La magia de las matemáticas E-Book

Enrique Gracián

• Herausgeber: RBA Libros
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Sprache: Spanisch

Seitenzahl: 743

Veröffentlichungsjahr: 2025

Beschreibung

UNA INMERSIÓN EN LA BELLEZA PROFUNDA DE LAS MATEMÁTICAS. A lo largo de la historia, más allá de los números naturales, el ser humano ha ideado otros tipos de números necesarios para resolver múltiples problemas. Explora en estas páginas los secretos del número π y los misterios del infinito. Sumérgete en las curiosidades de los números primos y observa cómo la proporción áurea es capaz de reflejarse en bellísimos elementos de la naturaleza. Descubrirás que las matemáticas son un lenguaje universal y apasionante

Leseprobe

Índice

Portadilla

Prólogo por Clara Grima

Primera parte. La proporción áurea

Introducción

1. El número de oro

2 El rectángulo áureo

3. El número de oro y el pentágono

4. Belleza y perfección en el arte

5. El número áureo y la naturaleza

6. Textos originales

Segunda parte. Los números primos

Introducción

1. En los albores de la aritmética

2. La esquiva pauta de los números primos

3. Los nuevos paradigmas

4. Logaritmos y números primos

5. Las piedras angulares

6. Las dos caras de una moneda

7. ¿Para qué sirven los números primos?

Tercera parte. Los secretos del número Pi

Introducción

1. Todo lo que quería saber sobre Pi y no se atrevía a preguntar

2. La infinita insignificancia, y trascendencia, de Pi

3 El número Pi y la probabilidad

4. Fórmulas con Pi

5. Pimanía

6. Una segunda ojeada al infinito

7. Los diez mil primeros dígitos de Pi

Cuarta parte Un descubrimiento

Introducción

1. ¿Qué es el infinito?

2. Discreto y continuo

3. Encuentros en el infinito

4. Calculus

5. El paraíso de Cantor

6. El infierno de Cantor

Bibliografía

© del prólogo: Clara Grima, 2019.© del texto La proporción áurea: Fernando Corbalán, 2010.

© de los textos Los números primos y Un descubrimiento sin fin: Enrique Gracián, 2010.

© del texto Los secretos del número π: Joaquín Navarro, 2010.

© de las fotografías de La proporción áurea:Age Fotostock: 128ad;Aisa: 106, 110b;

Album: 18, 28, 49, 120, 128bd; Akg-Album: 38, 69, 107, 116a, 116bi, 116bd, 123, 124ai, 124ad, 124b, 125a, 126, 128ai, 135, 142; Lessing-Album: 104, 105, 110a, 111, 114a, 117, 118, 127;

Archivo RBA: 17, 29, 103, 112, 114b, 115a, 115b, 136i, 136d, 138; Corbis: 37, 125b, 128bi; Mauritius Cornelius Escher: 71; iStockphoto: 16, 19, 21a, 21b, 22, 88a, 88b, 95, 98, 23, 121,137, 139, 140a, 140bi, 140bd, 141a, 141b, 147; Mario Merz: 44.

© de las fotografías de Los números primos:Age Fotostock: 181a, 214;Aisa: 173; Album: 234, 259;

Archivo RBA: 165, 169, 181bi, 181bd, 191, 195, 207, 210, 211, 219, 220, 21, 222, 229, 254, 260, 262, 263, 265, 269; Bridgeman: 213; Clay Mathemathics Institute: 278; Electronic Frontier Foundation: 282; Granger Collection: 193, 197i; iStockphoto: 162, 178, 239; Minden Pictures: 171; National Science Foundation, Gran Bretaña: 275; Princenton University: 197d; Purdue University: 257; Real Instituto Belga de Ciencias Naturales: 170;Trinity College, Cambridge: 267.

© de las fotografías de Los secretos del número π: Album: 390i, 390d;Aisa: 344, 378bd;

Archivo RBA: 297, 305, 307, 308, 309, 314, 316, 318, 320, 330, 334, 345, 346i, 346d, 348,351, 353, 355, 377, 378bi, 378a, 379a, 379b, 380i, 380d, 392, 393, 396, 397; Eja2k: 394; Corbis: 403; Henri Abbott Technical High School: 395; Sweeks06: 380a; Istockphoto: 402;Institute for Advanced Study Archives: 411.

© de las fotografías de Un descubrimiento sin fin: Album Lessing: 491;Anton: 483;

Archivo RBA: 424, 427, 431, 451, 475, 481, 489, 492, 497, 498, 501, 506, 518, 532, 536, 539; Istockphoto: 428, 479, 511; Conrad Fehr: 499; Nils Forsberg: 485; Henry B. Goodwin: 540; Michael Hanke: 535; Jastrow: 434; Pirou: 523; Stanford News: 528.

Diseño de cubierta: Luz de la Mora.

© RBA Coleccionables, S. A. U.

© de esta edición: RBA Libros y Publicaciones, S. L. U., 2013.

Avda. Diagonal, 189 - 08018 Barcelona.

rbalibros.com

Primera edición en libro electrónico: enero de 2025.

ISBN: 978-84-1098-156-0

Composición digital: www.acatia.es

Queda rigurosamente prohibida sin autorización por escrito del editor cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública o transformación de esta obra, que será sometida a las sanciones establecidas por la ley. Pueden dirigirse a Cedro (Centro Español de Derechos Reprográficos, www.cedro.org) si necesitan fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra (www.conlicencia.com; 91 702 19 70 / 93 272 04 47). Todos los derechos reservados.

Prólogo

por

CLARA GRIMA

Desde el principio de los tiempos, el ser humano ha tenido la necesidad de contar, medir y señalar la forma de todo aquello que le rodeaba para poder entender el mundo. A pesar de que las matemáticas han sido consideradas siempre como algo abstracto y ajeno a la naturaleza humana es muy difícil tratar de separar el progreso de nuestra civilización y el desarrollo de las matemáticas,ya que ambos siempre han ido de la mano. Y es que las matemáticas responden a una de nuestras necesidades primeras: la de contar para distinguir cantidades. En otras palabras, los números representan una de las primeras necesidades del ser humano.

Los números nos acompañan desde el principio de nuestra vida. La necesidad de contar trajo a la humanidad primitiva los números naturales (enteros positivos). Por su parte, el comercio propició la llegada de los números enteros (los números negativos) y los racionales (las fracciones). Pero, sin duda, la gran eclosión vino de la mano de los griegos y, asociados a la cultura griega, tenemos los cuatro elementos que se recogen en este libro. Naturalmente, el desarrollo de cada uno de ellos ha tenido un largo, muy largo recorrido. Tanto es así que casi se puede trazar la historia de la humanidad a lo largo de las cuatro partes aquí reunidas, que nos sirven como hilo conductor de un viaje apasionante de la mano de unos autores que, además de ser especialistas en las matemáticas, son también unos grandes narradores.

El primer tema con el que iniciamos este libro es el número áureo, un número irracional representado por la letra griega phi (Φ) en honor al escultor griego Fidias. La proporción áurea representa, sin ningún lugar a dudas, el lenguaje matemático de la belleza. El número de oro, la proporción áurea o la divina proporción se puede encontrar en los pétalos de una flor, en una piña o en la concha de un caracol. Desde hace miles de años, distintas civilizaciones, incomunicadas entre sí, han construido edificios o realizado esculturas y pinturas que contenían dicha proporción de forma evidente. Posiblemente esto no sea más que un intento abstracto de recoger algo de la belleza que podemos observar en la naturaleza. En cualquier caso, esa terca repetición de las proporciones áureas no se limita a remotas civilizaciones, sino que Fernando Corbalán nos muestra el uso que hicieron de ella grandes artistas, desde Leonardo da Vinci a Le Corbusier, en un recorrido maravilloso a través de un suelo de baldosas pentagonales diseñado por el físico y matemático Roger Penrose.

La segunda parada de nuestro viaje son los números primos, aquellos números naturales mayores que uno que solo son divisibles por ellos mismos y la unidad. Los números primos son como los átomos que nos permiten construir el resto de los números naturales. La descomposición en factores primos es, en algún sentido, como el genoma de un número natural en tanto que esta descomposición es única para cada uno de ellos. Tradicionalmente se ha creído que el interés por ellos era meramente intelectual, ya que casi toda su fascinación venía motivada por lo incomprensibles que parecen ser. Sin embargo, en un inesperado giro de los acontecimientos, a finales del siglo XX surgieron sorprendentes aplicaciones de ellos en la criptografía de clave pública, una de las herramientas sobre la que se asienta la seguridad en internet. Por otra parte, son una constante en las matemáticas. Los números primos se estudian, en buena medida, por su belleza y en algún momento surgen de ellos aplicaciones prácticas que permiten el desarrollo de otras disciplinas. Como bien dice Enrique Gracián en su presentación, para conocer lo que es un número primo basta con saber aritmética elemental, pero en el estudio de las matemáticas siempre «están ahí, agazapados para hacer acto de presencia en el momento más inesperado». Y esas apariciones, que se antojan casi mágicas, son parte de la belleza eterna e imperturbable de las matemáticas. Dejémonos guiar por Gracián desde el siglo III a. C. hasta nuestros días persiguiendo a estos esquivos números, traviesos e imprevisibles, que merecieron la atención de las mentes más brillantes de la historia de las matemáticas.

Pero, por muy conocidos y admirados que sean los números primos, si a alguien ajeno a las matemáticas se le pide que mencione un número no natural, con casi total seguridad nombrará el número π (pi). Este número irracional, es decir, que no es exacto ni periódico, ya que tiene una cantidad infinita de decimales, representa la relación entre la longitud de una circunferencia y el diámetro de la misma. Pero, ¿es posible dedicar un apartado entero a él y que no resulte algo árido y excesivamente técnico? Joaquín Navarro ha demostrado que sí. Especialmente apasionante es el capítulo 7 (cuando el lector compruebe el contenido de dicho capítulo, espero que me perdone la broma… No he podido evitarla). Pero, al margen de este capítulo, es sorprendente todo lo que puede dar de sí este número ubicuo. Si repasamos la historia de este número irracional, observamos cómo en ella surgen los nombres de los matemáticos más prestigiosos vinculados a la infinita cantidad de decimales de una de las constantes matemáticas más importantes de la historia. Pero vemos también que no solo es un número irracional, también es trascendente, ya que no existe ninguna ecuación algebraica de la cual el número π sea solución. Naturalmente, al aparecer por tantos sitios, el número π tiene también relación con el arte, el cine y la literatura. Y, por sorprendente que parezca, aún son muchas las cosas que ignoramos sobre nuestro protagonista.

Por último, si hay un concepto enigmático e inquietante para propios y extraños en el mundo de las matemáticas, este es, sin duda, el concepto del infinito. La primera idea del infinito también surgió en la Grecia clásica y en matemáticas se encontraba muy presente precisamente en los números primos. Euclides, allá por el siglo III a. C., demostró de una forma tan rotunda como bella que existían infinitos números y Arquímedes desarrolló un método para el cálculo del número π que implicaba realizar el llamado «método exhaustivo», que venía a suponer un cálculo de infinitas operaciones. Aunque parezca un concepto meramente abstracto, puede que no exista nada en matemáticas con más aplicaciones que la idea del infinito, que ha merecido la atención de matemáticos y filósofos a lo largo de la historia. Todo el cálculo infinitesimal de Newton y Leibniz, las series infinitas, el cálculo numérico fundamental en todo lo que sea aplicar los ordenadores para resolver cuestiones de física, ingeniería, etc., se basan en la idea del infinito. El punto culminante del concepto se produce alrededor de finales de siglo XIX con una figura señera, Georg Cantor. Su gloria y su infierno están asociados al infinito, pero para descubrir ambos el lector ha de sumergirse en las apasionantes páginas que nos brinda Enrique Gracián, y que terminan abriendo una ventana al futuro. Y es que aún queda mucho por decir.

Las matemáticas forman parte fundamental de nuestra vida. Son tantos los conceptos matemáticos que no me atrevería a decir cuáles son los más importantes o relevantes, pero sí estoy convencida de que este crucero con parada en la proporción áurea, los números primos, el número π y el infinito es una buena oferta para un primer viaje en busca de la belleza eterna y profunda de las matemáticas.

CLARA GRIMA

Doctora en matemáticas y divulgadora científica

Primera parte

La proporción áurea

Introducción

Ahora más que nunca el mundo en el que vivimos se levanta sobre los números, algunos de los cuales tienen incluso nombre propio: el número pi (p), el número e... De todo el conjunto de números notables hay uno especialmente interesante: 1,6180339887… Resulta curioso saber que esta modesta cifra ha fascinado a lo largo de la historia a muchas más mentes brillantes que pi y e. Durante siglos ha recibido denominaciones de lo más llamativas: número de oro, proporción trascendental, número divino, divina proporción, etc. El número de oro, que se representa con la letra griega F (phi), habita un territorio de relaciones y propiedades numéricas increíbles, pero también de conexiones insospechadas entre la naturaleza y las creaciones humanas. Este libro pretende ser una guía de viaje al país del número divino, donde descubrir sus bellezas y saber cómo apreciarlas.

El volumen arranca con un repaso a las múltiples perspectivas del número de oro en la ciencia y el arte de todas las épocas, así como al papel que desempeña en la morfología de animales y plantas. Una vez conseguida cierta familiaridad con la divina proporción estaremos preparados para zambullirnos en sus peculiaridades numéricas y en su apasionante génesis. Viajaremos de las páginas de los Elementos de Euclides –el mayor best seller científico de todas las épocas– a las ajetreadas calles de la Florencia renacentista para encontrarnos con su hijo más célebre, Leonardo.

Una de las maravillas de la proporción áurea es su inagotable capacidad de generar figuras de gran belleza y asombrosas propiedades, tales como los rectángulos o los polígonos regulares. Tras estos nombres tan intimidatorios se esconden, en realidad, objetos geométricos cotidianos, como las tarjetas de crédito o las estrellas de cinco puntas. Las primeras constituyen un ejemplo muy a mano de los denominados «rectángulos áureos», aquellos cuyos lados guardan entre sí la divina proporción. ¡Llevamos en el bolsillo una chispa de «divinidad»! Y si los rectángulos áureos son comunes, ¿qué decir de las estrellas pentagonales, o de las espirales? Todas ellas están vinculadas de un modo muy directo a la proporción áurea, y asoman aquí y allá en construcciones, mosaicos y juegos de todo tipo.

Pero si algo en verdad resulta asombroso es la vinculación del número divino con conceptos tan complejos y que tanto han estremecido a la humanidad como la belleza y la perfección. En esta aventura apasionante se cuenta con unos guías de auténtico lujo: Leonardo, Le Corbusier y muchos otros grandes personajes que se han rendido a la armonía de F. Si alejamos nuestra mirada de los trabajos del hombre y la posamos en la naturaleza que nos rodea, también allí nos espera, enigmática y sonriente, la proporción áurea. El crecimiento de muchos seres vivos sigue las pautas marcadas por ella, e incluso los fractales, unos recién llegados al universo de la ciencia, exhiben propiedades que los vinculan con la divina proporción.

Nuestro viaje por el más asombroso de los números se completa con una selección de libros que permitirán profundizar en el conocimiento de la proporción áurea a quien lo desee, junto con un índice analítico que le puede ayudar a moverse con facilidad por el libro.