Elementos X-XIII E-Book

Euclides de Alejandría

• Herausgeber: Gredos
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Serie: Nueva Biblioteca Clásica Gredos
• Sprache: Spanisch

Seitenzahl: 497

Veröffentlichungsjahr: 2026

Beschreibung

Los Elementos de Euclides es una de las escasísimas obras antiguas que puede presumir de haber constituido, casi de golpe, la base sobre la que se ha levantado toda una ciencia, en este caso la geometría y la aritmética, al menos desde el siglo III a. C. hasta el siglo XIX. La razón de su prolongado éxito radica en sus grandes virtudes expositivas y didácticas, así como en su afán de sistematización deductiva. Gredos publica esta obra completa de Euclides en tres volúmenes y en una exhaustiva edición crítica. En este último tomo se reúnen los libros X-XIII, que tratan la inconmensurabilidad, las rectas irracionales y la geometría de los cuerpos sólidos.

Leseprobe

Índice

NOTASOBRE LA PRESENTE TRADUCCIÓN

LIBRO X

LIBRO XI

LIBRO XII

LIBRO XIII

NOTAS

La Biblioteca Clásica Gredos, fundada en 1977 y sin duda una de las más ambiciosas empresas culturales de nuestro país, surgió con el objetivo de poner a disposición de los lectores hispanohablantes el rico legado de la literatura grecolatina, bajo la atenta dirección de Carlos García Gual, para la sección griega, y de José Luis Moralejo y José Javier Iso, para la sección latina. Con más de 400 títulos publicados, constituye, con diferencia, la más extensa colección de versiones castellanas de autores clásicos.

Publicado originalmente en la BCG con el número 228, este volumen presenta la traducción de Elementos, libros X-XIII (realizada por María Luisa Puertas Castaños).

Asesor de la colección: Luis Unceta Gómez.

La traducción de este volumen ha sido revisada por Paloma Ortiz García.

© de esta edición: RBA Libros y Publicaciones, S.L.U., 2026.

Avda. Diagonal 189 - 08018 Barcelona.

www.rbalibros.com

Primera edición en la Biblioteca Clásica Gredos: 2008.

Primera edición en este formato: marzo de 2026.

RBA • GREDOS

REF.: GEBO742

ISBN: 979-13-8789-641-6

Composición digital: www.acatia.es

Queda rigurosamente prohibida sin autorización por escrito del editor cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública o transformación de esta obra, que será sometida a las sanciones establecidas por la ley. Pueden dirigirse a Cedro (Centro Español de Derechos Reprográficos, www.cedro.org) si necesitan fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra (www.conlicencia.com; 91 702 19 70 / 93 272 04 47). Todos los derechos reservados.

NOTA SOBRE LA PRESENTE

TRADUCCIÓN

Esta entrega de los libros X-XIII completa la traducción de los Elementos de Euclides. Mantengo naturalmente el texto griego de referencia y las convenciones que he empleado en las entregas anteriores —véase la nota inicial sobre la traducción de los libros I-IV (Madrid: Gredos [BCG 155], 1991) y V-IX (Madrid: Gredos [BCG 191], 1994).

En el presente caso, el libro X ha seguido siendo la «cruz» de los Elementos y, desde luego, una cruz para la traductora. Por fortuna, durante los primeros meses de 1993 pude contar con la paz, las facilidades y los incentivos de Cambridge para dar forma a un primer borrador de la traducción de este libro. Entre esas facilidades e incentivos quiero destacar especialmente la generosidad de Geoffrey Lloyd quien, además, me brindó la oportunidad de hablar de algunos aspectos del libro con los profesores Ian Mueller y David H. Fowler en sus visitas a Cambridge. Una consecuencia ha sido mi opción por traducir el término crucial álogon no en la versión tradicional de «irracional», sino en otra versión más contextualizada y explícita, como «no racionalmente expresable», alternativa que no deja de tener repercusiones sobre la interpretación del propósito y del sentido de este espinoso libro X en el marco del tratado. También me parece justo recordar que sin el estímulo y la asistencia de Luis Vega a lo largo de las sucesivas versiones y correcciones que han ido conformando esta traducción de los Elementos y sin sus contribuciones a las notas, la suerte de la empresa habría sido mucho más aventurada. Espero, cuando menos, que la presente edición venga a cumplir el compromiso pendiente en nuestra lengua con esta obra clásica desde la ya lejana traducción inaugural de Rodrigo Zamorano (1576).

LIBRO X

DEFINICIONES

Se llaman magnitudes conmensurables aquellas que se miden con la misma medida, e inconmensurables aquellas de las que no es posible que haya una medida común. Las líneas rectas son conmensurables en cuadrado cuando sus cuadrados se miden con la misma área, e inconmensurables cuando no es posible que sus cuadrados tengan un área como medida común1. Dados estos supuestos, se demuestra que hay un número infinito de rectas respectivamente conmensurables e inconmensurables, unas solo en longitud y otras también en cuadrado con una recta determinada. Llámese entonces racionalmente expresable la recta determinada; y las conmensurables con ella, bien en longitud y en cuadrado, bien solo en cuadrado, racionalmente expresables y las inconmensurables con ella llámense no racionalmente expresables2. Y el cuadrado de la recta determinada (llámese) racionalmente expresable, y los cuadrados conmensurables con este racionalmente expresables; pero los inconmensurables con él llámense no racionalmente expresables; y las rectas que los producen (llámense) no racionalmente expresablas, a saber, si fueran cuadrados, los propios lados y si fueran otras figuras rectilíneas, aquellas (rectas) que construyan cuadrados iguales a ellos3.

PROPOSICIÓN 1

Dadas dos magnitudes desiguales, si se quita de la mayor una (magnitud) mayor que su mitad y, de la que queda, una magnitud mayor que su mitad y así sucesivamente, quedará una magnitud que será menor que la magnitud menor dada.

Sean AB, Γ dos magnitudes desiguales de las cuales AB es la mayor.

Digo que, si se quita de AB una (magnitud) mayor que su mitad y de la (magnitud) restante, una (magnitud) mayor que su mitad, y así sucesivamente, quedará una magnitud que será menor que la magnitud Γ.

Pues Γ multiplicada será alguna vez mayor que AB [V Def. 4]. Multiplíquese y sea ΔE un múltiplo de Γ mayor que AB; divídase ΔE en ΔZ, ZH, HE iguales a Γ, y de AB quítese BΘ mayor que su mitad, y de AΘ (quítese) ΘK mayor que su mitad, y así sucesivamente hasta que las divisiones de AB lleguen a ser iguales en número a las divisiones de ΔE.

Sean, pues, AK, KΘ, ΘB divisiones que son iguales en número a las (divisiones) ΔZ, ZH, HE; ahora bien, dado que ΔE es mayor que AB y que de ΔE se ha quitado la (magnitud) EH menor que su mitad y de AB la (magnitud) BΘ mayor que su mitad, entonces la magnitud restante HΔ es mayor que la (magnitud) restante ΘA. Y dado que HΔ es mayor que ΘA y se ha quitado de HΔ su mitad HZ y de ΘA una (magnitud) ΘK mayor que su mitad, entonces la (magnitud) restante ΔZ es mayor que la (magnitud) restante AK. Pero ΔZ es igual a Γ; luego es mayor que AK. Por tanto, AK es menor que Γ.

Por consiguiente, de la magnitud AB queda la magnitud AK que es menor que la magnitud dada Γ. Q. E. D. De manera semejante demostraríamos que (esto ocurre) también si se quita la mitad4.

PROPOSICIÓN 2

Si al restar continua y sucesivamente la menor de la mayor de dos magnitudes desiguales, la restante nunca mide a la anterior, las magnitudes serán inconmensurables.

Habiendo, pues, dos magnitudes desiguales AB, ΓΔ y (siendo) AB la menor, al restar sucesivamente la menor de la mayor, no mida nunca la (magnitud) restante a la anterior a ella.

Digo que las magnitudes AB, ΓΔ son inconmensurables.

Pues, si son conmensurables, alguna magnitud las medirá. Mídalas (una magnitud), si es posible, y sea E; y AB, al medir a ZΔ, deje la magnitud ΓZ menor que ella, y ΓZ, al medir a BH, deje AH menor que ella, y repítase así sucesivamente hasta que quede una magnitud que sea menor que E. Sea así y quede AH menor que E. Así pues, como E mide a AB y AB mide a ΔZ, entonces E también medirá a ZΔ. Pero mide también a la magnitud entera ΓΔ; luego medirá también a la magnitud restante ΓZ. Ahora bien, ΓZ mide a BH; entonces E también mide a BH. Pero mide también a la (magnitud) entera AB; así que medirá también a la (magnitud) restante AH, la mayor a la menor; lo cual es imposible. Luego ninguna magnitud medirá a las magnitudes AB, ΓΔ; por tanto, las magnitudes AB, ΓΔ son inconmensurables [X Def. 1].

Por consiguiente, si de dos magnitudes desiguales..., etc.5.

PROPOSICIÓN 3

Dadas dos magnitudes conmensurables, hallar su medida común máxima.

Sean AB, ΓΔ dos magnitudes dadas conmensurables, de las cuales AB sea la menor.

Así pues, hay que hallar la medida común máxima de AB, ΓΔ.

Pues bien, AB o mide a ΓΔ o no la mide. Si, en efecto, la mide y se mide también a sí misma, entonces AB es una medida común de AB, ΓΔ; y está claro que también es la mayor. Porque no medirá a AB ninguna magnitud mayor que AB.

Pero ahora no mida AB a ΓΔ y, al restar continua y sucesivamente la menor de la mayor, la (magnitud) restante medirá alguna vez a la anterior a ella, porque AB, ΓΔ no son inconmensurables [X 2]; y AB, al medir a EΔ, deje la (magnitud) EΓ menor que ella, y EΓ, al medir a ZB, deje la (magnitud) AZ menor que ella y mida AZ a ΓE.

Como, en efecto, AZ mide a ΓE, mientras que ΓE mide a ZB, entonces AZ medirá también a ZB. Pero también se mide a sí misma; luego AZ medirá también a la (magnitud) entera AB. Ahora bien, AB mide a ΔE; entonces AZ medirá también a EΔ. Pero mide también a ΓE; luego mide también a la (magnitud) entera ΓΔ; por tanto, AZ es una medida común de AB, ΓΔ.

Digo ahora que también es la mayor. Pues, si no, habrá una magnitud mayor que AZ que medirá a AB, ΓΔ. Sea H. Así pues, dado que H mide a AB, mientras que AB mide a EΔ, entonces H medirá a EΔ. Pero mide también a la (magnitud) entera ΓΔ; luego H medirá también a la (magnitud) restante ΓE. Pero ΓE mide a ZB; luego H medirá también a ZB. Pero también mide a la (magnitud) entera AB y medirá también a la (magnitud) restante AZ, la mayor a la menor; lo cual es imposible. Luego ninguna magnitud mayor que AZ medirá a AB, ΓΔ; por tanto AZ es la medida común máxima de AB, ΓΔ.

Por consiguiente, se ha hallado la medida común máxima, AZ, de las dos magnitudes dadas AB, ΓΔ. Q. E. D.

Porisma:

A partir de esto queda claro que, si una magnitud mide a dos magnitudes, medirá también a su medida común máxima6.

PROPOSICIÓN 4

Dadas tres magnitudes conmensurables, hallar su medida común máxima.

Sean A, B, Γ las tres magnitudes conmensurables dadas.

Así pues, hay que hallar la medida común máxima de A, B, Γ.

Tómese, pues, la medida común máxima de A, B y sea Δ [X 3]. Pues bien, o Δ mide a Γ o no la mide. En primer lugar, mídala. Así pues Δ mide a Γ, y mide también a A, B, entonces Δ mide a A, B, Γ; por tanto Δ es una medida común de A, B, Γ. Y está claro que también la mayor, porque una magnitud mayor que la magnitud Δ no mide a A, B.

No mida ahora Δ a Γ.

Digo en primer lugar que Γ, Δ son conmensurables.

Porque como A, B, Γ son conmensurables, las medirá alguna magnitud que evidentemente medirá también a A, B; de modo que la medida común máxima de A, B medirá también a Δ. Y mide también a Γ; de modo que la antedicha magnitud medirá también a Δ, la medida común máxima de A, B [X 3 Por.], luego Γ, Δ son conmensurables.

Pues bien, tómese su medida común máxima y sea E [X 3]. Así pues, dado que E mide a Δ, mientras que Δ mide a A, B, entonces E medirá también a A, B. Pero mide también a Γ. Luego E mide a A, B, Γ; por tanto E es una medida común de A, B, Γ.

Digo ahora que también la mayor.

Pues, si es posible, sea Z una magnitud mayor que E y mida a A, B, Γ. Ahora bien, puesto que Z mide a A, B, Γ, entonces medirá también a A, B y a la medida común máxima de A, B [X 3 Por.]. Pero la medida común máxima de A, B es Δ; entonces Z mide a Δ. Pero mide también a Γ; luego Z mide a Δ. Y mide también a Γ. Por tanto Z mide a Γ, Δ; entonces Z medirá también a la medida común máxima de Γ, Δ [X 3 Por.]. Pero es E; luego Z medirá a E, la mayor a la menor; lo cual es imposible. Por tanto, ninguna (magnitud) mayor que la magnitud E mide a A, B, Γ; luego la medida común máxima de A, B, Γ es E, si Δ no mide a Γ, y si la mide, es la propia (magnitud) Δ.

Por consiguiente, se ha hallado la medida común máxima de las tres magnitudes conmensurables dadas.

Porisma:

A partir de esto queda claro que, si una magnitud mide a tres magnitudes, medirá también a su medida común máxima.

De manera semejante se hallará la medida común máxima de más magnitudes y se extenderá el porisma. Q. E. D.7.

PROPOSICIÓN 5

Las magnitudes conmensurables guardan entre sí la misma razón que un número guarda con un número.

Sean A, B magnitudes conmensurables.

Digo que A guarda con B la misma razón que un número con un número.

Pues, como A, B son conmensurables, alguna magnitud las medirá. Mídalas una magnitud y sea Γ. Y cuantas veces Γ mida a A, tantas unidades haya en Δ, y cuantas veces Γ mida a B, tantas unidades haya en E.

Así pues, dado que Γ mide a A según las unidades de Δ y la unidad mide a Δ según sus unidades, entonces la unidad mide al número Δ el mismo número de veces que la magnitud Γ a la (magnitud) A; luego, como Γ es a A, así la unidad es a Δ [VII Def. 20]; entonces, por inversión, como A es a Γ, así Δ a la unidad [V 7 Por.]. Como Γ mide a su vez a Δ según las unidades de E, mientras que la unidad mide también a E según sus unidades, entonces la unidad mide a E el mismo número de veces que Γ a B. Luego, como Γ es a B, así la unidad es al (número) E. Pero se ha demostrado que también como A es a Γ, Δ es a la unidad. Luego, por igualdad, como A es a B, así el número Δ es al (número) E [V 22].

Por consiguiente, las magnitudes conmensurables A, B guardan entre sí la misma razón que el número Δ con el número E. Q. E. D.8.

PROPOSICIÓN 6

Si dos magnitudes guardan entre sí la razón que un número (guarda) con un número, las magnitudes serán conmensurables.

Guarden, pues, las dos magnitudes A, B entre sí la razón que el número Δ (guarda) con el número E.

Digo que las magnitudes A, B son conmensurables.

Pues divídase A en tantas (magnitudes) iguales como unidades hay en Δ, y sea Γ igual a una de ellas; y compóngase Z de tantas unidades iguales a Γ como unidades hay en E.

Así pues, dado que, cuantas unidades hay en Δ, tantas magnitudes iguales a Γ hay en A, entonces, la parte que la unidad es de Δ, la misma parte es también Γ de A; luego, como Γ es a A, así la unidad es a Δ [VII Def. 20]. Pero la unidad mide al número Δ; entonces también Γ mide a A. Ahora bien, dado que, como Γ es a A, así la unidad es al (número) Δ, entonces, por inversión, como A es a Γ, así el número Δ es a la unidad [V 7 Por.]. Y puesto que, cuantas unidades hay en E, tantas hay a su vez en Z iguales a Γ, entonces como Γ es a Z, así la unidad es al (número) E [VII Def. 20]. Pero se ha demostrado que también como A es a Γ, así Δ a la unidad; entonces, por igualdad, como A es a Z, así Δ a E [V 22]; ahora bien, como Δ es a E, así A a B; entonces, como A es a B, así también a Z [V 11]. Luego A guarda la misma razón con cada una de las (magnitudes) B, Z; por tanto, B es igual a Z [V 9]. Pero Γ mide a Z; luego mide también a B. Pero también a A; luego Γ mide a A, B. Por tanto, A es conmensurable con B.

Por consiguiente, si dos magnitudes guardan entre sí..., etc.

Porisma:

A partir de esto queda claro que, si hay dos números, como Δ, E, y una recta, como A, es posible hacer una recta [Z] que sea a la recta como el número Δ es al número E. Pero, si se toma una media proporcional de A, Z, como B, como A es a Z, así el cuadrado de A será al cuadrado de B, es decir que como la primera es a la tercera, así la (figura) construida sobre la primera es a la figura semejante y construida de manera semejante sobre la segunda [VI 19 Por.]. Pero como A es a Z, así el número Δ es al número E; entonces como el número Δ es al número E, así también la figura construida sobre la recta A9 a la figura construida sobre la recta B. Q. E. D.

PROPOSICIÓN 7

Las magnitudes inconmensurables no guardan entre sí la razón que un número guarda con un número.

Sean A, B, magnitudes inconmensurables.

Digo que A no guarda con B la razón que un número guarda con un número.

Pues, si A guarda con B la razón que un número guarda con un número, A será conmensurable con B [X 6]. Pero no lo es; por tanto, A no guarda con B la razón que un número guarda con un número.

Por consiguiente, las magnitudes inconmensurables no guardan entre sí la razón..., etc.

PROPOSICIÓN 8

Si dos magnitudes no guardan entre sí la razón que un número guarda con un número, las magnitudes serán inconmensurables.

No guarden, pues, entre sí las dos magnitudes A, B la razón que un número guarda con un número.

Digo que las magnitudes A, B son inconmensurables.

Pues, si son conmensurables, A guardará con B la razón que un número guarda con un número [X 5]. Pero no la guarda. por tanto, las magnitudes A, B son inconmensurables.

Por consiguiente, si dos magnitudes guardan entre sí..., etc.

PROPOSICIÓN 9

Los cuadrados de rectas conmensurables en longitud guardan entre sí la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; y los cuadrados que guardan entre sí la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado tendrán también los lados conmensurables en longitud. Pero los cuadrados de las rectas inconmensurables en longitud no guardan entre sí la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado, y los cuadrados que no guardan entre sí la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado tampoco tendrán los lados conmensurables en longitud.

Sean, pues, A, B conmensurables en longitud.

Digo que el cuadrado de A guarda con el cuadrado de B la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado.

Pues como A es conmensurable en longitud con B, entonces A guarda con B la razón que un número guarda con un número [X 5]. Guarde la razón de Γ a Δ. Pues bien, dado que, como A es a B, así Γ a Δ, mientras que el cuadrado de A guarda con el cuadrado de B una razón duplicada de la que A guarda con B, porque las figuras semejantes guardan una razón duplicada de la de sus lados correspondientes [VI 20 Por.]; y dado que el cuadrado de Γ guarda con el cuadrado de Δ una razón duplicada de la que Γ guarda con Δ, porque entre dos números cuadrados hay un número que es media proporcional, y el número cuadrado guarda con el número cuadrado una razón duplicada de la que el lado guarda con el lado [VIII 11]; luego como el cuadrado de A es al cuadrado de B, así el cuadrado de Γ es al cuadrado de Δ.

Pero ahora, como el cuadrado de A es al cuadrado de B, sea así el cuadrado de Γ al cuadrado de Δ.

Digo que A es conmensurable en longitud con B.

Pues, dado que, como el cuadrado de A es al cuadrado de B, así el cuadrado de Γ al de Δ, mientras que el cuadrado de A guarda con el cuadrado de B una razón duplicada de la que A guarda con B, y el cuadrado de Γ guarda con el cuadrado de Δ una razón duplicada de la que Γ guarda con Δ, entonces, como A es a B, así Γ a Δ. Luego A guarda con B la razón que el número Γ guarda con el número Δ. Por tanto A es conmensurable en longitud con B [X 6].

Sea ahora A inconmensurable en longitud con B.

Digo que el cuadrado de A no guarda con el de B la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado.

Pues si el cuadrado de A guarda con el de B la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado, A será conmensurable con B. Pero no lo es; luego el cuadrado de A no guarda con el cuadrado de B la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado.

No guarde ahora el cuadrado de A con el cuadrado de B la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado.

Digo que A es inconmensurable en longitud con B.

Pues si A es conmensurable con B, el cuadrado de A guardará con el cuadrado de B la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado, pero no la guarda; luego A no es conmensurable en longitud con B.

Por consiguiente, los cuadrados de (rectas) conmensurables en longitud, etc.10.

Porisma:

Y a partir de lo demostrado quedará claro que las rectas conmensurables en longitud también lo son siempre en cuadrado, mientras que las conmensurables en cuadrado no lo son siempre en longitud11.

LEMA

Se ha demostrado en los libros de aritmética que los números planos semejantes guardan entre sí la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado [VIII 26], y que si dos números guardan entre sí la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado, son números planos semejantes [VIII 26 conversa]. Y es evidente a partir de esto que los números planos no semejantes, es decir los que no tienen los lados proporcionales, no guardan entre sí la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; pues, si la guardan, serán planos semejantes; lo cual precisamente se ha supuesto que no; luego los números planos no semejantes no guardan entre sí la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado12.

PROPOSICIÓN 10

Hallar dos rectas inconmensurables, una solo en longitud, otra también en cuadrado, con una recta determinada.

Sea A la recta determinada.

Así pues, hay que hallar dos rectas inconmensurables, una solo en longitud, otra también en cuadrado, con la recta determinada A.

Tómense, pues, dos números B, Γ que no guarden entre sí la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado, es decir que no sean números planos semejantes y hágase de forma que, como B es a Γ, así el cuadrado de A al cuadrado de Δ, pues hemos aprendido (a hacerlo) [X 6 Por.]; entonces, el cuadrado de A es conmensurable con el cuadrado de Δ [X 6]. Ahora bien, dado que B no guarda con Γ la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado, entonces el cuadrado de A tampoco guarda con el cuadrado de Δ la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; luego A es inconmensurable en longitud con Δ [X 9].

Tómese la media proporcional E de A, Δ; entonces, como A es a Δ, así el cuadrado de A es al cuadrado de E [V Def. 9]. Pero A es inconmensurable en longitud con Δ; luego el cuadrado de A es también inconmensurable con el cuadrado de E [X 11]; por tanto A es inconmensurable en cuadrado con E.

Por consiguiente, se han hallado dos rectas inconmensurables, Δ, E, una, Δ, solo en longitud y la otra, E, en cuadrado y también obviamente en longitud, con la recta determinada A13.

PROPOSICIÓN 11

Si cuatro magnitudes son proporcionales y la primera es conmensurable con la segunda, también la tercera será conmensurable con la cuarta, y si la primera es inconmensurable con la segunda, la tercera será también inconmensurable con la cuarta.

Sean A, B, Γ, Δ cuatro magnitudes proporcionales, es decir: como A es a B, así Γ a Δ, y sea A conmensurable con B.

Digo que Γ también será conmensurable con Δ.

Pues como A es conmensurable con B, entonces A guarda con B la razón que un número guarda con un número [X 5]. Y como A es a B, así Γ a Δ. Entonces Γ guarda también con Δ la razón que un número guarda con un número; luego Γ es conmensurable con Δ [X 6].

Pero ahora sea A inconmensurable con B.

Digo que Γ también será inconmensurable con Δ.

Pues como A es inconmensurable con B, entonces A no guarda con B la razón que un número guarda con un número [X 7]. Y A es a B como Γ es a Δ. Entonces Γ tampoco guarda con Δ la razón que un número guarda con un número; luego Γ es inconmensurable con Δ [X 8].

Por consiguiente, si cuatro magnitudes..., etc.

PROPOSICIÓN 12

Las magnitudes conmensurables con una misma magnitud son también conmensurables entre sí.

Sea, pues, conmensurable cada una de las magnitudes A, B con la magnitud Γ.

Digo que A es también conmensurable con B.

Pues como A es conmensurable con Γ, entonces A guarda con Γ la razón que un número guarda con un número [X 5]. Guarde la razón de Δ a E. Puesto que a su vez Γ es conmensurable con B, entonces Γ guarda con B la razón que un número guarda con un número [X 5]. Guarde la razón de Z a H. Y dadas cuantas razones se quiera, a saber, la de Δ a E y la de Z a H, tómense los números Θ, K, Λ sucesivamente en las razones dadas [VIII 4]; de modo que, como Δ es a E, así Θ a K, y como Z es a H, así K a Λ.

Así pues, dado que, como A es a Γ, así Δ a E, mientras que, como Δ es a E, así Θ a K, entonces como A es a Γ, así también Θ a K [V 11]. Y puesto que, como Γ es a B, así Z es a su vez a H, mientras que, como Z es a H, K es a Λ, entonces, como Γ es a B, así K a Λ [V 11]. Pero, como A es a Γ, así también Θ a K; entonces, por igualdad, como A es a B, así Θ a Λ [V 22]. Luego A guarda con B la razón que el número Θ guarda con el número Λ; por tanto A es conmensurable con B [X 6].

Por consiguiente, las (magnitudes) conmensurables con una misma magnitud son conmensurables entre sí. Q. E. D.

PROPOSICIÓN 13

Si hay dos magnitudes conmensurables y una de ellas es inconmensurable con otra magnitud cualquiera, también la restante será inconmensurable con ella.

Sean A, B dos magnitudes conmensurables y una de ellas, A, sea inconmensurable con otra magnitud cualquiera, Γ.

Digo que la restante, B, es también inconmensurable con Γ.

Pues si B es conmensurable con Γ, y A es también conmensurable con B, entonces A es conmensurable con Γ [X 12]. Pero es también inconmensurable; lo cual es imposible. Por tanto B no es conmensurable con Γ; luego es inconmensurable (con ella).

Por consiguiente, si dos magnitudes conmensurables..., etc.

LEMA

Dadas dos rectas desiguales hallar en cuánto el cuadrado de la mayor es mayor que el cuadrado de la menor.

Sean AB, Γ las dos rectas desiguales dadas, de las cuales sea AB la mayor.

Así pues hay que hallar en cuánto es mayor el cuadrado de AB que el de Γ.

Descríbase sobre AB el semicírculo AΔB y adáptese a él la (recta) AΔ igual a Γ [IV 1] y trácese ΔB. Entonces está claro que el ángulo AΔB es recto [III 31] y que el cuadrado de AB es mayor que el cuadrado de AΔ, es decir de Γ, en el cuadrado de ΔB [I 47].

De manera semejante, dadas dos rectas, se hallará la recta cuyo cuadrado es igual a los cuadrados de ellas, de la siguiente manera:

Sean AΔ, ΔB las dos rectas dadas y sea lo requerido hallar la recta cuyo cuadrado es igual a los cuadrados de ellas. Pónganse pues de modo que sea recto el ángulo comprendido por AΔ, ΔB, y trácese AB; está claro de nuevo que AB es la (recta) cuyo cuadrado es igual a los de AΔ, ΔB [I 47]. Q. E. D.14.

PROPOSICIÓN 14

Si cuatro rectas son proporcionales, y el cuadrado de la primera es mayor que el de la segunda en el cuadrado de una recta conmensurable con la primera, el cuadrado de la tercera será también mayor que el de la cuarta en el cuadrado de una (recta) conmensurable con la tercera. Y si el cuadrado de la primera es mayor que el de la segunda en el cuadrado de una recta inconmensurable con la primera, el cuadrado de la tercera será también mayor que el de la cuarta en el cuadrado de una recta inconmensurable con ella (la tercera).

Sean A, B, Γ, Δ cuatro rectas proporcionales (tales que) como A es a B, así Γ a Δ, y sea el cuadrado de A mayor que el de B en el cuadrado de E, y el cuadrado de Γ sea mayor que el de Δ en el cuadrado de Z.

Digo que si A es conmensurable con E, Γ será también conmensurable con Z, pero si A es inconmensurable con E, Γ será también inconmensurable con Z.

Pues, dado que, como A es a B, así Γ a Δ, entonces, como el cuadrado de A es al cuadrado de B, así también el cuadrado de Γ al de Δ [VI 22]. Pero los cuadrados de E, B son iguales al cuadrado de A, y los cuadrados de Δ, Z son iguales al cuadrado de Γ. Entonces, como los cuadrados de E, B son al cuadrado de B, así los cuadrados de Δ, Z al cuadrado de Δ; luego, por separación, como el cuadrado de E es al cuadrado de B, así el cuadrado de Z al cuadrado de Δ [V 17]; por tanto, como E es a B, así Z a Δ [VI 22]; entonces, por inversión, como B es a E, así Δ a Z. Pero como A es a B, así también Γ a Δ; luego, por igualdad, como A es a E, así Γ a Z [V 22]. Ahora bien, si A es conmensurable con E, Γ es también conmensurable con Z, pero si A es inconmensurable con E, Γ es también inconmensurable con Z [X 11].

Por consiguiente..., etc.15.

PROPOSICIÓN 15

Si se suman dos magnitudes conmensurables, la (magnitud) total también será conmensurable con cada una de ellas; y si la (magnitud) total es conmensurable con cada una de ellas, también las magnitudes iniciales serán conmensurables.

Súmense, pues, las dos magnitudes conmensurables AB, BΓ.

Digo que la (magnitud) total AΓ es también conmensurable con cada una de las (magnitudes) AB, BΓ.

Pues como AB, BΓ son conmensurables, alguna magnitud las medirá. Mídalas (una magnitud) y sea Δ. Así pues, dado que Δ mide a AB, BΓ, medirá también a la magnitud total AΓ. Pero mide también a AB, BΓ. Entonces Δ mide a AB, BΓ, AΓ. Luego AΓ es conmensurable con cada una de las magnitudes AB, BΓ [X Def. 1].

Pero ahora sea AΓ conmensurable con AB.

Digo que AB, BΓ son también conmensurables.

Pues como AΓ, AB son conmensurables, alguna magnitud las medirá. Mídalas (una magnitud) y sea Δ. Así pues, dado que Δ mide a ΓA, AB, entonces medirá también a la magnitud restante BΓ. Pero también mide a AB; entonces Δ medirá a AB, BΓ. Luego AB, BΓ son conmensurables [X Def. 1]

Por consiguiente, si dos magnitudes..., etc.

PROPOSICIÓN 16

Si se suman dos magnitudes inconmensurables, la magnitud total también será inconmensurable con cada una de ellas; y si la magnitud total es inconmensurable con una de ellas, las magnitudes iniciales serán también inconmensurables.

Súmense, pues, las dos magnitudes inconmensurables AB, BΓ.

Digo que la (magnitud) total AΓ es inconmensurable con cada una de las (magnitudes) AB, BΓ.

Pues si ΓA, AB no son inconmensurables, alguna magnitud las medirá. Mídalas (una magnitud), si es posible, y sea Δ. Así pues, como Δ mide a ΓA, AB, entonces, medirá también a la magnitud restante BΓ. Pero mide también a AB; entonces Δ mide a AB, BΓ. Luego AB, BΓ son conmensurables; pero se ha supuesto que son inconmensurables; lo cual es imposible. Por tanto, ninguna magnitud medirá a ΓA, AB; luego ΓA, AB son inconmensurables [X Def. 1]. De manera semejante demostraríamos que AΓ, ΓB son inconmensurables. Por tanto AΓ es inconmensurable con cada una de las magnitudes AB, BΓ.

Pero ahora sea AΓ inconmensurable con una de las (magnitudes) AB, BΓ. Séalo en primer lugar con AB.

Digo que AB, BΓ son también inconmensurables. Pues, si son conmensurables, alguna magnitud las medirá. Mídalas (una magnitud) y sea Δ. Así pues, como Δ mide a AB, BΓ, entonces, medirá también a la (magnitud) total AΓ. Pero mide también a AB; entonces Δ mide a ΓA, AB. Luego ΓA, AB son conmensurables; pero se ha supuesto que son inconmensurables; lo cual es imposible. Luego ninguna magnitud medirá a AB, BΓ; por tanto AB, BΓ son inconmensurables.

Por consiguiente, si dos magnitudes..., etc.

LEMA

Si se aplica a una recta un paralelogramo deficiente en la figura de un cuadrado, el (paralelogramo) aplicado es igual al (rectángulo) producido por los segmentos de recta que resultan de la aplicación.

Aplíquese, pues, a la recta AB, el paralelogramo AΔ deficiente en la figura de un cuadrado, ΔB.

Digo que AΔ es igual al rectángulo comprendido por AΓ, ΓB.

Y esto queda claro por sí mismo: pues como ΔB es un cuadrado, ΔΓ es igual a ΓB, y AΔ es el (rectángulo comprendido) por AΓ, ΓΔ, es decir, el (rectángulo comprendido) por AΓ, ΓB.

Por consiguiente, si se aplica una recta..., etc.16.

PROPOSICIÓN 17

Si hay dos rectas desiguales, y se aplica a la mayor un (paralelogramo) igual a la cuarta parte del cuadrado de la menor y deficiente en la figura de un cuadrado, y si la divide en (partes) conmensurables en longitud, el cuadrado de la mayor será mayor que el de la menor en el cuadrado de una recta conmensurable con ella (la mayor). Y si el cuadrado de la mayor es mayor que el de la menor en el (cuadrado) de una (recta) conmensurable con ella (la mayor), y se aplica a la mayor un (paralelogramo) igual a la cuarta parte del cuadrado de la menor y deficiente en la figura de un cuadrado, la divide en (partes) conmensurables en longitud.

Sean A, BΓ dos rectas desiguales, de las cuales BΓ sea la mayor, y aplíquese a BΓ un (paralelogramo) igual a la cuarta parte del (cuadrado) de la menor, A, es decir, al (cuadrado) de la mitad de A, y deficiente en la figura de un cuadrado. Y sea el (rectángulo comprendido) por BΔ, ΔΓ [Lema]. Y sea BΔ conmensurable en longitud con ΔΓ.

Digo que el cuadrado de BΓ es mayor que el de A en el cuadrado de una (recta) conmensurable con ella (BΓ).

Divídase, pues, BΓ en dos par tes iguales por el (punto) E, y hágase EZ igual a ΔE. Entonces, la restante ΔΓ es igual a BZ. Y dado que la recta BΓ ha sido dividida en partes iguales por el (punto) E y en partes desiguales por el (punto) Δ, entonces el rectángulo comprendido por BΔ, ΔΓ junto con el cuadrado de EΔ es igual al cuadrado de EΓ [II 5]; y (lo mismo vale) para sus cuádruples; entonces el cuádruple del (rectángulo comprendido) por BΔ, ΔΓ junto con el cuádruple del cuadrado de ΔE es igual al cuádruple del cuadrado de EΓ. Pero el cuadrado de A es igual al cuádruple del rectángulo comprendido por BΔ, ΔΓ, mientras que el cuadrado de ΔZ es igual al cuádruple del cuadrado de ΔE: porque ΔZ es el doble de ΔE. Pero el cuadrado de BΓ es igual al cuádruple del cuadrado de EΓ: porque BΓ es a su vez el doble de ΓE. Luego los cuadrados de las rectas A, ΔZ son iguales al cuadrado de BΓ; de modo que el cuadrado de BΓ es mayor que el cuadrado de A en el cuadrado de ΔZ; luego el cuadrado de BΓ es mayor que el de A en el cuadrado de ΔZ17.

Hay que demostrar que BΓ es además conmensurable con ΔZ. Pues como BΔ es conmensurable en longitud con ΔΓ, entonces BΓ es conmensurable en longitud con ΓΔ [X 15]. Pero ΓΔ es conmensurable en longitud con ΓΔ, BZ: porque ΓΔ es igual a BZ [X 6]. Luego BΓ es conmensurable en longitud con BZ, ΓΔ [X 12]; de modo que BΓ también es conmensurable en longitud con la restante ZΔ [X 15]; luego el cuadrado de BΓ es mayor que el cuadrado de A en el cuadrado de una (recta) conmensurable con ella (BΓ).

Pues bien, sea mayor el cuadrado de BΓ que el cuadrado de A en el cuadrado de una (recta) conmensurable con ella (BΓ) y aplíquese a BΓ un paralelogramo igual a la cuarta parte del (cuadrado) de A y deficiente en la figura de un cuadrado, y sea el rectángulo comprendido por BΔ, ΔΓ.

Hay que demostrar que BΔ es conmensurable en longitud con ΔΓ.

Pues, siguiendo la misma construcción, demostraríamos de manera semejante que el cuadrado de BΓ es mayor que el de A en el cuadrado de ZΔ. Pero el cuadrado de BΓ es mayor que el de A en el cuadrado de una (recta) conmensurable con ella (BΓ). Entonces BΓ es conmensurable en longitud con ZΔ; de modo que BΓ también es conmensurable en longitud con el resto, a saber, la suma de BZ, ΔΓ [X 15]. Pero la suma de BZ, ΔΓ es conmensurable con ΔΓ [X 6]. De modo que BΓ es también conmensurable en longitud con ΔΓ [X 15].

Por consiguiente, si hay dos rectas desiguales..., etc.

PROPOSICIÓN 18

Si hay dos rectas desiguales y se aplica a la mayor un (paralelogramo) igual a la cuarta parte del cuadrado de la menor deficiente en la figura de un cuadrado, y si la divide en (partes) inconmensurables, el cuadrado de la mayor será mayor que el cuadrado de la menor en el cuadrado de una recta inconmensurable con ella (la mayor). Y si el cuadrado de la mayor es mayor que el cuadrado de la menor en el (cuadrado) de una (recta) inconmensurable con ella (la mayor) y se aplica a la mayor un (paralelogramo) igual a la cuarta parte del cuadrado de la menor y deficiente en la figura de un cuadrado, la divide en (partes) inconmensurables.

Sean A, BΓ dos rectas desiguales, de las cuales sea BΓ la mayor, y aplíquese a BΓ un paralelogramo igual a la cuarta parte del (cuadrado) de la menor, A, y deficiente en la figura de un cuadrado, y sea el (rectángulo) BΔΓ [Cf. lema anterior a X 17], y sea BΔ inconmensurable en longitud con ΔΓ.

Digo que el cuadrado de BΓ es mayor que el cuadrado de A en el cuadrado de una (recta) inconmensurable con ella (BΓ).

Pues, siguiendo la misma construcción del (teorema) anterior, demostraríamos de manera semejante que el cuadrado de BΓ es mayor que el de A en el (cuadrado) de ZΔ.

Hay que demostrar que BΓ es inconmensurable en longitud con ΔZ. Pues como BΔ es inconmensura ble en longitud con ΔΓ, entonces BΓ es también inconmensurable en longitud con ΓΔ [X 16]. Pero ΔΓ es conmensurable con la suma de BZ, ΔΓ [X 6]; entonces BΓ es inconmensurable con la suma de BZ, ΔZ [X 13]. De modo que BΓ es también inconmensurable en longitud con la restante ZΔ [X 16]. Y el cuadrado de BΓ es mayor que el cuadrado de A en el (cuadrado) de ZΔ; luego el cuadrado de BΓ es mayor que el cua drado de A en el (cuadrado) de una (recta) inconmensurable con ella (BΓ).

Sea a su vez el cuadrado de BΓ mayor que el cuadrado de A en el (cuadrado) de una (recta) inconmensurable con ella (BΓ) y aplíquese a BΓ un (paralelogramo) igual a la cuarta parte del (cuadrado) de A y deficiente en la figura de un cuadrado y sea el (rectángulo comprendido) por BΔ, ΔΓ.

Hay que demostrar que BΔ es inconmensurable en longitud con ΔΓ.

Pues, siguiendo la misma construcción, demostraríamos de manera semejante que el cuadrado de BΓ es mayor que el cuadrado de A en el (cuadrado) de ZΔ. Pero el cuadrado de BΓ es mayor que el cuadrado de A en el (cuadrado) de una (recta) inconmensurable con ella (BΓ). Luego BΓ es inconmensurable en longitud con ZΔ; de modo que BΓ es inconmensurable con el resto, es decir, con la suma de BZ, ΔΓ [X 16]. Pero la suma de BZ, ΔΓ es conmensurable en longitud con ΔΓ [X 6]; luego BΓ es inconmensurable en longitud con ΔΓ [X 13]; de modo que, por separación, BΔ es inconmensurable en longitud con ΔΓ [X 16]

Por consiguiente, si hay dos rectas..., etc.

LEMA

Puesto que queda demostrado que las (rectas) conmensurables en longitud lo son siempre también en cuadrado, mientras que las que lo son en cuadrado no lo son siempre también en longitud, sino que pueden ser, en efecto, conmensurables o inconmensurables en longitud, queda claro que, si una recta es conmensurable en longitud con una recta expresable18 determinada, se llama expresable y conmensurable con ella no solo en longitud sino también en cuadrado, porque las (rectas) conmensurables en longitud lo son siempre también en cuadrado. Ahora bien, si una recta es conmensurable en cuadrado con una (recta) expresable determinada, entonces, si lo es también en longitud, se dice que es expresable y conmensurable con ella en longitud y en cuadrado; pero si una recta, siendo a su vez conmensurable en cuadrado con otra recta expresable determinada, es inconmensurable en longitud con ella, en este caso también se llama expresable pero conmensurable solo en cuadrado19.

PROPOSICIÓN 19

El rectángulo comprendido por rectas expresables conmensurables en longitud, según alguna de las formas antedichas es expresable20.

Pues sea comprendido el rectángulo AΓ por las rectas expresables y conmensurables en longitud AB, BΓ.

Digo que AΓ es expresable.

Pues constrúyase sobre AB el cuadrado de AΔ. Entonces AΔ es expresable [X Def. 4]. Y como AB es conmensurable en longitud con BΓ, mientras que AB es igual a BΔ, entonces BΔ es conmensurable en longitud con BΓ. Y como BΔ es a BΓ, así ΔA a AΓ [VI 1]. Luego ΔA es conmensurable con AΓ [X 11]. Pero ΔA es expresable; luego AΓ es también expresable [X Def. 4].

Por consiguiente, el rectángulo comprendido..., etc.

PROPOSICIÓN 20

Si se aplica un (área) expresable a una (recta) expresable, produce como anchura una (recta) expresable y conmensurable en longitud con aquella a la que se ha aplicado.

Aplíquese, pues, el (área) expresable AΓ a la recta AB expresable una vez más según alguna de las formas antedichas, de modo que produzca como anchura BΓ.

Digo que BΓ es expresable y conmensurable en longitud con BA.

Pues constrúyase sobre AB el cuadrado de AΔ; entonces AΔ es expresable [X Def. 4]. Pero también lo es AΓ; luego ΔA es conmensurable con AΓ. Ahora bien, como ΔA es a AΓ, así ΔB a BΓ [VI 11]. Por tanto ΔB es conmensurable también con BΓ [X 11]; pero ΔB es igual a BA. Luego AB es conmensurable con BΓ. Ahora bien, AB es expresable; por tanto, BΓ es expresable y conmensurable en longitud con AB.

Por consiguiente, si se aplica un (área) expresable a una recta expresable..., etc.

PROPOSICIÓN 21

El rectángulo comprendido por rectas expresables y conmensurables solo en cuadrado no es racionalmente expresable21y el lado del cuadrado igual a él tampoco es racionalmente expresable, llámese (este último) medial.

Sea, pues, comprendido el rectángulo AΓ por las rectas expresables y conmensurables solo en cuadrado AB, BΓ.

Digo que AΓ no es expresable, y el lado del cuadrado igual a él tampoco es expresable, y llámese medial.

Pues constrúyase sobre AB el cuadrado AΔ; entonces AΔ es expresable [X Def. 4]. Y como AB es inconmensurable en longitud con BΓ, porque se ha supuesto que es conmensurable solo en cuadrado, mientras que AB es igual a BΔ, entonces ΔB es inconmensurable en longitud con BΓ. Ahora bien, como ΔB es a BΓ, así AΔ es a AΓ [VI 1]; luego ΔA es inconmensurable con AΓ [X 11]. Pero ΔA es expresable; luego AΓ no es expresable; de modo que el lado del cuadrado igual a AΓ tampoco es expresable, llámese medial. Q. E. D.22.

LEMA

Si hay dos rectas, como la primera es a la segunda, así el cuadrado de la primera al rectángulo comprendido por las dos rectas.

Sean ZE, EH dos rectas.

Digo que como ZE es a EH, así el (cuadrado) de ZE al (rectángulo comprendido) por ZE, EH.

Constrúyase, pues, sobre ZE, el cuadrado ΔZ, y complétese el (paralelogramo) HΔ. Así pues, dado que, como ZE es a EH, así ZΔ a ΔH [VI 1], y ZΔ es el (cuadrado) de ZE, mientras que ΔH es el (rectángulo comprendido) por ΔE, EH, es decir por ZE, EH, entonces como ZE es a EH, así el (cuadrado) de ZE al (rectángulo comprendido) por ZE, EH. De manera semejante, como el (rectángulo comprendido) por HE, HZ es al (cuadrado) de EZ, es decir, como HΔ es a ZΔ, así es HE a EZ. Q. E. D.23.

PROPOSICIÓN 22

El (cuadrado) de una (recta) medial, si se aplica a una recta expresable, produce una anchura expresable e inconmensurable en longitud con aquella a la que se aplica.

Sea A la (recta) medial y ΓB la expresable, y aplíquese a BΓ el área rectangular BΔ igual al cuadrado de A, produciendo la anchura ΓΔ.

Digo que ΓΔ es expresable e inconmensurable en longitud con ΓB.

Pues como A es una medial, su cuadrado es igual a un área comprendida por rectas expresables conmensurables solo en cuadrado [X 21]. Sea su cuadrado igual a HZ. Pero su cuadrado también es igual a BΔ; entonces BΔ es igual a HZ. Pero también son equiangulares; y en los paralelogramos iguales y equiangulares, los lados que comprenden los ángulos iguales están inversamente relacionados [VI 14]. Luego, proporcionalmente, como BΓ es a EH, así EZ a ΓΔ. Entonces, como el (cuadrado) de BΓ es al (cuadrado) de EH, así el (cuadrado) de EZ es al (cuadrado) de ΓΔ [VI 22]. Ahora bien, el (cuadrado) de ΓB es conmensurable con el de EH; porque cada uno de ellos es expresable; luego el (cuadrado) de EZ es también conmensurable con el (cuadrado) de ΓΔ [X 11]. Pero el (cuadrado) de EZ es expresable; luego el cuadrado de ΓΔ es también expresable [X Def. 4]; por tanto, ΓΔ es expresable. Ahora bien, como EZ es inconmensurable en longitud con EH, porque son conmensurables solo en cuadrado; y como EZ es a EH, así el (cuadrado) de EZ al (rectángulo comprendido) por ZE, EH [lema], entonces el (cuadrado) de EZ es inconmensurable con el (rectángulo comprendido) por ZE, EH. Pero el (cuadrado) de ΓΔ es conmensurable con el cuadrado de EZ; porque son expresables en cuadrado; y el (rectángulo comprendido) por ΔΓ, ΓB es conmensurable con el (rectángulo comprendido) por ZE, EH, porque son iguales al (cuadrado) de A; luego el (cuadrado) de ΓΔ es también inconmensurable con el (rectángulo comprendido) por ΔΓ, ΓB [X 13]. Pero, como el (cuadrado) de ΓΔ es al (rectángulo comprendido) por ΔΓ, ΓB, así ΔΓ es a ΓB [lema]. Por tanto, ΔΓ es inconmensurable en longitud con ΓB [X 11]. Por consiguiente, ΓΔ es expresable e inconmensurable en longitud con ΓB. Q. E. D.

PROPOSICIÓN 23

La recta conmensurable con una (recta) medial es medial.

Sea A una recta medial, y sea B conmensurable con A.

Digo que B es también medial.

Póngase, pues, la recta expresable ΓΔ, y aplíquese a ΓΔ un área rectangular ΓE igual al cuadrado de A que produzca la anchura EΔ; entonces EΔ es expresable e inconmensurable en longitud con ΓΔ [X 22]. Pero aplíquese a ΓΔ un área rectangular, ΓZ, igual al (cuadrado) de B que produzca la anchura ΔZ. Entonces, dado que A es conmensurable con B, el (cuadrado) de A es también conmensurable con el (cuadrado) de B. Pero EΓ es igual al (cuadrado) de A, mientras que ΓZ es igual al (cuadrado) de B; por tanto, EΓ es conmensurable con ΓZ. Ahora bien, como EΓ es a ΓZ, así EΔ a ΔZ [VI 1]; entonces EΔ es conmensurable en longitud con ΔZ [X 11]; pero EΔ es expresable e inconmensurable en longitud con ΔΓ; entonces ΔΓ es expresable [X Def. 3] e inconmensurable en longitud con ΔΓ [X 13]; luego ΓΔ, ΔZ son expresables y conmensurables solo en cuadrado. Pero la recta cuyo cuadrado es igual al rectángulo comprendido por rectas expresables y conmensurables solo en cuadrado es medial [X 21]. Luego la recta cuyo cuadrado es igual al rectángulo comprendido por ΓΔ, ΔZ es medial; y el cuadrado de B es igual al rectángulo comprendido por ΓΔ, ΔZ. Por consiguiente, B es medial.

Porisma:

A partir de esto queda claro que un (área) conmensurable con un área medial es medial.

De acuerdo con lo que se ha dicho acerca de las (rectas) expresablas [Lema siguiente a X 18] se sigue, en lo que se refiere a las mediales, que la recta conmensurable en longitud con una medial se llama medial y es conmensurable con ella no solo en longitud sino también en cuadrado, porque, en general, las (rectas) conmensurables en longitud lo son siempre también en cuadrado. Pero si una recta es conmensurable en cuadrado con una medial, y si lo es también en longitud, en este caso se llaman también mediales y conmensurables en longitud y en cuadrado, pero si solo lo son en cuadrado, se llaman mediales conmensurables solo en cuadrado24.

PROPOSICIÓN 24

El rectángulo comprendido por rectas mediales conmensurables en longitud según alguna de las formas antedichas25, es medial.

Sea pues comprendido el rectángulo AΓ por las rectas mediales conmensurables en longitud AB, BΓ.

Digo que el (rectángulo) AΓ es medial.

Pues constrúyase sobre AB el cuadrado AΔ; entonces AΔ es medial. Y puesto que AB es conmensurable en longitud con BΓ, mientras que AB es igual a BΔ, entonces ΔB también es conmensurable en longitud con BΓ; de modo que ΔA es conmensurable con AΓ [VI 1, X 11]. Pero ΔA es medial. Por consiguiente, AΓ también es medial [X 23 Por.]. Q. E. D.

PROPOSICIÓN 25

El rectángulo comprendido por rectas mediales conmensurables solo en cuadrado o es expresable o es medial.

Sea, pues, comprendido el rectángulo AΓ por las rectas mediales conmensurables solo en cuadrado, AB, BΓ.

Digo que AΓ o es expresable o es medial.

Pues constrúyanse sobre AB, BΓ los cuadrados AΔ, BE; entonces cada uno de los (cuadrados) AΔ, BE son mediales.

Póngase la recta expresable ZH, y aplíquese a la (recta) ZH el paralelogramo rectangular HΘ igual a AΔ de modo que produzca la anchura ZΘ; aplíquese, por otra parte a ΘM el paralelogramo rectangular MK igual a AΓ de modo que produzca la anchura ΘK, y además aplíquese a KN, de manera semejante, el rectángulo NΛ igual a BE, de modo que produzca la anchura KΛ. Entonces ZΘ, ΘK, KΛ están en línea recta. Así pues, dado que cada uno de los (cuadrados) AΔ, BE es medial, y AΔ es igual a HΘ, y BE a NΛ, entonces, cada uno de los (rectángulos) HΘ, NΛ también es medial. Y se han aplicado a la recta expresable ZH; luego cada una de las (rectas) ZΘ, KΛ es ex­ presable e inconmensurable en longitud con ZH [X 22]. Y puesto que AΔ es conmensurable con BE, entonces HΘ es conmensurable con NΛ. Y como HΘ es a NΛ, así la (recta) ZΘ a la (recta) KΛ [VI 1]; entonces la (recta) ZΘ es conmensurable en longitud con la (recta) KΛ [X 11]. Luego ZΘ, KΛ son expresables y conmensurables en longitud; por tanto, el (rectángulo comprendido) por ZΘ, KΛ es expresable [X 19]. Y dado que ΔB es igual a BA, y ΞB a BΓ, entonces, como ΔB es a BΓ, así AB a BE y, por tanto, como ΔB es a BΓ, así ΔA a AΓ [VI 1], y como AB es a BΞ, así AΓ a ΓΞ [VI 1]; entonces, como ΔA es a AΓ, así AΓ a ΓΞ. Pero AΔ es igual a HΘ, AΓ a MK, y ΓΞ a NΛ; entonces, como HΘ es a MK, así MK a NΛ; luego, como ZΘ es a ΘK, así también ΘK a KΛ [VI 1, V 11]; por tanto, el (rectángulo comprendido) por ZΘ, KΛ es igual al (cuadrado) de ΘK [VI 17]. Ahora bien, el (rectángulo comprendido) por ZΘ, KΛ es expresable; entonces el (cuadrado) de ΘK es también expresable; luego ΘK es expresable. Y si es conmensurable en longitud con ZH, entonces ΘN es expresable; pero si es inconmensurable en longitud con ZH, KΘ, ΘM son expresables y conmensurables solo en cuadrado, y entonces ΘN es medial [X 21]; por tanto ΘN o es expresable o es medial. Pero ΘN es igual a AΓ; luego AΓ o es expresable o es medial.

Por consiguiente, si el (rectángulo) comprendido por (rectas) conmensurables solo en cuadrado..., etc.

PROPOSICIÓN 26

Un (área) medial no excede a otra medial en un (área) expresable.

Pues, si es posible, exceda el (área) AB al (área) medial AΓ en el (área) expresable ΔB, y póngase la recta expresable EZ, y aplíquese a EZ el paralelogramo rectángulo ZΘ igual a AB de modo que produzca la anchura EΘ, y quítese el (rectángulo) ZH igual a AΓ; entonces el resto BΔ es igual al resto KΘ. Pero ΔB es expresable; por tanto KΘ también es expresable. Así pues, dado que cada uno de los (rectángulos) AB, AΓ es medial, y AB es igual a ZΘ, mientras que AΓ es igual a ZH, entonces cada uno de los (rectángulos) ZΘ, ZH es también medial. Y se han aplicado a la (recta) expresable EZ; entonces cada una de las (rectas) ΘE, EH es expresable e inconmensurable en longitud con EZ [X 22]. Ahora bien, puesto que ΔB es expresable y es igual a KΘ; entonces KΘ, es también expresable. Y se ha aplicado a la (recta) expresable EZ; luego HΘ es también expresable y conmensurable en longitud con EZ [X 20]. Pero EH es también expresable e inconmensurable en longitud con EZ; entonces EH es inconmensurable en longitud con HΘ [X 13]. Ahora bien, como EH es a HΘ, así el (cuadrado) de EH es al (rectángulo comprendido) por EH, HΘ; entonces el (cuadrado) de EH es inconmensurable con el (rectángulo comprendido) por EH, HΘ [X 11]. Pero los cuadrados de EH, HΘ son conmensurables con el (cuadrado) de EH, porque ambos son expresables; pero dos veces el (rectángulo comprendido) por EH, HΘ es conmensurable con el (rectángulo comprendido) por EH, HΘ, porque es el doble que él [X 6]; por tanto, los cuadrados de EH, HΘ son inconmensurables con dos veces el (rectángulo) comprendido) por EH, HΘ [X 13]; luego, tanto la suma de los (cuadrados) de EH, HΘ como dos veces el (rectángulo comprendido) por EH, HΘ, que es precisamente el cuadrado de EΘ [II 4], es inconmensurable con los (cuadrados) de EH, HΘ [X 16]. Pero los (cuadrados) de EH, HΘ son expresables; luego el (cuadrado) de EΘ no es expresable [X Def. 4]. Por tanto, EΘ no es expresable. Pero también es expresable; lo cual es imposible.

Por consiguiente, un (área) medial no excede a otra (área) medial en un (área) expresable. Q. E. D.

PROPOSICIÓN 27

Hallar rectas mediales conmensurables solo en cuadrado que comprendan un (rectángulo) expresable.

Pónganse dos rectas, A, B, expresables conmensurables solo en cuadrado, y tómese la media proporcional, Γ, de A, B, y, como A es a B, sea así Γ a Δ [VI 21].

Y puesto que A, B son rectas expresables conmensurables solo en cuadrado, entonces el (rectángulo comprendido) por A, B, es decir, el cuadrado de Γ [VI 17] es medial [X 21]. Entonces Γ es medial. Y puesto que, como A es a B, Γ es a Δ, y A, B son conmensurables solo en cuadrado, entonces Γ, Δ son también conmensurables solo en cuadrado [X 11]. Ahora bien, Γ es medial, luego también Δ es medial. Por tanto, Γ, Δ son mediales y conmensurables solo en cuadrado.

Digo que también comprenden un rectángulo expresable.

Pues, dado que, como A es a B, así Γ a Δ, entonces, por alternancia, como A es a Γ, B es a Δ [V 16]. Pero como A es a Γ, B es a Δ [V 16]. Pero como A es a Γ, Γ es a B; entonces, como Γ es a B, así B a Δ; luego el (rectángulo comprendido) por Γ, Δ es igual al cuadrado de B. Pero el cuadrado de B es expresable; por tanto el (rectángulo comprendido) por Γ, Δ es también expresable.

Por consiguiente, se han hallado rectas mediales conmensurables solo en cuadrado que comprenden un (rectángulo) expresable. Q. E. D.

PROPOSICIÓN 28

Hallar (rectas) mediales conmensurables solo en cuadrado que comprendan un (rectángulo) medial.

Pónganse las (rectas) expresables conmensurables solo en cuadrado A, B, Γ y tómese la media proporcional Δ de A, B [VI 13], y como B es a Γ, sea así Δ a E [VI 12].

Puesto que A, B son rectas expresables conmensurables solo en cuadrado, entonces el (rectángulo comprendido) por A, B, es decir el (cuadrado) de Δ [VI 17] es medial, luego Δ es medial [X 21]. Y puesto que B, Γ son conmensurables solo en cuadrado, y como B es a Γ, Δ es a E, entonces Δ, E son también conmensurables solo en cuadrado [X 11]. Pero Δ es medial; entonces E es también medial [X 23]. Luego Δ, E son mediales y conmensurables solo en cuadrado.

Digo además que también comprenden un rectángulo medial.

Pues, dado que, como B es a Γ, así Δ a E, entonces, por alternancia, como B es a Δ, así Γ a E. Y como B es a Δ, así Δ a A; entonces, como Δ es a A, así también Γ a E; luego el (rectángulo comprendido) por A, Γ es igual al (rectángulo comprendido) por Δ, E [VI 16]. Pero el (rectángulo comprendido) por A, Γ es medial [X 21]. Por tanto, el (rectángulo comprendido) por Δ, E es también medial.

Por consiguiente, se han hallado rectas mediales conmensurables solo en cuadrado que comprenden un rectángulo medial. Q. E. D.

LEMA 1

Hallar dos números cuadrados tales que su suma sea también un cuadrado.

Pónganse dos números AB, BΓ y sean pares o impares. Y puesto que, tanto si de un número par se quita un número par, como si de un número impar se quita un número impar, el resto es par [IX 24­26]; entonces el resto AΓ es par. Divídase AΓ en dos partes iguales por Δ. Y sean AB, BΓ o números planos semejantes o números cuadrados, que son también ellos mismos números planos semejantes; entonces, el producto de AB, BΓ junto con el (cuadrado) de ΓΔ es igual al cuadrado de BΔ. Y el producto de AB, BΓ es también un cuadrado, puesto que precisamente hemos demostrado que, si dos números planos semejantes, al multiplicarse entre sí, hacen algún (número) el producto es un número cuadrado [IX 1]; entonces, se han hallado dos números cuadrados, el producto de AB, BΓ y el cuadrado de ΓΔ que, sumados, hacen el cuadrado de BΔ.

Y queda claro que se han hallado a su vez dos números cuadrados, el (cuadrado) de BΔ y el (cuadrado) de ΓΔ, tales que su diferencia, el producto de AB, BΓ es un número cuadrado, siempre que AB, BΓ sean números planos semejantes. Pero en el caso de que no sean números planos semejantes, se han hallado dos cuadrados, el (cuadrado) de BΔ y el (cuadrado) de ΔΓ, cuya diferencia, el producto de AB, BΓ no es un cuadrado. Q. E. D.

LEMA 2

Hallar dos números cuadrados tales que su suma no sea un cuadrado.

Sea, pues, el producto de AB, BΓ, según dijimos, un cuadrado, y sea ΓA un número par, y divídase en dos partes iguales por Δ. Queda claro que el producto de AB, BΓ junto con el cuadrado de ΓΔ es igual al cuadrado de BΔ [lema 1]. Quítese la unidad ΔE; entonces el producto de AB, BΓ junto con el cuadrado de ΓE es menor que el cuadrado de BΔ.

Pues bien, digo que el cuadrado producto de AB, BΓ junto con el (cuadrado) de ΓE no será un número cuadrado.

Pues si es cuadrado, o es igual al (cuadrado) de BE o menor que el (cuadrado) de BE, pero no es mayor, para que no se divida la unidad.

En primer lugar, si es posible, sea el (producto) de AB, BΓ junto con el (cuadrado) de ΓE igual al cuadrado de BE, y sea HA el doble de la unidad ΔE. Así pues como el total AΓ es el doble del total ΓΔ y en ellos AH es el doble de ΔE, entonces el resto HΓ es el doble del resto EΓ; luego HΓ se ha dividido en dos partes iguales por E; por tanto, el (producto) de HB, BΓ junto con el (cuadrado) de ΓE es igual al (cuadrado) de BE [II 6]. Pero se ha supuesto que el (producto) de AB, BΓ junto con el (cuadrado) de ΓE es igual al (cuadrado) de BE; entonces el (producto) de HB, BΓ junto con el (cuadrado) de ΓE es igual al (producto) de AB, BΓ junto con el (cuadrado) de ΓE. Ahora bien, si se quita de ambos el (cuadrado) de ΓE, se sigue que AB es igual a HB; lo cual es absurdo. Luego el (producto) de AB, BΓ junto con el (cuadrado) de ΓE no es igual al (cuadrado) de BE.

Digo además que tampoco es menor que el (cuadrado) de BE. Pues, si es posible, sea igual al (cuadrado) de BZ, y sea ΘA el doble de ΔZ. Pues bien, se seguirá de nuevo que ΘΓ es el doble de ΓZ; de modo que ΓΘ ha sido dividida también en dos partes iguales por Z y que, por eso, el (producto) de ΘB, BΓ junto con el (cuadrado) de ZΓ es igual al (cuadrado) de BZ [II 6]. Pero se ha supuesto que el (producto) de AB, BΓ junto con el (cuadrado) de ΓE es igual al (cuadrado) de BZ. De modo que también el (producto) de ΘB, BΓ junto con el (cuadrado) de ΓZ será igual al (producto) de AB, BΓ junto con el (cuadrado) de ΓE; lo cual es absurdo. Luego el (producto) de AB, BΓ junto con el (cuadrado) de ΓE no es menor que el (cuadrado) de BE. Pero se ha demostrado que tampoco es igual al (cuadrado) de BE. Por consiguiente el (producto) de AB, BΓ junto con el (cuadrado) de ΓE no es un cuadrado. Q. E. D.

PROPOSICIÓN 29

Hallar dos rectas expresables conmensurables solo en cuadrado, de modo que el cuadrado de la mayor sea mayor que el de la menor en el cuadrado de una recta conmensurable en longitud con ella (la mayor).

Póngase, pues, una recta expresable AB y los dos números cuadrados ΓΔ, ΔE, de modo que su diferencia ΓE no sea un cuadrado [lema 1], y descríbase sobre AB el semicírculo AZB, y hágase de forma que como ΔΓ es a ΓE, así el cuadrado de BA al cuadrado de AZ [X 6 Por.], y trácese ZB.