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- Herausgeber: Verlag Herder
- Kategorie: Geisteswissenschaft
- Serie: HERDER spektrum
- Sprache: Deutsch
- Veröffentlichungsjahr: 2014
Mathematik zum Anfassen und Selbermachen: Zwei ausgefuchste Experimentatoren schnippeln, knicken und falten, was das Zeug hält, basteln Möbiusbänder und Doppelringe, bauen einen Spiegelkasten und steigen ganz ungeniert durch eine Postkarte. Ob im DIN-Format zu Mond oder beim unfairen Würfelspiel wie von selbst lernen wir die Mathematik besser verstehen. Mit Lineal, Schere und Klebstoff in der Hand ein Buch für kleine und große Mathematiker.
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Seitenzahl: 127
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Ähnliche
Albrecht Beutelspacher und Marcus Wagner
Wie man durch eine Postkarte steigt
… und andere spannende mathematische Experimente
Das Buch
Mathematik zum Anfassen und Selbermachen: Zwei ausgefuchste Experimentatoren schnippeln, knicken und falten, was das Zeug hält. Sie basteln Möbiusbänder und Doppelringe, bauen einen Spiegelkasten und steigen ganz ungeniert durch eine Postkarte. Ob im DIN-Format zum Mond oder beim unfairen Würfelspiel: Mit Lineal, Schere und Klebstoff in der Hand lernen wir wie von selbst die Mathematik besser verstehen. Ein unterhaltsames und spannendes Buch für kleine und große Mathematiker. Der Bestseller nun endlich als Taschenbuchausgabe.
„Beutelspacher und Wagner schreiben herrlich einfach, alltagsnah und schnörkellos.“ Bild der Wissenschaft
Die Autoren
Prof.Dr.Albrecht Beutelspacher, geb.1950 in Tübingen, seit 1988Professor am Mathematischen Institut der Universität Gießen und seit 2002Direktor des Mathematikums in Gießen. Träger zahlreicher Preise, darunter des Communicator-Preises des Stifterverbands für die Deutsche Wissenschaft (2000) und des Deutschen IQ-Preises (2004).
Marcus Wagner, geb.1979 in Bad Nauheim, Studium der Mathematik, war von 2005 bis 2007Volontär im Mathematikum. Ab 2007 wissenschaftlicher und pädagogischer Leiter im Dynamikum Science Center in Pirmasens. Seit 2009Lehrer für Mathematik und Physik in Berlin.
Impressum
Titel der Originalausgabe: Wie man durch eine Postkarte steigt
... und andere spannende mathematische Experimente
© Verlag Herder GmbH, Freiburg im Breisgau 2010, 2013
© Verlag Herder GmbH, Freiburg im Breisgau 2014
Alle Rechte vorbehalten
www.herder.de
Umschlagkonzeption und -gestaltung: R·M·E Eschlbeck / Hanel / Gober
Umschlagmotiv © Anna Zimmermann
Foto Albrecht Beutelspacher: © Mathematikum Gießen / Foto: Rolf K.Wegst
Foto Marcus Wagner: © privat
E-Book-Konvertierung: epublius GmbH, Berlin
ISBN (E-Book): 978-3-451-80444-1
ISBN (Buch): 978-3-451-06146-2
Inhalt
Vorwort
Bevor Sie anfangen
1. Figuren
Vom Rechteck zum Dreieck
Vom Rechteck zum Quadrat
Parallelogramm aus einer Zeitung
Fünfeckknoten
Vom Dreieck zum Sechseck
Vom Quadrat zum Achteck
2. Kurven
Parabeln falten
Ellipsen falten
Gärtnerkonstruktion der Ellipse
Sinusschablone
Gleichdicks
3. Es passt!
Das T
Formenpuzzle
Pentomino-Kalender
Griechisch-lateinisches Quadrat
Qua-Kreuz
Qua-Dreieck
Wie man durch eine Postkarte steigt
4. Zwischen zweiter und dritter Dimension
Alles gerade, trotzdem rund
Das Möbiusband
Die Quadratur von zwei Kreisen
Zwei Herzen
Schraubenlinie
5. Würfel und Pyramiden
Tetraeder
Kantenmodell eines Würfels
Pop-up-Dodekaeder
Falt-Oktaeder
Ikosaeder
Fußball
Pentagrammleuchte
Tetraeder im Würfel
Keplerstern
6. Reflexionen
Spiegelprisma
Spiegelbuch
Eckspiegel
Spiegelsätze
7. Kleine und große Zahlen
Pi am Kölschglas
Im DIN-Format zum Mond
Seildreiecke
Ein unfaires Würfelspiel
Binärtrick
8. Geheimnisvolles
Sandorf-Verschlüsselung
Cäsar-Scheibe
Skytala
Vorwort
Mathematische Experimente – gibt es das überhaupt?
Ohne uns auf philosophische Fragestellungen einzulassen, sagen wir einfach: Ja, es gibt sie! Und in diesem Buch haben wir unsere mathematischen Lieblingsexperimente zusammengestellt. Sie müssen die Experimente nicht in der Reihenfolge wie im Buch durchmachen. Beginnen Sie mit einem Experiment, das Sie besonders anspricht.
Dass dies Experimente sind, daran werden Sie nicht zweifeln, denn Sie müssen etwas tun. Keine Angst! Sie brauchen weder spezielles Material (meist reicht Papier), noch ausgefallene Werkzeuge (manchmal ist eine Schere notwendig), noch speziell trainierte motorische Fähigkeiten (oft reicht es, Papier zu falten). Unser Motto lautet: Je einfacher, desto besser. In der Tat sind diese Experimente auch in besonderer Weise für Kinder, zum großen Teil sogar für Vorschulkinder geeignet, die so einen ersten Zugang zur Mathematik erhalten.
Denn es handelt sich um mathematische Experimente. Wie bei jedem guten Experiment werden Sie staunen, sich wundern und manchmal auch verblüfft sein. Aber die mathematischen Experimente gehen darüber hinaus. Sie geben zu Fragen Anlass (Warum ist das so?), sie regen Vorstellungen an (Wie wird aus etwas Zweidimensionalem etwas Dreidimensionales) und sie bergen in sich Hinweise zur gedanklichen Klärung. Denn oft macht es an einer speziellen Stelle des Überlegens „klick“ (der berühmte „Aha-Effekt“), und damit sehen Sie wie durch einen Blitz die „Lösung“ beziehungsweise kommen zum Verständnis.
Wenn man den Unterschied zwischen einem physikalischen und einem mathematischen Experiment scharf fasst, kann man sagen: Mit einem physikalischen Experiment wird ein Naturgesetz nachgewiesen, mathematische Experimente regen Gedanken an. In jedem Fall ist es so, dass mathematische Experimente immer das gleiche Ergebnis liefern!
In diesem Buch finden Sie ein reiches Angebot an Themen: Sie können nicht nur durch eine Postkarte steigen, sondern auch einen Fußball und weitere geometrische Körper herstellen. Sie erleben Verschlüsselungsmethoden und können Pi am Kölschglas entdecken.
Hinter all diesen Experimenten steckt auch benennbare Mathematik. An einigen Stellen haben wir das herausgearbeitet. In jedem Fall sind die Erkenntnisse, die Sie aus den Experimenten erhalten, anschlussfähig an die bekannte Mathematik. Insofern bilden diese Experimente einen reichen Schatz, von dem Kinder und Erwachsene viele Jahre zehren können.
Wir danken den Mitarbeiterinnen und Mitarbeitern des Mathematikums, die mit uns die Experimente getestet, erprobt und verbessert haben.
Wir hoffen, dass Sie viel Freude an diesen Experimenten haben. Sicher werden Sie Erfahrungen machen und feststellen, dass manches anders noch besser geht, und vielleicht vermissen Sie auch ein Experiment. Wir würden uns freuen, wenn Sie uns Ihre Erfahrungen mitteilen würden.
Schreiben Sie an
oder [email protected].
Gießen, im Dezember 2007
Albrecht Beutelspacher und Marcus Wagner
Bevor Sie anfangen
Die meisten Experimente in diesem Buch können Sie ohne Vorbereitung durchführen. Wenn Sie dieses Symbol sehen, brauchen Sie nur Materialien, die Sie vermutlich griffbereit haben: Papier, Stift, Lineal und Kleber. Schreibutensilien werden in den Experimentbeschreibungen nicht gesondert aufgeführt.
Wenn für ein Experiment sehr wenig Material und Werkzeug benötigt wird, beispielsweise ausschließlich ein Blatt Papier, so wird es mit dem Symbol gekennzeichnet. Um diese Experimente durchzuführen, brauchen Sie nur wenig Zeit. Das Symbol zeigt an, dass Sie für das Experiment zunächst ein paar Materialien besorgen müssen. Es handelt sich jedoch stets um wenige Dinge, die Sie in Bastelgeschäften oder Baumärkten finden.
Kopiervorlagen
Für manche Experimente sind Kopiervorlagen abgedruckt. Meist empfiehlt es sich, die Vorlagen zu vergrößern. Überlegen Sie vor dem Kopieren, um welchen Faktor Sie die Vorlage vergrößern wollen. Das können Sie leicht berechnen: Messen Sie die Länge der Kopiervorlage und legen Sie fest, wie groß die Kopie sein soll. Teilen Sie die gewünschte Größe der Kopie durch die Originalgröße und schieben Sie das Komma um zwei Stellen nach rechts. So erhalten Sie die Prozentangabe, die Sie am Kopierer einstellen müssen.
Ein Beispiel: Die Vorlage ist 18cm lang. Sie soll nach dem Kopieren ein DIN-A4-Blatt gut ausfüllen. Damit noch ein kleiner Rand übrig bleibt, soll die Länge der Vorlage nach dem Kopieren 27cm betragen. 27 geteilt durch 18 ist 1,5.Nach dem Verschieben des Kommas erhält man den Wert 150.Stellen Sie den Kopierer daher auf 150Prozent ein. Sie müssen dann nur noch die Vorlage an der richtigen Stelle auf dem Vorlagenglas des Kopierers anlegen.
Basteln
Bei allen Experimenten gilt: Je genauer Sie arbeiten, desto schöner wird das Ergebnis. Viele Experimente sind jedoch so gestaltet, dass sie auch bei nicht hundertprozentig exaktem Arbeiten zu einem guten Ergebnis führen.
Das Symbol zeigt Ihnen, welche Materialien Sie benötigen.
Bei Legespielen können Sie statt Papier auch Moosgummi verwenden. Dadurch wird das Spiel noch schöner und länger haltbar.
Bei der Herstellung von dreidimensionalen Körpern ist es hilfreich, alle Kanten genau vorzufalten. Klebestellen können Sie mit Büroklammern fixieren. Wenn Sie den Körper während der Herstellung mit Papierabfällen füllen, haben Sie beim Schließen der letzten Klebestelle einen Widerstand zum Festdrücken.
Lassen Sie den Kleber nach jedem Bastelschritt trocknen. Dafür ist etwas Geduld nötig, aber es erleichtert das Basteln ungemein. Das Trocknen geht schneller, wenn Sie nicht mehr Klebstoff als nötig verwenden. Für die meisten Experimente eignet sich Flüssigkleber oder ein Klebestift; manchmal ist eine Heißklebepistole von Vorteil.
Wie geht es weiter?
Wollen Sie die Experimente anderen zeigen oder für sich selbst nochmals durchführen? Dann reicht ein Blick auf die Zusammenfassung am Anfang eines Experiments, um sich die wichtigsten Schritte wieder ins Gedächtnis zu rufen.
An vielen Stellen werden zusätzlich Hinweise auf Variationsmöglichkeiten oder Fortsetzungen für ein Experiment gegeben. Beispielsweise lassen sich die Techniken, die bei den Experimenten „Würfel“ und „Ikosaeder“ vorgestellt werden, auf andere geometrische Körper übertragen.
Literatur
Wenn Sie ein Experiment und die darin steckende Mathematik besonders interessieren, können Sie in den Literaturangaben weitere Informationen finden. Teilweise handelt es sich um Bücher mit weiteren Bastelanleitungen, meist aber um Bücher und Zeitschriften, welche die im Experiment enthaltene Mathematik vertiefen. Es sind jedoch keine wissenschaftlichen Lehrbücher, sondern nur allgemein verständliche Texte angegeben.
1.
Figuren
Vom Rechteck zum Dreieck
Kann man aus einem gewöhnlichen rechteckigen Papier ein Dreieck falten? Klar, man muss nur eine Ecke umknicken. Doch so entstehen nur rechtwinklige Dreiecke. Wir wollen aber ein gleichseitiges Dreieck falten, also eines, bei dem alle Seiten gleich lang sind. Manche sagen, das sei das schönste Dreieck.
Mit nur einmaligem Falten kann man kein gleichseitiges Dreieck erhalten, aber mit ein bisschen mehr Aufwand schon. Und so geht es:
Zuerst braucht man eine Hilfslinie. Falten Sie das Blatt dazu längs in der Mitte, sodass die beiden langen Kanten aufeinanderliegen. Klappen Sie es wieder auf und legen Sie es hochkant vor sich hin.
Nun kommt der entscheidende Schritt: Falten Sie die rechte untere Ecke des Blattes so ein, dass zwei Eigenschaften gleichzeitig erfüllt sind: Erstens muss die rechte untere Ecke auf der Hilfslinie in der Mitte liegen, und zweitens muss die neue Knickfalte durch die linke untere Ecke verlaufen. Das so entstandene Dreieck ist zwar noch nicht gleichseitig; aber seine längste Seite ist bereits die erste Seite des Dreiecks, das wir falten wollen.
Betrachten Sie die kürzeste Seite des gerade gefalteten Dreiecks. Denken Sie sich diese Seite verlängert und falten Sie das Papier entlang dieser Linie. Wenn Sie präzise gearbeitet haben, kommt die erste Faltkante genau auf die rechte Papierkante. Jetzt muss nur noch der überstehende Teil links oben abgeknickt werden, und fertig ist das Dreieck.
Wie kann man überprüfen, ob das Dreieck gleichseitig ist? Dafür gibt es viele Möglichkeiten. Sie können die Kantenlängen messen oder das Dreieck an den Symmetrieachsen falten, um zu sehen, ob die Kanten und Winkel einander entsprechen. Sie können aber auch – wenn Sie das Experiment mit anderen gemeinsam machen – mehrere Dreiecke übereinander- oder (noch besser) aneinanderlegen.
Wie viele Dreiecke kann man an einer Ecke zusammenlegen? Daraus ergibt sich der Winkel: Einmal herum sind es 360°, durch 6 gibt 60°, also ist es auch ein gleichwinkliges Dreieck.
Wieso kann man so einfach aus einem Rechteck ein gleichseitiges Dreieck machen, obwohl beide auf den ersten Blick nicht viel miteinander zu tun haben? Der entscheidende Schritt geschieht bereits beim ersten Falten. Hier wird der 90°-Winkel der linken unteren Ecke des Blattes in drei gleiche Teile geteilt. Zwei Teile zusammen bilden 60°, also genau den Winkel, den man für das gleichseitige Dreieck braucht.
Man kann das sogar beweisen: Wenn man das Dreieck wieder auffaltet, kann man sehen, dass die ursprüngliche untere Kante des Blattes nach dem ersten Falten genau eine Höhenlinie des Dreiecks bildet. Das ist die kürzeste Verbindung von einer Ecke zur gegenüberliegenden Seite. Im Fall des gleichseitigen Dreiecks trifft jede Höhe genau auf die Mitte einer Seite. Daher muss man die rechte untere Ecke zuerst auf die Hilfslinie in der Mitte falten. Die Hilfslinie teilt jede Verbindung zwischen der rechten und der linken Kante des Blattes automatisch in zwei gleiche Teile. Der Rest ist dann eine Wiederholung dieses Schrittes.
