15. Kolloquium Getriebetechnik E-Book

• Herausgeber: Mainz, G
• Kategorie: Fachliteratur
• Sprache: Deutsch

Seitenzahl: 189

Veröffentlichungsjahr: 2023

Beschreibung

Die Getriebetechnik ist eine Querschnittswissenschaft mit dem Ziel, Lösungen für die Übertragung von Bewegungen und Kräften in vielfältigen Teilgebieten des Ingenieurwesens zu entwickeln und in die Anwendung zu überführen. Die Beiträge behandeln die Auslegung ungleichförmig übersetzender Getriebe, Anwendungen im Maschinenbau und der Robotik sowie mechatronische Systeme in der Fahrzeug- Antriebstechnik.

Leseprobe

Burkhard Corves, Mathias Hüsing (Hrsg.)

15. Kolloquium

Getriebetechnik

13. - 15. September 2023

Impressum

1. Auflage 2023

© Verlag Mainz

Alle Rechte vorbehalten

Printed in Germany

Gestaltung, Druck und Vertrieb:

Druck & Verlagshaus Mainz

Süsterfeldstraße 83

52072 Aachen

www.verlag-mainz.de

Abbildungsnachweis:

Umschlag: Privatarchiv des Autors

Druckbuch:

ISBN-10: 3-95886-502-X

ISBN-13: 978-3-95886-502-0

E-Book:

ISBN-10: 3-95886-540-2

ISBN-13: 978-3-95886-540-2

3

Getriebekolloquium 2023

Inhaltsverzeichnis

Getriebetechnik und Kinematik

Stefan Gössner

Vektorielle Kinematikanalyse eines Mechanismus

mit hoher Rastgüte 7

Burkhard Alpers

Vergleich der GG-Übertragungsfunktionen aus

der Neufassung der VDI Richtlinie 2143 23

Markus Huber, Laurin Schweigert, Simon Schiele, Christoph Rehekampff,

Franz Irlinger and Tim Lüth

Automatisierte Zwei-Posen-Synthese für Faltstrukturen

zur Herstellung aus ebenen Halbzeugen 45

Nachgiebige Mechanismen

Hannes Jahn and Lena Zentner

Methode zum dreidimensionalen Exportieren von

nachgiebigen Mechanismen aus dem Analysetool „CoMSys“ 57

Lukas Merker, Valter Böhm and Lena Zentner

Modellbildung und Steifigkeitsanalyse eines nachgiebigen

Tensegrity-ähnlichen Koppelelements 63

Vivien Platl and Zentner Lena

Eigenfrequenzberechnung von Parallelschwingen mit

unterschiedlichen Festkörpergelenkkonturen 67

4

Getriebekolloquium 2023

Estefania Andrea Hermoza Llanos, Mathias Huesing, Burkhard Corves and Anupam Saxena

On design of monolithic curved compliant finger based

on topology optimization with a follower input force 73

Jascha Paris and Hernes Jacobs

Anwendung nachgiebiger Mechanismen in einem

reaktionsschnellen Pumpsystem in der Medizintechnik 85

Entwicklung und Anwendung

Eric Kleist, Paul Henke, Rainer Bader and Christoph Woernle

Entwicklung einer Methodik zum Testen von Knie

Endoprothesen an einem Gelenksimulator 95

Kassandra Franke, Karsten Gerlach and Maik Berger

Effizienter Einsatz von Simulationswerkzeugen bei

der Substitution von Antriebskomponenten in Textilmaschinen

am Beispiel einer KEMAFIL®-Anlage 99

Mensch-Roboter-Kollaboration und

Sensitive Robotik

Alexander Hoffmann, Patrick Jendro and Andrés Kecskeméthy

Experimentelle Identifikation einer freien Drehachse mit

einem taktilen Roboter unter Gewichtseinflüssen mit

onsite Eigenwert-Iterationen 105

Marco Schneider, Attique Bashir and Rainer Müller

Einsatz eines sensitiven Roboters zur kraftgeregelten

Bearbeitung von Freiform-Oberflächen in der Keramikindustrie 109

5

Getriebekolloquium 2023

Automatisierte Konstruktion

Erik Möllmann, Stefan Kurtenbach, Michael Bühren and Tobias Bruckmann

Systementwurf eines Modulbaukastens für die Konzeptionierung

von automatischen Be- und Entladeprozessen 123

Marie Lüth, Franz Irlinger and Tim Lüth

Gestaltung von Passungen zwischen FDM-Druck- und Normteilen

für die automatische Konstruktion von Mechanismen 129

Energieeffizienz und Antriebstechnik

Clemens Troll, Paul Kloß and Olaf Holowenko

Auslegung und Steuerung eines energieeffizient

angetriebenen Schrittgetriebes unter Berücksichtigung

kinematischer Restriktionen 133

Thomas Knobloch, Ferdinand Schwarzfischer, Mathias Hüsing and Burkhard Corves

Entwicklung und Konstruktion eines Prüfstands zur

Validierung von energieeffizienten Bewegungssystemen 153

Claas Duarte Nanninga, Maik Berger and Franz Klötzer

Innovative Textilmaschinenkomponente zur Herstellung

rundgewirkter, diagonalverstärkter Hochleistungsnetzstrukturen 155

7

Getriebekolloquium 2023

Vektorielle Kinematikanalyse eines

Mechanismus mit hoher Rastgüte

Prof. Dr.-Ing. Stefan Gössner1, Dortmund University of Applied Sciences. Department of Mecha-nical Engineering August 2023

Kurzfassung

Dieser Beitrag bezieht sich auf eine Veröffentlichung von Figliolini und Lan-ni, in der sie die kinematische Analyse eines ebenen Koppelrastgetriebes durchführen und dabei den Nachweis erbringen, dass die 4. Zeitableitung in den zusammenfallenden Umkehrlagen verschwindet [1]. Den dort ver-wendeten skalaren Gleichungen werden in diesem Beitrag Vektorgleichun-gen gegenübergestellt, mit dem Ziel, eine vergleichende qualitative Aussage über die Effizienz beider Methoden im Sinne des Laufzeitverhaltens einer Implementierung zu treffen.

Stichwörter: Koppelrastgetriebe, Kinematikanalyse, Effizienzvergleich Skalar/Vektor-Methode

Abstract

This paper refers to a publication by Figliolini and Lanni in which they carry out the kinematic analysis of a planar coupler-dwell mechanisms with the proof of the disappearance of the 4th time derivative in the superposition of the dead-point positions [1]. The scalar equations used there are contrasted with vector equations in this paper, with the aim of making a comparative qualitative statement about the efficiency of both methods in terms of the runtime behaviour of an implementation.

Keywords: long-dwell linkage, kinematic analysis, scalar vs. vector method comparison

8

Getriebekolloquium 2023

1. Introduction

Ein Rastgetriebe formt eine umlaufen-de Antriebsbewegung in eine ... perio-disch durch eine oder mehrere Rasten unterbrochene Abtriebsbewegung um.

- Johannes Volmer

Nach Volmer muss in einer exakten Rast nicht nur die 1. und 2. Ablei-tung, sondern zudem noch die 3. Ableitung des Abtriebsparameters nach dem Antriebsparameter Null sein [2].

Giorgio Figliolini und Chiara Lanni haben ein Koppelrastgetriebe mit verschwindender 4. Ableitung des Abtriebsparameters vorgestellt und kinematisch untersucht [1]. Die-ses Rastgetriebe ist ein 8-gliedriger Koppelmechanismus mit drei vier-gliedrigen Teilmechanismen der Ty-pen RRRR, RRRP und RRPP. Eine Besonderheit und verantwortlich für

die Rast hoher Güte ist dabei die Su-perposition aller Umkehrlagen jener Teilmechanismen.

Grundlage der kinematischen Analyse in dieser – nachfolgend als „Referenzbeitrag“ bezeichne-ten – Veröffentlichung [1] ist die Beschreibung der Teilmechanis-men durch planare, geschlossene Vektorzüge. Die Bestimmung der kinematischen Parameter erfolgt allerdings über die getrennte Be-handlung der kartesischen Vek-torkomponenten und ist somit vielmehr als skalar algebraisches Verfahren anzusehen.

Im vorliegenden Beitrag wird dieser kinematischen Analyse im Referenzbeitrag eine vektorielle Analyse gemäß symplektischer Geometrie im gegenüberge-stellt [3]. Ein symplektischer Vek-torraum über ist der Vektor-raum (, ) ausgestattet mit der

Bild 1: Koppelrastgetriebe mit langer Rast

9

Getriebekolloquium 2023

schiefsymmetrischen Bilinearform , wonach mit

eine orientierte Fläche des durch die Vektoren a und b aufgespannten Par-allelogramms resultiert. Gleichzeitig ist dieser symplektische Vektorraum ausgestattet mit einer verträglichen komplexen Form J, gemäß

Die komplexe Form J hat in die Gestalt einer schiefsymmetri-schen Matrix . Wird sie von links auf einen ebenen Vektor an-gewendet, führt dieser eine positive Vierteldrehung aus. J ist somit ein Orthogonaloperator, den wir bei An-wendung auf einen Vektor mit einer – die Schiefsymmetrie reflektieren-de – Tilde '~' über der Variable kenn-zeichnen, also .

Darüber hinaus ist die komplexe Struktur J mit dem Skalarprodukt verträglich

Bild 2: Viergelenk Mechanismus RRRR

dessen Ergebnis ebenfalls als ori-entierte Fläche aufgefasst werden kann. Tatsächlich sind in der sym-plektischen Geometrie Flächen die primären Objekte, im Gegensatz zu Längen und Winkeln der Eukli-dischen Geometrie. Symplektische Vektorräume sind ausschließlich definiert für geradzahlige Dimensi-onen [4, 5].

Zentraler Gegenstand dieses Bei-trags ist eine Gegenüberstellung der skalaren kinematischen Analyse des Referenzbeitrags und der vektoriel-len Analyse sowie ein Vergleich der jeweiligen numerischen Effizienz.

2. Skalare Methode vs.

Vektormethode

Die unterschiedliche numerische Behandlung von Gliedlagen wird anhand eines RRRR-Mechanismus veranschaulicht (Bild 2). Sie führt bekanntlich auf nichtlineare Glei-chungen in den Lageparametern.

10

Getriebekolloquium 2023

11

Getriebekolloquium 2023

liegen. Dieses Vorgehen benötigt weder Zugriff auf Vektorkompo-nenten noch einen Umgang mit Winkeln. Letztere sind bei Bedarf den nunmehr bekannten Vektoren gemäß Gleichungen (4) zu entneh-men.

3. Effizienz der Analyse- methoden

Wir sind an einer qualitativen Ge-genüberstellung der Effizienz bei-der Analysemethoden für das vor-liegende Beispiel interessiert. Für beide Rechenverfahren soll die Laufzeit einer Implementierung er-mittelt werden. Dies kann erfolgen über ...

eine Laufzeitmessung nach Implementierung in derselben Programmiersprache auf dem-selben Rechner.

die technische Analyse von Al-gorithmen mittels der 0-Nota-tion.

die Bestimmung der Anzahl notwendiger Basisoperationen.

Verfahren Eins hat den Nachteil, dass es von der jeweils spezifischen Hard- und Software abhängt. Wie-derholte Messungen variieren oft erheblich. Laufende Hintergrund- und/oder Startprozesse haben da-

bei einen nicht zu quantifizierenden Einfluss.

Das zweite Verfahren liefert für einen Algorithmus eine theoretische asymptotische Schranke in Abhän-gigkeit von einer Eingabelänge n, üblicherweise in einer worst case Betrachtung. Es eignet sich nicht für den Vergleich zweier numerischer Methoden.

Es wird das dritte Verfahren ge-wählt.

3.1 Laufzeitvergleichnumerischer Methoden

Mathematische Ausdrücke las-sen sich in ihre Anzahl Additio-nen, Multiplikationen, Divisionen und Verwendung mathematischer Funktionen zerlegen. Wenn man diesen Operationen einen Effizi-enzkennwert zuordnet, lassen sich die benötigten math. Ausdrücke hinsichtlich ihres Rechenaufwands vergleichen.

Als Grundlage verwenden wir die Analysen des Zeitbedarfs von As-semblerbefehlen des Informatikers Agner Fox von der TU Denmark [9]. Hierin sind in Tabellen für unter-schiedliche Mikroprozessoren der x86 Familie (Intel, AMD, VIA) die Anzahl der benötigten Prozessortak-te für unterstützte Assemblerbefehle gelistet.

12

Getriebekolloquium 2023

Tabelle 1 zeigt die relevanten Gleit-kommainstruktionen, auf deren Basis der Rechenaufwand für ma-thematische Operationen bemessen werden soll. Es gelten folgende Zu-sammenhänge und vereinfachende Annahmen:

Einheit der Messung ist die An-zahl der Takte eines Prozessor-kerns (core clock cycles).

Befehle werden streng nachei-nander ausgeführt (keine Paral-lelität).

Der gemittelte Aufwand pro Befehl (Latency) ist in der letz-ten Tabellenspalte (Comments) aufgeführt.

Zusätzliche Prozessortakte zwi-schen zwei Befehlen (Recipro-cal throughput) bleiben unbe-rücksichtigt.

Zusätzliche Takte für Registe-roperationen (Wertzuweisun-

gen, -vertauschungen) bleiben unberücksichtigt.

3.2 Laufzeitvergleich Beispiel

Es wird das Vorgehen beim Lauf-zeitvergleich anhand des Beispiels im Abschnitt 2 demonstriert.

Tabelle 2: Anzahl Prozessortakte für die skalare Methode (Abschnitt 2.1)

Die vektorielle Methode benötigt für

Skalarmultiplikation (Scl): 8 Takte

Vektoraddition (Sum): 6 Takte

Inneres Produkt (Dot): 11 Takte

Tabelle 1: Aufwand einiger Gleitkommabefehle als „Anzahl Prozessortakte“ nach Agner Fog [9]

Gl.

Add/Sub

Mul

Div

Sqrt

Sin/Cos

Atan

∑

3.1

5*3=15

13*4=52

-

-

3*90=270

-

337

3.2

4*3=12

4*4=16

15

17

-

130

190

3.3

3*3=9

4*4=16

-

17

4*90=360

130

532

∑

1059

13

Getriebekolloquium 2023

Tabelle 3: Anzahl Prozessortakte für die Vektorme-thode (Abschnitt 2.2)

Die Ergebnisse aus Tabelle 2 und 3 weisen ein Verhältnis des Rechen-aufwands von skalar/vektoriell ≈ 7/1 aus. Anzumerken ist hierbei, dass einerseits Gliedwinkel und ande-rerseits Gliedvektoren berechnet werden. Um nun Erstere in Letz-tere zu überführen oder umgekehrt wäre noch ein Zusatzaufwand in einem der beiden Fälle zu berück-sichtigen.

4. Kinematische Analyse

Für das Koppelrastgetriebe sind die relevanten kinematischen Größen bis zur vierten Zeitableitung zu er-mitteln. Die skalaren Beziehungen werden dem Referenzbeitrag ent-

nommen, ebenso wie die Gliedlän-gen (Einheit e).

4.1 Glied lagen

Gemäß Bild 3 werden für die drei Teilmechanismen drei Schlei-fengleichungen aufgestellt.

(5)

Diese drei Vektorgleichungen ent-halten die sechs unbekannten Lage-größen

Der Antriebswinkel 02 und alle Gliedlängen risind bekannt. Die Schleifengleichungen sind sukzessi-ve analytisch lösbar. Hierfür werden die fünf Fälle der ebenen Vektorg-leichung verwendet [10].

Die Anzahl der Prozessortakte für die notwendigen Instruktionen un-terscheidet sich erheblich abhängig vom gewählten Verfahren. Während die vektorielle Methode 262 Tak-te zur Ermittlung der Lagegrößen benötigt, benötigt die algebraische Methode mit 2404 Takten nahezu

Gl.

Add/Sub

Mul

Div

Sqrt

Scl

Sum

Dot

∑

4.1

3

-

-

-

4*8=32

2*6=12

-

47

4.2

3*3=9

8*4=32

3*15=45

17

-

-

-

103

∑

150

Bild 3: Koppelrastgetriebe mit Gliedvektoren

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Getriebekolloquium 2023

das Zehnfache. Hiervon nehmen die trigonometrischen Funktionen den Hauptanteil ein. Selbst wenn man die sin und cos-Ausdrücke in Hilfs-variablen speichert und deren Auf-wand weglässt – jedoch nicht den der Arkus-Funktionen – bleibt mit 964 Takten immer noch das nahe-zu Vierfache an Rechenaufwand im Vergleich zur Vektormethode.

4.2 Geschwindigkeiten

Die zeitliche Ableitung der Schlei-fengleichungen (5) liefert die Ge-schwindigkeitsbeziehungen.

(6)

Die sechs unbekannten Geschwin-digkeiten korres-pondieren mit den Lagegrößen, die nunmehr als bekannt vorausgesetzt werden.

Der Rechenaufwand des vektoriel-len Verfahrens ist für die Geschwin-digkeiten mit 170 Takten erheblich geringer im Vergleich zu den Lage-größen. Der Mehraufwand des alge-braischen Vorgehens beträgt immer noch etwa das Sechsfache bzw. un-ter Verwendung trigonometrischer

Tabelle 1: Lagengeometrie

Mec

Vektoriell

Skalar

RRRR

Takte

157

1732 (652)

RRRP

Takte

53

430 (160)

RRPP

Takte

52

242 (152)

∑ Tkt

262

2404 (964)

15

Getriebekolloquium 2023

Hilfsvariablen nahezu das Dreifache im Vergleich zur Vektormethode.

4.3 Beschleunigungen

Die zeitliche Ableitung der Geschwin-digkeiten (6) liefert die Beschleuni-gungsform der Schleifengleichungen.

(7)

Mit bekannter Winkelbeschleuni-gung sowie allen relevanten Ge-

schwindigkeiten lassen sich die sechs unbekannten Beschleunigungsgrö-ßen bestimmen. Die vektorielle Me-thode verwendet Hilfsvariablen Hi.

Der Rechenaufwand des vektoriel-len Verfahrens für die Beschleuni-gungen des vorliegenden Beispiels beträgt 220 Takte. Demgegenüber benötigt die Rechnung mit Vektor-komponenten im Referenzpapier mit 2157 Takten nahezu das Zehn-fache und bei Verwendung trigono-metrischer Hilfsvariablen immerhin mit 1077 noch etwa das Vierfache.

Tabelle 2: Geschwindigkeiten

Mec

Vektoriell

Skalar

RRRR

Takte

82

426 (426)

RRRP

Takte

61

406 (46)

RRPP

Takte

27

207 (27)

∑ Tkt

170

1039 (499)

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Getriebekolloquium 2023

4.4 Rucke

Die zeitliche Ableitung der Be-schleunigungen (7) liefert die Ruck-gleichungen.

Mit bekanntem Winkelruck sowie allen relevanten Geschwin-digkeiten und Beschleunigungen lassen sich die sechs unbekannten Ruckgrößen bestimmen. Beide

Methoden verwenden Hilfsvariab-len.

Das vektorielle Verfahren stellt für die Ruckgrößen 309 Prozessortakte in Rechnung. Die skalare Berech-nung der Vektorkomponenten ge-mäß [1] wendet dafür 3690 Takte auf. Eine Pufferung der trigonome-trischen Funktionswerte reduziert diesen Aufwand auf 630 Takte.

Tabelle 3: Beschleunigungen

Mec

Vektoriell

Skalar

RRRR

Takte

110

906 (906)

RRRP

Takte

57

834 (114)

RRPP

Takte

53

417 (57)

∑ Tkt

220

2157 (1077)

(8)

17

Getriebekolloquium 2023

4.5 Ruckänderungen

Die zeitliche Ableitung der Ruck-gleichungen führt zu den Gleichun-gen der Ruckänderung.

Mit bekannter Winkelruckänderung sowie allen relevanten Ruck-,

Geschwindigkeits- und Beschleu-nigungsgrößen lassen sich die sechs unbekannten Ruckänderungsgrößen ermitteln.

Die Berechnung der Ruckände-rungsgrößen nach der Vektormetho-de benötigt 496 Prozessortakte. Das

Tabelle 4: Rucke

Mec

Vektoriell

Skalar

RRRR

Takte

139

1957 (337)

RRRP

Takte

102

1270 (190)

RRPP

Takte

68

463 (103)

∑ Tkt

309

3690 (630)

18

Getriebekolloquium 2023

aufwändigere Verfahren mittels der skalaren Vektorkomponenten ver-braucht 6528/1128 Takte mit/ohne Neuberechnung der trigonometri-schen Werte.

4.6 Ergebnisse

Im Vergleich der skalaren und der vektoriellen Methode wird zum einen die Laufzeiteffizienz beider

(9)

Mec

Vektoriell

Skalar

RRRR

Takte

250

3270 (570)

19

Getriebekolloquium 2023

Methoden auf Basis der benötigten Prozessortakte gegenübergestellt, zum andern der Grad der Lesbarkeit und Interpretierbarkeit der resultie-renden Gleichungen beurteilt.

Die vektorielle Rechnung benö-tigt insgesamt 1457 Prozessortak-te gegenüber 16068/4298 Takten während der skalaren Berechnung. Eine praxisnahe Implementierung wird sicherlich die Werte sinӨiund cosӨipuffern, so dass der zweite Wert mit 4298 Takten als realisti-scher Rechenaufwand der skalaren Methode gilt.

Als Ergebnis kann somit ein Ver-hältnis des Rechenaufwands von

vektoriell/skalar ≈ 1/3 angesehen und getrost auf jegliche geometri-sche und kinematische Analysen verallgemeinert werden. Tatsächlich liefert die Laufzeitmessung der Im-plementierung des Autors von Bei-spiel 2 auf seinem Desktop Com-puter unter JavaScript auf Firefox, Chrome und Node.js Verhältnisse vektoriell/skalar im Bereich von 1/2 bis 1/4. Dieser Laufzeitunter-schied mag bei der Rechenleistung heutiger Systeme vernachlässigbar erscheinen, ist allerdings bei zuneh-mendem Einsatz von Mikrocont-rollern und Einplatinencomputern bspw. im IoT-Bereich signifikant.

Mec

Vektoriell

Skalar

RRRP

Takte

144

2163 (363)

RRPP

Takte

102

1095 (195)

∑ Tkt

496

6528 (1128)

Tabelle 5: Ruckänderungen

20

Getriebekolloquium 2023

Hinsichtlich der Lesbarkeit der kinematischen Gleichungen zei-gen sich erwartungsgemäß die Vektorgleichungen deutlich kom-pakter und übersichtlicher als ihre skalaren Äquivalente. Auch die Interpretierbarkeit der Vektorg-leichungen ist leichter. So lässt sich beispielsweise zur Winkelge-schwindigkeit in Tabelle4 wegen des symplektischen Pro-dukts im Zähler und Nenner sagen (Bild 3):

wird Null, wenn Glieder 2 und 3 kollinear, also in der Strecklage sind.

strebte gegen unendlich, wenn die Glieder 3 und 4 sich der Strecklage näherten (kine-matisch hier nicht möglich).

Beim näheren Hinsehen fällt auf, dass Flächen – im Sinne der sym-plektischen Geometrie – einen beträchtlichen Anteil in den Be-ziehungen der vektoriellen kinema-tischen Größen besitzen. Mit deren

Hilfe lässt sich auch ohne numeri-sche Betrachtung folgern, dass die Zeitableitungen der Abtriebsgröße s bis zur 4. Ordnung Null sind (Ta-belle 9).

Als Gesamtergebnis lässt sich festhalten, dass eine vektorielle Betrachtung geometrischer oder kinematischer Problemstellungen Vorteile gegenüber einer skalaren Analyse sowohl hinsichtlich Über-sichtlichkeit und Anschaulichkeit der Gleichungen als auch bezüglich Laufzeiteffizienz ihrer Implemen-tierungen besitzt.

5. Zusammenfassung

Ein Koppelrastgetriebes, bestehend aus drei einschleifigen Teilmecha-nismen mit, in einer ausgezeichne-ten Stellung, zusammenfallenden Rasten, wird in einem Referenzbe-itrag [1] bis zur vierten Zeitablei-tung kinematisch analysiert. Die kinematische Analyse hierin basiert

Tabelle

Wegen ...

... resultiert ...

s(i)

1

Orthogonalität

-

2

3

4

5

Tabelle 6: Nachweis der hohen Rastgüte

21

Getriebekolloquium 2023

auf skalaren Vektorkomponenten. Der vorliegende Beitrag stellt dieser skalaren Methode eine vektorielle Methode, frei von Komponenten und Trigonometrie, gegenüber.

Die entstandenen Gleichungen für die kinematischen Parameter von 0. bis 4. Ordnung werden für beide Methoden anschaulich gegenüberge-stellt. Zudem wird der beiderseitige Rechenaufwand für die notwendigen Basisoperationen in den Gleichungen ermittelt. Als Maß dient die Anzahl der Takte eines Prozessorkerns für die äquivalenten Assemblerbefehle. Als Ergebnis resultiert ein Laufzeit-verhältnis von vektoriell/skalar ≈ 1/3 zugunsten der Vektormethode. Zudem sind die weniger umfangrei-chen, vektoriellen Gleichungen ein-facher zu interpretieren als ihre ska-laren Äquivalente.

Literatur

[1] Figliolini, Giorgio; Lanni, Chi-ara: Jerk and Jounce Relevance for the Kinematic Performance of LongDwell Mechanisms. Pro-ceedings of the 15th IFToMM World Congress on Mechanism and Machine Science, 2019, ISBN: 978-3-030-20131-9

[2] Volmer, J.: Getriebetechnik – Koppelgetriebe. VEB Verlag Technik, Berlin, 1979

[3] Gössner, Stefan: Symplectic Geometry for Engineers – Fun-damentals, Dec. 2019; https://tinyurl.com/47pavdm3

[4] McDuff, Dusa: A Glimpse into Symplectic Geometry. State University of New York, 1999 https://citeseerx.ist.psu.edu/doc/10.1.1.641.5673

[5] Arnold, V.I.: Mathematical Me-thods of Classical Mechanics. 2nd Edition, Springer, 1989

[6] Luck, Kurt; Modeler, Karl-Heinz: Getriebetechnik Ana-lyse, Synthese, Optimierung. Springer, Berlin/Heidelberg, 1995

[7] McCarthy, J.M. et. al.: Geome-trie Design of Linkages. Sprin-ger, 2010

[8] Uicker, J.J. et al.: Theory of Machines and Mechanisms. Oxford Press, 2011

[9] Fog, Agner: Instruction tables: Lists of instruction latencies, ... for Intel, AMD and VIA CPUs. Technical University of Denmark, 2022. https:/ /www.agner.org/optimize/

[10] Gössner, S.: Mechanismen-technik – Vektorielle Analyse ebener Mechanismen., Berlin, Logos Verlag 2017.

23

Getriebekolloquium 2023

Vergleich der GG-Übertragungsfunktionen aus der Neufassung der VDI Richtlinie 2143

Comparison of the GG transfer functions in the new edi-tion of VDI 2143

Prof. Dr. Burkhard Alpers, Hochschule Aalen – Aalen University, Fakultät Maschinenbau, 73430 Aalen, Deutschland, [email protected]

Kurzfassung

In der Neuauflage der VDI Richtlinie 2143, die 2023 im Gründruck erscheint, wird für die so genannte GG-Aufgabenstellung (konstante Geschwindigkeit in konstante Geschwindigkeit) eine neue normierte Bewegungsfunktion an-geboten, bei der Extremalwerte auch über einem ganzen Intervall und nicht nur punktuell angenommen werden können. Damit kann man dann auch „schnelle“ Bewegungsfunktionen berücksichtigen, die durch das Erreichen mindestens eines Extremwertes bezüglich Geschwindigkeit, Beschleuni-gung oder Ruck zu jedem Zeitpunkt eine Bewegungsaufgabe in möglichst kurzer Zeit realisieren sollen. Im vorliegenden Beitrag werden die in der Neuauflage aufgeführten Funktionen bezüglich der dort genannten Kenn-werte miteinander und bezüglich der benötigten Zeit mit den „schnellen“ Bewegungsfunktionen verglichen. Methodische Probleme, die sich aus dem Zeitvergleich von normierten und nicht normierten Funktionen und aus dem Vergleich parameterabhängiger Funktionen ergeben, werden diskutiert und Lösungsvorschläge umgesetzt, so dass je nach Prioritätensetzung eine geeig-nete Auswahl getroffen werden kann.

Stichwörter: VDI Richtlinie 2143, GG-Übertragungsfunktionen, Kennwerte.

Abstract

In the next edition of VDI Guideline 2143, a preliminary version of which will appear in 2023, a new transfer function is offered for the so-called GG

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Getriebekolloquium 2023

task (constant velocity to constant velocity) where extreme values can be held over a non-zero interval and not just at a single point. Using this function one can realize “fast” motion functions which try to reduce overall time by reach-ing extreme values of jerk, acceleration or jerk at any point of time. In this contribution we compare the given functions for the GG task with each other regarding characteristic values stated in the guideline and with fast motion functions regarding time. Methodical problems result from the comparison of normalized and not-normalized functions as well as from the fact that the func-tions contain several parameters for which nearly arbitrary values can be cho-sen which have influence on the characteristic values. These are discussed and solutions are suggested such that the user can make a suitable choice according to the priorities which are relevant for the task at hand.

Keywords: VDI Guideline 2143, GG transfer function, characteristic values.

1 Einleitung

In der VDI-Richtlinie 2143 [1] werden dem Leser für verschiede-ne Typen von Bewegungsaufgaben Bewegungsfunktionen in normier-ter Form angeboten, aus denen er anhand von Kennwerten eine für seine Aufgabenstellung geeignete Funktion auswählen kann, um einen Bewegungsabschnitt zu bilden. Die-se Richtlinie ist überarbeitet wor-den, so dass das Anwendungsgebiet nicht mehr nur Kurvengetriebe, sondern nun auch Motion-Control- Systeme umfasst. Der Gründruck [2] wird voraussichtlich Mitte 2023 erscheinen. Er enthält neben neuen Kennwerten (siehe etwa [3]) auch weitere normierte Bewegungsfunk-

tionen. Im vorliegenden Beitrag wird der Aufgabentyp GG betrach-tet, bei dem von einer konstanten Geschwindigkeit zu einer anderen konstanten Geschwindigkeit über-gegangen werden soll, d.h. An-fangs- und Endbeschleunigung sind gleich Null. Für diese Aufgabe sind in [1] nur zwei Funktionen vorge-sehen: das Polynom 5. Grades, mit dem jede Bewegungsaufgabe bei vorgegebener 1. und 2. Ableitung am Anfang und am Ende zu lösen ist, sowie die modifizierte Sinus-linie, bei der die 2. Ableitung aus vier trigonometrischen Abschnit-ten zusammengesetzt wird und mit einem Parameter λ noch die Länge des Beschleunigungsteils variiert werden kann. Dadurch kann man