und multipliziert sie mit der Höhe. Denn ein Kreis mit Durchmesser 9 hat etwa die gleiche Fläche wie ein Quadrat mit Seitenlänge 8. Dies wird auch in Problem 50 zur Berechnung der Fläche eines Kreises genutzt: Ziehe 1/9 vom Kreisdurchmesser ab und berechne die Fläche des Quadrats mit der resultierenden Seitenlänge.
Näherungswert für Pi
Lehrbücher
Die Papyri Rhind und Moskau 4676 sind die am vollständigsten erhaltenen mathematischen ägyptischen Texte. Sie entstanden im bzw. kurz nach dem Mittleren Reich. Schreiber, die sich gut mit Arithmetik, Geometrie und Messwesen auskannten, kopierten sie sorgfältig. Man verwendete die Texte wohl als Übungen in Schreiberschulen. Zwar gaben diese vermutlich den höchsten Stand der Mathematik wieder, galten damals aber nicht als Wissenschaftswerke. Vielmehr waren es Handbücher für Handel, Buchhaltung, Bauwesen und andere Tätigkeiten, bei denen man messen und rechnen musste.
Baumeister nutzten Mathematik etwa beim Pyramidenbau. Der Papyrus Rhind zeigt die Berechnung einer Neigung mit der Einheit Seked – dem horizontalen Abstand (in Handbreiten), bei dem eine geneigte Linie um 1 Meh (Königselle: 52,4 cm) abfällt. Je steiler die Pyramidenseite sein sollte, desto weniger Seked musste man abmessen.
Der Autor des Papyrus Rhind verwendete die hieratischen Schrift- und Zahlzeichen. Dieser kursive Schreibstil war kompakter und praktischer als Hieroglyphen.
GLEICHE SUMME IN ALLE RICHTUNGEN
MAGISCHE QUADRATE
IM KONTEXT
SCHLÜSSELZIVILISATION
Altes China
TEILGEBIET
Zahlentheorie
FRÜHER
9. Jh. v. Chr. Das chinesische I Ging (Yijing, »Buch der Wandlungen«) enthält Trigramme und Hexagramme zur Verwendung in Orakeln.
SPÄTER
1782 Leonhard Euler schreibt über lateinische Quadrate in dem 155-seitigen Recherches sur une nouvelle espèce de quarrés magiques in einer niederländischen Zeitschrift.
1979 Das erste Sudoku-ähnliche Rätsel wird in New York von Dell Magazines gedruckt.
2001 Der britische Elektronikingenieur Lee Sallows erfindet »geomagische Quadrate«: magische Quadrate, die geometrische Formen statt Zahlen enthalten.
Es gibt Hunderttausende Wege, die Zahlen 1 bis 9 in einem 3×3-Gitter zu verteilen. Nur acht ergeben ein magisches Quadrat, in dem die Summe jeder Zeile, Spalte und Diagonale den gleichen Wert – die magische Zahl – hat. Die Summe der Zahlen von 1 bis 9 ist 45, daher ist sie auch die Summe der drei Spalten bzw. Zeilen. Die magische Zahl ist demnach 1/3 von 45, also 15. Tatsächlich gibt es aber nur ein einziges magisches 3×3-Quadrat, da die anderen sieben nur Drehungen davon sind.
Uralte Ursprünge
Magische Quadrate sind wohl das früheste Beispiel für »Unterhaltungsmathematik«. Ihr genauer Ursprung ist unbekannt, die erste dokumentierte Erwähnung ist die chinesische Legende Lo Shu (»Schriftrolle des Flusses Lo«) von 650 v. Chr. Darin erscheint eine Schildkröte vor dem König Yu, als eine gefährliche Überschwemmung droht. Die Zeichen auf ihrem Panzer bilden ein magisches Quadrat. Dabei stehen Punkte für die Zahlen 1 bis 9. Aufgrund dieser Legende galt die Anordnung von ungeraden und geraden Zahlen (gerade Zahlen standen stets in den Ecken) als magisch und wurde als Glücksbringer verwendet.
Chinesisches Wissen breitete sich entlang der Seidenstraße aus, und andere Kulturen begannen, sich für magische Quadrate zu interessieren. Indische Texte erwähnen sie ab 100 n. Chr. und die erste dokumentierte Darstellung im Wahrsagebuch Brihat-Samhita (um 550 n. Chr.) misst Parfüm damit ab. Arabische Gelehrte, die eine wichtige Verbindung zwischen dem Wissen der Antike und der europäischen Renaissance bildeten, brachten im 14. Jahrhundert magische Quadrate nach Europa.
Ein magisches Quadrat vierter Ordnung unter der Glocke im Kupferstich Melencolia I des Nürnberger Künstlers Albrecht Dürer enthält auch das Entstehungsjahr des Werks, 1514.
Verschiedene Quadrate
Die Anzahl der Zeilen und Spalten eines magischen Quadrats nennt man die Ordnung: Ein 3×3-Quadrat hat die Ordnung 3. Ein magisches Quadrat der Ordnung 2 gibt es nicht, denn darin müssten alle Zahlen gleich sein. Mit zunehmender Ordnung gibt es immer mehr Möglichkeiten. So gibt es 880 magische Quadrate der Ordnung 4 (ohne Drehungen und Spiegelungen), ihre magische Zahl ist 34. Mit der Ordnung 5 gibt es Hunderte von Millionen magische Quadrate, und die Zahl der Ordnung 6 ist noch unbekannt.
Magische Quadrate waren zu allen Zeiten eine anhaltende Quelle der Faszination. Im 15. Jahrhundert sammelte der italienische Mathematiker Luca Pacioli, Autor von De Viribus Quantitatis (»Über die Macht der Zahlen«), magische Quadrate. Im 18. Jahrhundert erfand Leonhard Euler in der Schweiz eine verwandte Form, die lateinischen Quadrate. Sie enthalten Symbole (Buchstaben, Zahlen oder anderes), die in jeder Zeile und Spalte nur jeweils einmal auftreten dürfen.
Eine Variante lateinischer Quadrate ist heute ein beliebtes Rätsel: Sudoku. Erstmals in den 1970ern in den USA als Number Place veröffentlicht, wurden sie in den 1980ern in Japan populär. Das japanische Wort bedeutet »Ziffern kommen nur einmal vor«. Ein Sudoku ist ein lateinisches Quadrat neunter Ordnung (also 9×9) mit der Zusatzbedingung, dass auch jeder Teilbereich alle neun Zahlen enthalten muss.
»Das magisch magischste aller magischen Quadrate, das je ein Magier gemacht hat.«
Benjamin Franklinüber ein von ihm entdecktes magisches QuadratLife of Benjamin Franklin, Written by Himself, 1887
Addiert man bei einem magischen Quadrat zu jeder Zahl den gleichen konstanten Wert, so entsteht wieder ein magisches Quadrat. Ebenso kann man jede Zahl mit einer Konstanten multiplizieren und das Ergebnis ist magisch.
DIE ZAHL IST DER URSPRUNG VON GÖTTERN UND DÄMONEN
PYTHAGORAS
IM KONTEXT
SCHLÜSSELFIGUR
Pythagoras (um 570–495 v. Chr.)
TEILGEBIET
Angewandte Geometrie
FRÜHER
um 1800 v. Chr. Die Tontafel Plimpton 322 aus Babylon enthält Spalten von Keilschriftzahlen, die mit pythagoreischen Tripeln verwandt sind.
6. Jh. v. Chr. Der Grieche Thales von Milet beschreibt eine nichtmythische Entstehung des Universums; er ist Vorreiter der Idee, dass die Natur rational verstehbar ist.
SPÄTER
um 380 v. Chr. Im zehnten Buch von Politeia unterstützt Platon den Glauben von Pythagoras an die Seelenwanderung.
um 300 v. Chr. Euklid findet eine Formel zur Bildung primitiver pythagoreischer Tripel.
Pythagoras, der griechische Philosoph aus dem 6. Jahrhundert v. Chr., dürfte wohl der berühmteste Mathematiker der Antike sein. Auch wenn unklar ist, ob er alle Leistungen in der Mathematik, Wissenschaft, Astronomie, Musik und Medizin, die ihm zugeschrieben werden, selbst erbracht hat, besteht kein Zweifel daran, dass er eine exklusive Gemeinschaft gründete, die für die Mathematik und die Philosophie lebte und die Zahlen als die heiligen Bausteine des Universums sah.
Winkel und Symmetrien
Die Pythagoreer waren Meister der Geometrie und wussten, dass die Innenwinkelsumme eines Dreiecks (180 °) gleich der Summe von zwei rechten Winkeln (90 ° + 90 °) ist. Euklid nannte dies später das Dreieckspostulat. Die Anhänger von Pythagoras kannten auch mehrere der konvexen regulären Polyeder. Diese dreidimensionalen Körper mit größtmöglicher Symmetrie nannte man später platonische Körper.
Thales von Milet, einer der sieben Weisen von Griechenland, inspirierte vielleicht Pythagoras mit geometrischen und wissenschaftlichen Ideen. Vielleicht trafen sie sich in Ägypten.
Es gibt Hinweise, dass den Babyloniern und Chinesen die mathematische Beziehung zwischen den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks schon Jahrhunderte vor der Geburt von Pythagoras bewusst war. Doch Pythagoras dürfte als Erster den allgemeinen Beweis für die Formel erbracht und damit gezeigt haben, dass sie für alle rechtwinkligen Dreiecke gilt. Daher trägt der Satz heute seinen Namen.
Entdeckungsreisen
Pythagoras reiste viel. Das Wissen, das er in anderen Ländern aufnahm, musste ihn zweifellos inspiriert haben. Er stammte aus Samos, unweit von Milet in Westanatolien (heutige Türkei). Vermutlich studierte er an der Schule des Thales von Milet unter dem Philosophen Anaximander. Mit 20 Jahren brach er für viele Jahre ins Ausland auf. Er besuchte wohl Phönizien, Persien, Babylon, Ägypten und könnte sogar Indien erreicht haben. Die Ägypter wussten, dass ein Dreieck mit den Seitenlängen 3, 4 und 5 (das erste pythagoreische Tripel) stets einen rechten Winkel hat. Baumeister verwendeten Schnüre mit diesen Längen, um präzise rechte Winkel zu konstruieren. Die Beobachtung dieser Praxis könnte Pythagoras dazu angeregt haben, den zugrunde liegenden mathematischen Satz zu beweisen. In Ägypten könnte er auch Thales von Milet getroffen haben, welcher Höhen von Pyramiden berechnete und das deduktive Schlussfolgern auf die Geometrie anwandte.
»Die Vernunft ist unsterblich, alles andere ist sterblich.«
Pythagoraszitiert in:Diogenes Laertios Vitae et Sententiae Philosophorum3. Jh. n. Chr.
Die Pythagoreer
Nach 20 Jahren Reisen ließ sich Pythagoras schließlich in Kroton (heutiges Crotone) in Kalabrien (Süditalien) nieder, das eine große griechische Bevölkerung hatte. Dort gründete er die Pythagoreer – eine Gemeinschaft, in der er seine mathematischen und philosophischen Glaubensgrundsätze lehrte. Frauen waren in der Gemeinschaft willkommen und bildeten einen erheblichen Teil der etwa 600 Mitglieder. Mitglieder mussten ihren ganzen Besitz der Gemeinschaft übergeben und zudem schwören, die mathematischen Entdeckungen geheim zu halten. Unter Pythagoras erlangte die Gemeinschaft erheblichen politischen Einfluss.
»Die Stärke des Geistes beruht auf der Enthaltsamkeit, denn sie hält den Verstand frei von Leidenschaft.«
Pythagoras
Fasziniert von Zahlen
Ein anderer Zahlentyp, der Pythagoras begeisterte, war die vollkommene (oder perfekte) Zahl. Vollkommen nennt man eine natürliche Zahl, die genau die Summe ihrer Teiler außer sich selbst ist. Die erste vollkommene Zahl ist 6, denn ihre Teiler 1, 2 und 3 ergeben aufaddiert wieder 6. Die nächste ist 28 (= 1 + 2 + 4 + 7 + 14), die dritte ist 496 und die vierte ist 8128.
»Der beste Typ von Mensch widmet sein Leben dem Streben, den Sinn und das Ziel des Lebens zu entdecken … einen solchen Menschen nenne ich Philosoph.«
Pythagoras
»Ich habe oft die mystischen Wege von Pythagoras bewundert und die geheime Magie der Zahlen.«
Sir Thomas BrowneEnglischer Universalgelehrter Religio Medici, 1643
Diese Zahlen hatten keinen praktischen Wert, aber ihre Merkwürdigkeit und Schönheit faszinierten Pythagoras und seine Gemeinschaft.
Dagegen soll Pythagoras eine überwältigende Angst vor irrationalen Zahlen gehabt und sie abgelehnt haben (Zahlen, die nicht als Bruch aus zwei ganzen Zahlen darstellbar sind). Die berühmteste ist Pi (π). Solche Zahlen hatten keinen Platz unter den wohlgeordneten Ganz- und Bruchzahlen, die laut Pythagoras das Universum bestimmten. Es gibt sogar die Legende, die Angst vor irrationalen Zahlen habe seine Anhänger dazu getrieben, ein Mitglied – Hippasos – zu ertränken, weil er ihre Existenz veröffentlichte, als er nach der Wurzel von zwei () suchte.
Pythagoras’ Ruf der Härte und Rücksichtslosigkeit zeigt sich in der Geschichte über die Hinrichtung eines Mitglieds. Der- oder diejenige hatte öffentlich erklärt, Pythagoras habe ein neues reguläres Polyeder entdeckt. Dieses aus zwölf regulären Fünfecken gebildete sogenannte Dodekaeder ist einer der fünf platonischen Körper. Die Pythagoreer verehrten das Pentagon (Fünfeck). Ihr Zeichen war das Pentagramm, ein fünfeckiger Stern, in dessen Zentrum ein Pentagon steht. Der Verrat dürfte daher als besonders schweres Verbrechen gegolten haben und wurde mit dem Tod bestraft.
Eine integrierte Philosophie
Im antiken Griechenland galten Mathematik und Philosophie als sich ergänzende Disziplinen, die zusammen studiert wurden. Pythagoras selbst soll das Wort »Philosoph« aus philos (»Liebe«) und sophos (»Weisheit«) geprägt haben. Für Pythagoras und seine Anhänger war die Pflicht eines Philosophen das Verfolgen der Weisheit.
Pythagoras’ philosophische Richtung verband spirituelle Ideen mit Mathematik, Wissenschaft und Rationalität. Zu dem Glaubenssystem gehörte auch die Metempsychosis oder Seelenwanderung, die er vielleicht in Ägypten oder dem Nahen Osten kennenlernte. Demnach sind die Seelen unsterblich und wandern nach dem Tod in einen neuen Körper. Zwei Jahrhunderte später war Platon in Athen von der Vorstellung fasziniert und erwähnte sie in seinen Dialogen. Auch das Christentum übernahm später die Trennung zwischen Körper und Seele. Pythagoras’ Vorstellung wurde also letztlich zu einem Kernglauben westlichen Denkens.
Die Schule von Athen, ein Fresko des Malers Raffael im Vatikan in Rom von 1510–1511, zeigt Pythagoras mit einem Buch, umgeben von Schülern, die von ihm lernen möchten.
Wichtig für die Mathematik war Pythagoras’ Glaube, dass alles im Universum auf Zahlen und mathematischen Regeln beruhte. Bestimmte Zahlen hätten Eigenschaften und spirituelle Bedeutung. Dies lief auf eine Art Zahlenkult hinaus, sodass die Pythagoreer in allen Erscheinungen mathematische Muster suchten.
