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- Herausgeber: Verlag Herder
- Kategorie: Geisteswissenschaft
- Serie: HERDER spektrum
- Sprache: Deutsch
- Veröffentlichungsjahr: 2014
Albrecht Beutelspacher und Marcus Wagner versammeln die schönsten klassischen Aufgaben und Rätsel aus dem großen Reich der Knobeleien. Mit der Gewissheit: Diese Aufgaben muss man einfach kennen. Denn sie führen uns zu süßen Verführungen, zum Paradies mit Schinkenspeck- und Käsestückchen, zu Jägern und zu Bären und natürlich zu der Frage, warum Kühe gern im Halbkreis grasen. Ein Riesenspaß.
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Seitenzahl: 118
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Ähnliche
Albrecht Beutelspacher und Marcus Wagner
Warum Kühe gern im Halbkreis grasen
Das Buch
Albrecht Beutelspacher und Marcus Wagner auf der Fahrt ins mathematische Rätselreich! Sie versammeln die schönsten Aufgaben und Knobeleien, die die Mathematik zu bieten hat. Mit der Gewissheit: Diese Aufgaben muss man einfach kennen. Denn sie bieten uns rote und blaue Bonbons, machen uns mit keltischen Kriegern und dem gerechten Großvater bekannt, sie zeigen uns, wie man die Pizza schneidet und Milliardär wird, sie konfrontieren uns mit gefährlichen Zündschnurexperimenten und natürlich mit der Frage, warum Kühe gern im Halbkreis grasen. Ein Riesenspaß für Gedankentüftler und Zahlenjongleure.
Die Autoren
Prof.Dr.Albrecht Beutelspacher, geb. 1950 in Tübingen, seit 1988Professor am Mathematischen Institut der Universität Gießen und seit 2002Direktor des Mathematikums in Gießen. Träger zahlreicher Preise, darunter des Communicator-Preises des Stifterverbands für die Deutsche Wissenschaft (2000) und des Hessischen Kulturpreises (2008).
Marcus Wagner, geb. 1979 in Bad Nauheim, Studium der Mathematik, war Volontär im Mathematikum Gießen sowie wissenschaftlicher und pädagogischer Leiter im Dynamikum Science Center in Pirmasens. Seit 2009Lehrer für Mathematik und Physik in Berlin.
Impressum
Titel der Originalausgabe: Warum Kühe gern im Halbkreis grasen
… und andere mathematische Knobeleien
© Verlag Herder GmbH, Freiburg im Breisgau 2012
© Verlag Herder GmbH, Freiburg im Breisgau 2014
Alle Rechte vorbehalten
www.herder.de
Umschlagkonzeption: Agentur RME Roland Eschlbeck
Umschlaggestaltung: Verlag Herder
Umschlagmotiv: © Frank Wowra
E-Book-Konvertierung: epublius GmbH, Berlin
ISBN (E-Book): 978-3-451-80439-7
ISBN (Buch): 978-3-451-06295-7
Inhalt
Vorwort
1. Zahlen und Zählen
Miteinander anstoßen
Der zerstreute Professor
Ringen in China
Die Balkenwaage
Die Seiten des Buches
Kerzenhalter und Kerze
Telegrafenstangen
Summe von aufeinanderfolgenden Zahlen
Äpfel und Birnen
Dreistellige Zahlen
Addition zweier Unbekannter
Auf der Weide
Wachsreste
Sieben im Kreis
2. Brüche und Prozente
Die Badewanne
Wer verdient mehr?
Der Nachtwächter
Sparpotenzial
Wassermelonen
Rote und blaue Bonbons
Rot- und Weißwein mischen
3. Gerecht teilen
Der verschwundene Euro
Der ungerechte Vater
Pizza schneiden
Donuts schneiden
Der gerechte Großvater
Fünf-Klassen-Gesellschaft
Mohnkuchen
4. Logik
Ein merkwürdiges Buch
Ich denke mir eine Zahl
Gerade und ungerade
Würfelwette
Werden Sie Milliardär!
Rote und blaue Mützen
Lügenbande
Goldmünzen
Keltische Krieger
Schlittenfahren
Die Maus auf dem Schachbrett
5. Zeit und Geschwindigkeit
Sanduhren
Durchschnittsgeschwindigkeit
Atlantiküberquerung
Zündschnüre
In der S-Bahn
Kalenderschnellrechnen
Im Uhrzeigersinn
Über die Brücke
6. Quadrate und Würfel
Neun Punkte
Durch drei Punkte
Würfelkunstwerk
Primzahlen am Würfel
Der rote Würfel
Ein Käsewürfel
7. Geometrisches
Gardner-Dreieck
Fußballfeld
Seil um den Äquator
Der optimale Spiegel
Warum Kühe gern im Halbkreis grasen
Der runde Tisch
Faires Stromsparen
Mehr Inhalt bei gleicher Verpackung
Rechtecke schneiden
Die Leinwand des Malers
Der Jäger
8. Teilbarkeit
Verrechnet!
Im Auto
Die Kehrseite dreier Würfel
Pralinenschachteln
Das Spiel mit dem Ball
Restlos teilbar
Die Sache mit dem U
Spiegelzahlen
Eins gleich zwei
9. Spiele
Dominorahmen
Unschlagbare Springer
Wer erreicht zuerst 100?
Der Teufel am Roulettetisch
Spielkarten umdrehen
10. Zaubern
Alles will zur Vier
Europäisches Obst
Vertauschte Ziffern
Teile und gewinne
Zahlen raten
Die zwei Euro-Wette
Alterstrick
Literaturangaben
Vorwort
Pizza und Pralinen, Kühe im Halbkreis und keltische Krieger, zerstreute Professoren und rätselhafte Zündschnüre– Denksportaufgaben sind immer konkret. Man redet nicht von Algorithmen, sondern vom Zerbrechen von Schokoladentafeln; wir diskutieren nicht Gleichungen, sondern reden über Kühe, Pferde und Schafe; nicht über Stetigkeit, sondern über Mohnkuchen.
Darin liegt die Faszination der Aufgaben, dadurch werden sie plastisch und sind sie unmittelbar ansprechend. Man kann sie sich ohne weiteres merken, man kann sie „im Kopf“ mitnehmen, sie lassen einen nicht mehr los. Man knobelt überall: in der U-Bahn, in einer langweiligen Unterrichtsstunde und sogar in der Badewanne Man könnte sogar sagen: Es knobelt in einem. Die Aufgaben entwickeln ein Eigenleben, unser Gehirn arbeitet auch unterbewusst daran – und dann passiert plötzlich ein Wunder: Es macht „Klick“, und man sieht die Lösung. Manche Aufgaben können auch durch stures Rechnen oder systematisches Probieren gelöst werden, aber den „Klick“ behalten wir im Gedächtnis!
Wir erhalten die Lösungen allerdings nicht, indem wir über Kelten forschen, mit Zündschnüren experimentieren oder Massen von Schokoladetafeln zerbrechen. Auch die Aufgabenstellungen nützen uns – vorsichtig ausgedrückt – nicht direkt zur Bewältigung des Alltags. Kein Mensch schneidet eine Pizza so, dass sich möglichst viele Stücke ergeben – unabhängig von Größe und Gestalt. Niemand zählt 500Mohnkügelchen auf einem Kuchen ab; und noch nie hat jemand ein halbkreisförmiges Stück Land geerbt, auf dem eine Kuh grasen muss.
Unser Gehirn weiß (und irgendwann merken wir das auch): Es geht im Grunde gar nicht um Schokolade und Bonbons, um chinesische Ringer und keltische Krieger, um ungerechte Väter und gerechte Großväter. Für unser Gehirn ist die Einkleidung ein verführerischer Anlass, sich mit der Struktur, den dahinter steckenden Ideen, kurz: der Mathematik zu beschäftigen.
Diese Richtung ist die richtige: Von einer konkreten Aufgabenstellung zur dahinter stehenden Idee, von der Pizza zur Flächenaufteilung, von Konkreten zum Abstrakten.
Aufgaben zählen zu etwas vom Wichtigsten in der Mathematik. Denn dabei wird die Fähigkeit geschult, Probleme zu lösen. Dies ist nach Meinung zahlreicher Mathematiker mit die wichtigste Kompetenz in der Mathematik, und ganz sicher eine außerordentlich wichtige Fähigkeit für unser tägliches Leben!
Wir haben in diesem Buch unsere Favoriten zusammengestellt. Bei der Auswahl ließen wir uns von folgenden drei Kriterien leiten.
Manche Fragen wurden uns häufig gestellt, zum Beispiel von Besuchern des Mathematikums. Diese Aufgaben gehören nach Meinung der Aufgabensteller offenbar zur mathematischen Allgemeinbildung.
Hinter manchen Aufgaben stecken wichtige mathematische Kniffe und Methoden. Wenn man diese Tricks in einer Knobelaufgabe kennen gelernt hat, hat man – ohne es zu merken – schon etwas Wichtiges von der Mathematik verstanden.
Schließlich sollten möglichst viele Teilgebiete der Mathematik angesprochen werden; tatsächlich kommen unter anderem die Gebiete Geometrie, Algebra, Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung vor.
Dies ist unsere Auswahl, die natürlich auch von unserem Geschmack bestimmt ist. Wenn Sie eine Aufgabe kennen, von der Sie denken: die müsste hier auch vorkommen, dann schreiben Sie uns!
Gießen und Berlin, im März 2010
Albrecht Beutelspacher
Marcus Wagner
1.
Zahlen und Zählen
Der zerstreute Professor
Der Professor und seine Frau haben zwei befreundete Ehepaare zum Abendessen eingeladen. Zunächst trinken sie zusammen einen Begrüßungscocktail. Sie stoßen miteinander an, nicht jeder mit jedem, sondern nur mit ein paar anderen oder auch mit keinem. Aber jedenfalls stößt keiner mit seinem Ehepartner an.
Der Professor ist ein bisschen zerstreut und hat nicht aufgepasst, wer mit wem angestoßen hat. Als er danach fragt, sagt seine Frau hinterhältig: „Ich verrate dir nur, dass wir anderen fünf jeweils mit einer unterschiedlichen Zahl von Menschen angestoßen haben.“
Darauf denkt der Professor kurz nach und sagt: „Dann weiß ich erstens, mit wie vielen ich angestoßen habe, und zweitens auch, mit wem du angestoßen hast, nämlich mit denselben Leuten wie ich.“
Tipp: Wenn die fünf anderen mit jeweils einer unterschiedlichen Zahl von Menschen angestoßen haben, welche Zahlen sind das dann?
Lösung: Die Lösung ist trickreich: Da keiner mit seinem Ehepartner anstößt, stößt jeder mit höchstens vier anderen Menschen an. Wenn die fünf anderen alle unterschiedliche Zahlen haben, dann müssen das die Zahlen 4, 3, 2, 1 und 0 sein.
Gehen wir der Reihe nach vor: Angenommen, die Frau des Professors hätte mit vier anderen angestoßen, dann müssten diese die eingeladenen Ehepaare sein. Dann hätte aber keiner von diesen mit 0 anderen Personen angestoßen, was der Aussage der Frau widerspricht.
Also muss ein Mitglied eines befreundeten Ehepaars – sagen wir die Frau des ersten Ehepaars – mit vier anderen angestoßen haben. Das sind das zweite Ehepaar sowie der Professor und seine Frau. Es gibt nach dieser Überlegung nur noch eine Person, die bisher mit niemanden angestoßen hat: der Mann des ersten Paares. Somit muss er derjenige sein, der insgesamt mit keinem anderen angestoßen hat.
Bleiben noch die Zahlen 1, 2 und 3.Wenn die Frau des Professors mit drei anderen angestoßen hätte, dann müssten das die erste Frau und das zweite Paar sein. Da alle diese Personen aber bereits mit einer anderen Person angestoßen haben, hätte niemand von ihnen mit genau einem anderen angestoßen.
Also muss ein Mitglied des zweiten Ehepaars, zum Beispiel die Frau, mit dreien angestoßen haben. Das sind die erste Frau sowie der Professor und seine Frau.
Es folgt, dass die Frau des Professors, ebenso wie der Professor selbst, mit genau zweien angestoßen hat, und zwar mit denjenigen Partnern aus den befreundeten Ehepaaren, die mit vier beziehungsweise mit drei anderen angestoßen haben.
Ringen in China
In China wird der Meister im Ringkampf durch das K.-o.-System bestimmt: immer zwei gegeneinander, und der, der verliert, scheidet aus. Das bedeutet nicht, dass die Kämpfe in „Runden“ organisiert werden. Es könnte zum Beispiel auch so sein, dass einer so lange gegen immer neue Gegner kämpft, bis er zum ersten Mal verliert. Die Organisation aller Kämpfe steht aber gar nicht im Zentrum dieser Aufgabe.
In China ist es so, dass allein im Leichtgewicht 100000Chinesen antreten, unter denen der Sieger ermittelt werden soll. Wie viele Kämpfe wird es geben, bis der Meister ermittelt ist?
Tipp: Wie viele Ringer sind nach dem ersten Kampf noch im Rennen?
Lösung: Um den Besten unter den 100000 zu finden, müssen die anderen 99999 eliminiert werden. Nach dem ersten Kampf sind noch 99999Ringer im Rennen. Jeder weitere Kampf reduziert die Zahl der Ringer um einen weiteren. Da in jedem Kampf genau einer ausscheidet, braucht man genau 99999Kämpfe.
Zusatzaufgabe: Sie haben eine Schokoladentafel, die aus genau 24Teilchen besteht. Sie zerbrechen zunächst die ganze Tafel in zwei Stücke. Dann nehmen Sie ein Stück und zerbrechen es in zwei Teile und so weiter. Immer ein Teil in zwei Teile. Wie Sie das machen, ist Ihnen völlig freigestellt!
Frage: Wie oft müssen Sie ein Stück zerbrechen, um am Ende die 24Teile einzeln zu haben?
Die Balkenwaage
Stellen Sie sich eine Balkenwaage vor, also eine Waage mit zwei Schalen. Auf die eine legt man die Sache, die man wiegen möchte, auf die andere die Gewichte. Wenn die Waage im Gleichgewicht ist, dann liegt rechts und links das gleiche Gewicht. Wenn sich die Waage nach links senkt, dann liegt links das größere und rechts das geringere Gewicht.
Sie sollen damit Münzen wiegen. Es stehen keine Gewichtssteine zur Verfügung, aber Münzen, deren Gewicht Sie vergleichen sollen. Insgesamt handelt es sich um 27Münzen, die vollkommen gleich aussehen; alle wiegen genau gleich viel, bis auf eine, die leichter ist als die anderen 26.
Ihre Aufgabe besteht darin, herauszufinden, welche die leichte Münze ist. Und das mit möglichst wenigen Wägungen.
Tipp: Wie würden Sie das machen, wenn es nur drei Münzen gäbe, von denen eine leichter als die beiden anderen ist? Das bekommen Sie mit einer einzigen Wägung hin!
Lösung: Haben sie die Aufgabe mit drei Münzen gelöst? Klar: Sie haben zwei herausgegriffen und eine von ihnen auf die eine Waagschale, die andere auf die andere Waagschale gelegt. Wenn die Waage im Gleichgewicht bleibt, dann sind diese beiden Münzen gleich schwer, und die dritte Münze muss die leichte sein. Wenn sich aber eine Waagschale senkt und sich die andere hebt, dann liegt die leichte Münze in der Waagschale, die nach oben steigt.
Als Nächstes nehmen wir neun Münzen, die alle gleich aussehen und von denen acht gewichtsmäßig identisch sind, aber eine leichter ist.
Die Idee ist, dieses Problem auf das vorige zurückzuführen: Wir nehmen sechs Münzen und legen drei davon in die eine Waagschale, drei in die andere. Wenn eine Waagschale nach oben geht, muss die leichte Münze bei diesen sein. Wenn die Waage im Gleichgewicht ist, dann muss die leichte Münze bei den drei noch ungewogenen sein. In jedem Fall haben wir das Problem auf drei Münzen reduziert und machen nun weiter wie beim ersten Mal.
Bei 27Münzen greifen wir 18 heraus, legen neun auf die eine, die anderen neun auf die andere Waagschale und… Sie wissen, wie es weitergeht!
Die Seiten des Buches
Im Dezimalsystem benutzen wir die Ziffern 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.Mit ihnen kann man alle Zahlen schreiben.
Um die Seiten eines dicken Buches zu nummerieren, benötigt man insgesamt 2010
