Quantenmechanik aus elementarer Sicht Buch 2 E-Book

Karl Fischer

• Herausgeber: Books on Demand
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Sprache: Deutsch

Seitenzahl: 503

Veröffentlichungsjahr: 2013

Beschreibung

Das Buch bringt die Euler-Lagrange-Gleichungen klassisch und für die QM, das Schrödinger-Näherungs-Verfahren z.B. für den anharmonischen Oszillator, QM-typische komplizierte Integrationsmethoden, die Streuung ohne und mit Feldoperatoren, nicht-euklidische Geometrie im Hinblick auf die Gravitationstheorie, Young-Diagramme, indefinite Metrik dazu die regularisierte Zweipunktfunktion, Primzahlsätze und vieles mehr und zu allem viele Beispiele.

Leseprobe

Quantenmechanik aus elementarer Sicht

Buch 2

von Karl Fischer

Books on Demand

Gewidmet meiner Familie

Inhaltsverzeichnis

Einleitung

1.0 Variationsrechnung, Eulergleichungen, Lagrangefunktionen

1.

1 Allgemeines, die Brachistochrone

1.2 Beispiele aus der klassischen Physik

1.3 Beispiele aus der QM

1.4 Maxima oder Minima mit Nebenbedingungen

1.5 Variationsrechnung mit Nebenbedingungen, Zwangskräfte in der Mechanik

2.0 Das Schrödinger-Näherungsverfahren mit Eigenwerten

2.1 Der zweidimensionale Rotator in einem schwachen elektrischen Feld

2.2 Kugelsymmetrisches Potentialfeld in einem homogenem Magnetfeld

2.3 Waserstoffatom in einem homogenen elektischen Feld (Starkeffekt)

2.3.1 Der quadratische Starkeffekt

2.3.2 Liste der ersten H-Eigenfunktionen mit Normierung

2.3.3 Der lineare Starkeffekt

2.4 Bemerkungen zum Vollständigkeitssystem und zum Zwischensystem

2.5 Der harmonische Oszillator mit anharmonischer Störung

2.6 Der reine anharmonische Oszillator, quantenmechanisch

2.7 Der reine anharmonische Oszillator, klassisch

3.0 Die Dipolstrahlung

3

.1 Der elektrische Dipol

3.2 Der schwingende elektrische Dipol

3.3 Die Dipol-Abstrahlung quantenmechanisch betrachtet

3.31 Die elektrische Dipolabstrahlung beim Wasserstoffatom

3.32 Die elektrische Dipolabstrahlung beim harmonischen Oszillator

3.33 Die elektrische Dipolabstrahlung eines Rotators

4.0 Interessante Integrale und Integrationsmethoden

4.1 Residuenmethode bei Polen m-ter Ordnung

4.2 Spezielle Integrale

4.3 Die Feynman-Identität

4.4 Beispiele zur Feynman-Identität

5.0 Beispiel: Zweite Bornsche Näherung beim Yukawa-Potential

6.0 Streuung, relativistisch

6.1 Vorbereitungen

6.11 Zusammenhang Greenfunktion und Vollständigkeitsrelation

6.12 Die Zerpfückung der Greenfunktion G(x-y)

6.13 Die grundlegenden Gleichungen für die Proton-Elektron-Photon-WW

6.14 Die grundlegenden Gleichungen für die Nukleon-Meson-WW

6.2 Näherungsverfahren, Beispiel Proton-Elektron-Photon-Streuung

6.3 Streuung, dargestellt über Feldoperatoren

6.31 Sukzessiver Aufbau des Streuoperators aus Feldoperatoren

6.32 Anwendung des Streuoperators

6.33 Interpretation des Ergebnisses

6.34 Nicht unterscheidbare Teilchen

6.35 Weitere Betrachtungen, Parität, Helizität, Chiralität

6.36 Zweite Näherung

6.4 Weiteres über das elektromagnetische Feld

6.41 Naive Anzahl-Quantisierung des A

μ

-Feldes

6.42 Einbeziehung von Ein-Aus-Photonen bei der Streuung

6.43 Die Zweipunktfunktion für longitudinale und transversale Photonen

6.44 Die Zweipunktfunktion für Vektorbosonen

6.5 Beispiele für Ein-Aus-Photonen bei der Streuung

6.51 Bremsstrahlung

6.52 Die Compton-Streuung

6.53 Elektron-Positron-Paarvernichtung zu Photonen

6.54 Die Vakuumpolarisation

6.55 Eigenmasse des Elektrons

6.6 Übergang Ortsraum-Impulsraum bei einer Eigenwertintegralgleichung

7.0 Relativistische Kinematik

7.1 Zerfälle

7.2 Zerfall in zwei Teilchen

7.3 Zerfall in drei Teilchen

7.4 Der Zwei-Teilchen Streuprozess

8.0 Geometrie und Physik im Nichteuklidischen

8.1 Die Verhältnisse bei der Kugel

8.2 Die Verhältnisse beim Ellipsoid

8.3 Ermittlung der inversen Basisvektoren mittels Differentiation

8.4 Die erste kovariante Ableitung

8.5 Die kovariante Ableitung entlang eines Weges

8.51 Anwendung Parallelverschiebung

8.52 Anwendung geodätische Linie

8.53 Anwendung Bewegung eines Massenpunktes

8.541 Beispiel ruhende Scheibe

8.542 Beispiel rotierenden Scheibe

8.543 Eine mit Geschwindigkeit v bewegte Masse

8.55 Das räumliche Längenelement allgemein

8.6 Die zweite kovariante Ableitung, Krümmungstensor

8.61 Krümmungstensor für eine Kugel

8.62 Der Krümmungstensor für eine ruhende Scheibe

8.7 Deutung der Krümmung

8.71 Die Krümmung einer ebenen Kurve am Punkt P

8.72 Deutung der Gaußschen Krümmung über ein Flächenverhältnis

8.73 Versuch einer Deutung der Krümmungstensors

8.74 Die Vektoränderung beim Umlauf

8.75 Fortsetzung der Deutung

8.8 Die Frage der Einbettung in einen Überraum, Schwarzschildlösung, Universum

8.9 Über Tensoren allgemein

9.0 Betrachtungen über die indefintite Metrik

9.1 Die regularisierte Zweipunktfunktion für die Weyl-Gleichung

9.2 Die regularisierte Zweipunktfunktion für die Klein-Gordon-Gleichung

10.0 Über Schiebeoperatoren und Young-Diagramme

10.1 Bose-, Fermi- und Parabose-Operatoren im Vergleich

10.2 Über Young-Diagramme

11.0 Betrachtungen über Primzahlen, Wahrscheinlichkeit, Primzahlsatz

12.0 Kleinere Themen

12.1 Unmittelbare Herleitung der Lorentztransformationsmatrix

12.2 Der relativistische Dopplereffekt, E=mc

²

12.3 Beweis der Totalantisymmetrie der Strukturkonstanten

12.5 Was ist eine Masse

12.6 Gegenüberstellung, Oktetts

12.7 Sonnen-Photonen pro Quadratmeter

12.8 Der Schnitt, der Griff zur klassischen Physik

12.9 Was ist eine QM nun wirklich

Stichwortverzeichnis

Literaturverzeichnis

Über den Autor

Einleitung

Dieser Band 2 ist genauso betitelt wie Band 1, weil er demselben Anliegen dient, nämlich die Quantenmechanik möglichst elementar und durchsichtig darzustellen. Es werden weiterführende Themen gebracht, so die Euler- bzw Lagrange-Gleichungen, das Schrödinger-Näherungs-Verfahren, Auswertung QM-typischer, komplizierterer Integrale, die Feynmanmethode, die Streuung ohne und mit Feldoperatoren, nicht-euklidische Geometrie im Hinblick auf die Gravitationstheorie, usw, auch ausgefallenere Themen wie die indefinite Metrik, Young-Diagramme und gewissermaßen in Abschweifung eine Einlassung über Primzahlen und Primzahlsätze. Dazu werden viele Beispiele gebracht, oft so, dass sich an den Beispielen die Theorie erst hochrankt. Allgemein wird die QM als schwierig angesehen. Das hat zwei Gründe. Zum einen, deren Mathematik versteigt sich schnell in Komplikationen, zum anderen sie reibt sich mit unserer Anschauung. Das menschliche Gehirn sieht nun mal alles klassisch und formt so sein Denken. Nach wie vor lassen wir beim Zweilochexperiment ein Elektron durch das eine oder andere Loch gehen und wollen es nicht einsehen, dass es gewissermaßen durch beide Löcher geht. Siehe [1,7.5] Mit dem Gedanken, dass alles anschaulich sein muss, überfrachtet man aber eine Theorie. Schon die Relativitätstheorie widerspricht der unmittelbaren Anschauuung, der aus der Anschauuung abgeleiteten Denkbahnen, der Raum geht immer so weiter, die Zeit ist für alle gleich, der Widerstand bei der Beschleunigung ist immer derselbe, man kann Alles immer schneller machen, d.h. die Geschwindigkeit ist nach oben hin unbegrenzt usw Es ist nicht zwingend Sache einer Theorie, den Weg der unmittelbaren Anschauung zu gehen, sondern dass sie schließlich zu Ergebnissen kommt, die im Anschaulichen, im Klassischen, im Nachweisbaren, im Reellen als richtig erkannt werden. Anfang und Ende sind sichtbar, dazwischen kann gewissermaßen ein Tauchvorgang sein.

Die QM erlaubt dagegen eine modellhafte, bildhafte, mathematische Anschauung (geometrische Vektoren und Matrizen, Skalarprodukte, Wellen betreffend die Wahrscheinlichkeitsamplitude, Teilchen als Eigenwertebündel wie Energie, Impuls, Drehimpuls, Isospin,…, usw).

Sie schmiegt sich der Anschauuung an, als sie die drei Komponenten des Ortes und die eine der Zeit als kontinuierliche Größen akzeptiert. Das führt dazu, dass die Matrizenwelt nicht nur abzählbar unendlich wird, sondern kontinuierlich reell oder komplex, was Ursache von Differentialquotienten und Differentialgleichungen ist.

Manche Themen des Buches, speziell Young-Diagramme, erinnern an Vögel, die am Boden nach Futter picken, aber sich schnell in die Lüfte erheben. So ist es auch damit. Sie macht sich im Physikalischen fest (Boden) anlässlich der Symmetrisierung von Zustandsfunktionen, hebt aber schnell in die Mathematik ab (Lüfte) und bewegt sich da im Reich der Kombinatorik.

Das Buch rührt auch heisse Eisen an. Der Verfasser erlaubt es sich zu glauben, in der sehr komplizierten und allgemein üblichen Renormierung eher einen vorübergehenden mathematischen Behelf, nicht eine dauerhaft tragfähige Methode zu sehen, er glaubt eher, um die QM im Rahmen der Mathematik mehr zu normalisieren, zu regularisieren, mehr ein Bauchgefühl, an den Heisenbergweg, stattdessen Zustandsvektoren auch mit nicht positiver Metrik oder Norm zuzulassen, um so divergenzfrei, ohne sich mit unendlichen Werten abplagen zu müssen, rechnen zu können. Deswegen ist dem auch ein Kapitel gewidmet. Das ist natürlich ein Thema, das letztlich auf höherer Ebene entschieden wird.

In der Tat die Themen werden immer schwieriger, frühere Generationen hatten es leichter als die jetzige und gar künftige. Das was zu entdecken übrig bleibt, wird immer weniger und immer schwieriger und das, was schon bekannt ist, wird immer mehr. Schwieriger heisst aber auch, deren Entfaltung oder gar Lösung braucht immer mehr Zeit, Jahre, Jahrzehnte, Generationen, experimentell wie theoretisch, man denke z.B. an die grundlegenden Theorien. Auch braucht es viel Phantasie für den richtigen Weg. Wer allerdings soll das Alles, wer soll diese Vielfalt erfassen, verstehen, und weiter darauf aufbauen? Man darf sich nicht immer auf Ausnahmeerscheinungen berufen, auf Genies, die das verkraften, das oft auch nur in einem engen Bereich, das Wissen muss Vielen zugehen, um in der Breite das Fortschreiten zu bewirken. Andererseits kann man vielen Ballast der Vergangenheit weglassen, viele Wege und Irrwege, betreffend die Naturwissenschaften, und dieses mehr den Historikern überlassen, um sich so freizumachen für das Wesentliche als Voraussetzung für das Künftige. Zudem kann man Vieles erreichen, indem man die Zugänge elementarisiert und so das Verstehen vertieft, Muster und Analogien erkennen lässt und so durch Vergleiche Vertrautheit schafft, generell indem man systematisiert. Denn der Wert einer Information steigt, indem man sie mit vielen Dingen in Verbindung bringt. Eine Telefonnummer für sich allein, sagt meist wenig, ein Name dazu geschrieben meist viel. Das Buch beantwortet Fragen, wirft aber auch Fragen auf, z.B. gibt es wirklich spontane virtuelle Teilchen-Erzeugung nur aus dem Vakuum oder nicht, müssen wir uns auf die positiv-definite Wahrscheinlichkeiten beschränken oder nicht. Diese mögen in genauerem Studium des bislang Vorhandenen und oder erst in der Zukunft eine Antwort finden. Man sagt, ein Bild sagt mehr als tausend Worte. So kann man auch sagen, eine Formel sagt mehr als viele Worte, also der Vorrang der Formel vor interpretierenden Worten, denn diese haben die Tendenz, sich gern von der mathematischen Realität loszulösen, obwohl sie natürlich notwendig sind. So sagen mir die in der modernen Physik „herumgeisternden“ Strings gar nichts, mag da der Leser weiter sein, solange ich keine möglichst elementare Formel hierfür gesehen habe. Erst die Formeln, allgemein gesprochen, bringen eine Einordnung in die Mathematik, aus der wir heraus die Physik beschreiben und umspannen wie ein Spannbetttuch eine Matratze. An dem Bild sei auch die Endlichkeit der physikalischen Erkenntnis angesprochen. Vielfach tut man so und lässt so glauben, als würde man damit die gesamte Wirklichkeit umfassen. Dem ist aber nicht so. So kann man naturwissenschaftlich nicht erklären, am Ende des Buches wird darauf hingewiesen, dass z.B. Luftschwingungen als Ton erlebt werden oder elektromagnetischen Schwingungen als Licht, als Farben erlebt werden. Das Wort Erleben ist da maßgeblich. Dieses Erleben ist wie von einer anderen Welt, der Welt des Geistes, so auch die Erkenntnis selber, ihre Existenz entzieht sich ihrer selbst, ist einfach da und von da aus bestenfalls interpretierbar.

Auch im Naturwissenschaftlichen gibt es sowas wie einen Mainstream, eine vorherrschende dominierende Meinung. So ist es z.B. in der Elementarteilchenphysik zur Zeit das wegen ihres Erfolges favorisierte Standardmodell, die Quarktheorie. Auch noch in fünfzig oder hundert Jahren? Die Wogen der Erkenntnis mögen hin und her gehen und am Schluss möge das Richtige herausgefiltert sein. So wird es interessant bleiben.

Begnügen wir uns aber hier mit dem mathematisch-physikalischen Feld der Quantenmechanik. Mag das Buch einen kleinen Beitrag dazu leisten, die doch sehr komplizierte Welt der QM zugänglicher und vertrauter zu machen.

1.0 Variationsrechnung, Eulergleichungen, Lagrangefunktionen

1.1 Allgemeines, die Brachistochrone

Die Variationsrechnung sei gleich an einem Beispiel illustriert.

Ein Körper soll in einer senkrecht gedachten Ebene von der Stelle x=0, y=0 ausgehend zur Stelle x=h, y=a reibungsfrei gleiten. Gefragt ist nach dem Kurvenverlauf y(x), bei dem er am schnellsten zum Ziel kommt.

(griech. brachistos chronos kürzeste Zeit)

Das (x,y)-Koordinatensystem ist gegenüber dem gewöhnlichen Zeichnen um 90Grad im Uhrzeigersinn gedreht. Die Schwere zeigt so nach unten.

Wäre es in Normalanordnung, also zurückgedreht, so würde die Kurve einem Parabelzweig ähneln und die Schwerkraft würde nach rechts ziehen, was die Anschauung strapaziert, aber äquivalent ist.

Für ein kleines Wegstück ds auf der Bahn braucht der Körper die Zeit

Die aktuelle Geschwindigkeit v ergibt sich aus dem Energiesatz:

Wir haben also

Mit diesem Integral kann man die Laufzeit berechnen, wenn der Kurvenverlauf y(x) bzw y´(x) bekannt ist. Das gilt also allgemein.

Wir gehen einen Schritt weiter. Wir wollen durch Variation des Integrals den Kurvenverlauf mit der Minmaleigenschaft, im Beispiel die Zeit, erst ermitteln.

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Variation: Um nun den Bahnverlauf y(x) zu finden, wird der Integrand, nennen wir ihn allgemein A(y, y´,x) variiert:

Es ist erlaubt, nach solchen Komplexen wie y und y´partiell zu differentieren.

Das ist analog zur Kettenregel.

Für die Änderung von A, als Funktion von y, y´und x, gilt dann analog zur Taylorreihe, in erster Ordnung:

Die Änderung von A, namentlich δA, kommt also nicht dadurch zu Stande, dass sich x ändert, sondern, dass bei gleichem x die Funktion A

hinsichtlich ihrer Argumente y bzw y´ um einen Betrag δy bzw δy´ verändert, variiert wird. Deswegen tritt auch ∂A/∂x bei δA nicht auf.

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Die Änderung des Integrals ist also

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Es ist nun weiterführend, wenn man im zweiten Term partiell die Kleinfunktion δy´ integriert

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Und es verbleibt

Wenn nun y(x) so ist, dass das Gesamtintegral T minimal (oder maximal) ist, so muss δT =0 sein. Da δy klein, aber beliebig ist, hat das zur Folge, dass der {…}-Ausdruck gleich 0 sein muss, also

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In unserem Beispiel ist

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Einsetzen in die Gleichung und Auflösen nach x ergibt x =1/C² * sin²α

Wir erhalten als Lösung somit

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Das ist die Formel für eine Zykloide. Eine Zykloide beschreibt die ebene Raumkurve, die ein fixer Punkt auf einem Kreisrand bei linearem Rollen erzeugt. Man denke an die Raumbewegung (genähert) eines Ventils bei einem Fahrrad, genähert, da es sich nicht ganz am Reifenrand befindet, bei Geradeausfahrt.

Um im Bild der Figur zu bleiben, entspricht das dem Rollen eines Kreises, startend mit seinem Mittelpunkt auf der x-Achse, hängend, entlang der y-Achse. Der Winkel 2α ist der Rollwinkel. Er ist doppelt so groß wie der Kurvensteigungswinkel α, einsehbar, bei einer Drehung des Kreises um 180 Grad geht die Steigung von 0 bis 90 Grad.

Das Problem der Brachistochrone wurde erstmalig gelöst von Johann Bernoulli und nach Ausschreibung von ihm auch von Leibniz und Newton, mit elementareren Mitteln, da die Variationsrechnung damals noch nicht bekannt war.

Anmerkungen:

Gottfried Wilhelm Leibniz, deutscher Philosoph, Mathematiker, Physiker, Diplomat (1646-1716)

Johann Bernoulli, schweiz. Mathematiker, Arzt (1667 - 1748)

Isaac Newton, engl. Physiker, Mathematiker, Astronom (1642-1727)

Die Variationdrechnung wurde erfunden von Euler. Soweit es die Physik betrifft, ist sie mit dem Namen Lagrange verbunden.

Anmerkung: Leonhard Euler: schweiz. Mathematiker (1707-1783)

Anmerkung: Joseph Louis Lagrange, frz.Mathematiker und Physiker, ital.Herkunft (1736-1813)

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Nun möchte man die Kurve bei Vorgabe von h und a einpassen. Das entspricht der Auflösung der beiden Gleichung, indem man links diese Werte einsetzt. Wie man sieht, ist dies im allgemeinen schwierig, nur näherungsweise lösbar. Einfach ist es hingegen, wenn man a freigibt, nur h vorgibt, so, dass die Kurve waagrecht im Niveau h endet, wie in der Figur angedeutet.

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Nun wollen wir die tatsächliche Zeit TB für die Abwärtsbewegung des Körpers bei waagrechtem Auslauf ausrechnen im Vergleich zur senkrechten Fallbewegung TF und im Vergleich dazu, wenn die Kurve eine Gerade TE oder ein Kreisbogen TK wäre. Es ist

Somit ist die Laufzeit,

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Bei der Bewegung auf der Geraden (schiefe Ebene) bei gleichem Anfangs- und Endpunkt (gleiches h und a) ist:

Somit

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Nun die Bewegung entlang eines Kreisbogens:

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Somit ist

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Bezüglich der Werte und der Definition der Gamma-Funktion wie auch der Beta-Funktion siehe Kapitel 2.4

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Es ist nicht verwunderlich, dass freier Fall und die Bewegung auf dem Kreisbogen schneller sind, sie verbinden nur die Niveaus x=0 und x=h, sie enden nicht im Punkt (h,a), sondern zuvor.

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beim freiem Fall gleich WF =h,

beim Kreisbogen gleich WK =h*π/2

und bei der Brachistochrone mit waagrechtem Auslauf gleich WB, was wir hier berechnen:

Wir entnehmen hierfür von obiger Substitution

Ein erstaunlich einfaches Ergebnis.

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Liegt ein System mit mehr als nur einer Funktion vor, also statt A(y,y´,x) liegt nun vor A(y1,y1´, y2,y2´,…,x), so ist pro yi bzw yi´ zu variieren und das führt pro i zu einer dem Obigen analogen Gleichung, nämlich

Sie heißen die Eulerschen Gleichungen.

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Begründung:

Der Einfachheit halber seien es nur zwei Funktionen.

Es liege also vor A(y1,y1´, y2,y2´,x)

Dann ist die Variation

Die Änderung des Integrals ist also

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Partielle Integration nach x für δy1´und δy2´ ergibt wie oben, wir haben feste Enden, jeweils im ersten Term 0 und ansonsten nach Umordnung

dass die Eck-Klammern-Ausdrücke gleich 0 sein müssen, was zu zwei Gleichungen führt. Damit bewiesen.

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Es liege nun ein System vor, zwar mit nur einer Funktion vor, die aber mehrere Argumente hat,also statt A(y(x), y´(x), x) liegt nun vor

A(y+δy, ∂y/∂x1+(∂δy/∂x1), ∂y/∂x2+(∂δy/∂x2), x) − A(y1,∂y/∂x1,∂y/∂x2,x)

Es muss also da für die Delta-Fläche δy(x1,x2) gelten

Die integrierten Terme fallen also weg.

Zusammengefasst haben wir also

Das ist also die zu A(y(x1,x2), ∂y/∂x1,∂y/∂x2, x1,x2) gehörende Eulergleichung.

Zusammengefasst haben wir also, wenn wir auf beliebig viele Argumente (Zähler j) aufweiten

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Kombiniert man nun beides, also mehrere y-Funktionen, sagen wir y1 und y2, je mit mehreren Argumenten, sie seien x1 und x2,

die zugehörige A-Funktion ist dann

A(y1(x1,x2), ∂y1/∂x1,∂y1/∂x2, y2(x1,x2), ∂y2/∂x1,∂y2/∂x2,x1,x2),

so führen analoge Überlegungen zu den Eulergleichungen

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Also pro yi entsteht eine Gleichung, in der jeweils pro xj ein Differentialterm dieser Art mit negativem Vorzeichen auftritt. Zusammengefasst

Die Gleichungen sind im allgemeinen nicht unabhängig voneinander auf Grund der gemeinsamen A-Funktion.

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1.2 Beispiele aus der klassischen Physik

Beispiel: Die eindimensonale Bewegung eins Körpers unter Einwirkung einer Kraft, das Newton-Gesetz.

Hier entspricht dem Parameter x die Zeit t und dem Funktionswert y die Funktion x(t). Die allgemeine Lagrangefunktion L, entspricht der A-Funktion von zuvor, lautet dann, hier ohne Begründung

Das ist das Newton-Gesetz: Masse mal Beschleunigung ist gleich Kraft.

Das Integral ∫L*dt hat die Dimension einer Wirkung, Energie mal Zeit.

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Beispiel: Die dreidimensonale Bewegung eins Körpers

unter Einwirkumg einer Kraft, das Newton-Gesetz.

Die Lagrangefunktion ist dann, analog,

Die Anwendungen der Eulergleichungen

also drei analog aufgebaute Gleichungen

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Beispiel: Die Bewegung eins Körpers bei einer Zentralkraft

Nach der allgemeinen Formel für die Lagrangefunktion der Mechanik

Dabei ist r der Abstand des Massenpunktes vom Zentrum,

U(r) ist die Lageenergie, nur von r abhängig

Im obigen Sinne entspricht r(t) der Funktion y1(x)

und es entspricht φ(t) der Funktion y2(x).

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Das gibt Anlass zu zwei Eulergleichungen. Deren Elemente sind

Die Euler-Gleichungen sind somit

Der Term m* r*φ .² ist die Fliehkraft, m*r.. ist die Beschleunigung in positiver Radialrichtung, - ∂U/∂r ist die Radialkraft

Der Term m*r²*φ.. ist die Änderung des Drehimpulses; gleich 0 besagt, der Drehimpuls m*r²*φ. ist konstant.

Wie man sieht, können für die Lagrange-Funktion und die daraus folgenden Eulergleichungen nicht nur kartesische, sondern auch andere Koordinaten verwendet werden.

Es ist erstaunlich, dass aus der einen Lagrange-Funktion all diese Gesetze hervorgehen, sie ist so eine Art Konzentrat von Bewegungsgesetzen.

Der Lagrangefunktion fehlt eigentlich eine anschauliche Bedeutung. Bei der Eulerfunktion, oben mit A(y,y´,..) bezeichnet, ist es im Beispiel ein allgemeiner Ausdruck für die Laufzeit auf einer Abwärts-Bahn. In ähnlichem Fällen ist es ein allgemeiner Ausdruck für die Länge einer Kurve, für die Größe einer Fläche, usw.

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1.3 Beispiele aus der QM

Die y-Funktion(en) sind hier die Wellenfunktionen, meist mit griechischen Buchstaben bezeichnet, also z.B.statt y(x) schreiben wir nun ϕ(x).

Die A-Funktion wird hier wie im Klassischen Lagrangefunktion, genauer als Lagrangedichte L, genannt, das Integral ist vierdimensional.

Es liegen im Allgemeinen vier Variable vor, nämlich x, y, z, t.

Die Existenz einer Lagrangefunktion ist auch hier einfach eine Unterstellung.

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Beispiel: Die eindimensionale Schrödingergleichung ohne Zeitanteil

Wir suchen nun, umgekehrt, die Lagrangefunktion L(ϕ, ϕ´, x), die mittels der Gleichung die Schrödingergleichung produziert.

Setzen wir sie zusammen so, dass sich die Schrödingergleichung über Eulergleichung ergibt, so haben wir

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Ein andere Form ist, ϕ und ϕ+ werden als unabhängige Felder, wie oben mit y1 und y2 benannt, aufgefasst. Jedes für sich ergibt eine Eulergleichung.

Bereits der Teil ∂L/∂ϕ+ ergibt die Gleichung.

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Beispiel: Die eindimensionale Schrödingergleichung mit Zeitanteil

Um den Zeitanteil zu reproduzieren setzen wir ZT= −i/2*[ϕ+*ϕ. − ϕ*ϕ+.]

Denn umgekehrt ergibt sich für diesen Anteil

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Flussdiagramm für das Umfeld der Euler- und Lagrangefunktion

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Dass die Natur einem Minimalprinzip folgt, war schon Maupertuis bekannt:

Anmerkung: Pierre Louis Moreau de Maupertuis, frz.Mathematiker, Astronom, Physiker (1698-1759)

Anmerkung: Pierre de Fermat, frz.Mathematiker, Jurist, (1607/8 - 1659)

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Beispiel: Die Klein-Gordon-Gleichung

Klassisch induziert lautet sie im SI-System

Wir verwenden nun die Muster

Die Lagrangefunktion, die Stück für Stück die Terme der Gleichung mittels der Eulergleichung hervorbringt, lautet also

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Bei Verwendung dieser Kurzschreibweise schreiben sich die allgemeinen Euler-Lagrange-Gleichungen für die allgemeine Lagrange-Funktion, wie sie in der QM im Allgemeinen vorkommt,

L(ϕν, ∂μϕν) mit maximal 4 Funktionen ϕ1, ϕ2, ϕ3, ϕ0, also ν=1,2,3,0

pro Funktion maximal 4 Ableitungen ∂1ϕν, ∂2ϕν, ∂3ϕν, ∂0ϕν also μ=1,2,3,0

Ausführlich

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Nun in Kurzschrift betreffend L(ϕνν, ∂μϕνν) eine Formel zum Merken

Diese Formel fasst alle bisherigen Fälle betreffend die QM zusammen.

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Man kann diese L-Funktion auf eine andere Form bringen,

Umgekehrt folgt dann sofort

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Beispiel: Die Dirac-Gleichung

Die Diracgleichung mit elektrischen magnetischen Potentialen lautet

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So kann man durch Austauschen der Matrizen die L-Funktion umschreiben auf

Der rechte Teil ist identisch mit der kovarianten Diracgleichung.

Der WW-Teil für sich ist dann, es ist jμ der Strom des Diracfeldes

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Auch eine kompacktere Schreibweise ist üblich. Es ist mit μ=1,2,3,0

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Eine Erläuterung an der freien Diracgleichung, Potential gleich 0

Begründung: Man fasst ψ und ψ+γ0 als zwei unabhängige Felder auf,

im obigen Sinn wie y1 und y2. ψ+ seinerseits ist ein Zeilenvektor mit 4 Komponenten, den […]-Ausdruck kann man als Spaltenvektor mit 4 Komponenten sehen, beides zusammen als Skalarprodukt. Nun müßte man pro Komponente(ψ+γ0)1, (ψ+γ0)2, usw die Variation ansetzen, eine Eulergleichung hinschreiben. Weil die nun analog sind, bedient man sich einer zusammenfassenden Schreibweise und behandet ψ+γ0 und ψ so, als wären sie je nur eine Funktion analog zu y1 und y2, also hat man L(ψ+γ0; ∂μψ+).

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Man hat zunächst bezüglich ψ+γ0 nur

und erhält so unmittelbar die Diracgleichung als erste Eulergleichung.

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Beispiel: Maxwell-Gleichungen

Sie lauten Σμ∂μFμν       mit FμνμAν − ∂ννAμ μ,ν =1,2,3,0

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Es entspricht Aν einem obigen ϕν und ∂μAν entspricht einem obigen ∂μϕνν Pro Aν gibt es eine Eulergleichung. Der Ansatz für die L-Funktion soll sein:

L(∂μAν) ~ Σμν (Fμν * Fμν) Summation über μ,ν

In Fμν haben die Ei gegenüber Fμν umgekehrtes Vorzeichen., so dass ist

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Da über μ,ν summiert wird, haben wir (∂νAμ)² durch (∂μAν)² ersetzt.

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So haben wir bezüglich der obigen Eulergleichung(en) die Terme

Es mag von Vorteil sein ∂μAν*∂νAμ indexmäßig auszubreiten: je μν∗νμ

12*21+13*31+10*01 + 21*12+23*32+20*02 +

31*13+32*23+30*03 + 01*10+02*20*03*30

Terme, die als Beispiel zu A1 gehören, sind rot markiert

Die Terme einer Eulergleichung sind also, ν ist festgehalten z.B. ν=1, über μ wird summiert

Das sind 4 Gleichungen, je Zeilenvektor (∂μ) mal Spaltenvektor Fμν, ν fix

Und in der Tat sind es die Maxwellgleichungen

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Beispiel: Dirac-Gleichung und Maxwell-Gleichungen zusammen

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Das Besondere an diesem Gleichungspaar, worauf heutzutage der Blick besonders gerichtet ist, ist die Eichtransformation. Sie sagt aus, dass es bei gleichen pysikalische Eigenschaften nicht nur eine Lösung betreffend ψ oder Aμ gibt, sondern viele, die sich nur durch ein Transformation unterscheiden. Eichen heißt, sich auf eine Lösung zu einigen. Eichtransformation ist dann der Übergang zu einer anderen Eichung. Sie unterscheidet sich von anderen Transformationen, z.B. von Drehungen, Lorentztransformation, Drehung im Isoraum, usw, dass sie die physikalischen Eigenschaften nicht ändert.

Im Diracfall, bei ψ, ist die Eichtransformation ψ => exp(ieθ(x))*ψ

θ (x) ist eine beliebige skalare Funktion von x wie zuvor

Eingesetzt in die Dirac-Lagrangefunktion ergeben sich folgende Abänderungen

Multipliziert man von links mit ψ+γ0 => exp(−ieθ)*ψ+γ0 auf, so bleibt in der L-Funktion ein Term mit θ–Anteil übrig, nämlich ψ+γ0 * γμ(−e∂μθ)*ψ, wir haben also keine Eichinvarianz.

Nehmen wir die erweiterte L-Funktion mit dem Teil γμ([i∂μ +eAμ)ψ, so kommt dabei noch γμ(eAμ+e∂μθ) hinzu, insgesamt ist dann

ψ+γ0* γμ(−e∂μθ + eAμ+e∂μθ))*ψ, d.h. die kritischen Teile +-e∂μθ heben sich auf. Die gemeinsameL-Funktion bleibt dann also gleich, ist also genauso wie vorher, wenn an Aμ, und an ψ eine Eichtranformation mit demselben θ(x) vorgenommen wird.

Die Forderung lokaler Eichinvarianz bei der Diracgleichung erzwingt also das Verhandensein wie auch die Anbindung eines Bosonenfeldes mittels minimalen Substitution, hier des Photonenfeldes. Dieses gilt als einfachstes Beispiel für die Verbindung eines Fermions mit einem Eichfeld, es gibt kompliziertere, wenn auch mit viel Analogie, z.B. die Verbindung des Dirac-Quarkfeldes mit einem Boson-Gluonfeld.

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1.4 Maxima oder Minima mit Nebenbedingungen

Dazu eine anschauliches Beispiel: Man stelle sich einen Berg oder Hügel vor, an dem ein Wanderweg entlang führt, mal steigend, mal fallend. So gibt es entlang des Weges lokale Höhenmaxima und auch Minima.

Die Frage ist, was zeichnet solche Extremstellen aus, mathematisch gesehen.

Dieses g ist die Nebenbedingung zur Ermittlung der lokalen Extrema von f.

Das ist das Skalarprodukt des Normalenvektors der Wegprojektion mal dem Wegfortschritt (dx1,dx2), dem Tangentenvektor der Wegprojektion. (dx1,dx2) ist auf Grund der Gleichung gebunden, nicht mehr frei, eben der Wegfortschritt.

Dagegen, wie gesagt, ist der Normalenvektor gleich (∂g/∂x1, ∂g/∂x2)

Analog ist es im n-Dimensionalen. Der Normalenvektor ist (∂g/∂xi), das Tangentialgebilde ist (dxi). Sie sind zueinander senkrecht.

Beispiel Ebene: ax1+bx2+cx3+d=0 Der Normalenvektor ist dann (a,b,c),

die Tangentialebene ist durch (dx1,dx2,dx3) gegeben. Sie ist die Lösung der Gleichung a*dx1 +b*dx2+c*dx3=0. Das zur geometrischen Veranschaulichung des Folgenden.

Nun betrachten wir den Zuwachs df von f je an gleicher Stelle in Wegrichtung.

Der Vektor (∂f/∂x1, ∂f/∂x2) liegt ebenfalls in der x1-x2-Basisebene.

Da nun der Zweitvektor (dx1,dx2), der Vektor in Wegrichtung, in beiden Fällen, betreffend g und f, derselbe ist, folgt daraus, dass die dazu orthogonalen Erstvektoren einander proportional sein müssen, beim Extremum, also nach Umstellung und mit -λ als Proportionalitätsfaktor

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Allgemein: Sei f(x1,x2,…,xn) eine Funktion mit n Variable

n Gleichungen derArt

Mit ihnen werden die xν und λi bestimmt.

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Konkret an einem durchsichtigem Beispiel erläutert:

je ein Kreis mit Radius [(H – h)/α]1/2.

Die Wegprojektion auf die x1-x2-Basisebene sei eine Gerade,

also sind sie senkrecht zueinander, also ebenfalls ein Normalenvektor.

Bei einem lokalen Extremum müssen sich offenbar die Projektion einer Höhenlinie (Kreis) mit der Wegprojektion (Gerade) berühren und ihre Normalenvektoren bis auf einen Faktor -λ übereinstimmen, andernfalls hätten wir eine Überschreitung und der Höhenwert wäre dann größer oder kleiner.

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die Höhenliniennormale

Nun die Direkt-Einsetz-Methode:

Das ist die Höhe f als Funktion, nur mehr abhängig von der Variablen x2.

Die Bedingung für das Extremum df/dx=0 führt zu

Ergebnisse wie oben

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Nun der allgemeine Beweis für n Variable und L Nebenbedingungen Wir haben f(x1,x2,…,xn) eine Funktion mit n Variablen, dazu L Nebenbedingungen mit L<n.

Wir denken wir uns die NBn aufgelöst, also

Wir haben also für die ersten xi, i von 1 bis L, eine Auflösung hi, derart, dass jedes hi nur Variable xL+1 bis xn benutzt.

mit 1≤i≤L. Das sind L Vektoren.

Weil L<n ist, reichen die Basisvektoren gradgi rechts nicht aus, wohl aber, wenn man in gradf und je in gradgi nur die ersten L Komponenten berücksichtigt.

Die restlichen behandeln wir hier, als wären sie nicht da.

Also jeweils

Ausgebreitet im Zweidimensionalen L=2, also bei 2 NBn

Wir wollen nun zeigen, dass die vorläufig ermittelten λi auch für die Komponenten mit Index größer L gelten:

mit L+1≤m≤n, m und i je fix,

Schreiben wir auch f in der Form f(h1,…,hL, xL+1,…,xn), so erhalten wir analog durch Differenzieren nach xm mit L+1≤m≤n,

Bem.: Würde man die aufgelösten NBn tatsächlich in f einsetzen, zur Extremumsbestimmung, so wären dies die Gleichungen zur Ermittlung der verbleibenden Variablen xL+1 bis xn.Siehe Beispiel für die Direkt-Einsetz-Methode oben. So rechtfertigt sich je die rechtsstehende 0.

Wir betrachten davon den ersten Term.

Wir haben also für L+1≤m≤n, m fix

Dieselben λi wie oben sind also auch für m mit L+1≤m≤n verwendbar.

am Ort des Extremums bei Beachtung der Nebenbedingungen.

In unserem Beispiel berühren sich da Höhenlinie und Weg.

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1.5 Variationsrechnung mit Nebenbedingungen, Zwangskräfte in der Mechanik

Ein einfaches Beispiel: Ein Körper gleitet reibungsfrei eine gerade Bahn hinunter. Die Gerade übt eine Kraft, eine Zwangskraft, auf den Körper aus, die ihn auf ihr hält, andernfalls würde er nach unten fallen.

Nun allgemein:

Es sei eine Lagrangefunktion gegeben L(x1,x1., x2 x2., x3,x3., t)

(x1,x2,x3) sind die räumlichen Koordinaten des Massenpuktes m,

(x1.,x2.,x3.) respektive die Geschwindigkeiten, t die Zeit.

Zur Vereinfachung seien im Folgenden nur 2 Koordinaten betrachtet.

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Die linken Seiten der Eulergleichungen sind dann, (multipliziert mit -1), [∂0(∂L/∂x1.) - ∂L/∂x1, ∂0(∂L/∂x2.) - ∂L/∂x2]

Für eine fixen Zeitpunkt t, somit für eine fixe Position (x1,x2) der Masse m, ist dieses ein Vektor, nennen wir ihn VL, der analog zum Gradienten von f zuvor zu verstehen ist. VL*(dx1,dx2) ist dann die Änderung von L bei differentieller Fortschreiten analog zu gradf*dx von zuvor.

Bei mehreren Nebenbedingungen ist es dann eine Linearkombination der Normalenvektoren wie zuvor.

Liegt ein anderer Zeitpunkt t vor, so mögen die Vektoren andere sein, d.h.

λ kann zeitabhängig sein.

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Die die erweiterten Eulergleichungen sind also

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Nun zum Beispiel schiefe Ebene:

Entspricht: Bewegungsenergie − Lageenergie + λ*Nebenbedingung

Daraus resultieren die Euler-Gleichungen

Aus ihnen folgt

Nun die Bilanz der Kräftevektoren:

Sonderfälle:

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Beispiel: Eine Masse m bewege sich auf einer Kreisbahn mit Radius R.

Die erweiterte Lagrangefunktion lautet dann, in Polarkoordinaten

r               ist der Abstand des Massenpunktes vom Zentrum,

Das gibt Anlass zu zwei Eulergleichungen, nämlich für r und für φ.

Es ist dann

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Beispiel: Eine Masse gleitet reibungsfrei eine Parabel hinunter.

Die erweiterte Lagrangefunktion ist

Es ist

Die erweiterten Eulergleichungen sind

Daraus resultieren die Gleichungen

Einsetzen in die 2.Gleichung ergibt

Subtraktion

Nun wollen wir x1.² über die Koordinaten ausdrücken.

Der normierte Steigungsvektor,Tangentenvektor bei y =f(x)

ist t =[1, y´) / (1+y´²)1/2].

Somit ist das äquivalent zu den Gleichungen

Das kann man interpretieren als zwei unabhängige Schwingungen, je mit eigener rücktreibender Kraft.

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Aus der 2.Schwingungsgleichung folgt dann

Dieser liegt nicht in der Mitte, sondern im unteren Bereich.

Sei H sehr groß, so kann vereinfacht werden, nämlich

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Kehren wir zurück zur Brachistochrone.

Wir haben dann als Gleichungen

Der Tiefpunkt entspricht dem Tangentenwinkel α=90°, dem Rollwinkel 180°

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Vergleich mit GL1 und Verwendung des jüngsten λ ergibt

Dasselbe Ergebnis. λ wurde bestätigt.

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Das ist die Formel für einen harmonischen Oszillator. Das ist nicht überraschend, denn die Bewegung in der Brachistochrone entspricht dem Rollen eines Rades mit gleichmäßiger Geschwindigkeit.

Bem.: Der Mittelpunkt der Schwingung der Komponente x ist x=R bzw ξ=0.

Dort ist dx/dt maximal und d²x/dt² wendet das Vorzeichen, entspricht 2α=90°.

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