Manual de álgebra lineal 2da edición E-Book

Sebastian Castañeda Hernández

• Herausgeber: Universidad del Norte
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Sprache: Spanisch

Seitenzahl: 267

Veröffentlichungsjahr: 2020

Beschreibung

Este manual contiene información básica para un primer curso de Álgebra lineal dirigido a estudiantes de primer semestre de ingenierías, economía, administración de empresas o programas en los que esta asignatura sea electiva. Está basado en el texto Introducción al Álgebra lineal, publicado por el sello Editorial Universidad del Norte, y su propósito es que se constituya en una herramienta de apoyo imprescindible para los estudiantes, y para ello se incluyen ejemplos, ejercicios y tareas.

Leseprobe

Castañeda Hernández, Sebastián.

Manual de Álgebra lineal / Sebastián Castañeda Hernández, Agustín Barrios Sarmiento, Ismael Gutiérrez García. – Segunda edición. – Barranquilla, Colombia: Editorial Universidad del Norte, 2020.

vii, 242 p. : il. ; 24 cm.

Incluye referencias bibliográficas.

ISBN 978-958-789-188-1 (impreso)

ISBN 978-958-789-189-8 (PDF)

ISBN 978-958-789-306-9 (ePub)

1. Álgebras lineales. I. Barrios Sarmiento, Agustín. II. Gutiérrez García, Ismael. I.tít.

(512.5 C346 ed. 23) (CO-BrUNB)

Vigilada Mineducación

www.uninorte.edu.co

Km 5, vía a Puerto Colombia, A.A. 1569

Área metropolitana de Barranquilla (Colombia)

© Universidad del Norte, 2020

Sebastián Castañeda Hernández, Agustín Barrios Sarmiento,

Ismael Gutiérrez García

Primera edición, noviembre de 2017

Segunda edición, marzo de 2020

Coordinación editorial

Zoila Sotomayor O.

Asistencia editorial

María Margarita Mendoza

Diagramación

Sebastián Castañeda Hernández

Diseño de portada

Joaquín Camargo Valle

Corrección de textos

Nury Ruiz Bárcenas

Revisión y arte final

Munir Kharfan de los Reyes

© Reservados todos los derechos. Queda prohibida la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio reprográfico, fónico o informático, así como su transmisión por cualquier medio mecánico o electrónico, fotocopias, microfilm, offset, mimeográfico u otros sin autorización previa y escrita de los titulares del copyright. La violación de dichos derechos constituye un delito contra la propiedad intelectual.

Diseño epub:Hipertexto – Netizen Digital Solutions

Contenido

Prólogo a la primera edición

Prólogo a la segunda edición

Capítulo 1 Preliminares

1.1 Introducción

1.2 El concepto de estructura algebraica

1.3 La estructura de campo

Capítulo 2 Sistemas de ecuaciones lineales

2.1 Introducción

2.2 El espacio n

2.3 Sistemas de ecuaciones lineales

2.3.1 La ecuación lineal

2.3.2 Ecuación homogénea. Subespacios

2.3.3 Sistemas de ecuaciones lineales

2.3.4 Técnicas de eliminación

2.3.5 Dependencia lineal, generadores

2.3.6 Subespacio generado por un conjunto

Capítulo 3 Espacio de matrices sobre un campo

3.1 El espacio m×n

3.2 Transposición y producto matricial

3.3 Ecuaciones matriciales Matrices invertibles

3.4 Bases y dimensión

Capítulo 4 La extensión del concepto de determinante

4.1 Introducción

4.2 Productos elementales y la definición de determinante

4.3 Otras propiedades del determinante

Capítulo 5 Vectores en 2 y en 3

5.1 Introducción

5.2 Norma vectorial.Ortogonalidad

5.3 Sistemas de coordenadas cartesianas

5.4 Sistema coordenado cartesiano rectangular en ε3

5.5 Segmentos dirigidos en εn

5.6 Aplicaciones geométricas

5.6.1 Colinealidad y ecuaciones vectoriales de rectas

5.6.2 Ecuaciones vectoriales de planos

5.6.3 Proyecciones ortogonales, distancia de un punto a una recta o a un plano

5.6.4 Otras aplicaciones

Capítulo 6 Aplicaciones lineales. Valores y vectores propios

6.1 Aplicaciones lineales

6.2 Matriz de una aplicación lineal

6.3 Valores y vectores propios

Capítulo A Ecuaciones lineales diofantinas

Capítulo B Uso de Maxima

Capítulo C El símbolo sumatorio

Capítulo D Alfabeto griego

Capítulo E Aplicaciones en códigos de bloque

E.1 Los parámetros de un código

E.2 Los parámetros de un código lineal

Bibliografía

Notas al pie

Prólogo a la primera edición

El presente texto puede considerarse como una simplificación del libro “Introducción al Álgebra Lineal” [3], de dos de los autores de este manual. Aquí se presenta un material mínimo para desarrollar en un semestre con tres horas semanales presenciales. La idea básica es que el texto sea utilizado como material de lectura obligatoria para los estudiantes, incluyendo lecturas en algunas sesiones presenciales en las cuales como control se entreguen tareas individuales o en parejas, a criterio del profesor. En ese sentido el manual incluye tareas de entrega obligatoria por parte del estudiante.

El contenido cubierto por el manual, como se puede apreciar, es el básico en un primer curso de álgebra lineal dirigido a estudiantes de primer semestre de Ingeniería, Economía, Administración de empresas, o programas donde la asignatura sea electiva. Para estudiantes de Ciencias (Física o Matemáticas, especialmente) el profesor podrá recomendar la profundización de los temas en el texto citado [3] o en otros textos adecuados. El capítulo uno introduce la definición de operación binaria y, en particular, la de ley de composición interna, a partir de ejemplos familiares que permitan una fácil comprensión a través de la lectura individual para el estudiante. Se introducen también las definiciones de las estructuras algebraicas básicas sobre las cuales se construye la estructura principal: la de espacio vectorial.

El capítulo dos aborda el estudio de los sistemas lineales y de las matrices sobre el campo real. Se introduce inicialmente la estructura de espacio vectorial de n así como el producto escalar y el producto matricial como herramientas teóricas importantes en el estudio de ecuaciones y sistemas lineales. En este mismo capítulo, en su apéndice, se muestra el caso de las ecuaciones lineales diofantinas y se sugiere el uso de software libre específico para cálculos en álgebra lineal. Se incluye también un primer acercamiento al concepto de determinante, para el caso de sistemas 2 × 2. Tal concepto será extendido en el capítulo tres a matrices n × n. Por razones de brevedad en la exposición, el desarrollo del material relativo a determinantes se limita en buena parte a presentar los resultados más importantes, citando el texto base de este manual.

El capítulo cuatro se dedica a los sistemas homogéneos y a los subespacios de n, aprovechando el contexto para introducir con rigurosidad los conceptos de base y dimensión de subespacios de n. Se cierra el capítulo con los conceptos de norma y vectores unitarios, introduciendo las definiciones de ángulo entre vectores, paralelismo y dirección desde un punto de vista algebraico. Estos conceptos serán interpretados geométricamente en el capítulo cinco, dedicado a los vectores en 2 y 3 y a las aplicaciones geométricas de los resultados antes obtenidos.

Se incluyen, además del correspondiente al capítulo dos, tres apéndices al final. En el apéndice A, se hace una breve presentación del símbolo sumatorio y sus principales propiedades y en el B se presenta el alfabeto griego. En el apéndice C se presenta una breve introducción a la Teoría de códigos, de suma importancia en la teoría de la información. Básicamente, el objetivo de la teoría de códigos es codificar información que se transmite a través de canales “ruidosos”; es decir, susceptibles de distorsionar la información ya sea por razones internas o externas (por acción de terceros). Es entonces necesario que el mensaje sea codificado adecuadamente de manera que se pueda verificar su autenticidad y detectar posibles errores o distorsiones y corregirlos, de ser posible. En tal sentido, los códigos lineales (subespacios de n, siendo un campo finito) juegan un papel importante.

Finalmente, agradecemos cualquier comentario, sugerencia o corrección que consideren necesarios para mejorar la presente edición. Los autores.

[email protected]@[email protected]

Prólogo a la segunda edición

El presente texto puede considerarse como una simplificación del libro “Introducción al Álgebra Lineal” [3], de dos de los autores de este manual. Aquí se presenta un material mínimo para desarrollar en un semestre con tres horas semanales presenciales. La idea básica es que el texto sea utilizado como material de lectura obligatoria para los estudiantes, incluyendo lecturas en algunas sesiones presenciales en las cuales como control se entreguen tareas individuales o en parejas, a criterio del profesor. En ese sentido el manual incluye tareas de entrega obligatoria por parte del estudiante.

El contenido cubierto por el manual, como se puede apreciar, es el básico en un primer curso de álgebra lineal dirigido a estudiantes de primer semestre de Ingeniería, Economía, Administración de empresas, o programas donde la asignatura sea electiva. Para estudiantes de Ciencias (Física o Matemáticas, especialmente) el profesor podrá recomendar la profundización de los temas en el texto citado [3] o en otros textos adecuados. El capítulo uno introduce la definición de operación binaria y, en particular, la de ley de composición interna, a partir de ejemplos familiares que permitan una fácil comprensión a través de la lectura individual para el estudiante. Se introducen también las definiciones de las estructuras algebraicas básicas sobre las cuales se construye la estructura principal: la de espacio vectorial.

Para esta segunda edición se introducen algunos cambios, principalmente en el orden de los temas. El capítulo dos aborda el estudio de los sistemas lineales sobre el campo real y se aprovecha para introducir el concepto de subespacio, así como los de dependencia e independencia lineal y generadores, los cuales, en la edición anterior, se presentaban en el capítulo cuatro. Se aprovecha para definir espacios vectoriales en general. El apéndice sobre ecuaciones diofantinas, así como el del software para cálculos en álgebra lineal se trasladaron al final del texto. Se incluye también un primer acercamiento al concepto de determinante, para el caso de sistemas 2 × 2. Tal concepto será extendido en el capítulo cuatro a matrices n × n. Por razones de brevedad en la exposición, el desarrollo del material relativo a determinantes se limita en buena parte a presentar los resultados más importantes, citando el texto base de este manual. La estructura del espacio vectorial de matrices sobre un campo, inicialmente en el capítulo dos, se presenta en el capítulo tres.

El capítulo cuatro se dedica ahora, como se indicó, a la extensión del concepto de determinante, mientras que en el capítulo cinco se inicia con los conceptos algebraicos de norma y ángulo entre vectores, que serán interpretados geométricamente en el resto del capítulo, dedicado a los vectores en 2 y 3 y a las aplicaciones geométricas de los resultados antes obtenidos. El último capítulo es una introducción a las aplicaciones o transformaciones lineales entre espacios vectoriales y a los valores y vectores propios para el caso de dimensión finita.

Se incluyen, además de los correspondientes antes al capítulo dos, los mismos apéndices de la edición uno al final.

Finalmente, agradecemos cualquier comentario, sugerencia o corrección que consideren necesarios para mejorar la presente edición. Los autores.

[email protected]@[email protected]

CAPÍTULO1

Preliminares

1.1 Introducción

El Álgebra, hablando en términos rudimentarios pero modernos, es la disciplina matemática dedicada al estudio de las denominadas estructuras algebraicas. Una estructura así está formada básicamente por un conjunto no vacío y una o más operaciones definidas sobre ese conjunto. El Álgebra Lineal, tambíen en términos generales, tiene como objeto de estudio principal cierto tipo de estructura conocida como espacio lineal o espacio vectorial. En esta primera sección presentamos las definiciones de operación (especialmente las denominadas binarias) y de las estructuras algebraicas básicas: semigrupos, monoides, grupos, anillos y campos. En el capítulo dos, en particular, se hace una primera presentación de la estructura de espacio vectorial en un ejemplo específico. Tal definición se hará desde la perspectiva matemática o algebraica y en un capítulo posterior se relacionará con la noción física o geométrica de vector con la cual seguramente los lectores, aún los principiantes, tendrán alguna familiaridad. Iniciamos justamente con el concepto de estructura algebraica.

1.2 El concepto de estructura algebraica

Existe cierta familiaridad con la noción de operación, específicamente con la de operación binaria. Así, por ejemplo, la adición, la multiplicación y sus operaciones “inversas” (sustracción y división) en conjuntos numéricos constituyen ejemplos de operaciones binarias. Para ir abriendo paso a una generalización1 de tales operaciones “familiares”, consideremos inicialmente la adición de números enteros.

cuyo dominio es el producto cartesiano del conjunto de los enteros, , consigo mismo y las imágenes –o resultados de la acción de la función– pertenecen al mismo conjunto . Un análisis similar puede hacerse para la multiplicación de enteros, la cual es una función

Estos son dos ejemplos particulares de lo que denominaremos una ley de composición interna definida sobre un conjunto. El hecho de que los elementos operados (sumados o multiplicados) se consideren formando pares ordenados parecería no ser importante en estos ejemplos ya que el resultado obtenido –la suma o el producto, respectivamente– es el mismo independientemente de si el par considerado es (x, y) o (y, x). Esto es debido, en este caso, a que las dos operaciones consideradas gozan de la denominada propiedad conmutativa según la cual “el orden de los sumandos (o factores) no altera la suma (el producto)”. Sin embargo, basta con pensar en la sustracción de enteros para convencerse de que si queremos generalizar nuestras particulares observaciones a conjuntos (y operaciones) arbitrarios el “orden” de las componentes es importante. Así, la sustracción en el conjunto de los enteros es una función

Algunas preguntas son pertinentes en este momento. ¿Podemos operar solo elementos del mismo conjunto? o ¿estarán siempre los “resultados” de las operaciones en el mismo conjunto al cual pertenecen los elementos operados? Si pensamos, por ejemplo, en la división de enteros, es claro que solo podemos dividir un entero cualquiera entre un entero diferente de cero y que los resultados no necesariamente son enteros. Así, la división a la que estamos haciendo referencia es entonces una función

Aquí el dominio de nuestra función es el producto cartesiano de dos conjuntos distintos y las imágenes (cocientes) pertenecen al conjunto de los números racionales, del cual los conjuntos cuyo producto cartesiano es el dominio son subconjuntos propios.

Generalizando lo anterior, dados conjuntos no vacíos A, B y C, una función

Propiedades, seguramente familiares para el lector, como la conmutatividad, la asociatividad, entre otras, de la adición y la multiplicación en los enteros, pueden ser definidas también para leyes de composición interna. Estas se presentan a continuación.

Definición 1.2.1Sean A y B conjuntos no vacíos con B ⊆ A. Si ∗ y son leyes de composición interna definidas en A. Entonces:

1. B escerradobajo ∗ si y solo si para todo x, y ∈ B se cumple que x ∗ y ∈ B.

Trivialmente, el conjunto A es, por ser ∗ una ley de composición interna en A, cerrado para ∗.

2. ∗ es:

(a)Conmutativasi y solo si para todo x, y ∈ A se satisface:

(b)Asociativasi y solo si para todo x, y, z ∈ A se cumple:

(c)Modulativasi y solo si existe e ∈ A tal que para todo x ∈ A se tiene:

El elemento e, el cual puede probarse que es único, se denominaelemento neutropara ∗ en A. En ese sentido, la propiedad modulativa también se denomina de existencia de elemento neutro.

(d)Invertivasi y solo si es modulativa, con neutro e, y para todo elemento x ∈ A existe un elemento y ∈ A tal que:

Para una operación invertiva y asociativa, para cada x ∈ A el elemento y de la ecuación (1.4) es único (ejercicio). Tal elemento es denominado elinverso, bajo ∗, de x. En una estructura (A, ∗) asociativa y modulativa puede suceder que la condición de existencia de inverso no se cumpla para todos los elementos de A; si se cumple para algún elemento particular x, diremos que x esinvertible(oregularono singular) bajo ∗ y, consecuentemente, que y es el inverso de x.

(e)Distributiva con relación a si y solo si para todo x, y, z ∈ A se tienen:

La propiedad dada por (1.5) se denomina usualmentedistributiva (de∗con relación a) por la derecha, mientras que la dada por (1.6) lo será por laizquierda.

Si ∗ es una ley de composición interna en el conjunto A y B es un subconjunto de A, cerrado bajo ∗, entonces la restricción de ∗ a B, usualmente notada ∗|B,

es también una ley de composición interna en B. Algunas de las propiedades ya definidas (conmutativa, asociativa, distributivas) claramente son válidas también para la restricción de ∗ a B, en caso de que se cumplan en A, diremos en tal caso que son hereditarias.2 Las propiedades (1.3) y (1.4), por su parte, se satisfacen –si se cumplen en A– para todo x ∈ B, pero no se garantiza la pertenencia del neutro e, o el inverso de x al conjunto B.

Ejemplo 1.2.1

Grupos abelianos, como el caso de (, +), son también (, +), (, +), (− {0}, ·) y (− {0}, ·).

En la primera fila y la primera columna de cualquiera de las tablas se muestran el símbolo de la operación y los elementos del conjunto A. El resultado de operar un elemento de una columna con uno de una fila es el elemento en la intersección de dichas fila y columna. Así, por ejemplo:

Dado un conjunto no vacío G, y una ley de composición interna ∗ en G, la estructura (G, ∗) es denominada un grupoide. Si la operación es asociativa se denominará un semigrupo. Un semigrupo tal que la operación sea además modulativa se denomina un monoide. Un monoide con la propiedad invertiva es un grupo. Si, además, la operación es conmutativa la estructura se denomina grupo conmutativo o grupo abeliano. En general, para grupoides, usaremos notación multiplicativa escribiendo xy en lugar de x ∗ y, así como 1G para referirnos al neutro de ∗, en caso de existir, y también x−1 para referirnos al inverso de x en caso de existir. Por supuesto, en estructuras particulares aditivas escribiremos 0G y −x, respectivamente, para el neutro y el inverso de x ∈ G. Así, tenemos

1.3 La estructura de campo

Como se advirtió antes, la estructura principal a considerar en el curso de Álgebra Lineal es la de espacio lineal o espacio vectorial. Tales estructuras son construidas sobre una estructura aditivo multiplicativa básica conocida como campo o cuerpo. Comenzamos con un conjunto no vacío, con dos leyes de composición interna + : ×→ y · : ×→ (adición y multiplicación). La estructura (, +, ·) es un campo o cuerpo si y solo si

• (, +) es un grupo abeliano (con neutro 0)

• La multiplicación es conmutativa, asociativa, modulativa, con neutro 1 ≠ 0, y distributiva respecto de la adición.

• Cada elemento x ∈, x ≠ 0, es invertible (multiplicativamente).

Se sigue así que si (, +, ·) es un campo, entonces (, +) y (− {0}, ·) son grupos abelianos. La denominación de anillo se refiere a una estructura aditiva multiplicativa (R, +, ·) tal que (R, +) es un grupo abeliano y la multiplicación es asociativa y distributiva con relación a la adición. Las denominaciones de anillo conmutativo y anillo con elemento identidad se refieren, respectivamente, a un anillo tal que la multiplicación es conmutativa y a un anillo con elemento neutro para la multiplicación.

Tenemos entonces que todo campo es una anillo conmutativo con identidad en el cual todo elemento no nulo es invertible multiplicativamente. También se acostumbra decir que es un anillo conmutativo con división. La estructura (, +, ·) (enteros con la adición y la multiplicación) es un anillo conmutativo con elemento identidad, pero claramente no es un campo (¿por qué?). De igual manera, para un natural n ≥ 2, la estructura (n, +, ·) es un anillo conmutativo con identidad y es un campo si y solo si n es un número primo.

En particular, nos interesa la estructura de campo del conjunto de los números reales. Suponemos por parte del lector un conocimiento, así sea intuitivo, de tal conjunto. Tal conjunto, notado por , es la unión del conjunto de los números racionales, notado , con el de los irracionales. El primero es el conjunto de los números que pueden expresarse como cociente de dos enteros. Una característica notable de los racionales es también que su expresión decimal es periódica, a diferencia de los irracionales en los cuales la expresión decimal es infinita y no periódica. Ejemplos notables de irracionales son las raíces cuadradas de números naturales que no son cuadrados perfectos (, etc.), el número π (constante universal que representa el cociente de la longitud de una circunferencia cualquiera sobre su diámetro), el número de Euler, e, base de los logaritmos naturales. Asumimos como verdadero que la estructura (, +, ·) es un campo, lo cual de acuerdo con la definición dada antes significa:

• (, +) es un grupo abeliano. El neutro aditivo por supuesto es 0 y cada real x tiene un inverso aditivo, notado −x.

• La multiplicación es conmutativa, asociativa y distributiva con relación a la suma. Igualmente es modulativa, con neutro 1 ≠ 0.

• Cada real x ≠ 0 tiene un inverso multiplicativo, notado x−1.

Las propiedades de campo, conjuntamente con las de la igualdad, permiten fácilmente resolver ecuaciones de grado uno en una o más incógnitas. En particular, si es un campo, y a, b, c ∈ con a ≠ 0 la ecuación

tiene solución única y puede resolverse fácilmente como en el álgebra elemental. Así, tenemos

1. En (11, +, ·) que es un campo, se tiene

En el capítulo siguiente se resuelve el problema de resolver una ecuación lineal sobre el campo real. Los resultados teóricos que se presentan pueden extenderse sin problemas a ecuaciones sobre un campo cualquiera. Una ecuación lineal en las n incógnitas (o variables) x1, x2, . . ., xn sobre un campo es una ecuación de la forma

No es difícil entender que tal ecuación tiene infinitas soluciones y que una solución se puede obtener asignándole valores arbitrarios a una de las incógnitas y reduciendo el problema a una ecuación en una sola variable. Así, por ejemplo, si t es un número real cualquiera y asignamos tal valor a x, entonces debe tenerse

Resolviendo esta ecuación en y se tiene

Así, toda solución, como par ordenado de reales, es de la forma

siendo t un real cualquiera. El conjunto solución (conjunto de todas las soluciones) es entonces

De modo que todas las soluciones son de la forma (t, 2 + 4t) y, así, la ecuación tiene siete soluciones: (0, 2), (1, 6), (2, 3), (3, 0), (4, 4), (5, 1), (6, 5).

Ejercicios 1.3.1

2. Considere en la ley de composición interna definida por:

(a) Calcule 2 ∗ 3 y −3 ∗.

(b) Demuestre que (, ∗) es una estructura asociativa, modulativa y conmutativa, pero no es invertiva, pues existe un (único) elemento z no invertible.

(c) Calcule los inversos, bajo ∗, de 1, 0 y .

(a) ¿Existe un neutro a izquierda para ∗?

(b) Calcule, si existen, (a ∗ c) ∗ e y a ∗ (c ∗ e).

(c) ¿Qué puede decir acerca de la existencia de “inversos unilaterales”?

5. En el ejemplo 1.2.1, 3, página 7, se introdujo el conjunto n con las operaciones de adición y multiplicación módulo n. Como se dijo, (n, +) es un grupo abeliano. (n, ·) no es un grupo porque, en general, no todo elemento tiene inverso (multiplicativo). Puede demostrarse que un elemento m ∈n es invertible (multiplicativamente) si y solo si el único divisor común positivo de m y n es 1 (es decir, m y n son primos relativos).

(a) Determine, si existen los inversos aditivos y multiplicativos de cada elemento de 8 y 12.

(b) El conjunto de los elementos invertibles (multiplicativamente) de n es un grupo y se denota por Un. Muestre entonces U8 y U12.

(c) Explique porqué si p es un número primo, entonces todo elemento no nulo de p es invertible. Concluya así que (p − {0}, ·) es un grupo abeliano.

6. En cada caso determine, si existen, −2, −5, −7, 2−1, 5−1 y 7−1 en n para el valor de n indicado.

7. Encuentre en cada caso el conjunto solución de la ecuación dada.

Tarea 1

1. En cada caso indique, marcando con una X en la casilla, la estructura correspondiente. Los conjuntos indicados son:

2. Encuentre en cada caso el conjunto solución de la ecuación dada. Use el método de la “fuerza bruta” solamente si es necesario.

3. Considere la tabla multiplicativa de 16.

(a) Complete la tabla (recuerde que la operación es conmutativa).

(b) Indique (buscando en la tabla de resultados dónde aparece 1) los elementos invertibles y sus respectivos inversos.