Cómo resolver problemas de Geometría E-Book

Marta Todeschini

• Herausgeber: Narcea Ediciones
• Kategorie: Bildung
• Serie: Herramientas
• Sprache: Spanisch

Seitenzahl: 121

Veröffentlichungsjahr: 2019

Beschreibung

Este libro propone cuestiones auténticas y significativas de Geometría, vinculadas a la vida cotidiana, para hacer que su estudio se convierta en un fascinante proceso de razonamiento que abra la mente del alumnado a la belleza de las formas. La Geometría presenta un sinfín de posibilidades de aprendizaje real. Las autoras plantean una serie de ejercicios, problemas aplicativos y problemas estratégicos para aprender a: clasificar la tarea que se plantea, comprender la información que aparece, representar el enunciado, categorizar el problema para definir la estrategia, planificar las acciones a llevar a cabo y supervisar el proceso y los resultados. Maestros y maestras de matemáticas encontrarán en este libro las herramientas necesarias para hacer de la resolución de problemas algo más que una simple reproducción de respuestas aprendidas, así como para desarrollar las habilidades de pensamiento crítico y creativo del alumnado.

Leseprobe

Marta TODESCHINI. Maestra de primaria y psicóloga, desarrolla actividades de investigación sobre temas de aprendizaje de las matemáticas en la escuela.

Irene Cristina MAMMARELLA. Investigadora en la Universidad de Padua, enseña Psicología de la edad evolutiva, del anciano y del minusválido en la Facultad de Ciencias de la Formación. Es miembro del comité científico de distintas sociedades científicas nacionales e internacionales. Sus intereses de investigación atañen al trastorno del aprendizaje no-verbal y la relación entre la memoria de trabajo y los aprendizajes escolares. Es autora de numerosas publicaciones nacionales e internacionales en revistas especializadas.

Daniela LUCANGELI. Profesora de Psicología del desarrollo en la Facultad de Ciencias de la Formación de la Universidad de Padua. Investiga sobre las situaciones de aprendizaje y, en particular, del aprendizaje matemático. Es miembro de asociaciones científicas nacionales e internacionales en el ámbito de la psicología del desarrollo y del aprendizaje.

Eugenia PELLIZZARI. Profesora de Matemáticas e Informática en el segundo ciclo de secundaria, es licenciada en Matemáticas y profesora especializada en la didáctica de las Matemáticas, Física e Informática. Máster en Tutoría del aprendizaje, colabora con la profesora Daniela Lucangeli, en el estudio de la psicología cognitiva del aprendizaje de las matemáticas.

“Los deseos de aprenderson disposición excelente para hacerte estudioso.

En el estudio, sigue el método y la gradación convenientes,y adelantarás con más facilidad y prontitud”.

Pedro Poveda

INTRODUCCIÓN

La Geometría en el currículo escolar.Procesos cognitivos implicados en la resolución de problemas.La metacognición en la resolución de problemas.Ejercicios y problemas de geometría: tipología y grado de dificultad.Guía de utilización de la obra.

ITINERARIO IPARA ESTUDIANTES DE 8 A 11 AÑOS

Primera parte. Clasificar

Actividad 1. Aprendemos a distinguir entre ejercicios y problemas

Actividad 2. ¿Problemas o ejercicios?

Actividad 3. Laura y Lucas están haciendo los deberes de casa

Actividad 4. ¡Estrategias de… supervivencia!

Actividad 5. Distingamos los diversos tipos de problemas

Segunda parte. Comprender

Actividad 1. Si no sé por dónde empezar… Empiezo por la pregunta

Actividad 2. No todo lo que me dice el problema tiene la misma importancia

Actividad 3. Problemas e… informaciones trampa

Actividad 4. Palabras importantes. Entender bien el enunciado

Actividad 5. Reflexiono sobre las estrategias que uso

Tercera parte. Representar

Actividad 1. ¿Es importante una representación correcta para la resolución del problema?

Actividad 2. La representación es el primer paso hacia la solución del problema

Actividad 3. Procedamos al revés: de la representación al problema

Cuarta parte. Categorizar

Actividad 1. La estructura profunda de los problemas

Actividad 2. El problema de la cometa

Actividad 3. Los problemas aplicativos y las fórmulas

Actividad 4. Las mejores estrategias

Quinta parte. Planificar

Actividad 1. Planificar es importante; pero, ¿qué planifico?

Sexta parte. Supervisar

Fase 1. La previsión: Evaluar la dificultad de una tarea antes de realizarla

Fase 2. El control: supervisar con atención los pasos de la tarea que se está realizando

Fase 3. La estimación de los resultados intermedios y finales

Fase 4. La autoevaluación: valorar la tarea en su conjunto, tras su realización

ITINERARIO IIPARA ESTUDIANTES DE 12 A 14 AÑOS

Primera parte. Clasificar

Actividad 1. Aprendemos a distinguir entre ejercicios y problemas

Actividad 2. ¿Problemas o ejercicios?

Actividad 3. De la geometría a la realidad

Actividad 4. ¡Estrategias… de supervivencia!

Actividad 5. ¿Es un problema o un ejercicio?

Actividad 6. Problemas aplicativos o estratégicos

Segunda parte. Comprender

Actividad 1. Si no sé por dónde empezar… Empiezo por la pregunta

Actividad 2. No todo lo que me dice el problema tiene la misma importancia

Actividad 3. Aprende de la experiencia

Actividad 4. Problemas e… informaciones trampa

Actividad 5. Palabras importantes

Actividad 6. Reflexiono sobre las estrategias que uso

Tercera parte. Representar

Actividad 1. Es importante la representación correcta para la resolución de un problema

Actividad 2. La representación está estrechamente vinculada con la resolución del problema

Actividad 3. Procedemos al revés: de la representación al problema

Cuarta parte. Categorizar

Actividad 1. La estructura profunda de los problemas

Actividad 2. Los problemas aplicativos y las fórmulas

Actividad 3. Reflexiono sobre las estrategias que utilizo

Actividad 4. La estructura superficial y la estructura profunda de los problemas

Quinta parte. Planificar

Actividad 1. Planificar es importante; pero, ¿qué planifico?

Actividad 2. ¡Un problema para expertos!

Sexta parte. Supervisar

Fase 1. La previsión: Evaluar la dificultad de una tarea antes de realizarla

Fase 2. El control: comprobar con atención los pasos de la tarea en curso

Fase 3. La estimación de los resultados intermedios y finales

Fase 4. La autoevaluación: evaluar la tarea global, tras su desarrollo

LA GEOMETRÍA EN EL CURRÍCULO ESCOLAR

Los currículos escolares subrayan con renovada claridad el papel de los conocimientos matemáticos en la formación cultural de las personas y de las comunidades. El currículo italiano en particular (2012), insiste en “el desarrollo de la capacidad de poner en estrecha relación el ‘pensar’ y el ‘hacer’ […] ofreciendo instrumentos adecuados para percibir, interpretar y relacionar entre ellos fenómenos naturales y concretos, artefactos construidos por el hombre y eventos cotidianos. […] Es de extrema importancia el desarrollo de una visión adecuada de las matemáticas, que no se reduzca a un conjunto de reglas que hay que memorizar y aplicar, sino que se reconozca y valore como contexto para apreciar y plantearse problemas significativos y para explorar y percibir relaciones y estructuras que se encuentran en la naturaleza y en las creaciones del hombre”.1 Son palabras que nos sostienen en nuestro esfuerzo por devolverle a la enseñanza de la geometría su valor cultural.

En la escuela, la geometría se ha relegado durante mucho tiempo al papel de una disciplina separada de toda referencia a lo real; la corrección formal del razonamiento se ha convertido en el criterio esencial de validez, cosa que ha conducido a un alejamiento de la enseñanza de la geometría en la escuela. Durante mucho tiempo se ha tratado de reproducir el planteamiento euclídeo en la enseñanza de la escuela primaria. Pero introducir esta disciplina empezando por los conceptos y por definiciones alejadas de la experiencia del alumno, resulta ser un proceso al revés, dado que, por el contrario, dichos conceptos y definiciones deberían considerarse como el punto de llegada del recorrido de aprendizaje constructivo y personal del estudiante. Anteponer siempre las fórmulas, para el cálculo del área del trapecio o el perímetro de un triángulo isósceles, sigue siendo un gran error, pues no es útil ni para los profesores ni para los matemáticos, y mucho menos para los niños.

La respuesta cultural debería ser explícita, visible y evidente en la práctica escolar cotidiana. La geometría se considera como una forma de cultura, reconocible en los productos materiales y simbólicos de la cultura de pertenencia del estudiante y se asume como “punto de vista”, como perspectiva cognoscitiva para comprender e interpretar la realidad.

Preguntémonos de hecho cuán importante ha sido la geometría en la historia de las matemáticas. La geometría es la más antigua de las teorías creadas por el hombre y ha representado durante dos milenios el campo de saber más importante de las matemáticas; es más, representaba las matemáticas. Platón y Aristóteles se llamaban a sí mismos “geómetras”, porque consideraban que, en el principio de todo, estaba la geometría.

Sugerimos que el planteamiento del profesor a la hora de enseñar esta disciplina debería partir de un enfoque no directamente relacionado con la epistemología de la ciencia, sino con la historia de la ciencia, para que así los niños y los jóvenes sigan en cierto modo un proceso coherente con su desarrollo cognitivo.

La geometría no puede y no debe partir de teorías, sino más bien de aquello que fascina al niño, como fascinó al principio el estudio del espacio en los siglos pasados. Partir de la vivencia del niño quiere decir captar las potencialidades que el alumno demuestra desde los 3 años, cuando pequeños problem solving viso-espaciales están perfectamente instalados en su patrimonio cognitivo.

Vemos pues que la constatación histórica se aúna con la psicológica. Los niños son perfectamente capaces de captar los conceptos fundamentales; es más, algunos autores hablan de que estos conceptos son innatos a su persona (Dehaene et al., 2006).

Por tanto, si aprender geometría es posible desde edades muy tempranas, al proseguir los estudios, la geometría cobra, cada vez más, un papel importante en el estudio de las matemáticas y remite plenamente a su función formativa.

Probablemente, detenerse en fórmulas y cálculos significa renunciar a los recursos formativos que tiene la geometría. En cambio, hacer que el estudio de la misma se convierta en un fascinante proceso de razonamiento abre la mente de los alumnos a la belleza de las formas.

El currículo subraya además la importancia de los problemas matemáticos, señalando que es característica de la práctica matemática la solución de problemas, que deben ser entendidos como cuestiones auténticas y significativas, vinculadas a la vida cotidiana, y no sólo como ejercicios de carácter repetitivo o cuestiones a las cuales responder simplemente recordando una definición o una regla.

En las páginas que siguen profundizaremos en las dificultades que normalmente encuentran los niños en la solución de problemas matemáticos y qué modelo teórico subyace a este programa de potenciación de la solución de problemas de geometría, es decir, al planteamiento que aquí hacemos sobre el mejor modo de resolver los problemas de geometría.

Los ejemplos que se pueden encontrar en este libro nacen de la práctica cotidiana escolar, pero pueden muy bien ser modificados por los profesores teniendo siempre en cuenta los objetivos de la tarea misma.

PROCESOS COGNITIVOS Y METACOGNITIVOS IMPLICADOS EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

La resolución de problemas

Los primeros trabajos relativos al análisis de los procesos de solución de problemas han sido realizados por psicólogos cuyo ámbito de investigación puede reconducirse a la teoría de la Gestalt (Lucangeli y Pâssolunghi, 1995). Según los psicólogos de la Gestalt, el proceso de solución de un problema es más que una simple reproducción de respuestas aprendidas e implica una reestructuración de los elementos. En otras palabras, en algunos problemas la solución puede encontrarse solo tras un cambio de perspectiva, una “reestructuración” que se da al considerar los elementos de la situación. Dicho cambio se constata gracias al insight; esto es, una intuición inesperada en la que los diversos elementos del problema se ven desde una nueva perspectiva (Wertheimer, 1920). A menudo un obstáculo para la reestructuración de los elementos del problema viene dado por el fijar la atención en una única función de un elemento del problema. Este aspecto, extensamente estudiado, se denomina “fijación funcional”.

En contraposición con las situaciones por insight están los problemas que se definen como rutinarios, o bien aquellas situaciones problemáticas que se afrontan y resuelven con frecuencia, en las cuales se aplica un procedimiento de solución conocido.

Los problemas rutinarios pueden también ser considerados como una especie de ejercicio, en el que la tensión cognitiva hacia la solución es claramente reducida y la atención se dirige sobre todo a la aplicación rigurosa de métodos aprendidos con anterioridad.

La diferencia entre ejercicios y problemas no viene determinada por el tipo de situación: no hay situaciones que a priori deban considerarse problemas verdaderos, sino más bien ejercicios rutinarios. Una diferencia fundamental entre estos tipos de situaciones viene dada por la “vivencia” del individuo. En los problemas, cuando se supera el punto crucial y se siente finalmente que se ha emprendido el camino que lleva a su solución, se tiene una sensación de satisfacción por lo que se ha descubierto. Nada de todo eso sucede con los ejercicios: en caso de éxito, el sentimiento que se experimenta es solo el de haber llegado al punto que se buscaba, tras una serie de intentos más o menos dificultosos.

Algunos comportamientos de los maestros, a pesar de estar justificados por la importancia de los problemas rutinarios, debilitan, cuando no los crean, obstáculos para la creatividad de los alumnos, enfatizando las dificultades de algunos niños que, por una cierta rigidez mental, encuentran dificultad en la solución de problemas nuevos. Por este motivo es importante reducir la repetición mecánica de procedimientos ya aprendidos y limitar la presentación de soluciones ya conocidas.

Procesos cognitivos implicados en el problem solving matemático

Como se afirmaba con anterioridad, lo que caracteriza el problema matemático, desde el punto de vista del alumno, es que los conocimientos que este recuerda suelen ser necesarios pero no suficientes para alcanzar una solución. El problema exige que el alumno utilice sus conocimientos pero que, al mismo tiempo, haga un descubrimiento, encuentre un camino nuevo, una estrategia resolutiva, y por tanto demande una capacidad de integración de los diversos componentes cognitivos y de sus habilidades metacognitivas. Durante el proceso de solución de un problema, además, se pide al alumno que él mismo se ponga en juego en primera persona sobre un resultado que no está claro; por tanto las variables emotivo-motivacionales adoptan unos determinados matices.

Un buen solucionador suele ser rápido, eficiente y consciente de los pasos que debe dar o evitar, y usa de manera correcta y flexible los diversos procesos de control. Gran parte de los problemas propuestos en la escuela se caracterizan por ser pruebas en las que la situación problemática se propone verbalmente, y la solución a cuestiones se obtiene a través de una serie de operaciones aritméticas. Normalmente, este tipo de problemas son de tipo rutinario, es decir situaciones similares, aunque con una formulación lingüística distinta, ya propuestas con anterioridad, en las que subyace un mismo esquema resolutivo.

Mayer (1987; 1998) ha tratado de explicitar cuáles son los procesos cognitivos que subyacen a la solución de problemas. Según Mayer, la solución de un problema empieza con el proceso de codificación, que a su vez está subdividido en los procesos de traducción e integración. A la codificación le sigue el proceso de búsqueda de la solución, dividido también en dos fases de elaboración de la información: la planificación y el cálculo.

Proceso de integración

Durante el proceso de integración, el solucionador intenta integrar las diversas partes del problema en una estructura unitaria. En la fase de integración de las informaciones, además de la formación de un modelo mental del problema, se debe atribuir especial importancia al proceso de “categorización”, es decir, a la identificación de la categoría general a la cual puede que pertenezca el problema (Hinsley, Hayes y Simon, 1977; Passolunghi, 1999; Passolunghi, Lonciari y Cornoldi, 1996). Dicho proceso permite reconocer la estructura profunda del texto, independientemente de la formulación lingüística (estructura superficial), o mejor, su “esquema” matemático de referencia.

Identificar y utilizar la estructura profunda del problema es un proceso fundamental para conectar entre sí las informaciones y permitir la selección de las informaciones relevantes, que sirven para alcanzar una solución.

Proceso de planificación

Según Mayer (1987), el proceso de planificación