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- Herausgeber: Fondo de Cultura Económica
- Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
- Serie: La Ciencia para Todos
- Sprache: Spanisch
- Veröffentlichungsjahr: 2019
Aunque algunos temas de álgebra le serán ya familiares al lector, como el teorema de Pitágoras, otros constituirán una novedad, y así encontrará, entre otros apasionantes temas, un estudio de la teoría de los autómatas y la relación que esto guarda con la derrota del campeón de ajedrez Kasparov "a manos" de una computadora; y una explicación de la demostración del último teorema de Fermat, acerca de la que escribieron todos los periódicos del mundo en 1994, entre otros apasionantes temas.
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Seitenzahl: 261
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ÁLGEBRA EN TODAS PARTES
La Cienciapara Todos
Desde el nacimiento de la colección de divulgación científica del Fondo de Cultura Económica en 1986, ésta ha mantenido un ritmo siempre ascendente que ha superado las aspiraciones de las personas e instituciones que la hicieron posible. Los científicos siempre han aportado material, con lo que han sumado a su trabajo la incursión en un campo nuevo: escribir de modo que los temas más complejos y casi inaccesibles puedan ser entendidos por los estudiantes y los lectores sin formación científica.
A los diez años de este fructífero trabajo se dio un paso adelante, que consistió en abrir la colección a los creadores de la ciencia que se piensa y crea en todos los ámbitos de la lengua española —y ahora también del portugués—, razón por la cual tomó el nombre de La Ciencia para Todos.
Del Río Bravo al Cabo de Hornos y, a través de la mar Océano, a la Península Ibérica, está en marcha un ejército integrado por un vasto número de investigadores, científicos y técnicos, que extienden sus actividades por todos los campos de la ciencia moderna, la cual se encuentra en plena revolución y continuamente va cambiando nuestra forma de pensar y observar cuanto nos rodea.
La internacionalización de La Ciencia para Todos no es sólo en extensión sino en profundidad. Es necesario pensar una ciencia en nuestros idiomas que, de acuerdo con nuestra tradición humanista, crezca sin olvidar al hombre, que es, en última instancia, su fin. Y, en consecuencia, su propósito principal es poner el pensamiento científico en manos de nuestros jóvenes, quienes, al llegar su turno, crearán una ciencia que, sin desdeñar a ninguna otra, lleve la impronta de nuestros pueblos.
Comité de Selección
Dr. Antonio Alonso
Dr. Francisco Bolívar Zapata
Dr. Javier Bracho
Dr. Juan Luis Cifuentes
Dra. Rosalinda Contreras
Dr. Jorge Flores Valdés
Dr. Juan Ramón de la Fuente
Dr. Leopoldo García−Colín Scherer
Dr. Adolfo Guzmán Arenas
Dr. Gonzalo Halffter
Dr. Jaime Martuscelli
Dra. Isaura Meza
Dr. José Luis Morán López
Dr. Héctor Nava Jaimes
Dr. Manuel Peimbert
Dr. José Antonio de la Peña
Dr. Ruy Pérez Tamayo
Dr. Julio Rubio Oca
Dr. José Sarukhán
Dr. Guillermo Soberón
Dr. Elías Trabulse
Coordinadora
María del Carmen Farías R.
José Antonio de la Peña
ÁLGEBRA EN TODAS PARTES
La Ciencia para Todos / 166
Primera edición, 1999 Primera edición electrónica, 2017
Diseño de portada: Laura Esponda Aguilar / León Muñoz Santini
La Ciencia para Todos es proyecto y propiedad del Fondo de Cultura Económica, al que pertenecen también sus derechos. Se publica con los auspicios de la Secretaría de Educación Pública y del Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología.
D. R. © 1999, Fondo de Cultura Económica Carretera Picacho-Ajusco, 227; 14738 México, D. F. Empresa certificada ISO 9001:2008
Comentarios:[email protected] Tel. (55) 5227-4672
Se prohíbe la reproducción total o parcial de esta obra, sea cual fuere el medio. Todos los contenidos que se incluyen tales como características tipográficas y de diagramación, textos, gráficos, logotipos, iconos, imágenes, etc., son propiedad exclusiva del Fondo de Cultura Económica y están protegidos por las leyes mexicanas e internacionales del copyright o derecho de autor.
ISBN 978-607-16-3463-4 (ePub)
Hecho en México - Made in Mexico
A NELIA
El tiempo ha llegado, dijo la Morsa,de hablar de muchas cosas,de zapatos, de barcos y sobres lacrados,de coles y reyes.
Alicia a través del espejo, LEWIS CARROLL
Ver el mundo en un grano de arenay el cielo en una flor silvestre,Asir el infinito en la palma de tu manoy la eternidad en una hora.
Augurios de inocencia, WILLIAM BLAKE
INTRODUCCIÓN
El hombre es mortal por sus temorese inmortal por sus deseos.
PITÁGORAS
Comenzaré refiriendo mis temores. Escribir un libro de matemáticas para un público amplio es un reto muy atractivo del que no parece fácil salir bien librado. La sensación es parecida a la de tocar sonatas de Bach ante un público que creía que iba a escuchar un concierto de rock. O a la de ir a dar una conferencia de divulgación de matemáticas a una preparatoria para descubrir, cuando ya está uno ante un auditorio de 100 personas, que por equivocación anunciaron que la conferencia tendría como tema la sexología. Esto último me pasó hace años en una preparatoria en Puebla. Cuando aclaré al auditorio el error muchos se salieron, pero los que se quedaron, y fueron bastantes, no la pasaron mal.
Sé que la mayor parte del auditorio que tengo enfrente piensa que las matemáticas son feas, frías, aburridas y difíciles. Yo y muchos otros matemáticos sabemos que esto no es cierto: las matemáticas son bellas, cálidas, apasionantes y no siempre difíciles (de hecho, a veces, cuando entiende uno bien las cosas pueden ser claras y sencillas). Este libro constituye un intento de convencer al lector de que las matemáticas pueden ser así. La única manera que tengo de hacerlo es mostrándole algunas de las cosas que me gustan.
En este libro vamos a hablar de álgebra. Bueno, de algunos temas de álgebra. Algunos serán familiares para el lector, como el teorema de Pitágoras o las ecuaciones cuadráticas. Otros serán nuevos. Entre otras cosas, el lector encontrará aplicaciones de la teoría de matrices para la predicción de resultados de partidos de baloncesto; encontrará un estudio acerca de la teoría de los autómatas y sus lenguajes y su relación con la reciente derrota de Kasparov “a manos” de una computadora; encontrará una explicación de la demostración del último teorema de Fermat, sobre la que escribieron todos los periódicos del mundo en 1994.
Hay dos cualidades en particular de las matemáticas que queremos mostrar al lector:
Las matemáticas son útiles. Encontramos a las matemáticas en la solución de problemas muy variados. Desde problemas de conteo, hasta problemas físicos, químicos, ornamentales, deportivos y otros. En todos estos campos, el común denominador es la eficiencia con que funciona la maquinaria matemática.
Las matemáticas son una ciencia viva. Por alguna extraña razón se tiene la falsa idea de que las matemáticas forman un cuerpo de conocimiento completo, escrito en libros sólo comprensibles para algunos iniciados: los matemáticos. A este respecto puedo referir una anécdota. Una vez iba a entrar en un país en el que se requería visa. Me preguntaron en la Oficina de Migración:
—¿Cuál es su ocupación?
—Investigación en matemáticas.
—¿En qué área?
—Álgebra.
—¡Imposible! Si me dijera que en cálculo, tal vez lo creería. Pero en álgebra ya se sabe todo.
Por supuesto, esto no es así. El ejemplo reciente más famoso es la solución que dio en 1994 Andrew Wiles a un problema que fue planteado a principios del siglo XVII. Pero menos famosos que este problema, hay miles de problemas en los que los matemáticos trabajaron el día de hoy.
Hablemos ahora un poco sobre el contenido y la organización de este libro. Nuestra presentación de los temas será más o menos cronológica, de manera que a lo largo de los capítulos tocaremos temas de: aritmética, teoría de números, teoría de matrices, álgebra abstracta y finalmente álgebra y computación. Los capítulos son independientes entre sí, aunque en ocasiones se supone que alguna notación o algunas ideas ya son conocidas. Los primeros cuatro capítulos tratan problemas matemáticos cuyo planteamiento data de siglos atrás; éstos son generalmente numéricos (por ejemplo, problemas de conteo y de solución de ecuaciones). Los siguientes cuatro capítulos tratan lo que generalmente se llama álgebra moderna, es decir, la que se ha desarrollado de finales del siglo pasado hasta nuestros días. Los problemas que se estudian en estos capítulos comprenden estructuras algebraicas abstractas (por ejemplo, grupos y matrices). En el último capítulo damos algunos detalles biográficos de los matemáticos más importantes que tratamos a lo largo del libro. Al final de algunos capítulos el lector encontrará problemas. Algunos aparecen con soluciones completas, otros no. El libro cierra con una sección de referencias comentadas que debe servir al lector interesado para obtener otras lecturas que le permitan profundizar en temas que hayan despertado su curiosidad.
Algunas partes del libro se pueden leer como un recuento histórico y anecdótico salpicado con unas pocas ideas matemáticas. Otras son más difíciles. El lector no debe desanimarse si no entiende algunas cosas. Si durante una primera lectura encuentra partes demasiado difíciles, puede saltárselas y pasar al siguiente párrafo, sección o capítulo. Tal vez en una segunda lectura las cosas que fueron difíciles la primera vez comiencen a aclararse. Como ayuda para que el lector sepa cuáles son las secciones más difíciles, las hemos marcado con un asterisco, así: (*).
Las verdades matemáticas se llaman teoremas. Para llegar a establecer la validez de un teorema se requiere una demostración rigurosa que sea aceptada por cualquier matemático en cualquier lugar del mundo. Por ello, la única manera de tener una impresión del trabajo matemático es ver algunos teoremas y los pasos del razonamiento que llevan a establecer sus demostraciones. A lo largo del libro el lector encontrará muestras de teoremas, algunos con demostraciones, otros sin ellas. El lector puede evitar la lectura de las demostraciones de algunos teoremas sin que esto afecte su comprensión del texto. Sin embargo, el verdadero espíritu de las matemáticas se halla en los razonamientos que llevan a la prueba de los teoremas; la claridad de estos razonamientos es también la fuente de la belleza matemática. El lector que sienta curiosidad por la demostración de algún resultado que sólo se menciona en este libro, encontrará recomendaciones de otros libros de divulgación y textos matemáticos en las referencias comentadas al final del libro.
Antes de terminar esta introducción, quiero insistir en algunas de las cosas que este libro no es. Este libro no es un libro de texto. Es decir, no se trata de que el lector aprenda muchas cosas, que entienda todo y que al final se le haga un examen. Tómese este libro en forma relajada y sin formalidades. Pero, por otra parte, este libro no es una novela. Es decir, tampoco se puede leer a ratos, sin concentración y sin prestar mucha atención. Si así se hace, poco se entenderá. Leer este libro exigirá algo del lector. Pretende ser un libro de matemáticas. Si fuera un libro sobre matemáticas, hubiera sido más fácil hacerlo y el lector lo podría tomar como una novela. Por lo tanto, el lector debe estar listo para hacer matemáticas. Para ello, debe tener lápiz y papel a mano, repetir en el papel lo que se haga en el libro, rehacer y completar sus temas y pensar.
Terminaré hablando de mis deseos: que después de leer este libro el lector haya entendido algunas cosas y que le hayan parecido interesantes, bellas o divertidas, al menos algunas de ellas. Por supuesto, esto puede ser demasiado ambicioso. Veremos.
Finalmente, quiero agradecer a mi hermano Ricardo, a Michael Barot y a Carlos Daniel Amero por la cuidadosa lectura del texto y sus comentarios. También a Ruth y a Walter que leyeron algunos capítulos; a Elías Vigueira y Omar Guerrero por su trabajo fotográfico y a Gabriela Sanginés que me ayudó con el formato final. Las ilustraciones de los personajes que mencionamos las podrán ver en los dibujos que yo realicé, pues no pudieron hacerse con fotografías por problemas técnicos. Por supuesto, agradezco al Instituto de Matemáticas de la UNAM por el rico ambiente matemático donde trabajo cotidianamente y en particular a mis colegas y estudiantes del grupo de Representaciones de Álgebras.
Al llegar al final del proceso de elaboración de este libro descubro que aún hay muchas ideas que me gustaría desarrollar, modificaciones que me gustaría hacer. Pero en algún momento tiene uno que concluir.
México, noviembre de 1997.
Un hombre se propone la tarea de dibujar el mundo. A lo largo de los años puebla un espacio con imágenes de provincias, de reinos, de montañas, de bahías, de naves, de islas, de peces, de habitaciones, de instrumentos, de astros, de caballos y de personas. Poco antes de morir, descubre que ese paciente laberinto de líneas traza la imagen de su cara.
El hacedor, JORGE LUIS BORGES
II. Un mundohecho de números
El número es el origen de todas las cosas.
PLATÓN
LA FILOSOFÍA y la ciencia como ocupaciones válidas y trascendentes nacieron en la Grecia antigua. Lo hicieron cuando el hombre se comenzó a preguntar por el orden de los sucesos de su entorno, cuando se dio cuenta de que no todo sucede al azar. En esta época no había divisiones para las áreas del conocimiento humano, todo formaba parte de una disciplina única: la filosofía.
Según Bertrand Russell, el primer filósofo griego en hacer de su interés una forma de vida fue Pitágoras. Poco se sabe de su vida. Nació en Samos y vivía ahí alrededor del año 544 a.C., cuando reinaba el tirano Polícrates. En algún momento Pitágoras no soportó la tiranía y pasó a vivir en Crotona, en el sur de Italia. Allí fundó una escuela filosófica que floreció hasta 510 a.C. Protestas en contra de la escuela hicieron salir a Pitágoras hacia Metaponto, donde permaneció hasta su muerte.
Figura II. 1. Pitágoras.
La escuela pitagórica dio inicio a la tradición científica y en particular a las matemáticas. Otro elemento que tenía un papel importante en su filosofía era la música. Pitágoras descubrió las relaciones numéricas simples que llamamos intervalos musicales: si una cuerda afinada se pisa a la mitad sonará una octava más arriba; si su longitud se reduce a tres cuartos, entonces suena un cuarto más alta; si su longitud se reduce a dos tercios, sonará una quinta más arriba. Parece ser que estos descubrimientos permearon muchas de las ideas posteriores de Pitágoras.
La base de su filosofía es que todo en la naturaleza se puede entender por medio de los números. De hecho, por relaciones simples entre números enteros, como en las fracciones de las cuerdas musicales. Para entender el mundo, primero se debe entender los números. Desde entonces es éste uno de los conceptos centrales de la ciencia.
