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- Herausgeber: Miño y Dávila
- Kategorie: Bildung
- Serie: Archivos de Didácta. Serie Fichas de investigación
- Sprache: Spanisch
- Veröffentlichungsjahr: 2021
Este libro es el resultado de una reflexión sobre la enseñanza de la Matemática a través de ejemplos de secuencias de enseñanza y métodos de análisis didáctico, e intenta ser un puente entre la formación inicial del profesor de Matemática y el ejercicio de la reflexión sobre su accionar. Su función principal es la de permitir discutir y decidir, con criterio, sobre un itinerario en un determinado espacio de formación. La propuesta de los autores sigue un hilo tan sutil como potente: la reflexión sobre la práctica. El lector ideal que se tuvo en mente durante el proceso creativo se transforma en el lector real: el docente que enseña Matemática en la escuela y aquel que se forma para hacerlo. Para lograr este propósito, el libro pone en diálogo a lectores y autores. Autores que enriquecen cada texto de esta obra desde su propio rol docente y proporcionan explicaciones que muestran con claridad las relaciones entre hechos, conceptos, teorías y contextos de observación u ocurrencia.
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Corrección general y cuidado de la edición, a cargo de Laura Petz
La maquetación y el armado del interior estuvieron a cargo de Laura Bono
El diseño de cubierta fue realizado por Ángel Vega
El diseño del interior fue realizado por Gerardo Miño
Primera edición: Abril de 2021
ISBN: 978-84-18095-69-6
Depósito legal: M-7594-2021
THEMA: PBM [Geometría]
Editado en Buenos Aires, Argentina
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PrólogoFormarse para ser docente
por José A. Villella
Pienso que el modo en el que funcionan las matemáticas en el cuerpo general de la enseñanza no es lo que debería ser y tal vez nunca fue exactamente lo que podría ser (…) Cuando se enseña matemática, ante todo hay que lograr la convicción de que es interesante.Alain Badiou, 20161
A lo largo del siglo XX, el conocimiento ha variado su naturaleza y su papel en la sociedad, lo que ha comportado la necesidad de modificar nuestro trato con él. Hemos pasado de una relación de dominio del conocimiento (propia del siglo anterior) a otra de gestión y uso competente de este conocimiento en nuestro siglo. Este hecho ha provocado un cambio en nuestras concepciones sobre formación, enseñanza, docencia y evaluación.
Sobre la base de esta realidad, en algunos países la formación docente ha dejado de estructurarse a partir de los conocimientos para hacerlo desde las competencias profesionales. Están siguiendo un proceso de desarrollo curricular basado en este itinerario: definición del perfil del profesional que se quiere formar; identificación de su rol y funciones y competencias que lleva asociadas; análisis de los contextos en que se tendrán que aplicar y generación de estrategias de aprendizaje y de evaluación que permitan su desarrollo.
Este planteo pone un especial énfasis en el establecimiento de fuertes nexos entre competencia, persona, tarea y contexto. Bajo esta conceptualización, desarrollar el uso competencial de un conjunto de conocimientos y habilidades integrados sobrepasa su dominio o aplicación mecánica y hábil. Implica interacción, mediación y gestión entre el conocimiento y la realidad física, social o cultural. También supone actuar con efectividad y eficiencia no solo en la aplicación, sino en la interpretación del contexto y sus significados. Así, la adquisición de una nueva competencia comporta un efecto directo sobre nuestra capacidad para interpretar y dotar de nuevos sentidos a la realidad sobre la que actuamos. Desde esta dimensión, resolver problemas didácticos que caracterizan a la práctica docente aporta otras metáforas que actúan de mediadores en nuestras interacciones con la realidad. Surgen, entonces, significados nuevos y más relevantes que modifican lo que entendíamos otrora como proceso de aprendizaje en el aula de formación docente.
La formación docente: un debate abierto
Un modelo de formación es una construcción teórica que nos permite diferenciar distintos modos de fomentar actitudes y aptitudes en los futuros profesores, de acuerdo con ciertas cualidades que determinan su profesión. Se crean así escenarios de formación que evolucionan desde la toma de cursos en forma pasiva a la asunción de mayor compromiso respecto de la práctica docente y de su inserción en la escuela. Esto nos permite diferenciar entre un profesor que requiere de un modelo de formación transmisivo; un profesor que se ajusta a un modelo de formación autónomo y uno que se involucra en la investigación. Todos estos pueden –y es de esperar que así sea– evolucionar hacia el requerimiento de un modelo de formación que redunde positivamente en la escuela.
Las políticas educativas se enfrentan a una paradoja creada por ellas mismas quizás de forma inconsciente. Se les ofrece la idea, a profesores y escuelas, de una mayor autonomía para responder las necesidades locales. Pero, a la vez se les dice claramente cuáles deben ser los resultados a los que deben llegar, acordes con los que cada jurisdicción se ha autoimpuesto como logros. Entonces, la paradoja consiste en que por un lado se les otorga a los docentes mayor autonomía para desarrollar sus clases en las instituciones donde realizan su tarea pero a su vez, se les restringe más el poder de selección de contenidos y armado de secuencias de enseñanza. Puesto que, los primeros vienen jerarquizados y organizados por los distintos diseños curriculares y las segundas indicadas, directa o indirectamente, a través de las sugerencias curriculares que llegan a las escuelas. Pareciera que en la actualidad el docente se enfrenta a un doble discurso: aquel que le pide que reflexione sobre su práctica, que analice críticamente su acción y el otro que le propone la pasividad que impone el no pensar sobre la enseñanza más que como un corpus de situaciones simples que descomplejizan el conocimiento a enseñar.
Desarrollarse como profesor de cualquier asignatura y en especial de matemática, que es la idea central que propone este libro, supone un proceso de aprendizaje profesional que puede tomar en cuenta cuatro dimensiones: acción, reflexión, autonomía y comunicación. Estas dimensiones, que podemos llamar componentes del conocimiento profesional, ponen en íntima relación a los conceptos teóricos y los prácticos en la formación. La acción es concebida como la actitud y competencia desarrollada en el trabajo de construcción de conocimientos matemáticos en el aula; la reflexión como la posibilidad de criticar sistemática y reflexivamente la propia práctica que se desarrolla en ella; la autonomía como la capacidad para organizar, determinar y desarrollar el propio trabajo y la comunicación como la posibilidad de dar a conocer lo que se hace en orden a permitir que otros opinen sobre el trabajo y este se nutra de esas opiniones.
De este modo, el docente que se forma para trabajar en y sobre su práctica puede construir su identidad profesional. Toma en consideración sus propias impresiones acerca de su rol, así como la de la comunidad en la que su accionar impacta, piensa en el hecho educativo (relación dinámica entre los saberes matemáticos escolares, los docentes y los alumnos) y le da sentido a cada uno de los sistemas que lo conforman:
- La matemática y los futuros docentes: los docentes requieren un proceso de formación inicial que les permita adquirir la aptitud necesaria para intervenir en el hecho educativo en función del conocimiento de y sobre la matemática. Esto supone estar en posesión del entramado de relaciones entre los conceptos que la vertebran y del significado que los mismos adquieren cuando se usan como objetos de estudio o herramientas de aplicación.
- Los docentes y los estudiantes: es seguramente la relación que más peso tiene en el proceso de aprendizaje y por lo tanto en el diseño y gestión de la enseñanza de la matemática, ya que son los estudiantes quienes toman una actitud más activa en todo el hecho educativo. Le corresponde al futuro docente aprender cómo llevar a cabo la difícil tarea de asegurar el proceso de institucionalización de los saberes y a ser cuidadoso en la orientación y guía de sus estudiantes en el mismo, haciendo que ellos asuman su responsabilidad en cuanto a los saberes que deben aprender.
- Los estudiantes y la matemática: se trata de hacer explícitas las relaciones que los estudiantes ya tienen con la asignatura desde la experimentación con objetos matemáticos con los que estuvieron en contacto antes de ingresar al sistema formal de enseñanza, para que puedan llegar al proceso de axiomatización del concepto en cuestión. Asumimos que la relación constructiva del estudiante frente al saber puede estar plagada de lo que el docente considere fallos, los cuales en realidad suponen las distancias entre lo que se cree y lo que se debe saber. Esa distancia debe tomarse como medida del acercamiento lógico al saber en cuestión y no como cuantificación de su alejamiento (visión positiva del error en el proceso de construcción).
- La matemática y el entorno: hacemos aquí referencia a la necesidad de poblar el desarrollo de las secuencias de enseñanza con elementos que surgen del entorno directo en el que el alumno desarrolla su acción y en donde la escuela está emplazada. No se trata de llevar al aula la realidad con su alta y compleja red de relaciones, pero sí de proveer ejemplos que surjan de aquella para que las aplicaciones cobren visos de significatividad.
- Los docentes y el entorno: si tomamos el entorno como la fuente de los conflictos que invaden la profesión: sueldos, padres y sus demandas, cambios del marco regulatorio de la actividad de enseñar, etcétera, el mismo actúa negativamente en la gestión de la clase. Sin desconocer que esto puede pasar, lo que proponemos es que sean ese entorno y esas dificultades las que enmarquen de “realismo” las situaciones propuestas. Es en el entorno donde el futuro docente podrá encontrar la fuente de recursos y materiales para el desarrollo de sus secuencias de enseñanza relativas a la matemática.
- Los estudiantes y el entorno: en esta relación haremos hincapié en detectar cuáles son los intereses que mueven a los estudiantes hacia el aprendizaje. Del entorno del alumno extraeremos las expresiones que permitan la negociación didáctica a realizar para la incorporación paulatina de los saberes relativos a la matemática que se debe desarrollar.
Cuando se toman en cuenta estas dimensiones, se abandona el aula de formación basada en un modelo transmisivo para llevarla a un modelo de corte investigativo. Decimos esto porque, en el primer modelo, las actividades de formación se basan en el pasaje de información matemática y se operativiza mediante cursos temáticos de comunicación vertical; mientras que el modelo investigativo se basa en la documentación, aplicación y reflexión, en la investigación-acción. De esta manera, el término profesión adquiere significados distintos debido a que el modelo de formación hace hincapié en diferentes aspectos de su organización. No supone una definición fija, como una idea universal que se sitúa al margen de toda dimensión espacial y/o temporal. Es un significante cuyo concepto construido socialmente varía en el marco de sus relaciones con las condiciones sociales del empleo del docente. Así, el conocimiento profesional de los docentes de matemática depende del contexto, en tanto habita en una trama social de relaciones de poder.
No basta con decir que debemos formar profesores reflexivos que sean capaces de disfrutar de un grado mayor de autonomía. Se torna necesario establecer tradiciones de pensamiento y reflexión que fundamenten tales declaraciones y contemplen, entre otros, dos tipos de saberes básicos:
- Conocimiento de tipo teórico, que surge como explicación de lo que sucede en la práctica. Es proposicional, está formulado en términos abstractos y generales. Sus aseveraciones pueden ser explicadas, investigadas, transmitidas y forman parte de una teoría. Al ser considerados verdaderos son universales, atemporales y objetivos.
- Conocimiento de tipo práctico, que se relaciona con la toma de decisiones que se producen en el mismo terreno donde se desarrolla la actividad. Se basa en el entendimiento de numerosos casos concretos y complejos que surgen de diversas situaciones de la práctica. Se contextualiza en situaciones particulares, con afirmaciones que no son universales y se constituye en un conocimiento de tipo perceptual.
Del aula de formación al aula de actuación profesional
En párrafos anteriores propusimos adentrarnos en el mundo de los saberes profesionales. Lo hacemos porque creemos que reflexionar sobre lo que sucede en el aula, supone tomar en cuenta que:
- hay que pensar en los docentes y sus prácticas destinadas a un otro con el que se establece esa relación de enseñanza y de aprendizaje;
- el contenido que circula en el aula tiene sentido en un marco social, en un momento y proceso histórico:, ya que genera vivencias particulares y acciones específicas;
- entre docentes y alumnos, y la mediación de los contenidos que circulan, se hace una construcción social que parte de individualidades para convertirse en un nosotros cultural;
- hay factores que obstaculizan y otros que favorecen el aprendizaje que no se hace de forma natural por la predisposición de la escucha y requiere de un escenario construido ad hoc, un escenario didáctico que genere una situación de aprendizaje;
- las intervenciones didácticas condicionan el aprendizaje.
En esta reflexión, la decisión de qué y cómo se enseña matemática supone la consideración de aquello que resulta relevante, significativo, valioso dentro del contenido de enseñanza y del proceso de aprendizaje de los estudiantes. Así, si decidimos enseñarla a través de la resolución de problemas, determinar qué priorizar durante el proceso está en relación con el conocimiento de los mecanismos del aprendizaje, en cómo este se produce, cuáles son sus regularidades, sus atributos y sus condiciones en el contexto del escenario del aula.
A la resolución de problemas podemos considerarla como el proceso mediante el cual se aplican conocimientos previamente adquiridos a situaciones nuevas que distan de ser familiares respecto de aquellas en las que tuvieron origen. De esta manera, para aprender un contenido cualquiera, los que resuelvan los problemas deben involucrarse en la exploración, conjeturación y en el proceso de razonamiento, más que en el aprendizaje memorístico de datos, reglas, procedimientos.
Cuando los profesores elegimos esta forma de organización del aula, asumimos que en la clase se produce una suerte de negociación entre los intereses de los alumnos y los nuestros. Los primeros se basan en la significatividad de los contenidos a desarrollar; los segundos en la epistemología subyacente a los contenidos prescriptos curricularmente. En esta negociación, los profesores somos los mediadores naturales entre los contenidos y los alumnos y mientras nosotros diseñamos e implementamos situaciones de enseñanza, los alumnos desarrollan estrategias de solución que en su conjunto determinan un proyecto de actividad en el aula.
Problematizar los contenidos, en orden a institucionalizarlos, requiere entonces de un trabajo profesional por parte del docente, que consiste en presentar los contenidos como fuente de problemas. Estos problemas deben cumplir con ciertas características:
- sin ser triviales, tienen que ser asequibles a los estudiantes y tomar como criterio el dominio que estos tienen de los conocimientos previos pertinentes para la situación,
- sin ser de sencilla resolución, no requieren del uso de ideas sofisticadas o un número elevado de procedimientos mecánicos,
- sin tener infinitas formas de desarrollo, admiten por lo menos más de dos caminos o métodos de solución,
- sin transformarse en tratados sobre los contenidos que desarrollan, los muestran en su total plenitud y dejan entrever su lugar en la red conceptual que sustentan,
- sin ser evidentes en cuanto a su respuesta, no conllevan trucos o soluciones que no tienen explicación en el marco del contexto escolar.
En términos generales diremos que un problema es una situación abierta, que reta intelectualmente a alguien que no posee inmediatamente métodos, procedimientos, algoritmos directos suficientes para responder y que tiene ciertos componentes:
- el interrogante que da razón de ser a la situación: la pregunta mediante la cual se da origen al entramado del diseño de estrategias de solución que no debe poder resolverse por respuestas dicotómicas (si-no; verdadero-falso),
- el interés que se manifiesta en quien lo va a resolver para que se genere la propuesta de solución que se busca,
- la inexistencia de una solución inmediata,
- la necesidad de desarrollar más de un camino o forma de resolución.
La problematización de los saberes supera la relación intrínseca que sustenta la dupla conocer-actuar en tanto genera indagación reflexiva. El aula donde se implementa se convierte en una comunidad de aprendizaje que fomenta la representación y organización interna del conocimiento, realzando las relaciones entre las distintas unidades de información que componen los campos de las redes conceptuales que las sustentan.
Otro perfil profesional para otro docente de matemática
En los apartados anteriores explicitamos cómo los saberes de los profesores aparecen en un complejo entramado dado que son al mismo tiempo saberes explícitos y ocultos; intuitivos y reflexivos; fragmentarios y sistematizados; racionales y subjetivos, asimilados y precariamente aprendidos. Así, intentamos demostrar que la práctica docente no es una acción que deriva de un conocimiento previo, sino una actividad que genera cultura intelectual en forma paralela a su existencia. Esto requiere de un profesional formado con capacidad de “leer en forma permanente” su hacer cotidiano, de reflexionar y reconsiderar el sentido de sus saberes y la reconceptualización de la propia práctica. Es necesario que el futuro profesor se forme en un ámbito donde se integre lo disciplinar con un nivel analítico de lo escolar. Puesto que la escuela es la primera esfera de determinación de la práctica para la que se está formando. Hace de mediadora entre lo que ocurre en la práctica de la enseñanza de la matemática y el sistema social.
Este profesor así formado debe asumirse como un sujeto particular, concreto e histórico, que como tal se apropia del sistema de usos y expectativas de la escuela en la que va a trabajar. De este modo, comprende que en el trabajo docente no todo es reproducción: hay un margen importante para la autonomía. Su práctica integra diferentes saberes: los curriculares, los disciplinares, los profesionales, los de la experiencia. Con algunos de ellos mantiene una relación de exterioridad, en tanto no son responsables de su construcción y, con otros, de interioridad, en tanto los construye desde su práctica profesional.
A ese “otro” docente está dirigido este libro, surgido como fruto de la reflexión sobre diferentes trabajos de investigación que, con el formato académico de tesis, fueron defendidos y aprobados ante la comunidad académica de didactas de la matemática.
Un libro, este libro, como recurso para la formación profesional
Podemos decir que un libro de texto es una gramática social, es decir, una trama de significados relativos a contextos históricos particulares, que como prosa instructiva tiene la función de enseñar. En este caso, lo hace al ofrecer los recursos y medios para ayudar a producir los cambios conductuales que creemos necesarios al perfil profesional del docente de matemática que se forma para serlo.
Esta es una obra de tipo instructivo. No solo informa al lector sobre un contenido particular –la reflexión sobre la enseñanza de la matemática a través de ejemplos de secuencias de enseñanza y métodos de análisis didáctico– sino que además proporciona explicaciones que muestran con claridad las relaciones entre hechos, conceptos, teorías y contextos de observación u ocurrencia.
Rosa Ferragina ha editado la obra con este propósito editorial. Su trabajo ha sido hilvanar las propuestas de todos los autores con un hilo tan sutil como potente: la reflexión sobre la práctica. El lector ideal que se tuvo in mente durante el proceso creativo, se transforma en el lector real: el docente que enseña matemática en la escuela y aquel que se forma para hacerlo. Para lograr su propósito, Rosa ha puesto la obra en diálogo entre los lectores y los autores. Este diálogo fue posible cuando los autores pensaron sus escritos desde su propio rol docente, al compartir con sus pares sus experiencias, recorridos de formación e inquietudes que emergen de su capacidad de pensar y repensar su propia práctica.
Cada capítulo tiene un porqué y un cómo. El que firma Rosa Ferragina, abreva en la Historia de la Matemática para mostrar cómo un software de geometría dinámica impacta en el desarrollo del contenido de la matemática. La autora no se detiene en el análisis de las bondades o limitaciones de la herramienta como tal, sino que lleva al lector a visitar esos mismos lugares históricos como una forma de reconstruir el proceso de escritura de su tesis. Allí dialoga con autores clásicos y encuentra en sus definiciones puntos de contacto con los que una pregunta, una actividad, una secuencia de clase pueden cruzarse cuando se trabaja geometría mediada por software. Su definición de “punto dinámico” como construcción teórica a partir de la exploración de situaciones prácticas que traspasan la imagen de la pantalla en la que se trabajan, interpela al lector para que valorice la historia de la disciplina que enseña, como fuente de fundamentos epistemológicos de los procedimientos desarrollados con la tecnología. Dejarse llevar por su escritura para pasear comprometidamente por el paisaje de la historia de la matemática y encontrar en cada rincón de ese viaje fotografías reveladoras de los fundamentos de los temas que enseñamos, es un recorrido interesante y desafiante.
Leonardo Lupinacci nos invita a repensar las redes conceptuales en las que las integrales cobran importancia. Con los prismáticos orientados en la caracterización de las distintas formas de resolver un problema de integrales con software de geometría dinámica, Leonardo logra cuestionar nuestros saberes respecto de este concepto matemático y cómo lo ponemos en acto. Su escritura nos invita a recorrer históricamente esas redes conceptuales donde las integrales cobran sentido e importancia epistemológica poniendo énfasis en la práctica de su enseñanza. Problemas de contexto matemático y relacionados con el quehacer cotidiano son analizados desde lo disciplinar y enriquecidos con análisis didácticos, que hacen de su lectura un minucioso repertorio para repensar cómo enseñarlos. Las interacciones entre quienes resuelven y cómo lo hacen cuando usan algún software nos ofrecen una recopilación minuciosa acerca de cómo pueden verse transformadas nuestras aulas cuando llevamos estas ideas a la práctica.
Victoria Güerci interpela nuestras ideas sobre la probabilidad y nos cuestiona como usuarios y enseñantes de las mismas. A través de su prosa, la autora logra relacionar problemas clásicos con situaciones cotidianas. Analiza los fundamentos de esos problemas y pone en evidencia su valor conceptual. Al mismo tiempo, las situaciones cotidianas le permiten tejer puentes entre conceptos y situaciones prácticas, lo que genera una dinámica de producción que invita a los lectores a “jugar” con el tema. Pone en evidencia la importancia del desarrollo del pensamiento probabilístico en los alumnos de la escuela secundaria y al mismo tiempo genera en el docente la necesidad de repensar cómo organizar las secuencias de enseñanza para que ese objetivo se lleve a cabo. Un repertorio de problemas recorre el capítulo, que se ilumina con el análisis didáctico de los mismos.
Fernando Bifano escribe sobre los recursos que los docentes usamos cuando ponemos en acto las secuencias de enseñanza que diseñamos. Muestra desde sus ideas cómo, al seleccionar recursos para enseñar matemática desplegamos un trabajo colectivo y a la vez colaborativo. Desde el relato de una experiencia de formación permanente de la que recupera la idea de bitácora como memoria de trabajo, el autor nos hace construir la idea de recurso como aquello que vuelve a la fuente, lo que vuelve a alimentar el trabajo del profesor y genera reflexión como motor para el desarrollo profesional. Las “voces” de los docentes que participaron de su trabajo de investigación, plasmadas en fragmentos de diálogos, nos permiten adentrarnos en la tarea de la reflexión sobre la práctica y en cómo ese ejercicio profesional denota la posesión de competencias profesionales que delinean a este otro docente que intentamos formar.
Este libro intenta ser un puente entre la formación inicial del profesor de matemática y el ejercicio de la reflexión sobre su accionar. Su función principal es la de permitir discutir y decidir, con criterio, sobre un itinerario en un determinado espacio de formación. Aun cuando se conozca la existencia de ese espacio pero no se lo haya atravesado en ninguna ocasión. En esta situación así descripta, este libro como el puente toma el lugar del territorio, de ese espacio que se quiere unir: lo reemplaza, transformándose en su sustituto, en una representación. Es en ese puente, en función de lo que representa –fruto de la selección de elementos tomados como significativos y por lo tanto conservados– donde se define una discusión desde un punto de vista y con relación a un proyecto determinado. De esta manera, diremos que un puente no es ideológicamente neutro –este libro tampoco lo es– y se transforma en objeto de estudio y reflexión dependiendo de los intereses de quienes lo encargan, lo hacen o lo transitan. Al valorizar ciertos puntos de vista, determina o presupone una toma de postura, es resultado de una negociación (explícita o implícita) y de relaciones de fuerza entre cierto número de intereses.
Este libro se escribió sobre la base de una idea de formación y por ello no responde a un juego intelectual gratuito: es inservible, como lo es un puente, si no se sabe cómo cruzarlo. Durante su recorrido se mantiene cierta fidelidad a lo que representa y se carga de una parte de creatividad y de invención. Quienes lo atraviesen lo deberán hacer de forma activa, poniendo su impronta en ello. Así lo resignificarán, lo actualizarán y lo percibirán de una manera nueva, aunque ello no le otorgue carácter de novedoso, en tanto sigue siendo el mismo objeto que había sido antes diseñado.
Esperamos que disfruten atravesarlo.
1 La cita es un fragmento de las conclusiones del libro Elogio de las matemáticas que contiene una conversación entre Gilles Haéri y Alain Badiou (filósofo, novelista, dramaturgo y profesor emérito de ENS de Francia), publicado en 2016 en Argentina por Capital Intelectual.
CAPÍTULO 1Entre el pizarrón y la pantalla: el lugar geométrico bisectriz como constructo teórico mediado por un software de geometría dinámica
por Rosa A. Ferragina
1. De la geometría sintética a la analítica
Entre todas estas vicisitudes que a grandes rasgos presiden la evolución de la matemática, que considero de interés y actualidad y que se refiere en particular al campo de la geometría. Se trata de una lucha periódica, con períodos variables y alternativos de triunfo y derrota para ambas partes, entre la llamada geometría analítica y la geometría sintética.Santaló, L., 1960: 10
Las palabras de Santaló nos permiten repensar cómo se conforman estos dos pilares del estudio de la geometría, con avances, relaciones, preferencias, en cuanto a caminos y desarrollos en ambas perspectivas. Es por eso que se hace necesario contar con los aportes de una bibliografía que dé cuenta de estas posiciones a través de los años y, que la conforme como fundante en el recorrido que propondremos. El análisis de fuentes históricas-epistemológicas, nos posibilitará realizar un replanteo de la relación actual entre estas dos perspectivas geométricas y, cómo puede ser influenciada cuando incorporamos en el análisis un software de geometría dinámica (SGD).
Historiadores como Rey Pastor y Babini (1980), Boyer (1994) y Collette (1980) sostienen un carácter práctico como origen de la Geometría, ya que su nombre alude a “medir la tierra” y a lo que medían: longitudes, ángulos, superficies y volúmenes de los utensilios que fabricaban. De ese modo, las comunidades descubrían relaciones entre sus elementos, que hoy llamaríamos fórmulas, con las que planteaban y resolvían problemas que hacían referencia a cuestiones particulares que necesitaban. Las relaciones que encontraron fueron basales para la conformación de la obra Elementos, escrita por Euclides (300 a.C., aprox.). Este es un texto que compendia toda la matemática elemental de la época: la aritmética o teoría de números, la geometría sintética (de puntos, rectas, planos, círculos y esferas) y el álgebra (como una interpretación de relaciones geométricas).
Tenemos, entonces, una primera caracterización de la geometría sintética como la que utiliza los métodos de los Elementos de Euclides para resolver problemas de construcción geométrica con regla y compás. Un gran número de esas construcciones no hacen referencia a las medidas de los elementos (lados, ángulos, radios, medianas, bisectrices, etcétera) que caracterizan a las figuras geométricas.
El surgimiento de otra perspectiva geométrica tuvo que esperar años, más exactamente siglos. El siglo XVII pone en contacto los antiguos problemas griegos de la mano de traducciones árabes, la consolidación de los avances algebraicos y la reinterpretación de las obras de Euclides, Arquímedes, Apolonio, Diofanto y Pappus, le otorgan a la geometría un método de generalidad que no tenía. Descartes (1596-1650) y Fermat (1661-1665), con la Geometría e Introducción a la teoría de los lugares planos y espaciales, respectivamente, dan inicio a lo que actualmente se conoce como una rama de la matemática, la geometría analítica. Estos trabajos tienen basamentos en la geometría griega, pero plantean como premisa principal encontrar nuevos métodos que sean más simples, operativos y, sobre todo, más generales.
Diversos autores (Kline, 1999; Courant y Robbins, 1996; Puig Adam, 1976)1 concuerdan acerca de que el nombre apropiado para los avances propuestos por Descartes y Fermat sería “geometría de coordenadas”. Entonces, ¿por qué transcendió con la palabra “analítica”? Este término, desde Platón, es considerado como el proceso deductivo que se realiza partiendo desde lo que se quiere probar hasta llegar a una verdad conocida. Descartes consideraba que “análisis” era la palabra apropiada porque el álgebra servía para “analizar” el problema de construcción geométrico considerado. Luego, con el avance algebraico, se dejó de considerarla solo como una herramienta aplicable a la geometría para ser un método de estudio de las curvas. Por lo que, “geometría analítica” hace referencia tanto al proceso de demostración como a la aplicación del método algebraico.
Acordamos con la posición de Collette (1980), puesto que no se refiere a uno de los dos matemáticos, Descartes o Fermat, como “descubridor” de la geometría analítica. Collette analiza sus trabajos como una caracterización de sus posturas, que consideramos relevantes en el desarrollo de este capítulo:
- Cada uno contribuyó, de un modo independiente, en el reconocimiento de que una ecuación dada con dos incógnitas puede considerarse como la determinación de una curva plana, con respecto a un sistema de coordenadas.
- Cada uno, con métodos algorítmicos propios, intenta vincular estrechamente la ecuación y la curva correspondiente.
- Fermat tiene como idea fundamental el logro de la ecuación de la curva de un modo más claro que Descartes.
- Descartes cubre problemas de un campo más amplio y general que el de Fermat, quien trabajó casi específicamente sobre las ecuaciones de primero y segundo grado.
- Ambos autores continuaron los trabajos de Vieta en direcciones diferentes. Descartes trabaja sobre la construcción geométrica de las raíces de ecuaciones algebraicas, dotándola de un simbolismo más apropiado. Fermat, conserva la notación de Vieta y la aplica a otro tema, el estudio de los lugares geométricos.
- “En general, se puede decir que Descartes comienza con un problema de lugar geométrico a partir del cual obtiene una ecuación del lugar, mientras que Fermat se preocupa más de partir de una ecuación y de deducir las propiedades de su curva” (Collette,1980: 27).
Rescatamos las palabras de Kline (1999), en consonancia con lo propuesto por Collette en el último párrafo, puesto que se refieren a cómo cada matemático realiza la asociación de curvas y ecuaciones:
Aunque la idea sobresaliente para el futuro de las matemáticas era la de asociar ecuación y curva, para Descartes esto no era más que un medio para un fin, a saber, la resolución de problemas de construcciones geométricas. El énfasis de Fermat en las ecuaciones de lugares geométricos es, desde el punto de vista moderno, más oportuno (Kline, 1999: 419).
Esta asociación curva-ecuación puede darse de dos maneras diferentes.2 Construimos una curva mediante propiedades geométricas (Descartes). Esa curva tiene asociada su propia ecuación, que la caracteriza a ella y no a otra. Partimos desde la ecuación de una curva y explorando el comportamiento algebraico de la misma, podemos descubrir las propiedades geométricas que la constituyen (Fermat). Pero, ¿qué es la ecuación de una curva? Es la relación que se obtiene entre uno o varios valores de ordenada para una misma abscisa. Y esa curva trazada no es otra cosa que la solución geométrica de un problema indeterminado, es decir, que tiene una infinidad de soluciones: es lo que los antiguos llamaban lugar geométrico.
Jourdain (1919) en su libro La naturaleza de la matemática
