Mathematik für Chemiker E-Book

Ansgar Jüngel

• Herausgeber: Wiley-VCH
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Sprache: Deutsch

Seitenzahl: 940

Veröffentlichungsjahr: 2014

Beschreibung

Differentialgleichungen, Quantenmechanik, Wahrscheinlichkeitsrechnung - wie alle exakten Naturwissenschaften erfordert auch die Chemie mathematisches Handwerkszeug, um Prozesse und Phänomene zu untersuchen. Was angehende Chemiker von der Mathematik wissen müssen, bietet in bewährter Weise "Mathematik für Chemiker" in der siebten Auflage. Das notwendige mathematische Rüstzeug wird maßgeschneidert fürs Studium vermittelt, anschaulich in der Darstellung und ohne komplizierte Beweisketten. Zahlreiche praktische Beispiele aus der Chemie wecken das Interesse an der Mathematik und stellten den Bezug zur fachlichen Anwendung her. Die leicht verständliche Form garantiert den sicheren Einstieg, im Aufgabenteil mit Lösungen lässt sich das erworbene Wissen selbstständig überprüfen. Weiterführende Themen machen das Buch zum wertvollen Begleiter bis zum Examen. Durchgehend aktualisiert und um ein neues Kapitel zu numerischen Verfahren erweitert - für die Grundvorlesung Mathematik ebenso wie bei Fragen und Problemen im weiteren Studium unentbehrlich.

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

Vorwort zur siebten Auflage

Vorwort zur sechsten Auflage

Vorwort zur ersten Auflage

1 Mathematische Grundlagen

1.1 Die Sprache der Mathematik

1.2 Mengenlehre

1.3 Zahlen

1.4 Einige Rechenregeln

1.5 Kombinatorik

2 Lineare Algebra

2.1 Matrizen

2.2 Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus

2.3 Determinanten

2.4 Lineare Unabhängigkeit und Rang einer Matrix

2.5 Lösungstheorie linearer Gleichungssysteme

3 Unendliche Zahlenfolgen und Reihen

3.1 Unendliche Zahlenfolgen

3.2 Unendliche Reihen

4 Funktionen

4.1 Erläuterung des Funktionsbegriffes

4.2 Funktionen einer Variablen

4.3 Funktionen mehrerer Variablen

5 Vektoralgebra

5.1 Rechnen mit Vektoren

5.2 Darstellung von Vektoren in verschiedenen Basen

6 Analytische Geometrie

6.1 Analytische Darstellung von Kurven und Flächen

6.2 Lineare Abbildungen

6.3 Koordinatentransformationen

7 Differenziation und Integration einer Funktion einer Variablen

7.1 Differenziation

7.2 Integration von Funktionen

7.3 Differenziation und Integration von Funktionenfolgen

7.4 Die Taylor-Formel

7.5 Unbestimmte Ausdrücke: Regel von de l’Hospital

7.6 Kurvendiskussion

8 Differenziation und Integration von Funktionen mehrerer Variablen

8.1 Differenziation

8.2 Einfache Integrale

8.3 Bereichsintegrale

8.4 Kurvenintegrale

8.5 Oberflächenintegrale

8.6 Die Taylor-Formel

8.7 Extremwerte

9 Vektoranalysis und Tensorrechnung

9.1 Vektoranalysis

9.2 Tensorrechnung

10 Fourier-Reihen und Fourier-Transformation

10.1 Fourier-Reihen

10.2 Fourier-Transformation

10.3 Orthonormalsysteme

11 Gewöhnliche Differenzialgleichungen

11.1 Beispiele und Definitionen

11.2 Differenzialgleichungen erster Ordnung

11.3 Lineare Differenzialgleichungen höherer Ordnung

11.4 Spezielle lineare Differenzialgleichungen zweiter Ordnung

12 Partielle Differenzialgleichungen

12.1 Definition und Beispiele

12.2 Die Potenzialgleichung

12.3 Die Wärmeleitungsgleichung

12.4 Die Wellengleichung

12.5 Die Schrödinger-Gleichung

13 Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik

13.1 Einführung

13.2 Hilbert-Räume

13.3 Beschränkte lineare Operatoren

13.4 Unbeschränkte lineare Operatoren

13.5 Zeitentwicklung quantenmechanischer Systeme

14 Wahrscheinlichkeitsrechnung

14.1 Einleitung

14.2 Diskrete Zufallsgrößen

14.3 Kontinuierliche Zufallsgrößen

14.4 Kette von unabhängigen Versuchen

14.5 Stochastische Prozesse

15 Fehler- und Ausgleichsrechnung

15.1 Zufällige und systematische Fehler

15.2 Mittelwert und Fehler der Einzelmessungen

15.3 Fehlerfortpflanzung

16 Numerische Methoden

16.1 Lineare Gleichungssysteme

16.2 Nichtlineare Gleichungen

16.3 Eigenwertprobleme

16.4 Gewöhnliche Differenzialgleichungen

16.5 Softwarepakete

Antworten und Lösungen

Literaturverzeichnis

Weiterführende Literatur

Stichwortverzeichnis

Beachten Sie bitte auch weitere interessante Titel zu diesem Thema

Ansorge, R., Oberle, H.J., Rothe, K., Sonar, T.

Mathematik Deluxe 1

Lehrbuch Mathematik für Ingenieure 1 inkl. Aufgaben und Lösungen 1, 4. Auflage

2010

Print ISBN: 978-3-527-41061-3

Ansorge, R., Oberle, H.J., Rothe, K., Sonar, T.

Mathematik Deluxe 2

Lehrbuch Mathematik für Ingenieure 2 inkl. Aufgaben und Lösungen 2, 4. Auflage

2011

Print ISBN: 978-3-527-41062-0

Räsch, T.

Mathematik für Naturwissenschaftler für Dummies

2009

Print ISBN: 978-3-527-70419-4,

ePub ISBN: 978-3-527-65789-6,

Adobe PDF ISBN: 978-3-527-65790-2,

eMobi ISBN: 978-3-527-65791-9

Autoren

Ansgar Jüngel

Technische Universität

Wien Institut für Analysis und

Scientific Computing

Wiedner Hauptstr. 8–10

1040 Wien

Austria

7. Auflage 2014

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© 2014 WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Boschstr. 12, 69469 Weinheim, Germany

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Umschlaggestaltung Grafik-Design Schulz, Fußgönheim, Deutschland

ePDF ISBN 978-3-527-67551-7

ePub ISBN 978-3-527-67552-4

Mobi ISBN 978-3-527-67553-1

Vorwort zur siebten Auflage

Methoden der Computerchemie (Computational Chemistry) sind in den letzten Jahren infolge der enormen Leistungsfähigkeit moderner Computer zunehmend wichtiger geworden. Dieser Entwicklung habe ich Rechnung getragen, indem ich dieser Auflage ein Kapitel über ausgewählte numerische Verfahren hinzugefügt habe. Insbesondere werden Methoden vorgestellt, die in den chemischen Anwendungen von Bedeutung sind, wie numerische Verfahren zur Lösung von linearen und nichtlinearen Gleichungssystemen, Eigenwertproblemen und An-fangswertproblemen von Differenzialgleichungen. Insbesondere werden das Newton-Verfahren, die QR-Methode zur Berechnung von Eigenwerten und das Runge-Kutta-Verfahren behandelt. Auch die Approximation steifer Differenzial-gleichungen wird angesprochen. Aus Platzgründen können viele Techniken nur angerissen werden, vermitteln aber einige grundlegende Ideen. Alle Algorithmen sind in der Skriptsprache Matlab1) implementiert und durch Beispiele illustriert.

Die bewährte Struktur des Buches ist unverändert geblieben. Das Erschei-nungsbild wurde behutsam modernisiert: Beispiele sind nun durch einen grauen Balken am Rand hervorgehoben, wichtige Sätze wurden eingerahmt. Außerdem wurden einige Tippfehler korrigiert und kleinere Textkürzungen vorgenommen.

Wien, Juni 2013

A. Jüngel

1) Matlab® ist ein eingetragenes Warenzeichen von Te MathWorks, Inc.

Vorwort zur sechsten Auflage

Das Lehrbuch von Prof. Zachmann ist seit seiner Ersterscheinung vor genau 35 Jahren zu einem Klassiker geworden. Umso mehr ist es mir eine Ehre, dass ich die Überarbeitung des Buches übernehmen durfte, nachdem Prof. Zachmann bedauerlicherweise verschieden ist.

Eine Überarbeitung war mittlerweile notwendig geworden, um den geänderten Erfordernissen in der Chemie Rechnung zu tragen. Hier spielen quantenmechanische Fragestellungen und Computersimulationen eine immer größer werdende Rolle, etwa um die Struktur großer Atome mit Näherungsmethoden zu berechnen. Diese Tatsache hat sich in der Temenauswahl dieser Neuauflage niedergeschlagen.

Eine ausführliche Darstellung der in der Chemie notwendigen numerischen Algorithmen hätte den Rahmen eines einführenden Lehrbuches gesprengt. Dennoch wurde ein gewisses Augenmerk auf algorithmische Techniken gelegt. So können viele Fragestellungen der linearen Algebra mithilfe des Gauß-Algorithmus bzw. dem Gauß’schen Eliminationsverfahren in bequemer Weise gelöst werden. Auch das wichtige Newton-Verfahren für die numerische Lösung nichtlinearer Gleichungen und die Methode der kleinsten Quadrate werden ausführlicher als bisher dargestellt.

Neu hinzugekommen sind mathematische Fragestellungen aus der Quantenmechanik. Dies schließt eine gründliche mathematische Behandlung bestimmter gewöhnlicher Differenzialgleichungen, die bei der Separation der Schrödinger-Gleichung auftreten, ein. Die Lösung der Schrödinger-Gleichung für das Coulomb-Potenzial ist ausführlich dargestellt. Neu ist weiterhin ein Kapitel über mathematische Methoden der Quantenmechanik (unbeschränkte Operatoren, Spektraltheorie). Die dort vorgestellten Fragestellungen sind mathematisch verhältnismäßig anspruchsvoll und werden sicherlich erst im letzten Studienabschnitt relevant. Ich habe versucht zu begründen, warum die dort definierten Begriffe notwendig sind und welche mathematischen Schwierigkeiten auftreten können. Das Hauptaugenmerk habe ich auf das Verständnis gelegt und habe dabei die eine oder andere mathematische Feinheit nicht in Betracht gezogen. Es ist meine Hoffnung, damit klarzumachen, dass quantenmechanische Probleme nur mit anspruchsvollen mathematischen Techniken zufriedenstellend gelöst werden können.

Einen größeren Raum haben auch die gewöhnlichen und partiellen Differenzialgleichungen erhalten, die in den chemischen Anwendungen von elementarer Bedeutung sind. Großer Wert wurde auf die Motivation der Gleichungen gelegt und viele Beispiele aus der Chemie (z. B. Belousov-Zhabotinsky-Reaktion) sind hinzugefügt worden.

Um den Umfang des Buches nicht zu vergrößern, musste an anderer Stelle gekürzt oder gestrichen werden. So sind im Vergleich zur letzten Auflage die Kapitel über Gleichungen höheren Grades, Funktionentheorie und Gruppentheorie gestrichen worden. Da die Quantenmechanik ohne komplexe Zahlen und komplexwertige Funktionen nicht denkbar ist, sind diese Temen in den entsprechenden Kapiteln über Zahlen und Funktionen erläutert; für den Residuensatz, der nur an einer Stelle benötigt wird, muss auf die Fachliteratur verwiesen werden. Gruppentheoretische Fragestellungen spielen zwar gleichfalls eine wichtige Rolle in der Chemie, doch muss auch hier auf die mathematische Literatur verwiesen werden.

Den heutigen Lesegewohnheiten entsprechend, wurden die Abschnitte neu sortiert und nummeriert, ohne zu stark die Struktur des bewährten Buches zu ändern. Insbesondere wurde die bewährte Regel eingehalten, dass die Ergebnisse längerer Überlegungen in Kursivdruck zusammengefasst werden, während Beispiele, die nach jeder allgemeinen Betrachtung folgen, in kleinerer Schrift und mit Einzug gesetzt sind. Um die Lesbarkeit zu erhöhen, werden bedeutende Sätze durch Fettdruck hervorgehoben. Besonders wichtige Definitionen und Aussagen sind am Textrand mit dem Symbol markiert.

Auch dieses Buch wäre ohne die Mithilfe anderer nicht entstanden. Insbesondere danke ich Frau Jutta Gonska für die unermüdliche Erstellung der -Vorlagen einiger Kapitel und vieler Abbildungen, Herrn Albrecht Seelmann für das sehr gründliche Korrekturlesen des Buches, Herrn Dr. Daniel Matthes für das Korrekturlesen von Kapitel 13, Herrn Udo Mattray für die Erstellung einiger Abbildungen, und nicht zuletzt den Herren Dr. Frank Weinreich und Dr. Andreas Sendtko vom Verlag Wiley-VCH für die stets angenehme und unkomplizierte Zusammenarbeit.

Wien, Juni 2007

A. Jüngel

Vorwort zur ersten Auflage

Die mathematischen Methoden, die in der Chemie angewendet werden, sind äußerst vielfältig: Die Behandlung reaktionskinetischer Fragen ist nur mithilfe von Differenzialgleichungen möglich. Verschiedene Probleme der makromolekularen Chemie gehören in das Gebiet der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Bei der Aufklärung von Molekülstrukturen muss man über Fouriertransformationen, Tensorrechnung und Gruppentheorie Bescheid wissen. Zur Erforschung der chemischen Bindung braucht man partielle Differenzialgleichungen und lineare Algebra. Bei der Auswertung von Versuchsergebnissen spielt die Statistik und Fehlerrechnung eine wichtige Rolle.

Vom einzelnen Chemiker kann man im Allgemeinen nicht eine vollkommene Beherrschung all dieser Gebiete verlangen. Er muss aber von jedem Bereich der Mathematik soviel wissen, dass er den mathematischen Ableitungen in chemischen Vorlesungen und Lehrbüchern folgen kann und darüber hinaus jederzeit in der Lage ist, seine Kenntnisse in irgendeinem speziellen Gebiet der Mathematik weiter zu vertiefen. Das vorliegende Buch versucht dieses Wissen zu vermitteln. Die grundlegenden mathematischen Betrachtungen und Gedankengänge sowie einige spezielle, besonders für die Chemie wichtige mathematische Methoden sind sehr ausführlich dargestellt. Zahlreiche weitere Ergebnisse der Mathematik sind in knapper Form mitgeteilt. An manchen Stellen fehlen die Beweise; um nicht zu unsauberem Schließen zu verleiten, wurde dies jedes Mal ausdrücklich vermerkt.

Um das Lesen des Buches und das Erlernen des Inhalts zu erleichtern, wurden folgende Regeln eingehalten: Die Ergebnisse längerer Überlegungen sind jeweils in einem Satz zusammengefasst, der durch Kursivdruck hervorgehoben wird. Jeder allgemeinen Betrachtung folgt ein konkretes, möglichst einfaches Beispiel, das in Petit gesetzt wurde. Am Ende eines jeden Abschnittes sind jeweils Kontrollfragen und leichte Aufgaben angegeben, deren Lösungen am Schluss des Buches zu finden sind. Wenn der Leser im Verlauf längerer Ausführungen das Ziel der Überlegungen aus den Augen verloren hat, so kann er dieses dem nächstfolgenden kursiv gedruckten Satz entnehmen. Wird es zu schwierig, den Überlegungen in allgemeiner Form zu folgen, so wird es eine Hilfe sein, das nachfolgende konkrete Beispiel (erkenntlich am Petit-Druck) zu studieren. Anhand der Kontrollfragen und Aufgaben kann man erkennen, ob der Stoff verstanden worden ist. Die Auswahl der Kontrollfragen zeigt auch, welche Ergebnisse im betreffenden Abschnitt besonders wichtig sind.

Zur Anordnung des Stoffes ist zu sagen, dass die einzelnen Gebiete der Mathematik soweit wie möglich geschlossen dargestellt wurden; das Buch ist somit auch als übersichtliches Nachschlagewerk verwendbar. Nach einer Einführung der Zahlen kommt die Kombinatorik, da diese bei der Definition von Determinanten benötigt wird, Übung im Rechnen mit Summenzeichen vermittelt, das abstrakte Denken schult und auch in der Chemie eine nicht unerhebliche Rolle spielt. Auf die Kombinatorik folgt die elementare lineare Algebra. Als Erstes werden dabei in unmittelbarem Anschluss an den Schulstoff Matrizen, Determinanten und Gleichungen behandelt, danach die Vektorrechnung und die analytische Geometrie. Dabei wird das Eigenwertproblem anhand der Abbildung, die die Richtung von Vektoren unverändert lässt, anschaulich eingeführt. Nach einigen Abschnitten über Differenzial- und Integralrechnung, elementare Funktionentheorie und Vektoranalysis wird auf die höhere lineare Algebra, d. h. den Hilbertraum, die Entwicklung nach Eigenfunktionen usw. eingegangen. Der Versuchung, die gesamte lineare Algebra geschlossen in axiomatischer Weise darzustellen, habe ich aus didaktischen Gründen widerstanden. Eine axiomatische Darstellung eignet sich vorzüglich für eine Rückschau, aber keineswegs für einen Einstieg. Am Ende des Buches stehen die Abschnitte über Gruppentheorie, Wahrscheinlichkeitsrechnung und Fehlerrechnung. Der Wahrscheinlichkeitsrechnung wurde relativ viel Raum gewidmet, da sie in der modernen Chemie eine immer größere Bedeutung gewinnt.

Bei den Vorlesungen, aus denen dieses Buch entstanden ist, habe ich die einzelnen Kapitel nicht in der gleichen Reihenfolge wie im Buch behandelt. Die analytische Geometrie z. B. wurde zunächst vollständig ausgelassen; die Polarkoordinaten und die Darstellung von Kurven in Parameterform wurden im Rahmen der Integralrechnung an den Stellen, wo dies erforderlich war, eingeführt. Das Kapitel über Wahrscheinlichkeitsrechnung folgte unmittelbar hinter der Integralrechnung, damit die Hörer den Stoff der Differenzial- und Integralrechnung verarbeiten konnten, bevor dieser weiter angewendet wurde. Einige Gebiete, wie die Funktionentheorie und die partiellen Differenzialgleichungen, konnten im Rahmen der zweisemestrigen, vierstündigen Vorlesung nur in stark gekürztem Umfang behandelt werden.

Das Buch wäre nicht ohne die Hilfe zahlreicher Mitarbeiter zustandegekommen. Den Herren Diplomphysikern A. Brather, P. Schmedding, K. Slusallek und K. Wangermann habe ich herzlich zu danken für die Korrektur je eines Teiles des Buches. Sie haben dabei nicht nur zahlreiche Druckfehler ausgemerzt, sondern auch verschiedene Unklarheiten bemerkt, die ich dann beseitigen konnte. Mein besonderer Dank gilt Herrn Dipl.-Ing. H.J. Biangardi, der das gesamte Manuskript einer kritischen Prüfung unterzog und es durch viele wertvolle Ratschläge verbesserte. Dem Verlag Chemie bin ich für seine Bereitschaft, meinen zahlreichen Wünschen hinsichtlich der Ausstattung des Buches nachzukommen, sehr verbunden.

Mainz, Juli 1972

H.G. Zachmann

1

Mathematische Grundlagen

1.1 Die Sprache der Mathematik

Die Aussagen der Umgangssprache sind häufig nicht eindeutig. So wird beispielsweise das Wort „oder“ in sehr unterschiedlichem Sinne gebraucht. Im Satz „Schwimm, oder Du ertrinkst“ verbindet es zwei alternative Möglichkeiten, von denen nur eine zutreffen kann. Wenn dagegen auf einem Schild in einem Büro zu lesen ist: „Wer stiehlt oder betrügt, wird entlassen“, so wird hier das Wort „oder“ nicht im Sinne des Ausschließens gebraucht; wenn jemand stiehlt und betrügt, so wird er natürlich auch entlassen.

Für die Mathematik sind derartige Unsicherheiten untragbar und müssen daher vermieden werden. Am konsequentesten lässt sich das mithilfe der Aussagenlogik erreichen. In dieser werden den grundlegenden Verknüpfungen bestimmte Symbole zugeordnet. Beispielsweise steht das Symbol „∧“ für die Verknüpfung „und“ im Sinne von „sowohl als auch“ und das Zeichen „∨“ für die Verknüpfung „oder“ im oben als zweites genannten Sinne. Auf diese Art erhält man eine sehr kompakte, völlig eindeutige Zeichensprache. Da aber diese Sprache nur mit erheblicher Mühe gelesen werden kann und sich nicht allgemein eingebürgert hat, soll sie im vorliegenden Buch nicht verwendet werden. Wir wollen uns vielmehr bemühen, die gewöhnliche Sprache in möglichst eindeutiger Weise zu benutzen.

Um das zu erreichen, müssen wir vor allem auf die Formulierung mathematischer Sätze eingehen. Sie wird gewöhnlich nach dem folgenden Schema vorgenommen: Man legt zunächst die Voraussetzungen dar, unter denen der Satz gilt, und gibt dann den Satz in Form einer Behauptung an. Natürlich muss die Richtigkeit der Behauptung mit einem Beweis sichergestellt werden, doch in diesem Buch verzichten wir weitestgehend auf Beweise und verweisen hierfür auf die mathematische Literatur.

Beispiel 1.1

Betrachten wir als Beispiel den Satz: Wenn a und b ungerade Zahlen sind, so ist die Summe a + b immer eine gerade Zahl. Im angegebenen Schema lautet dieser Satz wie folgt:

Von besonderem Interesse ist die Frage, ob die Umkehrung eines gegebenen Satzes, die man durch eine Vertauschung der Behauptung und Voraussetzung erhält, richtig ist. Damit dies der Fall ist, muss im ursprünglichen Satz aus dem Zutreffen der Behauptung das Zutreffen der Voraussetzung folgen. Mathematische Sätze, für die das gilt, nennt man umkehrbar. Nicht alle mathematischen Aussagen sind umkehrbar.

Beispiel 1.2

Betrachten wir als Beispiel den eben angeführten Satz:

„Wenn a und b ungerade Zahlen sind, dann ist a + b eine gerade Zahl.“

Wir sagen auch: Die Aussage „a und b sind ungerade Zahlen“ impliziert die Aussage „a + b ist eine ungerade Zahl“. Die Umkehrung würde lauten:

„Wenn a + b eine gerade Zahl ist, dann sind a und b ungerade Zahlen.“

Diese Aussage gilt nicht, da beispielsweise die Summe aus 2 und 4, nämlich 6, eine gerade Zahl ist, obwohl 2 und 4 keine ungeraden Zahlen sind. Anders liegen die Verhältnisse beim folgenden Satz:

„Wenn in einem Dreieck die Winkel gleich sind, so sind auch die Seiten gleich.“

Die Umkehrung lautet hier:

„Wenn in einem Dreieck die Seiten gleich sind, so sind auch die Winkel gleich.“

Diese Aussage ist ebenfalls richtig, sodass der Satz über die Winkel und Seiten im Dreieck umkehrbar ist.

Wenn auch die Umkehrung eines Satzes richtig ist, so nennt man dessen Voraussetzung eine hinreichende und notwendige Bedingung für die Behauptung. Man sagt z. B.: „Die Bedingung, dass die Winkel in einem Dreieck gleich sind, ist hinreichend und notwendig dafür, dass auch die Seiten gleich sind.“ Kürzer kann man das auch in folgender Weise formulieren: „Die Seiten eines Dreiecks sind genau dann gleich, wenn die Winkel gleich sind.“ Ist ein Satz nicht umkehrbar, so nennt man die Voraussetzung nur eine hinreichende Bedingung. Man sagt z. B.: „Die Bedingung, dass a und b ungerade sind, ist hinreichend dafür, dass a + b gerade ist.“ (Sie ist nicht notwendig, denn auch bei geraden Zahlen a und b ist die Summe geradzahlig.) Schließlich gibt es auch Bedingungen, die nur notwendig sind.

Man sieht daraus: Aus dem zu Beginn dieses Abschnitts angegebenen Schema „Voraussetzung und Behauptung“ kann man jeweils nur entnehmen, dass die Voraussetzung hinreichend ist. Will man angeben, ob die Voraussetzung auch eine notwendige Bedingung ist, muss man den Satz ausführlicher formulieren, so wie das eben angedeutet wurde.

Beispiel 1.3

Anschließend wollen wir noch einige weitere Beispiele für die verschiedenen Arten von Bedingungen angeben. Im Satz „Wenn Eis unter Atmosphärendruck über 0 °C erhitzt wird, so schmilzt es“ ist die Bedingung „erhitzen“ notwendig und hinreichend für das Schmelzen. In der Aussage „Wenn die Sonne scheint, so ist es hell“ ist die angeführte Bedingung nur hinreichend, aber nicht notwendig, denn es kann auch hell aufgrund von künstlichem Licht sein. Im Satz „Wenn es kalt ist, schneit es“ handelt es sich demgegenüber nur um eine notwendige Bedingung; Kälte allein reicht noch nicht für den Schneefall aus, es muss auch noch zu einem Niederschlag kommen.

1.2 Mengenlehre

Was ist eine Menge? Eine Menge erhält man durch die Zusammenfassung von irgendwelchen Objekten unserer Anschauung. Die entsprechenden Objekte nennt man Elemente der Menge. Die Objekte „Haus, Katze und Schornstein“ z. B. bilden eine Menge von drei Elementen. Ebenso bilden die ganzen Zahlen oder die Gesamtheit aller chemischen Reaktionen, bei denen Sauerstoff frei wird, jeweils eine Menge. Die Elemente einer bestimmten Menge kann man entweder durch Aufzählung angeben, wie das im ersten Beispiel getan wurde, oder durch Angabe irgendwelcher Merkmale, an denen man die Zugehörigkeit eines Elementes zur Menge erkennen kann, wie beim zweiten und dritten Beispiel. Bei der Aufzählung pflegt man die Elemente zwischen geschweifte Klammern zu setzen. Wenn zum Beispiel die Menge aus den Elementen und besteht, so schreibt man: