Отличная квантовая механика: Учебное пособие и Решения E-Book

Предисловие

Почему я написал эту книгу?

Впервые строгое определение квантовой механики (КМ) предложили Вернер Гейзенберг и Эрвин Шрёдингер почти век назад. С тех пор эта область науки претерпела громадные изменения. Направленная изначально на объяснение атомных спектров, сегодня квантовая механика является одной из основ почти всех разделов физики. Соответственно, КМ — неотъемлемая часть программы обучения любого студента-физика: какую бы специализацию ни избрали выпускники после окончания вуза, квантовая механика им почти наверняка потребуется в дальнейшей работе.

В то же время методы обучения студентов квантовой механике с годами почти не меняются. Мы начинаем с понятия волновой функции и пишем сначала стационарное, а затем временнóе уравнение Шрёдингера в координатном представлении. Мы определяем энергетические спектры и соответствующие им волновые функции в простых потенциальных ямах и рассматриваем эволюцию волновых пакетов, связанную с потенциальными барьерами. Наконец, мы вводим оператор момента импульса и вычисляем спектр атома водорода. Последние три четверти века именно так, с небольшими вариациями, выглядела программа первого семестра вузовского курса квантовой механики.

У этой традиции множество положительных сторон. Она работает с физической системой, с которой студент уже разобрался в курсе классической физики и которую ему нетрудно себе представить. Она позволяет увидеть различия между поведением классической и квантовой частицы и привлекает внимание к некоторым фундаментальным явлениям, характерным для квантового мира: туннелированию, квантованию и принципу неопределенности. Она снабжает студента инструментами для решения экспериментально значимых задач, с которыми невозможно справиться классическими методами: рассчитав в аудитории спектр водорода, студент отправляется в лабораторию и измеряет его!

Однако такой подход неидеален. Он дает студенту алгоритм для анализа конкретной физической системы, но не раскрывает внутреннего устройства квантовой физики и ее концептуальной логики. Мы знакомим студентов с многочисленными фактами и преподаем вычислительные подходы, связанные с волновыми функциями, операторами и измерениями, но не выстраиваем жесткой логической связи между ними и не объясняем, какие из этих фактов являются постулатами, а какие — их следствиями и в какой именно логической последовательности эти следствия выводятся.

В результате студент — по крайней мере думающий студент — основательно запутывается. Почему достаточно всего лишь поставить над буквами крышечки, чтобы превратить классическую формулу в квантовую? Почему действие оператора импульса на волновую функцию эквивалентно взятию производной? Почему мы никогда не встречаем собственных состояний импульса (и кошек Шрёдингера) в практической реальности? Почему атомы, которые мы наблюдаем, переходят между энергетическими собственными состояниями, а не какими-нибудь другими? Как проективное измерение связано с измерением наблюдаемого оператора? Почему одни состояния описываются волновыми функциями, а другие — столбцами чисел? Если все состояния имеют норму 1, то как мы нормируем волны де Бройля? Если наблюдаемые представляют собой матрицы, то как выглядит матрица импульса?

На вершине всего этого — самый подлый вопрос. Если рассматривать квантовую физику как более общую теорию, чем физика классическая, то почему нужно обращаться к классическим представлениям, чтобы разобраться в концепции измерения? Почему это самое измерение, в отличие от всех прочих физических процессов, не описывается унитарной эволюцией? Если квантовые системы действительно в какой-то момент измерения становятся классическими, то в какой же именно момент это происходит?

Основополагающий образ мышления, который мы стараемся привить нашим студентам за годы обучения физике, можно сформулировать так: «Подвергай все сомнению!» В курсах квантовой физики наше послание студентам звучит, кажется, с точностью до наоборот: «Заткнись и считай!»[1]

Поскольку я тоже когда-то был студентом и изучал квантовую механику, то со временем нашел ответы на эти вопросы, но во многих случаях это произошло через много лет после получения ученой степени. Когда же я пытался задавать подобные вопросы, будучи студентом, вокруг не было никого, кто мог бы не то что ответить мне на них, но хотя бы помочь правильно сформулировать.

Моя задача при написании этой книги состояла в том, чтобы изменить сложившуюся ситуацию. Я попытался выстроить ясную логическую структуру, в которой осталось бы как можно меньше дыр, которая позволила бы читателю по логической цепочке отследить любое заявление назад, до самых основ… Которая не оставила бы вопросов без ответов.

Итак, в определенном смысле я написал эту книгу для себя. Но не для сегодняшнего себя, а для того, каким я был в 18 лет. Такую книгу, которую я счастлив был бы на третьем курсе иметь в своей библиотеке и которая избавила бы меня от многолетних мучительных поисков истины.

Естественно спросить: «Насколько реалистична такая цель? Некоторые из поставленных выше вопросов представляются достаточно сложными. Может быть, без научной степени в них и не разобраться?»

Я дам двойной ответ. Во-первых, с педагогической точки зрения: механика с ее гильбертовым пространством бесконечной размерности едва ли оптимальна для иллюстрации квантовых принципов. Во многих приведенных выше вопросах можно разобраться, если использовать вместо механической более простую физическую систему; чуть позже я расскажу об этом подробнее. Во-вторых, бóльшую часть нестыковок и парадоксов вполне реально устранить, если правильно ввести понятие запутанности. Это понятие лежит в основе двух важных взаимосвязанных концепций: измерения фон Неймана и декогеренции. Первая из них обеспечивает способ избежать превращения измерения в некое исключительное явление в мире квантовой физики и таким образом устраняет логическую бутылку Клейна, характерную для копенгагенской интерпретации. Вторая описывает происходящие естественным образом «самопроизвольные» измерения, благодаря которым квантовый мир предстает перед макроскопическим и наблюдателями вроде нас в том виде, который мы знаем под именем «классическая физика».

Эти концепции не слишком сложны. Математически они намного проще многих элементов традиционного квантового курса, таких как уже упоминавшийся атом водорода или теория рассеяния. Главная трудность в понимании запутанности — не недостаток у студента необходимых математических навыков; она связана скорее с его воображением. Чтобы стать хорошим физиком, необходимо эту способность у себя развить; как говорил Эйнштейн, воображение на самом деле важнее знаний.

Квантовая механика или квантовая оптика?

Название нашей дисциплины — квантовая механика — подразумевает, что мы изучаем применение квантовых принципов к законам движения. На самом же деле рамки квантовой теории не ограничены механикой; она применима во всех областях физики. Если наша цель состоит в том, чтобы изучить общие принципы квантовой физики, то разумно ли выбирать именно механику в качестве физической системы для иллюстрации этих принципов?

Если мы задумаемся над этим вопросом всерьез, то вынуждены будем дать отрицательный ответ. Использование механики — в основном дань традиции, поскольку именно в механике исторически имело место первое успешное применение квантовых принципов в их современной форме. Но если говорить об обучении, то объяснение базовых квантовых принципов на примере механики — весьма неудачный подход. Гильбертово пространство, связанное с этой системой, имеет бесконечную размерность; более того, базис имеет мощность континуума. Студенту приходится иметь дело с незнакомым, чрезвычайно сложным и не всегда строгим математическим аппаратом, включающим в себя обобщенные функции, преобразование Фурье и функциональный анализ. В результате вместо того, чтобы сосредоточить усилия студентов на понимании физических концепций, мы заставляем их сражаться с математикой, а это зачастую ведет к путанице средств и целей. Трудно ожидать от подобного опыта сколько-нибудь глубокого понимания. Студент попросту не увидит за деревьями леса.

Если мы поставим перед собой выбор физической системы для иллюстрирования квантовой физики, нам следует взять ту, у которой гильбертово пространство обладает наименьшей нетривиальной размерностью, а именно — равной двум. Имеется множество таких систем, которые в настоящее время изучаются в контексте квантовых информационных технологий в качестве квантовых бит. Среди подобных систем выделяется одна как наиболее тщательно исследованная и интуитивно понятная: поляризация фотона. Как правило, студент, приступающий к изучению квантовой физики, успел уже освоить оптическую волновую поляризацию. Векторы поляризации Джонса напрямую транслируются в векторы состояния фотонной поляризации, а матрицы, описывающие трансформацию этих векторов различными волновыми пластинками, превращаются в операторы. Принимая во внимание дискретную природу фотона, несложно обосновать постулат квантового измерения из классической картины измерения поляризации. Таким образом, основные квантовые принципы выводятся из классической поляризационной оптики (и студенческого лабораторного опыта обращения с ней) самым простым и естественным образом.

Фотонная поляризация оказывается полезной и позже, когда мы переходим к изучению запутанности. Огромное количество экспериментов по проверке принципиальных моментов в квантовой информатике было проделано с использованием именно данного объекта в качестве носителя квантового бита. Некоторые из этих экспериментов — в частности, по квантовой криптографии, телепортации и нелокальности — относятся непосредственно к концепциям, описанным в книге. Иллюстрируя теоретический материал данными экспериментов из актуальнейших на сегодняшний день исследовательских тем, эта книга сразу, с самого начала, вводит студентов в самое сердце квантовой физики. А что может придать изучению академической дисциплины больший интерес, чем свежие результаты из исследовательских лабораторий?

Раз уж мы заговорили о лабораториях, замечу, что опыт студентов не должен ограничиваться чтением материалов об экспериментах, проведенных кем-то другим. Огромное преимущество поляризационного кубита как иллюстрирующей системы состоит в том, что он позволяет усилить курс лабораторным компонентом. Почти весь материал главы 1 иллюстрируется классическим экспериментом с поляризацией, для которого требуются лазер, несколько поляризационных пластинок, поляризующий светоделитель и два детектора. Материал по запутанности можно подать наглядно при помощи серии лабораторных работ по удаленному приготовлению состояния, однофотонной интерференции и нелокальности Белла. Организовать такие эксперименты силами среднестатистической кафедры физики сложнее, но вполне по силам, о чем свидетельствует опыт множества колледжей по всему миру, в том числе и моего родного Университета Калгари. Дополнительные подробности на предмет возможных образовательных лабораторных работ можно найти на сайте книги.

Связь между квантовой физикой и квантовой оптикой в этой книге не ограничена использованием фотона для иллюстрации основных концепций соответствующей дисциплины. Она проявляется также в многочисленных примерах из оптики, обильно рассыпанных по всей книге, и в выборе предметов для более углубленного изучения (подробное описание гармонического осциллятора, представления Гейзенберга, сжатия, матриц плотности, двухуровневых систем, квантовой томографии). Эти предметы будут особенно полезны тем, кто интересуется квантовой информатикой в целом и квантовой оптикой в частности.

Структура курса

Книга содержит материал, который можно преподать студентам в рамках двухсеместрового курса квантовой механики. В главе 1 вводятся главные принципы и постулаты КМ, которые иллюстрируются кубитом поляризации фотона. Читатель, возможно, захочет изучать эту главу параллельно с приложением A, в котором разобраны основы линейной алгебры, необходимые в КМ, как показано в таблице ниже.

Глава 2 целиком посвящена запутанности, ее следствиям и приложениям. Сначала я ввожу пространство тензорных произведений математически, затем рассказываю о частичных квантовых измерениях, удаленном приготовлении состояния и парадоксе нелокальности (в формах Белла и Гринбергера — Хорна — Цайлингера), иллюстрируя теорию экспериментами с запутанными фотонами. Нелокальность, пожалуй, главный парадокс квантовой механики, и после него естественно обсудить механизм квантовых измерений, их естественный аналог (декогеренцию) и интерпретации квантовой механики. В разд. 2.4 мы выясняем, когда и почему квантовая система становится классической в ходе измерения и почему мы не встречаем гуляющих по городу кошек Шрёдингера. После этого я весьма подробно рассматриваю приложения запутанности, такие как квантовые вычисления, телепортация и повторители. При преподавании этого материала имеет смысл предложить двум или трем студентам сделать презентации по свежим исследованиям в данной области.

Главы 3 и 4 представляют собой в некоторой степени реверанс в сторону «общепринятой» вузовской квантовой механики частицы в потенциальном поле. Там нам придется иметь дело с гильбертовым пространством, базисом которого является континуум, поэтому глава 3 сопровождается кратким курсом по дельта-функциям Дирака и преобразованию Фурье (приложение Г). Я надеюсь, что после того, как студенты уже усвоят базовые положения КМ, они смогут воспринимать технические особенности гильбертовых пространств с непрерывными переменными, не теряя из виду физические принципы. Вводя системы с непрерывными переменными я объясню, как и почему при этом изменяются правила нормирования. Затем я приведу обычные примеры потенциальных ям, потенциальных барьеров, туннелирования и гармонического осциллятора. На этом, как мне представляется, должна завершиться программа первого семестра курса.

Далее в главе 3 объясняется представление Гейзенберга и то, как оно согласуется с представлением Шрёдингера; все это иллюстрируется многочисленными примерами, связанными с физикой гармонического осциллятора (и продемонстрированными в квантово-оптических экспериментах): смещением, фазовым сдвигом, а также одно- и двумодовым сжатием. С помощью последнего я показываю первоначальный вариант парадокса Эйнштейна — Подольского — Розена.

В главе 4 я рассматриваю трехмерное геометрическое пространство (как тензорное произведение трех одномерных пространств) и рассказываю про момент импульса, спин и, наконец, атом водорода. Затем обсуждается поведение спина в магнитном поле и магнитный резонанс, а также дается понятие о спиновом эхе и спектроскопии Рамзея.

В главе 5 мы вновь обращаемся к фундаментальным принципам квантовой механики, представив их на этот раз на языке операторов плотности, который имеет важнейшее значение во всех приложениях квантовой физики. Чтобы продемонстрировать полезность этого языка, я даю с его помощью строгое описание декогеренции и релаксации при ядерном магнитном резонансе. Затем я затрагиваю важные для современной квантовой информатики темы: обобщенные измерения, а также томографию квантового состояния, процесса и детектора.

Как пользоваться этой книгой (послание студенту)

Бóльшую часть своей сознательной жизни я был вовлечен в процесс образования — сначала как школьник и студент, а затем как преподаватель и профессор. Этот опыт помог мне понять простую истину: почти невозможно изучить что бы то ни было, пассивно слушая лектора или читая книгу. Обучение требует активного участия студента. В случае теоретической физики это означает, что ты должен выводить формулы сам, а не наблюдать, как это проделывает кто-то другой на доске или в учебнике.

Помня об этом, я попытался написать этот текст, руководствуясь сократовским принципом: ученик приходит к истине, отвечая на вопросы учителя. Я лично познакомился с данным методом в старших классах. Мне повезло учиться в одной из лучших школ России с естественно-научным уклоном, где практиковался уникальный подход к обучению математике. Вместо объяснений нам давали листочки, состоявшие исключительно из определений, аксиом и задач. Справившись с задачами, мы обсуждали наше решение с преподавателем, который должен был убедиться, что мы верно поняли предложенный материал.

Эта книга устроена аналогичным образом. Вы наверняка заметите, что в ней необычно много упражнений. Некоторые из них представляют собой концептуальные теоремы; другие вставлены просто для практики; многие выступают в обеих ролях. Идея в том, что, выполнив их одно за другим, вы сами построите квантовую механику — с моей минимальной помощью. Соответственно, пропускать упражнения не рекомендуется. Пропуск упражнения равнозначен пропуску страницы-другой в традиционном учебнике: вы не сможете понять последующий материал.

Почти все упражнения имеют решения, которые приведены на сайте книги[2]. Однако прошу не заглядывать туда до тех пор, пока вы хотя бы не попытаетесь выполнить упражнение самостоятельно. Даже при условии, что вам не удастся самому получить результат, вы поймете, на каком этапе ваше решение застопорилось, — и тогда готовое решение поможет вам, дав ответ на заранее сформулированный вопрос. Таким образом, семя упадет на уже удобренную почву.

Однако, даже если у вас есть собственное решение, я рекомендую вам все же заглянуть в мое. Таким образом вы получите представление об ошибках, которые вы (или я), возможно, сделали, или, скажем, об альтернативном подходе к решению той же задачи.

Упражнения, которые я считаю более сложными, помечены звездочкой*. Здесь есть тонкость. Дело в том, что многие из них содержат утверждения, важные для изучения последующего материала. Поэтому, хотя допустимо отложить выполнение этих упражнений (или подробный разбор их решений) на потом, вам следует по крайней мере разобраться в утверждениях, которые в них содержатся.

Некоторые из упражнений (они помечены символом параграфа §) даны без решений. Как правило, это происходит в тех случаях, когда я считаю задачу относительно простой; тогда я обычно привожу ответ сразу после упражнения. Очень редко встречаются упражнения, помеченные и звездочкой, и символом параграфа. Такие «упражнения», по сути, представляют собой независимые исследовательские проекты, которыми вам, возможно, захочется заняться в свободное время.

Какими знаниями вам, по моему мнению, следует уже обладать, прежде чем открывать эту книгу?

Я исхожу из того, что вы накомы с тригонометрией (знаете, например, как представить cos (α + β) или cos α cos β в виде суммы).

Вы умеете работать с комплексными числами, имеете представление о понятиях сопряженности, комплексной фазы и комплексной экспоненты (к примеру, можете упростить |1 + e

iϕ

|

2

).

У вас есть общее представление о теории вероятностей. Здесь вам может помочь приложение Б, где содержатся некоторые основы этой области знания.

То же относится к физике поляризации оптической волны: в приложении В кратко изложена необходимая информация, но его нельзя считать хорошей заменой соответствующего учебника.

У вас есть навыки дифференциального исчисления и решения обыкновенных дифференциальных уравнений, которые необходимы при изучении всех частей книги, особенно главы 3 (квантовая физика систем с непрерывными переменными); это требование распространяется на анализ функций многих переменных (якобиан и т.п.) для главы 4. По дифференциальному исчислению нет специального приложения, но в приложении Г говорится о дельта-функции Дирака, а также о прямом и обратном преобразованиях Фурье, так что предварительные знания по математической физике не требуются.

Первостепенное значение в квантовой физике играет линейная алгебра, включающая в себя понятия линейных пространств, базиса, размерности, скалярного произведения, ортонормального базиса, линейных операторов и матриц, спектральную теорему, функции операторов и т.п. Все это изложено в приложении A. Однако базовые методы работы с матрицами, такие как их перемножение, нахождение собственных векторов и собственных значений, не рассматриваются в этом приложении и должны быть знакомы вам до начала изучения данного курса.

ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОязычному ИЗДАНИЮ

Название этой книги — «Отличная квантовая механика» — отражает не только ее качество и даже не оценку, которую вы, возможно, получите на экзамене, изучив ее. Главное, что книга отличается от тех учебников квантовой физики, к которым мы привыкли. Вместо разбора волновых функций и потенциальных ям (с чего стартуют все курсы, начиная от Ландау и Лифшица) в этой книге речь пойдет о концептуально более простых и в то же время более сутевых и интересных вещах: пространстве состояний, сущности измерений, запутанности и нелокальности. Об этом я подробно рассказываю выше в предисловии к англоязычному изданию. Здесь же я хочу поговорить о другом.

«Дай бог побольше разных стран, не потеряв своей, однако». По мерке этих слов Евгения Евтушенко, я счастливый человек. Покинув Родину в двадцать лет, я обрел ее вновь в сорок, когда начал регулярно приезжать в Россию по делам, связанным с созданием Российского квантового центра и последующей научной работой в нем. Это возвращение подарило мне неугасающий душевный подъем, новую ступень для личностного роста и новый плацдарм для научных идей. Помимо этого, я смог увидеть и критически оценить — с высоты собственного преподавательского опыта — разницу в методах обучения физике в России и за рубежом.

У российско-советской школы немало заслуг перед мировой культурой — как в науке и технике, так и «в области балета». Одним из ее важнейших преимуществ является, как мне кажется, глубина рассмотрения материала, желание дойти до самой сути явления. Но у этой медали есть и оборотная сторона. Очевидно, что любая учеба — тяжелый, мучительный труд. No pain, no gain. Однако в западной системе образования имеет место сознательное стремление помочь студенту в этом труде, минимизировать его мучения посредством множества примеров и иллюстраций (и порой, к сожалению, излишне поверхностного изложения). Вероятно, это следствие рыночной экономики в сфере образовательных услуг: если студенту станет слишком трудно, он просто купит другой учебник или уйдет в другой университет. В советской же школе подобные стремления со стороны преподавателей почти полностью отсутствуют. Более того, зачастую имеется подспудное убеждение, что чем болезненнее студенту дается гранит науки, тем ему больше пользы, тем лучше он выучится. Это хорошо показано в фильме «Легенда № 17» на примере хоккея — но и в физике за примером далеко ходить не надо: достаточно открыть того же Ландафшица.

В своей книге я попытался взять лучшее из обеих школ. С одной стороны — постарался дойти до сути, дать ответы на все возможные вопросы, как бы сложны они ни были. С другой — «разжевать» материал, проиллюстрировать его в достаточной степени, сделать как можно меньше количество мест, где можно застопориться. Удалось ли мне это — судить вам.

Я хотел бы поблагодарить творцов русского перевода этой книги. Это в первую очередь директор по развитию Российского квантового центра Анна Шангина и генеральный директор Центра Руслан Юнусов, которые инициировали издание русской версии и его финансирование. Также благодарю руководителя проекта со стороны издательства Анну Тарасову — не только за пот и нервы, с которыми связана подготовка к печати любой книги, но и за внимание к моим авторским прихотям. Огромное спасибо редактору Анастасии Ростоцкой, проведшей со мной много вечеров на телефоне для совместного оттачивания формулировок. Удивительным образом Анастасия, не будучи профессиональным физиком, сумела найти ряд опечаток, которые я допустил в формулах (!) в английском оригинале. В чтении корректур решений к упражнениям оказали неоценимую помощь мои студенты и аспиранты: Дима Белобородов, Артем Иванов, Арсен Кужамуратов, Катя Сажина, Демид Сычев, Егор Тиунов, Саша Уланов и Митя Чермошенцев.

Несмотря на всю эту помощь, основная ответственность за опечатки и ошибки, которые могли остаться в переводе, лежит на мне. Я старался максимально тщательно вычитать его текст и гранки книги, но почти наверняка что-то упустил. Прошу сообщать мне о замеченных проблемах по электронной почте; адрес легко найти в интернете.

Вы без сомнения заметите, что всем главам предшествуют эпиграфы. Для них я использовал строки песен Михаила Щербакова. С его поэзией я познакомился больше двадцати лет назад и во многом благодаря ему сохранил живую связь с русским языком, которая совсем не помешала мне при подготовке этого текста. Включая эти эпиграфы в книгу, я хочу поделиться с вами своей любовью к творчеству этого автора, которая в моей душе не менее сильна, чем любовь к квантáм, пусть и безответна — ибо в квантовую физику я могу внести хотя бы какой-то вклад.

Оксфорд,

27 июня 2019 г.

Предисловие Российского Квантового Центра

Как много людей сталкивается в своей повседневной жизни со словосочетаниями «квантовая физика» или «квантовая механика». А сколько из них действительно понимают всю глубину, которая скрывается за этими понятиями? Думаю, ответ очевиден: немного (по крайней мере, меньше, чем хотелось бы). Квантовая механика является одной из самых сложных областей физики, которую приходится изучать студентам в технических вузах. В дополнение к далеко не самому простому математическому аппарату сложность этой дисциплины заключается в высокой степени абстракции рассматриваемых в ее рамках явлений. К тому же постулаты квантовой механики зачастую противоречат «здравому смыслу», что также не способствует быстрому освоению предмета. В результате существенная часть материала часто остается непонятой студентами, что значительно уменьшает их желание заниматься квантовой физикой в дальнейшем. В своем учебнике «Отличная квантовая механика» наш коллега и замечательный ученый Александр Львовский сделал вполне успешную попытку исправить сложившуюся ситуацию и, не теряя глубины изложения, объяснил многие сложные вещи простым языком, тем самым делая обучение живее и интереснее. На мой взгляд, Александр проделал титаническую работу по переосмыслению и структурированию одной из самых тяжелых областей физики, и я надеюсь, что эта книга вдохновит еще не одно поколение студентов на изучение столь сложной, многогранной, но при этом невероятно красивой науки — квантовой механики.

Руслан Юнусов,

генеральный директор Российского квантового центра

Благодарности

Мне потребовалось 13 лет, чтобы написать эту книгу, — я начал ее в январе 2005 г., а закончил в декабре 2017 г. Дату окончания работы над книгой запоминают часто, поскольку это, как правило, срок, заданный издателем (в моем случае срок сдачи переносился много раз на протяжении нескольких лет). Причина того, что я помню также дату начала, вот в чем: она соответствует семестру, когда я приступил к преподаванию вводного курса квантовой механики в Университете Калгари. Я тогда только-только пополнил ряды профессоров университета и, строго говоря, еще не должен был заниматься преподаванием. Однако, когда заведующий кафедрой Барт Хикс однажды подошел ко мне и мило спросил «Алекс, не хотели бы вы начать преподавание чуть раньше? Я слышал, ваши интересы связаны с квантáми, а у нас как раз есть место в расписании», я (наивный, романтично настроенный профессор-новичок) ответил «да». Вот тогда и появился первый рукописный конспект.

Но подлинная история плода начинается с корней. А поскольку эта книга во многом посвящена именно корням, имеет смысл следовать данному принципу и в этом разделе. Я могу проследить корни до 1962 г., когда мои родители Исай и Татьяна всего за несколько месяцев до того, как познакомились друг с другом в Москве, посмотрели «Девять дней одного года» — советский фильм о физиках, ставший в то время культовым. (Кстати говоря, вам тоже стоит посмотреть его, если будет возможность. Его несложно найти в онлайн-варианте с английскими субтитрами; он наверняка доставит вам удовольствие. И, между прочим, этот фильм проповедует вполне правильные ценности.) Культовость «Девяти дней…» быстро поблекла, но не для моих родителей. Так что моя будущая профессия была выбрана за 11 лет до моего рождения. Единственное, о чем не могли договориться родители, так это стоит ли мне стать академиком (в Советском Союзе это было аналогично статусу члена Королевского общества) или лауреатом Нобелевской премии. Мой дед примирил их, указав, что одно не мешает другому.

К счастью, мои природные наклонности не противоречили амбициям родителей — если не по величине, то по крайней мере по направлению. (Я иногда спрашиваю себя, кем мог бы стать, если бы был воспитан в другой семье. Мне кажется, либо автомехаником, либо программистом. Так что физик-экспериментатор представляется неплохим компромиссом.) Поэтому через несколько лет я оказался учащимся знаменитой московской школы № 57 (у школ в Советском Союзе были номера, а не названия) с углубленным преподаванием математики и физики. Именно там я на себе испытал сократовский принцип преподавания, о котором говорил в предисловии и на котором основана моя книга. Метод этот придумал московский учитель Николай Николаевич Константинов, но в нашем классе преподавал — и, соответственно, познакомил меня с данным методом — Борис Михайлович Давидович. Сюжет первых двух разделов приложения A и некоторые упражнения оттуда взяты прямо из моих школьных архивов.

Затем институт. Профессором, который открыл для меня квантовую физику и увлек ею, был Юрий Михайлович Белоусов. Он искусно сочетал строгость «старой школы» Льва Ландау и Евгения Лифшица с ярким, глубоким и страстным стилем преподавания: «Что такое состояние? Неопределяемое понятие! Как в геометрии: вы же не определяете, что такое точка или прямая, правда? Так же и с состоянием. Каково ваше состояние? Вы пьяный? Трезвый? Усталый? Вот вам состояние. Множество состояний называется пространством состояний. Опять же — почему нет? Но затем мы говорим, что это пространство линейно. А вот это уже претензия…»

Тем не менее, как тоже говорилось выше, не все мои вопросы получили ответы (и даже были правильно заданы) в институте, и мне пришлось долго искать их самостоятельно, уже после выпуска. В этом поиске меня поддерживали многие блестящие ученые. Назову лишь некоторых: Ален Аспе, Конрад Банашек, Мауро д’Ариано, Хауке Хансен, Петер Марцлин, Филипп Гранжье, Миклош Гуиласси, Пол Квят, Миша Лукин, Юджин Ползик, Майк Реймер, Барри Сандерс, Кристоф Симон, Эфраим Стейнберг, Иан Уолмсли, Син Вэй и Антон Цайлингер. Два имени я должен упомянуть отдельно: моего институтского научного руководителя Анатолия Викторовича Масалова, который познакомил меня с исследовательской деятельностью, и научного руководителя моей диссертации Свена Хартмана, или мистера Фотонное Эхо. Свен научил меня не только многому из физики, но и искусству писать научные тексты. Если в этой книге есть какой-то стиль, то благодаря ему.

Хотя мне трудно назвать одного-единственного человека, который оказал бы наибольшее влияние на формирование моих представлений о квантовой физике, я могу точно назвать период своей жизни, когда я достиг наибольшего прогресса. Я тогда работал постдоком в Университете Констанца, в институте, который возглавлял доктор Юрген Млынек. Этот институт в те годы был настоящей Меккой для квантовых физиков, там бывали лучшие умы, занимающиеся этой сферой науки. Иногда мне удавалось урвать несколько минут из их плотного расписания, чтобы обсудить с ними волновавшие меня вопросы, включая фундаментальные для квантовой физики (если только мне удавалось набраться храбрости и преодолеть страх показаться глупым или невежественным).

Теперь я хотел бы вновь вернуться к тому моменту, когда приступил к преподаванию Квантовой Механики I в Калгари и составил свои первые заметки. Впоследствии они переписывались и дополнялись десятки раз. Возможно, поворотным пунктом в превращении заметок в книгу стало добавление в них решений к упражнениям. Первоначально их там не было; я просто излагал решения устно на лекциях (я до сих пор не понимаю, как те студенты умудрялись сдавать экзамены). Но затем у меня состоялось два важных разговора. Во-первых, я поговорил с профессором Массачусетского технологического института Джеффом Шапиро, научившим меня многому в квантовой оптике во время наших (увы, кратких) встреч. Я сообщил Джеффу об идее превратить свои лекционные записи в книгу и о сократовском методе. Джефф серьезно посмотрел на меня и спросил: «Но ведь у задач будут и решения… Правда?» А во-вторых, почти чудесным образом, примерно в то же время, ко мне подошли два моих студента, Джефф Кэмпбелл и Даллас Хоффман. «С решениями ваши заметки станут намного лучше. Мы подумали, может быть, нам стоило бы написать некоторые из них?» И они сделали это — многие решения для упражнений из глав 1, 2 и приложения A принадлежат им, и я очень благодарен этим ребятам.

На самом деле поддержка студентов была чрезвычайно важна на всех этапах создания этого труда. Начиная с 2005 г. я преподавал Квантовую Механику I шесть раз примерно 200 студентам, и многие из них внесли в книгу важный вклад. Вот их имена: Рассел Бейт, Данте Бенчивенга, Трэвис Брэннан, Артур Бери-Джоунз, Авик Чандра, Хосе да Коста, Иш Дханд, Стефан Донса, Марк Жирар, Крис Хили, Катаня Кунтц, Кимберли Оуэн, Адарш Прасад, Мэтью Ричардс, Стивен Роговски, Мэттью Таунли-Смит, Раджу Валивартхи. Помощь студентов состояла не только в построении решений; они постоянно искали ошибки и задавали многочисленные вопросы, которые позволяли мне увидеть, какие части текста недостаточно понятны и требуют пояснений. Опять же, я не смогу назвать всех, кто мне помогал, поэтому должен попросить прощения у тех, кого не упомянул.

Поскольку вдохновением для создания данного метода обучения во многом послужил мой собственный опыт в старшей школе, я всегда хотел опробовать его в той же обстановке. Мне это удалось в 2013 г., когда я взял академический отпуск в своем университете, чтобы помочь в создании Российского квантового центра в Москве. Я организовал кружок по квантовой физике для московских школьников. Вместе с командой преподавателей-энтузиастов во главе с Алексеем Федоровым мы еженедельно встречались с учащимися, чтобы выслушать, как они решили задачи из конспекта (решений мы им не давали), исправить их ошибки, объяснить тонкости и — что не менее важно — обсудить сам конспект. Отзывы, полученные в ходе этих дискуссий, сыграли важную роль в формировании настоящего текста, а несколько участников кружка, включая Алексея, теперь стали профессиональными учеными, занимающимися исследованиями квантовых технологий на постоянной основе.

Я хотел бы поблагодарить Стефана Лайла за тщательную вычитку книги и множество разумных замечаний.

Но самую свою горячую благодарность я выражаю своей жене Бхавии Равал. Сейчас, когда я пишу эти строки, она в пути — едет забирать нашу дочку Софи от дедушки. Это лишь одна из многих сотен ситуаций, в которых мне следовало бы, по идее, быть с семьей, а не прятаться за монитором, выводя на экране странные закорючки. Но теперь даже бесконечное терпение Бхавии, кажется, истощается. Вчера мы по ее совету посмотрели фильм «Париж подождет», в котором жена одного парня, который слишком много работает, позволяет соблазнить себя его коллеге-французу. Дорогая, намек понят. Париж больше не может ждать. И это последнее предложение, которое я добавляю в книгу!

Калгари, 10 декабря 2017 г.

Учебное пособие

Квантовые постулаты

А дальше — стоп.

А дальше, извини, стена.

1.1. Предмет квантовой механики

Пожалуй, первое, что нужно понять о квантовой механике, — это то, что к механике она имеет такое же отношение, как, скажем, к электродинамике, оптике, физике конденсированного состояния или высоких энергий. Квантовая механика, по существу, не описывает какой-то конкретный класс физических явлений; скорее, она обеспечивает универсальную теоретическую основу, которую можно использовать во всех областях физики, — так операционная система компьютера обеспечивает базу, на которой могут исполняться другие приложения. Употребление термина «квантовая механика» сложилось исторически, поскольку впервые квантовую основу удалось успешно применить при исследовании механического движения электронов в атоме. Более удачными терминами были бы «квантовая физика» или «квантовая теория».

Так что предмет квантовой механики (квантовой физики) глобален: она охватывает все физические явления во Вселенной. Однако применять квантовый подход имеет смысл только в случае очень маленьких (микроскопических) физических систем. Поведение более крупных систем очень хорошо аппроксимируется законами классической физики, намного более простыми и интуитивно понятными, по крайней мере для существ, эволюция которых проходила именно на этом масштабе величин.

Проиллюстрируем это примером. Вы, вероятно, слышали о принципе неопределенности Гейзенберга: ∆p∆x ≳ ℏ/2. То есть координату и импульс частицы невозможно измерить точно и одновременно: произведение неопределенностей составляет по крайней мере ℏ/2 ≈ 5 × 10−35 кг∙м2/с. Чтобы макроскопический объект с массой порядка килограмма достиг предела неопределенности, потребовалось бы измерить и координату объекта с точностью порядка ~ 10–17 м и скорость с точностью ~ 10–17 м/с. Это, разумеется, нереально, так что для всех практических целей мы можем просто забыть о принципе неопределенности и рассматривать координату и импульс как точные величины. Но для электрона массой ~ 10–30 кг произведение неопределенностей координаты и скорости составит около 5 × 10–5 м2/с, что вполне укладывается в экспериментально доступную точность измерений и должно приниматься во внимание.

Таким образом, предсказания квантовой теории отличаются от классических только для относительно простых, микроскопических объектов. Это объясняет, почему квантовая механика была открыта лишь в начале XX в. До того времени мы (сами представляющие собой макроскопические тела) имели дело исключительно с макроскопическими предметами. Но стоило нам изобрести инструменты, позволяющие достаточно глубоко проникать в микроскопический мир, как сразу же проявились квантовые явления.

Это пример принципа соответствия — философской максимы, согласно которой любая новая, более современная теория должна воспроизводить результаты более старых, устоявшихся теорий в тех областях, где эти теории были проверены. Вот еще один пример для иллюстрации этого принципа. Пока мы имели дело только с объектами, движущимися намного медленнее света, для описания окружающего нас мира достаточно было ньютоновой механики. Но стоило нам получить возможность наблюдать тела, которые движутся быстро (например, Земля вокруг Солнца в эксперименте Майкельсона — Морли), мы начали замечать несоответствия и вынуждены были разработать теорию относительности. Эта теория заметно отличается от ньютоновой механики — но тем не менее согласуется с ней в предельном случае низких скоростей. Было бы неразумно использовать специальную теорию относительности для описания, например, трансмиссии трактора, потому что классическое приближение в данном случае и вполне достаточное, и многократно более простое в применении. Аналогичным образом использование квантовой физики для описания макроскопических явлений в большинстве случаев было бы переусложненным и ненужным.

В классической физике мы имеем дело с величинами: скоростью полета камня 10 м/с, силой протекающего по электрическому контуру тока 0,2 А и т.д. Даже если мы не знаем точного значения какой-то физической величины, мы можем работать над улучшением нашей теории и эксперимента, чтобы предсказать и измерить эту величину со все более высокой точностью. Иными словами, классический мир бесконечно познаваем. В квантовой физике ситуация иная: некоторые знания (например, одновременные значения координаты и импульса) могут быть «священными»: их в принципе невозможно получить. И эту ситуацию уже нельзя описывать в терминах одних только величин. Вместо этого мы должны использовать концепцию квантового состояния физической системы. Как мы увидим, эта концепция содержит в себе границу между знанием, которое можно получить, и знанием, которое получить невозможно. Мы можем узнать точно, в каком состоянии находится система, но каждое состояние связано с фундаментальными ограничениями на точность, с которой физические величины могут быть определены.

Поскольку квантовая механика играет уже упомянутую роль общей основы, мы изучаем ее с известной степенью математической строгости. Я буду вводить определения и аксиомы, потом описывать явления, которые из них проистекают, а затем иллюстрировать эти явления примерами из разных областей физики, преимущественно из оптики.

Основной математический инструмент квантовой механики — линейная алгебра. В приложении A приводятся концепции этой дисциплины, важные для квантовой физики. Так что, если вы знакомы с линейной алгеброй и свободно себя в ней чувствуете, переходите сразу к следующему разделу. В противном случае я рекомендовал бы вам, прежде чем двигаться дальше, изучить первые четыре раздела приложения A.

1.2. Постулат гильбертова пространства

Я сначала сформулирую этот постулат[3], а затем объясню его смысл более подробно.

a) Возможные состояния физической системы образуют гильбертово пространство над полем комплексных чисел.

b) Несовместимые квантовые состояния соответствуют ортогональным векторам.

c) Все векторы, представляющие физические квантовые состояния, нормированы.

Данный постулат содержит два понятия, которые мы еще не определили: квантовое состояние и физическая система. Понятия эти настолько фундаментальны, что строгое определение им дать трудно[4]. Поэтому я проиллюстрирую их интуитивно, на примерах.

Физическая система — это объект или даже одна либо несколько степеней свободы объекта, которые можно изучать независимо от остальных степеней свободы и других объектов. Например, если наш объект — атом, то квантовая механика может изучать его движение как целого (одна физическая система), а может исследовать движение его электронов вокруг ядра (другая физическая система). Но если мы хотим изучать образование из двух атомов молекулы, то нам следует учитывать, что динамические состояния обоих атомов и электронов в них влияют друг на друга, поэтому мы должны рассматривать все эти степени свободы как единую физическую систему. Если же речь идет о самой молекуле, то квантовая механика может изучать движение ее центра масс (одна физическая система), вращательное движение (другая физическая система), колебания ее атомов (третья система) или квантовые состояния ее электронов (четвертая система) и т.д.

Являются ли суперпозиции состояний математической абстракцией или они каким-то образом отражаются в физическом поведении системы? Верно, конечно же, второе. Как мы вскоре увидим, если подвергнуть, например, кошку в состояниях   и просто случайную смесь состояний |кошка жива⟩ и |кошка мертва⟩ квантовому измерению, то результаты мы будем наблюдать совершенно разные.

Напрашивается еще один вопрос. Мы не видим состояний суперпозиции в повседневной жизни — хотя они полностью совместимы с канонами квантовой механики. Почему? Как мы узнаем из следующей главы, дело в том, что суперпозиции макроскопически различных состояний чрезвычайно хрупки и быстро переходят в один из своих компонентов — в случае кошки Шрёдингера та быстро становится либо живой, либо мертвой. В микроскопическом мире, однако, состояния суперпозиции относительно устойчивы и нужны для физического описания системы. Необходимость иметь дело с объектами, само существование которых вступает в противоречие с нашим повседневным опытом, — одна из причин того, почему квантовая механика так сложна для понимания.

Упражнение 1.2. Какова размерность гильбертова пространства, связанного с одной кинетической степенью свободы массивной частицы?

Подсказка: если вам кажется, что ответ очевиден, загляните в решение.

1.3. Поляризация фотона

Мы начнем изучение квантовой механики с одной из простейших физических систем: поляризации фотона[6]. Размерность гильбертова пространства этой системы равна всего лишь двум, но этого вполне достаточно, чтобы показать, насколько поразительным может быть мир квантовой механики.

Предположим, что мы в состоянии выделить единичную частицу света — фотон — из поляризованной волны. Фотон — микроскопический объект, поэтому рассматривать его следует в рамках квантовой механики. Начнем с того, что определим связанное с ним гильбертово пространство. Для начала отметим, что горизонтально поляризованное состояние фотона, которое мы обозначим |H⟩, несовместимо с его вертикально поляризованным состоянием |V⟩: фотон |H⟩ невозможно обнаружить в состоянии |V⟩. То есть если мы приготовим горизонтально поляризованный фотон и прогоним его через поляризующий светоделитель (PBS, polarizing beam splitter) — оптический элемент, описанный в разд. В.2, то данный фотон во всех случаях будет проходить насквозь, а отражаться не будет никогда. Это означает, что состояния |H⟩ и |V⟩ ортогональны.

Мы постулируем, что световая волна, электрическое поле которой задано в виде функции координаты и времени [см. (В.2)]

(с действительными AH,V и ϕH,V), состоит из фотонов в состоянии[7]

Из этого следует, что состояния |H⟩ и |V⟩ образуют в гильбертовом пространстве поляризационных состояний фотона ортонормальный базис — т.е. пространство двумерно. Действительно, прежде всего эти состояния ортогональны и потому линейно независимы (упр. A.17). Кроме того, любая поляризованная классическая волна может быть записана в виде (1.1), так что любое поляризационное состояние фотона тоже может быть записано аналогично (1.2), т.е. как линейная комбинация состояний |H⟩ и |V⟩. Мы будем называть базис {|H⟩,|V⟩} каноническим базисом нашего гильбертова пространства.

Упражнение 1.3. Покажите, что:

a) поляризационные состояния ±45° образуют ортонормальный базис;

b) правое и левое круговые поляризационные состояния образуют ортонормальный базис.

Упражнение 1.4. Разложите |H⟩ и |V⟩ по базисам {|+⟩,|–⟩} и {|R⟩,|L⟩}.

Здесь есть сложный момент, который следует прояснить. Множество углов поляризации линейно поляризованных фотонов — континуум. Но в случае одномерного движения частицы, о котором говорилось в предыдущем разделе, множество позиционных состояний — также континуум. Почему же мы говорим, что одно из этих гильбертовых пространств имеет размерность два, а другое — бесконечность?

Разница в том, что линейно поляризованные состояния могут быть записаны в виде (1.2), т.е. в виде суперпозиции других линейно поляризованных состояний. Если мы поместим поляризующий светоделитель (разд. В.2), пропускающий только горизонтально поляризованные фотоны, на пути диагонально поляризованной волны, часть ее пройдет сквозь светоделитель. Это означает, что диагонально поляризованный фотон может быть обнаружен в горизонтальном поляризационном состоянии.

Для классической волны (1.1) сдвиг фаз одновременно горизонтального и вертикального компонентов на равную величину (т.е. ϕH → ϕH + ϕ0, ϕV → ϕV + ϕ0, что эквивалентно умножению правой части на не меняет ее поляризации.

Аналогичное правило применимо и к квантовым состояниям. Умножение вектора состояния на eiϕ не меняет физической природы состояния. К примеру, |V⟩, i|V⟩ и –|V⟩ представляют один и тот же физический объект, как и, скажем, и По этой причине мы на время пренебрежем множителем e−iωt в (1.2).

Мы называем комплексную величину eiϕ с действительным ϕ фазовым множителем. Умножение квантового состояния на фазовый множитель называется применением фазового сдвига на ϕ. Соответственно мы говорим, что применение фазового сдвига к квантовому состоянию не меняет его физических свойств. Как мы увидим в следующем разделе, это правило оказывается весьма общим: оно выполняется для всех физических систем, не только для электромагнитных волн. Разумеется, фазовый сдвиг должен быть глобальной природы (overall phase shift): если мы применим его только к части состояния, это состояние изменится. Например, если мы применим фазовый сдвиг на π/2 к вертикальному компоненту поляризованного под +45° фотона, то получим — фотон с правой круговой поляризацией, т.е. физически отличный от первоначального объекта.

Поляризация фотона — это реализация квантового бита (кубита). Данный термин используется для обозначения любой физической системы, гильбертово пространство которой двумерно, в контексте рассмотрения этой системы как носителя информации. Кубит — базовая единица квантовой информации, по аналогии с битом — единицей информации в классических компьютерах. В противоположность последнему квантовый бит может находиться не только в одном из двух базовых состояний, но и в их суперпозиции. Это открывает для нас множество новых технологических возможностей, которые мы будем обсуждать на протяжении всей книги.

1.4. Квантовые измерения

1.4.1. Постулат об измерениях

Второй постулат относится к квантовым измерениям, т.е. к экспериментам, цель которых — получить информацию о квантовом состоянии некоторой системы. В классической, макроскопической физике измерения больше вопрос технологии, чем фундаментальной науки. Дело в том, что там мы можем точно измерить состояние и эволюцию системы, не потревожив ее. Так, футбольный мяч не полетит разными способами в зависимости от того, пуст стадион или заполнен до отказа восторженными болельщиками, — следовательно, нам не нужно знать, каким методом фиксируют траекторию мяча, чтобы изучить законы его движения.

В квантовом мире ситуация выглядит иначе: мы велики, а те объекты, которые мы хотим измерить, малы. Поэтому любое измерение, скорее всего, изменит квантовое состояние нашей системы. В более общем плане можно сказать, что квантовые измерения — это события, при которых состояние микроскопического квантового объекта влияет на состояние макроскопического прибора. Таким образом, измерение пересекает границу между квантовым и классическим царствами физики. А как мы знаем, законы, управляющие ими, сильно различаются между собой. Чтобы получить цельную картину мира, нам необходимо понять, когда и как происходит переход между этими двумя «юрисдикциями».

Далее, явления, при которых квантовое состояние чего-то микроскопического влияет на что-то макроскопическое, не ограничены стенами лабораторий. К ним относятся самые разные события — от термодинамических фазовых переходов и лазерной генерации до ураганов, рождения черных дыр и, возможно, рождения самой Вселенной. Физика подобных явлений аналогична физике квантовых измерений. Из этого следует, что разобраться в этой физике необходимо для понимания природы окружающего нас мира.

Основные принципы постулата об измерениях можно вывести интуитивно. Предположим, что фотон в состоянии (1.2) попадает в поляризующий светоделитель (PBS) — оптический элемент, который пропускает горизонтально поляризованный свет, но отражает вертикально поляризованный (рис. 1.2 a). Что произойдет с этим фотоном? Если бы мы имели дело с классической волной (1.1), то сказали бы, что она разделится: часть ее пройдет сквозь PBS, а остальное отразится. Доли энергии, попадающие в прямой и отраженный каналы, были бы пропорциональны соответственно. Но фотон — это наименьшая порция энергии света, и его невозможно поделить на части.

Мы подошли к очевидному противоречию. Мы знаем, с одной стороны, что классическая волна, состоящая из фотонов, делится на части. С другой — что каждый отдельный фотон неделим. Как могут два этих требования выполняться одновременно?

Представляется, что единственный способ разрешить данный парадокс состоит в том, чтобы постулировать, что результат в таком случае будет случайным: фотон пройдет через PBS с вероятностью и отразится с вероятностью Таким образом, если на PBS попадет большое число N фотонов, то численное соотношение пропущенной и отраженной энергий составит как и ожидалось в классическом случае (см. разд. В.2). И при этом ни один индивидуальный фотон не придется делить на части.

Как мы знаем, часть классической волны, проходящая через PBS, является горизонтально поляризованной, т.е. все фотоны, из которых состоит эта волна, находятся в состоянии |H⟩. Аналогично все фотоны отраженной волны находятся в состоянии |V⟩. Но тогда это же должно быть верно и в случае, когда фотоны попадают в PBS по одному. Фотон будет не только случайным образом выбирать свой путь, но также и, вполне в духе Оруэлла, изменять свое состояние, чтобы соответствовать выбранному пути. После PBS состояние фотона в прямом канале станет |H⟩, а в отраженном — |V⟩. Если мы поместим серию дополнительных PBS на пути фотона, прошедшего через первый светоделитель, то фотон пройдет также и через все эти PBS — никаких случайностей больше не будет.

Процесс, который я только что описал, представляет собой измерение состояния поляризации фотона. Чтобы его завершить, поместим по детектору одиночных фотонов (отступление 1.2) в оба выходящих канала PBS. Из этих двух детекторов один сработает («щелкнет» на квантовом жаргоне), снабдив нас информацией о характере поляризации фотона (рис. 1.2 a).

Теперь мы готовы сформулировать наш постулат.

Постулат об измерениях. Всякий идеальный измерительный прибор связан с некоторым ортонормальным базисом {|𝑣i⟩}. После измерения прибор случайным образом, с вероятностью

где |ψ⟩ — начальное состояние системы, укажет на одно из состояний |𝑣i⟩. Система при этом, если не разрушится, перейдет в состояние |𝑣i⟩ (спроецируется на него) (рис. 1.1).

Квантовое измерение, протекающее в соответствии с приведенным выше постулатом, называется проективным измерением. Проекция измеренного состояния на один из элементов базиса именуется также коллапсом квантового состояния. Уравнение (1.3) — это правило Борна.

Вероятностное поведение квантовых объектов вызывало множество споров в те времена, когда квантовая механика только зарождалась. Дело в том, что к концу XIX в. общепринятым считался принцип детерминизма: физики уверенно полагали, что, если бы начальные условия заданной квантовой системы были известны с достаточной точностью, ее развитие можно было бы предсказать сколь угодно хорошо. Квантовая физика разрушила данное фундаментальное убеждение, и многим физикам оказалось чрезвычайно трудно это принять. Например, Альберт Эйнштейн сделал по данному поводу свое знаменитое заявление, что «Бог не играет в кости», и предложил блестящий Gedankenexperiment[15], показывающий, что постулаты квантовой механики противоречат здравому смыслу. Мы разберем этот мысленный эксперимент в следующей главе и увидим, как квантовую случайность можно объяснить тем, что сами наблюдатели тоже являются квантовыми объектами, но не могут экспериментально убедиться в своей квантовой природе. Давайте, однако, пока примем квантовую случайность как постулат, который подтверждается большим объемом экспериментальных данных.

Упражнение 1.6. Покажите математически, что для состояния |ψ⟩ сумма вероятностей регистрации (1.3) для всех элементов базиса составляет ⟨ψ|ψ⟩, т.е. равна единице, если состояние физическое.

Упражнение 1.7. Покажите, что применение общего фазового множителя к квантовому состоянию не меняет вероятностей результатов его измерения — в согласии с тем фактом, что фаза никак не влияет на физику состояния, о чем говорилось в предыдущем разделе.

1.4.2. Измерения поляризации

Выше мы говорили о возможности повернуть PBS и изменить в результате этого прибор на рис. 1.2a так, что он будет измерять поляризацию в неканоническом, линейно поляризованном базисе. Однако фотон, отраженный PBS, не станет распространяться в горизонтальном направлении, а это неудобно при проведении практического лабораторного эксперимента (отступление 1.3). Поэтому большинство экспериментаторов пользуется оптическим элементом, известным как волновая пластинка[16], который переводит поляризованные состояния фотона одно в другое. Вот несколько примеров.

Упражнение 1.8. Покажите, что:

a) устройство на рис. 1.2b выполняет измерение поляризации фотона в диагональном (|±45º⟩) базисе;

b) устройство на рис. 1.2c выполняет это же измерение в круговом ( {|R⟩,|L⟩}) базисе.

Подсказка: когда устройство, описанное в постулате об измерениях, измеряет одно из своих собственных базисных состояний |𝑣i⟩, то результат измерения укажет на это состояние с вероятностью 1. Верно и обратное: если это устройство способно строго различить некий конкретный ортонормальный набор состояний, то мы можем сделать вывод, что этот набор является измерительным базисом данного устройства. Следовательно, чтобы выполнить это упражнение, достаточно показать, что базисные состояния [т.е. |±45º⟩ в варианте a) и |R⟩, |L⟩ в варианте b)] после PBS дадут щелчки на разных фотонных детекторах.

Упражнение 1.9.§Каждое из состояний |H⟩, |V⟩, |+⟩, |–⟩, |R⟩, |L⟩ измеряется в

a) каноническом,

b) диагональном,

c) круговом базисах.

Найдите вероятности возможных результатов для каждого случая.

Ответ: для каждого состояния, когда измерение производится в базисе, к которому принадлежит это состояние, вероятности составляют 0 и 1. Если же состояние не принадлежит к измерительному базису, то вероятность обоих результатов равняется

Упражнение 1.10. Предложите схему для квантового измерения в базисе

Упражнение 1.11. Предложите схему для квантового измерения в базисе {|R⟩, |L⟩}, в которой использовалась бы только одна волновая пластинка.

Упражнение 1.12. Рассмотрим фотон, который находится в состоянии не суперпозиции, а случайной статистической смеси, или ансамбля[17] (statistical mixture/ensemble): либо |H⟩ с вероятностью 1/2, либо |V⟩ с вероятностью 1/2. Поляризация этого фотона измеряется в:

a) каноническом,

b) диагональном,

c) круговом базисах.

Найдите вероятности возможных результатов для каждого случая.

Упражнение 1.13. Фотон приготовлен с линейной поляризацией 30º к горизонтали. Найдите вероятность каждого результата, если его поляризация измеряется в:

a) каноническом,

b) диагональном и

c) круговом базисах.

Упражнение 1.14. Фотон в состоянии измеряется в диагональном базисе. Найдите вероятность каждого результата как функцию от ϕ.

Это упражнение, так же как и упр. 1.7, еще раз демонстрирует важную разницу между фазовым множителем, примененным к части квантового состояния или к квантовому состоянию целиком. В первом случае добавочная фаза влияет на измеряемые свойства объекта, во втором — нет.

Хотя одиночное измерение дает нам некоторую информацию о начальном состоянии квантовой системы, информация эта очень ограничена. Предположим, например, что мы измерили фотон в каноническом базисе и обнаружили, что он прошел через PBS. Можем ли мы из этого сделать вывод, что первоначальный фотон находился в состоянии |H⟩? Нет, не можем. Он мог находиться в любом состоянии ψH |H⟩ + ψV |V⟩; коль скоро ψH ≠ 0, существует некоторая вероятность получения щелчка в пропускающем канале. Поэтому единственное, что мы узнаем из данного измерения, — это то, что фотон не был вертикально поляризован.

Как видно из следующего упражнения, надлежит провести дополнительные серии измерений в других базисах. Полученная статистика даст новые уравнения, которые можно решить и найти ψH и ψV с точностью до неопределенности, связанной с общим фазовым множителем.

Упражнение 1.15. Предположим, что множественные измерения поляризации фотонов, идентично приготовленных в состоянии |ψ⟩, проводятся в каноническом, диагональном и круговом базисах и при этом определяются все шесть соответствующих вероятностей (prH, prV, pr+, pr — , prR, prL). Покажите, что этой информации достаточно, чтобы полностью определить |ψ⟩ и выразить его разложение в каноническом базисе через prH, pr+ и prR. Приведите пример, показывающий, что измерений только в каноническом и диагональном базисах для этого было бы недостаточно, — т.е. найдите два различных состояния, которые дадут одинаковые prH и pr+.

Метод получения полной информации о квантовом состоянии путем проведения серий измерений в нескольких разных базисах на множестве идентичных копий измеряемого состояния называется томографией квантового состояния (quantum state tomography). Его можно обобщить на другие квантовые системы, включая системы более высокой размерности. Мы подробнее поговорим о квантовой томографии в конце основного текста (разд. 5.7).

Упражнение 1.16. Предположим, вам дан единственный экземпляр квантовой системы, находящейся в одном из двух неортогональных состояний |a⟩ и |b⟩. Вам известно, что это за состояния, но вы не знаете, в каком именно из них находится система.

a) Покажите, что невозможно построить устройство, которое всегда достоверно определяло бы состояние системы.

b) * Покажите, что можно сконструировать измерительное устройство, которое будет выдавать, с некоторой вероятностью, результаты трех типов: «определенно |a⟩», «определенно |b⟩» и «не уверен», причем результаты первых двух типов всегда будут верными.

Подсказка: попробуйте использовать неполяризующий светоделитель — оптический элемент, который случайным образом либо пропускает, либо отражает фотон вне зависимости от его поляризации.

1.5. Квантовая интерференция и дополнительность

Рассмотрим эксперимент, показанный на рис. 1.3. Единичный фотон, находившийся первоначально в диагонально поляризованном состоянии попадает в устройство, известное как интерферометр[19]. Сначала PBS пропускает горизонтальный компонент состояния и отражает вертикальный. Затем отраженный компонент проходит через варьируемую линию задержки[20], и оба компонента вновь соединяются при помощи еще одного PBS. После этого состояние на выходе интерферометра подвергается измерению в диагональном базисе.

Мы изучили измерение этого состояния в упр. 1.14 и выяснили, что вероятности срабатывания детекторов «+» и «–» составляют соответственно. При изменении длины линии задержки вероятности меняются синусоидально. Иными словами, мы увидим интерференционные полосы — такие же, какие в таком оптическом устройстве образовала бы макроскопическая волна.

Что в этом выводе поистине замечательно (и, разумеется, целиком и полностью подтверждено экспериментально), так это то, что интерференционные полосы порождает один-единственный фотон. Это решительно противоречит нашим интуитивным представлениям. Действительно, в классическом эксперименте интерференция возникает потому, что две волны, проходящие по двум путям интерферометра, получают разные фазы и затем складываются когерентно на фотодетекторах. Но в нашем эксперименте присутствует всего один фотон! Фотон — неделимая элементарная частица света, поэтому он не может расщепиться[21] в интерферометре и породить две волны, необходимые для образования интерференционных полос. Он должен двигаться в одиночестве либо по верхнему, либо по нижнему пути интерферометра — но не по двум путям одновременно.

Эти разумные и интуитивно понятные доводы противоречат и нашим расчетам, и экспериментальным наблюдениям. Как можно это объяснить?

Фотон, попадающий в интерферометр, находится в суперпозиции состояний вертикальной и горизонтальной поляризации. После первого PBS он по-прежнему находится в состоянии суперпозиции — но теперь это также суперпозиция верхнего и нижнего путей интерферометра. После воссоединения путей она вновь превращается в суперпозицию состояний поляризации — но уже с фазовым сдвигом у одного из ее компонентов. Именно эти два компонента суперпозиции играют здесь роль двух волн из классического эксперимента и интерферируют друг с другом. Так проявляется корпускулярно-волновой дуализм (wave-particle duality) квантовых частиц[22].

Получается, что в определенном смысле фотон все-таки расщепляется между двумя каналами интерферометра. Однако такое волноподобное поведение возможно только в том случае, если компоненты остаются в состоянии суперпозиции. Чтобы это проиллюстрировать, предположим, что в обоих каналах интерферометра мы размещаем детекторы, способные регистрировать фотоны, не разрушая их. Всякий раз, когда какой-нибудь фотон попадает в интерферометр, один из этих детекторов срабатывает и показывает нам, по верхнему или по нижнему пути прошел фотон. Таким способом, как сказали бы отцы-основатели квантовой механики, мы получаем о фотоне информацию Welcher Weg[23].

Получение информации Welcher Weg означает измерение положения фотона. В предыдущем разделе мы узнали, что такое измерение схлопывает состояние суперпозиции и превращает его, в зависимости от результата, либо в фотон, находящийся на верхнем, либо в фотон, находящийся на нижнем пути интерферометра. Глядя на детектор Welcher Weg, наблюдатель может точно сказать, в каком состоянии — горизонтальном или вертикальном — фотон выйдет из интерферометра. Так или иначе, последующее измерение этого фотона в диагональном базисе выдаст тот или другой результат с вероятностью 1/2 независимо от разности хода. Таким образом измерение Welcher Weg разрушает волновые свойства фотона и заставляет его вести себя как частица.

Конечно, дело обстоит именно так даже в том случае, если наблюдатель не смотрит на детекторы Welcher Weg. Тогда фотон находится в смешанном состоянии — он движется либо по верхнему, либо по нижнему пути интерферометра с вероятностью 1/2, — но уже не в состоянии суперпозиции. То есть вместо ситуации упр. 1.14 мы оказываемся в ситуации упр. 1.12. Состояние фотона утратило свою квантовую когерентность — четко определенное соотношение фаз между членами суперпозиции. А такой фотон больше не может демонстрировать интерференцию.

Этот мысленный эксперимент демонстрирует квантовую дополнительность (complementarity) — общий принцип квантовой физики, гласящий, что объекты могут обладать дополнительными свойствами, которые невозможно наблюдать или измерять одновременно. Мы можем получить либо информацию Welcher Weg, либо интерференцию, но не то и другое вместе.

Упражнение 1.17. В условиях, описанных в отступлении 1.4, чему равны вероятности:

a) обнаружения бомбы без ее взрыва;

b) взрыва бомбы;

c) получения результата, не свидетельствующего однозначно о наличии бомбы?

1.6. Квантовая криптография

Теперь мы можем обсудить первое в этом курсе практическое приложение квантовой физики. Это приложение — криптография, обмен тайными сообщениями по незащищенным каналам.

Искусство тайнописи, известное с древности, сегодня представляет собой крупную отрасль индустрии телекоммуникаций, защищающую информационную безопасность отдельных лиц, предприятий и правительственных учреждений. В отступлении 1.5 описаны классические подходы к криптографии. В одном предложении ее содержание заключается в том, что в рамках классической физики мы вынуждены выбирать между надежным, но дорогим одноключевым шифрованием и дешевым, но не полностью безопасным шифрованием с открытым ключом.