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- Herausgeber: UVK
- Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
- Sprache: Deutsch
- Veröffentlichungsjahr: 2017
Die Differential- und Integralrechnung verstehen! Die Analysis ist in der Betriebs- und Volkswirtschaftslehre unverzichtbares Handwerkszeug. Dieses Lehrbuch geht auf das bedeutende Teilgebiet der Mathematik im Detail ein und zeigt die Anwendungsbezüge zu den Wirtschaftswissenschaften auf. Dabei stehen Folgen und Reihen, ökonomische Funktionen mit einer und mehreren Variablen sowie die Differential- und schließlich die Integralrechnung im Mittelpunkt. Wichtige Sätze und Definitionen sind hervorgehoben. Rechen- und Grafikbeispiele erleichtern das Verständnis. Zahlreiche Aufgaben mit Lösungen helfen dabei, das Gelernte rasch zu vertiefen und selbstständig anzuwenden. Das Buch richtet sich an Bachelorstudierende der Betriebs- und Volkswirtschaftslehre sowie angrenzender Studiengänge.
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Seitenzahl: 197
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Prof. Dr. Katrin Schmallowsky,
Unternehmensberaterin für den Mittelstand, ist Professorin für Mathematik an der NBS Northern Business School in Hamburg. Sie lehrt außerdem an verschiedenen Hochschulen, darunter die Hochschule Wismar, unter anderem Wirtschaftsmathematik, Statistik, Unternehmensbewertung und Mergers and Acquisitions.
Vorwort
Für viele Studierende der Wirtschaftswissenschaften stellt das Erlernen mathematischer Inhalte und Methoden eine große Herausforderung dar. Dem gegenüber steht die aus der technologischen Entwicklung resultierende Notwendigkeit, gerade in den Wirtschaftswissenschaften die naturwissenschaftliche Methodenkompetenz der Studierenden immer stärker zu schulen.
Das vorliegende Lehrbuch ist durch langjährige Dozententätigkeiten in der Wirtschaftsmathematik an verschiedenen Hochschulen entstanden. Es behandelt die für Wirtschaftswissenschaftler wichtigsten Themenfelder der Analysis und verzichtet weitgehend auf Herleitungen und Beweise, um den Fokus auf die wirtschaftswissenschaftlichen Anwendungen der Analysis zu lenken.
Die Themen umfassen zunächst eine Einführung in Folgen und Reihen, wobei besonderer Wert auf die Anwendung der Inhalte in der Finanzmathematik in Form der Rentenrechnung gelegt wurde. In den folgenden Kapiteln werden häufig vorkommende (ökonomische) Funktionen und ihre Eigenschaften betrachtet sowie die in den Wirtschaftswissenschaften häufig auftretenden Anwendungen der Differentialrechnung, auch für mehrdimensionale Funktionen, vorgestellt. Die elementare Integralrechnung ist um die Bestimmung von Konsumenten- und Produzentenrente ergänzt.
Zahlreiche Beispiele und Übungsaufgaben, für welche die Lösungen am Ende des Buches zusammengefasst sind, erleichtern dem Leser das Erlernen des Stoffes. Die Erstellung der Grafiken erfolgte mit der Software GeoGebra1. Die Erstellung eines Lehrbuches erfordert stets eine nicht unerhebliche Menge an Zeit und ich danke meinem Mann, Prof. Dr. Thomas Schmallowsky sowie meinen Söhnen Lasse und Theo für die Schaffung der entsprechenden Freiräume.
Wismar, Juni 2017Katrin Schmallowsky
1© International GeoGebra Institute, 2013, http://www.geogebra.org
Inhaltsverzeichnis
Symbolverzeichnis
Folgen und Reihen
1.1 Folgen
1.1.1 Eigenschaften von Folgen
1.1.2 spezielle Folgen
1.2 Reihen
Funktionen mit einer Variablen
2.1 Einleitung
2.1.1 Darstellung von Funktionen
2.1.2 Elementare Eigenschaften von Funktionen
2.1.3 Grenzwerte von Funktionen
2.1.4 Stetigkeit
2.2 Elementare Funktionen
2.3 Ökonomische Funktionen
Differentialrechnung I
3.1 Differenzierbarkeit einer Funktion
3.1.1 Die erste Ableitung elementarer Funktionen
3.1.2 Ableitungsregeln
3.1.3 Höhere Ableitungen.
3.1.4 Ableitungen ökonomischer Funktionen
3.2 Anwendungen der Differentialrechnung
3.2.1 Das Differential
3.2.2 Die Wachstumsrate
3.2.3 Die Elastizität
3.2.4 Die Regel von de l’Hôpital
3.2.5 Das Taylor-Polynom
3.2.6 Das Newton-Verfahren
3.3 Kurvendiskussion
Integralrechnung
4.1 Das unbestimmte Integral
4.2 Das bestimmte Integral
4.3 Anwendungen der Integralrechnung
Differentialrechnung II
5.1 Definition von Funktionen im
5.1.1 Ökonomische Funktionen
5.1.2 Homogenität
5.2 Differenzierbarkeit
5.2.1 Partielle Ableitungen erster Ordnung
5.2.2 Partielle Ableitungen höherer Ordnung
5.3 Anwendungen der Differentialrechnung II
5.3.1 Das Differential
5.3.2 Die partielle Elastizität
5.3.3 Extremwerte ohne Nebenbedingung
5.3.4 Extremwerte mit Nebenbedingungen
Lösungen
6.1 Lösungen Kapitel 1
6.2 Lösungen Kapitel 2.
6.3 Lösungen Kapitel 3
6.4 Lösungen Kapitel 4
6.5 Lösungen Kapitel 5
Literaturhinweise
Stichwortverzeichnis
Symbolverzeichnis
Natürliche Zahlen
Reelle Zahlen
n-dimensionaler Raum der reellen Zahlen
ganze Zahlen
n
ist Element der natürlichen Zahlen
a
n
n-tes Folgeglied bzw. Folgenvorschrift
Grenzwert der Folge
Partialsumme
s
n
K
0
Kapital zum Zeitpunkt Null, auch Rentenbarwert
K
n
Kapital nach
n
Jahren, auch Rentenendwert
R
gleichbleibende Ratenzahlung
p
Zinsfuß
q
Aufzinsungsfaktor,
D
f
Definitionsbereich der Funktion
f
(
x
)
w
f
Wertebereich der Funktion
f
(
x
)
Uε
(
x
)
ε
– Umgebung von
x
A
⊆
B
Die Menge
A
ist Teilmenge der Menge
B
.
f
ο
g
Komposition der Funktionen
f
und
g
f
–1
(
y
)
Umkehrfunktion
linksseitiger Grenzwert von
f
an der Stelle
x
*
rechtsseitiger Grenzwert von
f
an der Stelle
x
*
f
′(
x
)
erste Ableitung von
f
(
x
), auch Differentialquotient
Differentialquotient, auch erste Ableitung von
f
(
x
)
Differentialquotient, auch erste Ableitung von
f
(
x
)
f
″(
x
)
zweite Ableitung von
f
(
x
)
zweite Ableitung von
f
(
x
)
Δ
x
Änderung von
x
Differenzenquotient
df
(
x
)
Differential, auch
dy
w
f
(
x
)
Wachstumsrate
ε
yx
(
x
)
Elastizität von
y
in Bezug auf
x
F
(
x
)
Stammfunktion von
f
(
x
), auch unbestimmtes Integral
∫ f
(
x
)
dx
unbestimmtes Integral, auch Stammfunktion von
f
(
x
)
bestimmtes Integral
f
xi
partielle Ableitung erster Ordnung
∇
f
Gradient
f
x
i
x
j
partielle Ableitung zweiter Ordnung
H
f
Hessematrix
ε
x
i
p
j
Kreuzpreiselastizität
|
A
i
|
Hauptunterdeterminante i-ter Ordnung
Verwendete Griechische Buchstaben
α, A
Alpha
β, B
Beta
δ, Δ
Delta
ϵ, ε
Epsilon
λ, Λ
Lambda
π, Π
Pi
Verwendete Symbole
Aufgabe
Beispiel
Definition
Satz
1 Folgen und Reihen
Folgen und Reihen spielen in vielen ökonomischen Fragestellungen eine wichtige Rolle. So lassen sich beispielsweise die Zinsrechnung, die Rentenrechnung und auch die Unternehmensbewertung auf Folgen und Reihen zurückführen. In diesem Kapitel sollen zunächst Folgen sowie deren wesentliche Eigenschaften vorgestellt werden. Im zweiten Teil des Kapitels erfolgt die Erweiterung auf Reihen; dabei wird insbesondere auf die genannten Anwendungen eingegangen.
1.1 Folgen
Betrachtet man für eine beliebige Abbildung nur jene Werte, die sich durch Einsetzen von Argumenten n aus den natürlichen Zahlen ergeben, so erhält man eine Punktmenge, die sogenannte Folge. Durch die Wahl der Argumente n aus den natürlichen Zahlen ist in der Folge gleichzeitig eine Reihenfolge festgelegt. Ist die Indexmenge unbegrenzt, so spricht man von einer unendlichen Folge, ansonsten von einer endlichen Folge.
Bemerkung 1.1.1
Für Folgen sind verschiedene Darstellungsformen definiert:
Die Aufzählung wird üblicherweise bei endlichen Folgen verwendet oder in Fällen, in welchen zum Beispiel durch Messungen nur einzelne Werte bekannt sind. Aus diesen Messwerten soll dann die rekursive oder die explizite Darstellung abgeleitet werden.
Die rekursive Darstellung birgt den Nachteil, dass für hohe Indizes zunächst alle vorherigen Folgeglieder bestimmt werden müssen. Die häufigste Verwendung findet daher die explizite Darstellung, da bei dieser die Berechnung eines Folgegliedes unabhängig von allen vorherigen Folgegliedern ist. Im folgenden Beispiel sind für vier Folgen die verschiedenen Darstellungsformen angegeben.
Beispiel 1.1.1
1.1.1 Eigenschaften von Folgen
Im Folgenden werden die wichtigsten Eigenschaften von Folgen vorgestellt.
Monotonie und Beschränktheit
Eine wichtige Rolle bei der Auswertung von Folgen spielt die Frage, ob die Folge eine gleichmäßige Entwicklung beschreibt und ob der Entwicklung einer Folge Grenzen gesetzt sind.
Definition 1.1.2
Eine Folge (an) heißt
monoton wachsend, wenn für alle gilt :an−1 ≤ an;
monoton fallend, wenn für alle gilt :an−1 ≥ an;
streng monoton wachsend, wenn für alle gilt :an−1 < an;
streng monoton fallend, wenn für alle gilt :an−1 > an;
Eine Folge heißt nach unten bzw. nach oben beschränkt, wenn für alle gilt:Der Wert u wird als untere Schranke,o als obere Schranke bezeichnet.
Eine Folge heißt beschränkt falls sie nach unten und oben beschränkt istu ≤ an ≤ ο.
Beispiel 1.1.2
Da für Folgen die üblichen Rechenoperationen (Addition, skalare Multiplikation und Multiplikation von Folgen) definiert sind, setzen sich die soeben betrachteten Eigenschaften entsprechend der nachfolgenden Sätze fort.
Satz 1.1.1 Seien (an) und (bn) gleichgerichtete monotone reelle Folgen und . Dann sind die Folgen
(an + bn);α · (an);(an · bn)ebenfalls monoton. Für α > 0 bleibt die Richtung der Monotonie erhalten, für α < 0 kehrt sich die Richtung der Monotonie um.
Satz 1.1.2
Seien (an) und (bn) beschränkte reelle Folgen und . Dann sind die Folgen
(an + bn);α · (an);(an · bn)ebenfalls beschränkt.
Konvergenz
Häufig soll untersucht werden, ob eine Folge über einen langen Zeitraum gegen einen bestimmten Wert strebt. Zur Beantwortung dieser Frage wird eine Konvergenzuntersuchung durchgeführt. Kommen die Glieder an der Folge mit wachsendem Index n einem Grenzwert a beliebig nahe, so nennt man die Zahlenfolge (an) konvergent.
Definition 1.1.3
Eine Folge (an) heißt konvergent mit dem Grenzwert a, falls zu jedem ϵ > 0 eine Zahl existiert, so dass
für alle n ≥ nϵ gilt |an − a| < ϵ.
Man schreibt dann . Eine Folge, die nicht konvergent ist, nennt man divergent.
Obige Aussage muss dabei für jedes ϵ > 0 erfüllbar sein. Je kleiner ϵ gewählt wird, umso größer wird der Index nϵ, ab welchem die Bedingung erfüllt ist.
Beispiel 1.1.3
Betrachtet werde die Folge (an) mit .
Beweis: Sei ϵ > 0 sehr klein und , dann folgt
für alle .
Der Begriff der Divergenz wird häufig zusätzlich unterschieden in echte Divergenz und uneigentliche Konvergenz.
Definition 1.1.4
Sei (an) eine Folge. Dann ist
existiert, sodass für alle n ≥ nM gilt an > M. existiert, sodass für alle n ≤ nM gilt an < −M.Diese Aussagen müssen für alle positiven Werte von M, insbesondere für sehr große Werte, erfüllt sein. Sie werden daher umgangssprachlich auch gesprochen als die Folge wächst über bzw. fällt unter alle Schranken.
Bei den meisten Folgen ist der Grenzwert anhand der expliziten Darstellung der Folge leicht ablesbar. Im folgenden Beispiel sind Grenzwerte häufig verwendeter Folgen angegeben.
Beispiel 1.1.4
Satz 1.1.3
Eine monotone und beschränkte Folge ist konvergent.
Beispiel 1.1.5
Gegeben sei die Folge (an) mit .
Diese Folge ist monoton wachsend, da
Sie ist ferner beschränkt durch
Es gilt
Auch für zusammengesetzte Folgen werden Grenzwerte gesucht. Die folgenden Grenzwertsätze erleichtern die Bestimmung.
Satz 1.1.4
Seien (an) und (bn) konvergente Folgen mit den Grenzwerten a und b und sei . Dann gelten:
;;;;,wobei bn ≠ 0 für alle und ≠ 0
Beispiel 1.1.6
1. Gegeben sei die Folge (an) mit Es ist
Damit gilt
2. Gegeben sei die Folge (an) mit . Dann ist
also ist
Ein Sonderfall liegt bei Folgen vor, welche in Zähler und Nenner Polynome enthalten.
Bemerkung 1.1.2
Besteht die Folge aus Polynomen in Zähler und Nenner, so gilt
Ist die höchste Potenz des Zählers
größer
als die höchste Potenz des Nenners, dann konvergiert die Folge uneigentlich gegen ± Unendlich.
Ist die höchste Potenz des Zählers
kleiner
als die höchste Potenz des Nenners, dann konvergiert die Folge gegen Null.
Stimmt die höchste Potenz des Zählers mit der höchsten Potenz des Nenners überein, so konvergiert die Folge gegen den Quotienten der beiden führenden Koeffizienten.
Diese Vorgehensweise lässt sich auch auf Exponentialausdrücke übertragen.
Beispiel 1.1.7
1. Betrachtet werde die Folge (an) mit . Es ist
2. Es ist .
3. Es ist .
4. Gegeben sei die Folge (an) mit .
1.1.2 spezielle Folgen
In diesem Abschnitt werden besondere Folgen vorgestellt und wesentliche Anwendungen erläutert.
Für die oben genannten Folgen gelten folgende Zusammenhänge.
Bemerkung 1.1.3
Eine konstante Folge ist immer beschränkt und konvergent.
Eine alternierende Folge ist nicht monoton.
Beispiel 1.1.8
Die ökonomischen Anwedungsgebiete der Folgen lassen sich in weiten Teilen auf zwei spezielle Folgen zurückführen, welche im Folgenden vorgestellt werden.
Arithmetische Folgen
Der Name arithmetische Folge ergibt sich aus der Tatsache, dass ein Folgeglied stets dem arithmetischen Mittel aus Vor- und Folgeglied entspricht:
Eine arithmetische Folge ist durch das Anfangsglied a1 und die Differenz d der Folgeglieder eindeutig bestimmt.
Bemerkung 1.1.4
Beispiel 1.1.9
Geometrische Folgen
Der Name geometrische Folge ergibt sich aus der Tatsache, dass ein Folgeglied stets dem geometrischen Mittel aus Vor- und Folgeglied entspricht:
Eine geometrische Folge ist durch das Anfangsglied a1 und den Vervielfältiger q der Folgeglieder eindeutig bestimmt.
Beispiel 1.1.10
Bemerkung 1.1.5
Für eine geometrische Folge gilt
und damit folgt:
Sowohl bei der arithmetischen als auch bei der geometrischen Folge sollte der erste Schritt zu einer Lösung stets die Bestimmung von a1 und d im Falle der arithmetischen Folge bzw. a1 und q im Falle der geometrischen Folge sein.
Aufgaben
Aufgabe 1.1.1
Geben Sie zu den Folgen die jeweils fehlenden Darstellungsformen an:
Aufgabe 1.1.2
Untersuchen Sie die Folgen auf Monotonie und Beschränktheit.
Aufgabe 1.1.3
Untersuchen Sie die Folgen auf Konvergenz
Aufgabe 1.1.4
Untersuchen Sie die Folgen mithilfe der Grenzwertsätze auf Konvergenz.
Aufgabe 1.1.5
Geben Sie für die Folgen an, ob es sich um eine arithmetische oder eine geometrische Folge handelt. Geben Sie ferner die explizite Darstellung der Folge an.
Aufgabe 1.1.6
Ein Unternehmen produziert im ersten Jahr 12.000 Stück eines Gutes. Durch gezielte Marketing-Strategien soll die Produktion und somit auch die Absatzmenge jährlich um 5% gesteigert werden.
Geben Sie die explizite Darstellung der Folge an.
Welche Stückzahlen werden im vierten bzw. im achten Jahr produziert?
Aufgabe 1.1.7
Ein Schwimmer legt am ersten Trainingstag 500 m zurück. Diese Strecke soll pro Trainingstag um 150 m gesteigert werden.
Geben Sie die explizite Darstellung der Folge an.
Welche Strecke legt der Schwimmer am dritten bzw. am neunten Tag zurück?
Aufgabe 1.1.8
Wie lange dauert es, bis sich bei 2% Zinsen p.a. ein Kapital von 2.000 EUR verdoppelt hat bei
einfacher Verzinsung?
Verzinsung mit Zinseszins?
1.2 Reihen
Aus jeder Zahlenfolge (an) kann eine Zahlenreihe gebildet werden.
Definition 1.2.1
Sei (an) eine Folge. Dann heißt
n−te Partialsumme von heißt unendliche Reihe.
Die Reihe heißt konvergent, wenn die Folge der Partialsummen (sn) konvergent ist. Gilt
so heißt s der Reihenwert und man schreibt heißt divergent, wenn sie nicht konvergent ist.
Besondere Anwendungen ergeben sich für die im letzten Abschnitt betrachteten speziellen Folgen.
Arithmetische Reihe
Definition 1.2.2
Eine arithmetische Reihe ergibt sich als Summe der Glieder einer arithmetischen Folge. Die Summe der ersten n Folgeglieder einer arithmetischen Folge
wird als Partialsumme bezeichnet
Zumeist interessiert man sich in Anwendungen eher für den Wert der Partialsummen als für den Reihenwert, sodass deren Berechnung im folgenden Satz thematisiert wird.
Satz 1.2.1
Zur Berechnung der Partialsummen sn einer arithmetischen Folge gilt folgende Formel:
Beweis: mittels vollständiger Induktion
Induktionsvoraussetzung:
Induktionsschluss:
Bemerkung 1.2.1
Die arithmetische Reihe ist divergent.
Die arithmetische Reihe lässt sich auf eine Vielzahl ökonomischer Fragestellungen anwenden. Sie tritt immer dann auf, wenn eine regelmäßige lineare Entwicklung vorliegt.
Beispiel 1.2.1
Geometrische Reihe
Definition 1.2.3
Eine geometrische Reihe entsteht aus der Summe der Glieder einer geometrischen Folge,
Die Summe der ersten n Glieder einer geometrischen Folge
wird als Partialsumme bezeichnet.
Beweis:
Zum Nachweis obiger Formel wird die Partialsumme sowie die mit q multiplizierte Partialsumme betrachtet
Subtrahiert man beide Gleichungen voneinander, so ergibt sich
und somit
Bemerkung 1.2.2
Eine unendliche geometrische Reihe konvergiert genau dann, wenn |q| < 1:
Die geometrische Reihe bietet zahlreiche Anwendungen im Bereich der Ökonomie, unter anderem auf dem Gebiet der Unternehmensbewertung und der Rentenrechnung. Letztere soll im Folgenden vorgestellt.
Rentenrechnung
Der Begriff der Rentenrechnung umfasst alle Anwendungen der Finanzmathematik, in denen es um regelmäßige Geldein- oder -auszahlungen geht wie zum Beispiel die Annuitäten- bzw. Darlehensrechnung oder den Geldaufbzw. abbau, jeweils bei vorschüssiger oder nachschüssiger Zahlung. Dazu werden zunächst einige Bezeichnungen eingeführt.
Es sei K0 das jeweilige Anfangskapital, Kn das Kapital nach n Zeiteinheiten, wobei n die Gesamtlaufzeit angebe; p sei der Zinsfuß für Schulden bzw. Guthaben und R eine gleichbleibende Rate bzw. Rente. Gleichbleibend meint dabei, dass derselbe Wert R in gleichen Zeitabständen gezahlt wird. Es wird unterschieden in
vorschüssige Zahlung:
Die Zahlung erfolgt hierbei stets zu Beginn der jeweiligen Zinsperiode.
nachschüssige Zahlung:
Die Zahlung erfolgt regelmäßig am Ende der jeweiligen Zinsperiode.
Das Anfangskapital bleibe zunächst unberücksichtigt, sodass nur die Ratenzahlung betrachtet wird. Dies entspricht dem Prinzip eines Rentensparvertrages, welcher dazu dient, Kapital für eine spätere Rente aufzubauen bzw. dem Prinzip der Rente, bei der aus vorhandenem Kapital ein gleichbleibender Betrag ausgezahlt wird. Die Ratenzahlung R in der k− ten Zinsperiode (1 ≤ k ≤ n) wird
bei
vorschüssiger Zahlung
n
−
k
+ 1 Jahre und
bei
nachschüssiger Zahlung
n
−
k
Jahre verzinst.
Unter Berücksichtigung dieser Werte ergibt sich für die Ratenzahlung aus dem k− ten Jahr nach n Jahren also ein Wert in Höhe von
Dabei entspricht dem aus der Zinsrechnung bekannten Aufzinsungsfaktor. Da die Ratenzahlung regelmäßig, also in jeder Zinsperiode anfällt, wird diese Berechnung für jedes Jahr der Laufzeit durchgeführt, wobei sich die Potenz des Aufzinsungsfaktors jeweils gemäß der jeweiligen Restlaufzeit ändert.
Das gesamte Kapital nach n Jahren ist dann gegeben durch
bei
vorschüssiger Zahlung
und
bei
nachschüssiger Zahlung
.
Die Summe lässt sich schreiben als
und daher, wenn die Summe in umgekehrter Reihenfolge geschrieben wird, auch als
Für diese Summe ist die Partialsummenregel der geometrischen Reihe anwendbar:
Wird diese Formel in obige Gleichungen eingesetzt, ergibt sich der Rentenendwert gemäß der nachfolgenden Rechenregel.
Satz 1.2.3
Betrachtet werde eine Rente mit gleichbleibender Rate R und Aufzinsungsfaktor q. Der Rentenendwert ergibt sich
bei vorschüssiger Zahlung zuund
bei nachschüssiger Zahlung zuBeispiel 1.2.2
Arik zahlt jeweils am Ende des Jahres 1.500 EUR auf ein Konto ein. Er erhält auf das Guthaben 4% Zinseszinsen. Nach acht Jahren hat er
Nicholas zahlt stets zu Beginn des Jahres sein Weihnachtsgeld in Höhe von 100 EUR auf sein Sparbuch ein. er erhält 1, 5% Zinseszinsen. Nach 10 Jahren hat er
Handelt es sich um einen Fall der Rentenrechnung, bei dem aus vorhandenem Guthaben eine Rente ausgezahlt werden soll, so wird nicht der Rentenendwert, sondern der Rentenbarwert benötigt. Dieser Wert entspricht dem Geldbetrag, welcher zu Beginn der Auszahlungsphase der Rente zur Verfügung stehen muss, damit die Rate R wie vorgegeben über die Laufzeit gezahlt werden kann. Der Rentenbarwert lässt sich durch Abzinsen des Rentenendwertes auf den Rentenbeginn bestimmen.
Satz 1.2.4
Betrachtet werde eine Rente mit gleichbleibender Rate R und Aufzinsungsfaktor q. Der Rentenbarwert ergibt sich
bei vorschüssiger Zahlung zuund
bei nachschüssiger Zahlung zuBeispiel 1.2.3
Johann ist 55 Jahre alt und möchte in den Ruhestand gehen. Damit er bis zum Regeleintritt, welcher für ihn bei 65 Jahren liegt, gut leben kann, möchte er für die nächsten 10 Jahre jeweils zu Beginn des Jahres eine jährliche Rente von 24.000 EUR haben. Die Verzinsung liege bei 3%. Um sich diesen Wunsch zu erfüllen, muss er
Johanna hat einen Rentenvertrag abgeschlossen. Sie hat Anspruch auf eine nachschüssige jährliche Rente in Höhe von 12.000 EUR bei einer Rentendauer von 15 Jahren. Die Verzinsung betrage 3, 5%. Auf Grund eines guten Angebotes möchte sie die Rente ablösen und sich eine Wohnung kaufen. Sie erhält
Häufig ist bekannt, welcher Betrag am Ende der Ansparphase zur Verfügung stehen soll, beispielsweise bei Sparvorhaben zum Erwerb eines Gutes. Durch einfaches Umstellen obiger Formeln lässt sich dann der Wert der regelmäßigen Rate R bestimmen, welche benötigt wird, um das vorgegebene Kapital anzusparen.
Satz 1.2.5
Betrachtet werde eine Rente mit gleichbleibender Rate R und Aufzinsungsfaktor q
