Auch Zahlen haben Gefühle E-Book

Matt Parker

• Herausgeber: ROWOHLT E-Book
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Sprache: Deutsch
• Veröffentlichungsjahr: 2015

Seitenzahl: 540

Beschreibung

Matt Parker lebt Mathematik. Sekunden nur braucht er, um jeden Namen im binären Code niederzuschreiben. 2012 hat er mit seinem Team einen funktionierenden Computer aus Dominosteinen gebaut (im Buch erfährt man, wie man es macht). Seine Videos auf Youtube wurden inzwischen über fünf Millionen Mal aufgerufen. Parker betreibt Mathematik nur aus einem Grund: weil es Spaß macht. Und so ist auch sein Buch. Hier stimmt es einmal wirklich: Dieses Buch will nicht belehren; es will einfach zeigen, wie es geht. Sie lesen Näheres über seltsame Phänomene wie alberne Zahlen, Primknoten, narzistische Zahlen und ihre lügnerischen Vettern, die Münchhausen-Zahlen, lösen das Pizza-Problem und teilen den Würfelknoten, bugsieren eine Euromünze durch einen dafür viel zu kleinen Kreis aus Pappe und erfahren, wie man einen 4-D-Würfel basteln oder mit nur zehn Fingern eine Million Zahlen darstellen kann. Und das alles so reich, aber auch einfach illustriert, dass jedermann sofort versteht, worum es geht.

Leseprobe

Matt Parker

Auch Zahlen haben Gefühle

Warum sie romantisch, sozial oder selbstverliebt sein können und was sich sonst noch mit Mathematik anstellen lässt

Aus dem Englischen von Monika Niehaus und Bernd Schuh

Informationen zum Buch

Matt Parker lebt Mathematik. Sekunden nur braucht er, um jeden Namen im binären Code niederzuschreiben. 2012 hat er mit seinem Team einen funktionierenden Computer aus Dominosteinen gebaut (im Buch erfährt man, wie man es macht). Seine Videos auf Youtube wurden inzwischen über fünf Millionen Mal aufgerufen. Parker betreibt Mathematik nur aus einem Grund: weil es Spaß macht. Und so ist auch sein Buch. Hier stimmt es einmal wirklich: Dieses Buch will nicht belehren; es will einfach zeigen, wie es geht. Sie lesen Näheres über seltsame Phänomene wie alberne Zahlen, Primknoten, narzistische Zahlen und ihre lügnerischen Vettern, die Münchhausen-Zahlen, lösen das Pizza-Problem und teilen den Würfelknoten, bugsieren eine Euromünze durch einen dafür viel zu kleinen Kreis aus Pappe und erfahren, wie man einen 4-D-Würfel basteln oder mit nur zehn Fingern eine Million Zahlen darstellen kann. Und das alles so reich, aber auch einfach illustriert, dass jedermann sofort versteht, worum es geht.

Informationen zum Autor

Matt Parker, 33, wuchs in Perth, Australien, auf. Nach seinem Studium der Mathematik und Physik arbeitete er zunächst als Lehrer und zog dann nach London um. Der Stand-up-Comedian absolviert neben seinen Tourneen TV-Auftritte bei BBC und Channel 4 und schreibt zudem Kolumnen für den Guardian und die Times. Auch als Fellow der Mathematischen Fakultät der Queen Mary University of London kümmert er sich um die Popularisierung von Mathematik.

Gewidmet Keith und Nona Parker,meinen Großeltern mütterlicherseits, die michzum Tun und Lehren anregten.

Null

Das NULLTE Kapitel

Schauen Sie sich um und beschaffen Sie sich ein Trinkgefäß, egal, ob es ein Bierglas oder ein Kaffeebecher ist. Obwohl es anders wirkt: Der Umfang des Glases ist höchstwahrscheinlich größer als seine Höhe. Ein Bierglas sieht vielleicht so aus, als sei es deutlich höher als «dick», doch ein Standard-Bierglas hat tatsächlich einen Umfang, der seine Höhe deutlich übertrifft. Das gilt auch für den Umfang eines Kaffeebechers der in unseren Großstädten allgegenwärtigen Starbucks-Cafés. Deshalb schlug ich ihnen vor, ihren Becher den «kurzen Dicken» zu nennen, doch sie wollten nicht.

Nutzen Sie die Sache zu Ihrem Vorteil aus, es ist ganz einfach: Wenn Sie das nächste Mal in einer Kneipe, in einem Café – oder wo auch immer die Art Getränk serviert wird, die Sie schätzen – kostenlos etwas trinken wollen, wetten Sie einfach mit jemandem, dass sein Trinkgefäß einen größeren Umfang hat, als es hoch ist. Wenn es sich in der Kneipe um einen Glaskrug (mit Henkel) oder in einem Café um einen unverschämt großen Becher handelt, haben Sie schon gewonnen: Der Umfang dieser Gefäße beträgt in der Regel mehr als das Doppelte ihrer Höhe. Also können Sie sogar ganz lässig zwei aufeinander stellen und behaupten, der Umfang sei immer noch größer als die Höhe. Wenn Sie dann allerdings ein Maßband aus der Tasche ziehen, könnten Ihre Opfer womöglich an der Spontanität Ihrer kleinen Vorführung zweifeln; benutzen Sie also lieber einen herumliegenden Trinkhalm oder dessen Papierhülle als behelfsmäßiges Lineal.

Der «Trick» funktioniert bei sämtlichen Gläsern außer den allerschlanksten. Wenn Sie Ihr Glas zunächst prüfen möchten, ohne Verdacht zu erregen, versuchen Sie, es mit einer Hand zu umfassen. Ihre Finger und Ihr Daumen werden sich auf der anderen Seite nicht treffen. Nun versuchen Sie mit Daumen und Zeigefinger die Höhe des Glases zu überspannen – wahrscheinlich wird’s klappen (oder zumindest fast). Das zeigt überzeugend, um wie viel höher Gläser sind als ihr Umfang.

Dies ist genau die Art Mathematik, von der ich mir wünsche, dass mehr Leute darüber Bescheid wüssten: die überraschende, die unerwartete Mathematik, und – am wichtigsten – die Art Mathematik, mit der man ein Freibier bekommen kann. Mein Ziel in diesem Buch ist es, Ihnen all die unterhaltsamen Seiten der Mathematik zu zeigen. Es ist eine Schande, dass die meisten Leute meinen, Mathematik sei das, was ihnen in der Sekundarstufe eingetrichtert wurde: Sie ist tatsächlich sooooo viel mehr!

Manchmal kann Mathematik tatsächlich gähnend langweilig sein. Wenn man in irgendeiner Schule zufällig in eine Mathestunde gerät, wird man höchstwahrscheinlich den Eindruck gewinnen, dass ein Großteil der Schüler nicht voller Begeisterung bei der Sache ist, um es freundlich auszudrücken. Ich fürchte, dass die Pennäler in einer solchen Klasse zu den uninspirierten Mathematikschülern gehören, von denen eine Generation auf die andere folgt. Es wird jedoch ein paar Ausnahmen geben. Einige dieser Schüler werden es lieben und den Rest ihres Lebens von Mathematik begeistert sein. Woran haben sie diesen Spaß, der den anderen entgeht?

Ich war einer dieser Schüler: Ich konnte durch all die langweiligen Übungen hindurch das Herz der Mathematik erkennen, die Logik, die hinter allem steht. Doch ich konnte auch den Frust meiner Mitschüler nachempfinden, vor allem der Sportskanonen. In der Schule fürchtete ich das Fußballtraining so wie viele andere die Mathestunden. Ich konnte jedoch verstehen, was all dieses Dribbeln mit einem Fußball um orange-weiß geringelte Hütchen sollte: Man baut ein Grundrepertoire an Fähigkeiten auf, um loslegen zu können, wenn man ein echtes Spiel austrägt. Und deshalb verstand ich auch, warum meine sportlichen Klassenkameraden Mathe hassten: Es ist widersinnig, Schüler die Grundfähigkeiten üben zu lassen, die für Mathematik nötig sind, sie dann aber nicht auf die mathematische Spielwiese zu lassen, damit sie ihren Spaß haben können.

Das ist es, was die Mathebegeisterten wussten. Darum kann man auf Mathematik eine Karriere aufbauen. Wenn Leute in der mathematischen Forschung arbeiten, dann zählen sie nicht nur immer größere Summen zusammen oder führen immer längere Divisionen durch, wie manche glauben. Das wäre so, als ob ein Profi-Fußballer nur immer schneller um die Hütchen dribbelte. Profi-Mathematiker nutzen die erlernten Fähigkeiten und die Techniken, die sie sich erarbeitet haben, um das Spielfeld der Mathematik zu erforschen und Neues zu entdecken. Vielleicht jagen sie nach Formen in höheren Dimensionen, versuchen neue Zahlentypen zu finden oder erforschen eine Welt jenseits des Unendlichen. Sie rechnen jedenfalls nicht einfach nur herum.

Darin liegt das Geheimnis der Mathematik: Es ist ein einziges großes Spiel. Professionelle Mathematiker lieben es zu spielen. Und darum geht es auch in diesem Buch: Ihnen diese Welt aufzutun und Ihnen die Freiheit zu geben, mit Mathematik zu spielen. Auch Sie können sich wie ein erstklassiger Mathematiker fühlen, und falls Sie schon eines dieser Kinder waren, die Mathe lieben, gibt es noch immer eine Unmenge an Neuem zu entdecken. Alles in diesem Buch beginnt mit Dingen, die man tatsächlich herstellen und machen kann. Man kann ein vierdimensionales Objekt bauen, sich originelle Zerlegungen ausdenken und unglaubliche Knoten knüpfen. Ein Buch ist zudem ein erstaunliches Stück Technik mit einem hochmodernen Pausenmodus. Wenn Sie innehalten und eine Weile mit einem mathematischen Puzzle herumspielen möchten, so können Sie das tun. Das Buch rührt sich nicht vom Fleck, alle Wörter bleiben an Ort und Stelle und warten auf Ihre Rückkehr.

Alle besonders aufregenden, wegweisenden technischen Entwicklungen basieren letztlich auf Mathematik, von der Datenverarbeitung, die hinter der modernen Medizin steckt, bis zu den Gleichungen, die die Textbotschaften zwischen Handys übermitteln. Und selbst ganz maßgeschneiderte mathematische Technologie basiert letztlich darauf, dass irgendein Mathematiker den spielerischen Versuch machte, ein Rätsel zu lösen.

Das ist das Wesen der Mathematik. Es ist das Streben nach Mustern und Logik um ihrer selbst willen; es geht darum, unsere Neugier spielerisch zu befriedigen. Neue mathematische Entdeckungen können zahllose praktische Anwendungen haben – und unter Umständen verdanken wir ihnen unser Leben –, doch selten werden sie vornehmlich aus diesem Grund entdeckt. Wie schon der Physiker und Nobelpreisträger Richard Feynman über sein eigenes Fachgebiet gesagt haben soll: «Physik ist in vieler Hinsicht wie Sex; natürlich kann er zu praktischen Ergebnissen führen, das ist aber nicht der Grund, warum wir’s tun.»

Ich hoffe, es gelingt mir, die Mathematik, die Sie in der Schule gelernt haben, ins rechte Licht zu rücken. Ohne diese Schulmathematik blieben all die anderen interessanten Mathe-Felder unerreichbar. Jeder Schüler erinnert sich zumindest vage an die mathematische Konstante π (Pi, rund 3,14), und einige entsinnen sich vielleicht sogar, dass π das Verhältnis vom Umfang eines Kreises und dessen Durchmesser definiert. Dieses π sagt uns also, dass der Umfang eines Glases mehr als dreimal so groß ist wie der Durchmesser. Und es ist der Durchmesser, den die meisten Leute im Blick haben, wenn sie abschätzen, wie hoch ein Glas ist – wobei sie vergessen, ihn mit π zu multiplizieren. Dabei geht es um mehr, als sich an eine Verhältniszahl zu erinnern, hier muss sie sich in der Wirklichkeit bewähren.

Leider dreht sich die Mathematik in der Schule nur selten darum, wie man in einer Kneipe an ein Freibier kommt. Der Grund, warum man die Schulmathematik nicht völlig links liegen lassen kann, ist der, dass die aufregenderen mathematischen Phänomene auf den weniger aufregenden aufbauen. Zugleich ist dies zumindest zum Teil der Grund, warum manche Leute Mathe so schwierig finden: Sie haben ein paar entscheidende Grundlagen nicht mitbekommen, und ohne sie erscheinen die höheren Sprossen der Leiter unerreichbar. Hätten sie die Thematik jedoch Schritt für Schritt in der richtigen Reihenfolge bewältigt, wäre alles gut gewesen.

Kein einziger Teilaspekt der Mathematik ist schwierig zu meistern, aber manchmal ist es wichtig, die Dinge in einer optimalen Reihenfolge zu erledigen. Sicherlich bedarf es beträchtlicher Anstrengung, um die obersten Sprossen einer sehr hohen Leiter zu erreichen, aber jede einzelne Sprosse ist nicht mühsamer zu erklimmen als die vorherige. Das gilt auch für die Mathematik. Schritt für Schritt bewältigt, macht die ganze Sache viel Spaß. Wenn man Primzahlen versteht, ist der Umgang mit Primknoten viel einfacher. Wenn man zunächst mit 3D-Formen umzugehen lernt, sind 4D-Formen nicht mehr so einschüchternd. Man kann sich all die Kapitel dieses Buches als ein Gerüst vorstellen, bei dem ein Bauteil auf mehreren der vorangegangenen Kapitel ruht.

Sie können sich sogar Ihren eigenen Weg durch die Kapitel suchen, solange Sie vor Beginn des letzten Kapitels all die vorherigen gelesen haben, auf denen es beruht. Je weiter das Buch voranschreitet, desto fortgeschrittener ist die Mathematik, die die Kapitel behandeln – es geht dann um die Art von Dingen, von denen man im Klassenzimmer gewöhnlich nichts hört. Auch das kann auf den ersten Blick einschüchternd wirken. Aber solange Sie alles in der richtigen Reihenfolge lesen, verfügen Sie zu dem Zeitpunkt, an dem Sie die entlegenen Winkel der Mathematik erreichen, über das nötige Rüstzeug, um all die Freuden und Überraschungen zu genießen, die diese Wissenschaft bieten kann.

Vergessen Sie vor allem nicht, dass die Motivation, dieses Gerüst zu besteigen, allein darin bestehen sollte, die Aussicht während des Aufstiegs zu genießen. Allzu lang ist Mathematik mit trockenem Lernstoff gleichgesetzt worden; dabei sollte es darin um Spaß und Erkunden gehen. Ein Rätsel auf einmal, ein Mathe-Spiel nach dem anderen, und bald erreichen wir die Spitze der Leiter und freuen uns an all den faszinierenden Facetten der Mathematik, von denen andere nicht einmal wissen, dass sie existieren. Wir werden mit Dingen spielen können, die über die normale menschliche Intuition hinausgehen. Die Mathematik gewährt uns Zugang zur Welt der imaginären Zahlen, zu Formen, die nur in 196884 Dimensionen existieren, und zu Objekten jenseits der Unendlichkeit. Von der vierten Dimension bis zu transzendenten Zahlen – wir werden nichts auslassen!

Dieses Buch ist ein Gerüst von Kapiteln, die aufeinander aufbauen.

Wählen Sie Ihren Weg mit Bedacht.

ZWEI

FORMEN formen

Das Wichtigste zuerst: Die meisten Leute zerteilen eine Pizza völlig falsch. Die orthodoxe Methode besteht darin, eine Reihe gerader Schnitte zu machen, die sich in der Mitte kreuzen, was zu gleich großen Stücken führt. Das gilt als fair, weil jeder ein Stück bekommt, das nicht nur so groß ist wie alle anderen, sondern auch genau dieselbe Form hat: ein Dreieck mit einer abgerundeten Seite (dem knusprigen Rand). Das Problem mit diesem System ist, dass zwar alle Stücke gleich geformt sind, aber alle von der Mitte der Pizza ausgehen. Das heißt, wenn es in der Mitte der Pizza einen Belag gibt, den Sie nicht mögen, ist es nicht möglich, ein Stück zu wählen, das ihn nicht enthält. Besser wäre also eine Methode, die identisch geformte und identisch große Stücke ergibt, ohne dass sie alle von der Mitte ausgehen müssen.

Um herauszufinden, wie man das macht, braucht man zunächst einmal eine Pizza. Die Pizza kann real oder imaginär sein, und vielleicht finden Sie es einfacher, einen Kreis auf ein Stück Papier zu zeichnen. Ihre Aufgabe besteht darin, eine Methode zu finden, die Pizza so zu schneiden oder den Kreis auf dieser Seite so zu zerlegen, dass eine Reihe gleich geformter Stücke entsteht, die nicht alle die Mitte berühren. Dies ist keine Scherzfrage: Die Lösung besteht nicht darin, mit einer quadratischen Pizza zu beginnen oder sich weniger pingelige Freunde zu suchen; das Problem lässt sich mit einer ganz alltäglichen runden Pizza lösen.

Eine Pizza, die auf stinknormale Weise geteilt wurde, und eine unzerteilte Pizza, die Sie auf bessere Weise zerlegen sollen.

Nun – es gibt ein paar Bedingungen. Wir wollen von einer völlig runden Pizza mit einheitlichem Belag und ohne Kruste ausgehen; zudem ist der Teig außerordentlich dünn (sodass man nicht mogeln kann, indem man sie horizontal durchschneidet). Um das Ganze zusammenzufassen: Die Pizza lässt sich als perfekt kreisförmig, homogen, unendlich dünn und (weil sie zweidimensional ist) als Kauf mit einem miserablen Preis-Leistungs-Verhältnis beschreiben. Sie kann zudem als krümelfrei betrachtet werden und sich in einem Vakuum befinden, doch das würde den Verzehr deutlich erschweren, obgleich es die Verdauung vielleicht erleichtern würde.

Dieses Problem hat alle Zutaten, die man für ein perfektes Rätsel braucht. Anfangs erscheint es unlösbar, doch sobald man beginnt, damit herumzuspielen, taucht ein Hinweis auf die Lösung auf. Dann plötzlich fällt der Groschen – vielleicht müssen Sie sogar eine echte Pizza essen, um von Ihrem Mathe-High herunterzukommen. Zudem spielt dabei eine der besten Formen in der Mathematik eine Rolle: der Kreis. Ohne Ecken und mit nur einer einzigen Seite ist der Kreis zweifellos die einfachste geometrische Form. Und sicherlich ist er die älteste. Vom menschlichen Auge bis zur Sonne, die auf uns niederscheint, gibt es in der Natur Kreisformen, die in einer Weise perfekt sind, wie dies für gleichseitige Dreiecke, Quadrate und Fünfecke nicht gilt.

Wenn Sie sich mit dem Pizzaproblem beschäftigen, werden Sie wahrscheinlich eine ganze Reihe Kreise zeichnen müssen. Am einfachsten ist es, sie freihändig zu zeichnen, und solange sich die beiden Enden treffen, reicht dies aus. Oder man kann einen Zirkel benutzen. Zirkel gehören zu meinen mathematischen Lieblingsinstrumenten, nicht nur, weil das spitze Ende Generationen von Schülern zur Unterhaltung gedient hat (sei es, um Wörter in die Schulbank zu ritzen oder um den Vordermann damit zu pieksen), sondern weil es das Wesen eines Kreises verkörpert: eine Linie, die überall denselben Abstand von einem Mittelpunkt hat. Man stellt den Abstand der beiden Schenkel auf den Radius des Kreises ein, sticht die Spitze ins Papier und zieht eine Linie durch all die Punkte, die genau einen Radius vom Mittelpunkt entfernt liegen. Et voilà!: ein perfekter Kreis. Oder nicht …

Praktisch gesehen, zeichnet ein Zirkel gar keinen perfekten Kreis auf ein Blatt Papier. Wenn Sie das Bild nahe genug heranzoomen könnten, würden Sie kleine Unregelmäßigkeiten in der Linienführung erkennen, denn die Papieroberfläche ist niemals völlig glatt; zudem führt jede kleine Lockerung im Gelenk des Zirkels zu leichten Abweichungen beim Radius. Daran werden Sie sich gewöhnen: In der Mathematik unterscheidet man gern zwischen der perfekten, idealen Situation und dem, was in der nicht so perfekten, chaotischen Wirklichkeit passiert. Als Konzept existiert so etwas wie ein «perfekter Kreis», bestehend aus einer exakten Linie, die sich präzise um ein festgelegtes Zentrum zieht. In der Realität genügt uns ein annähernd kreisförmiges Gebilde, dessen Abweichungen vom Ideal so gering sind, dass sie nicht ins Gewicht fallen.

Ein Zirkel lässt sich nicht nur dazu benutzen, den Umfang einer Pizza zu zeichnen, sondern auch, um die Lösung des Pizza-Problems zu zeichnen. Statt eine Pizza mit geraden Schnitten zu zerlegen, wählen Sie Schnitte mit derselben Krümmung wie beim Umfang der Pizza, so wie in der Skizze unten. Im Gegensatz zu vielen mathematischen Rätseln hat dieses eine praktische Lösung: Man kann eine Pizza tatsächlich in der skizzierten Weise zerlegen. Ich hab’s gemacht. Das nächste Mal, wenn Sie in eine Pizzeria gehen, nehmen Sie eine Kopie der Skizze mit und bitten Sie den Pizzaverkäufer, Ihre Pizza in der richtigen Weise zu zerlegen! (Natürlich werden die Reaktionen auf diese Bitte unterschiedlich ausfallen.)

Wie man eine Pizza in zwei Schritten fair zerlegt.

Wie man einen fünfeckigen Knoten macht

Nicht alle Formen verhalten sich so anständig wie Kreise. Ein oder zwei Kreise mit einem Zirkel zu zeichnen, ist wirklich ein Kinderspiel, doch ein Fünfeck zu zeichnen, ist schwierig. Eine fünfseitige Figur mit dem Lineal zu konstruieren, ist recht einfach, doch wenn alle Seiten genau dieselbe Länge haben sollen, wie bei einem «regelmäßigen» Fünfeck oder Pentagon, geht die Sache ziemlich schief. Die ersten, die sich mit Geometrie beschäftigten, waren, soviel wir wissen, die alten Griechen, und sie liebten regelmäßige Fünfecke. Wer in der Lage war, eines zu zeichnen, konnte sogar einem geheimen Matheclub beitreten. Das kann ich Ihnen nicht bieten, doch ich kann Ihnen eine sehr einfache Möglichkeit zum Mogeln zeigen.

Nehmen Sie einen langen Papierstreifen und schlingen Sie ihn zu einem einfachen Knoten. Ziehen Sie das Papier langsam zusammen und drücken Sie es gleichzeitig platt, und der Knoten wird schließlich ein regelmäßiges Fünfeck bilden. Messen Sie die Kanten nach, wenn Sie mir nicht glauben. Und wenn Sie mir dann immer noch nicht glauben, zeige ich Ihnen in den «Antworten am Endes des Buches», dass die Kanten theoretisch tatsächlich gleich lang sind. Die Tatsache, dass man dieses Fünfeck praktisch überall in kürzester Zeit produzieren kann, hat in Mathematikerkreisen zu dem wunderbaren Spitznamen «emergency pentagon». (Notfall-Fünfeck) geführt.

Verknoten Sie einen Papierstreifen und erhalten Sie ein freistehendes Fünfeck.

Leider würde Ihnen dieses Notfall-Fünfeck nicht helfen, Zugang zu dem geheimen Matheclub der alten Griechen zu erhalten. Um ca. 300v.Chr. waren die Griechen besessen davon, Figuren nur mit Zirkel und Lineal zu konstruieren. Und wir sind noch immer von den alten Griechen und ihrer Methode besessen, Figuren zu konstruieren, denn sie gehörten zu den ersten Mathematikern, und Geometrie war die erste Disziplin der Mathematik. Und es gibt einen sehr guten Grund, Zirkel und Lineal als den Ursprung der Mathematik anzusehen. Das hängt damit zusammen, warum Zahlen allein niemals so richtig als «wahre Mathematik» akzeptiert wurden.

Zählen ist zweifellos viel älter als Figuren zeichnen; Zahlen gehen der Geometrie definitiv voraus. Bereits in grauer Vorzeit haben Menschen mit Zahlen hantiert. Diese wurden oft durch Zeichen in feuchtem Lehm oder Ton symbolisiert. Antike Tontäfelchen, auf denen geschäftliche Transaktionen, die Schwankungen von Nutztierbeständen oder der mondabhängige Wechsel der Gezeiten und so weiter festgehalten wurden, haben bis heute überdauert. Es gab sogar Täfelchen, in die Übungen eingeritzt waren, Rätsel, die dazu dienten, wichtige Fertigkeiten zu erlernen, welche anschließend praktisch angewandt werden konnten. All das klingt vielleicht wie eine ganze Menge Mathematik, doch zwei wichtige Dinge fehlen: Keiner dieser Anwender bewies jemals, dass die Mathematik, die er benutzte, tatsächlich korrekt war. Und sie taten es nicht zum Spaß.

Als die Menschen zum ersten Mal Geometrie betrieben, geschah dies aus praktischen Gründen, um Felder gerecht aufzuteilen oder etwas zu bauen. Zu den Zahlen gesellten sich Formen, doch sie waren zunächst nicht mehr als ein weiteres Werkzeug im Instrumentarium, das Menschen einsetzten, um eine Zivilisation aufzubauen. Das änderte sich mit den alten Griechen. Sie entschlossen sich, Mathematik um ihrer selbst willen zu betreiben. Für sie war das Ganze ein Spiel. Und nicht nur das, denn es ging ihnen nicht nur um eine Antwort, sondern auch darum, über jeden Zweifel hinaus zu belegen, dass es sich tatsächlich um die richtige Antwort handelte. Dieser neue Ansatz in der Mathematik wurde beispielhaft von einem Mann verkörpert: Euklid.

Euklid wurde, soweit bekannt, um 300v.Chr. geboren (die alten Griechen führten keine regelmäßigen Geburtsregister). Nach allem, was wir wissen, könnte «Euklid» aber auch ein Pseudonym für eine ganze Gruppe von Leuten gewesen sein. Wie dem auch sei, er (oder die Gruppe) verfasste 13 Bücher, die bis heute überdauert haben. «Euklids Elemente». (oder einfach «Die Elemente») waren Euklids Versuch, das gesamte mathematische Wissen seiner Zeit zusammenzufassen und dessen Richtigkeit zu beweisen.

Euklid wollte nicht, dass irgendjemand ihm einfach vertrauen oder etwas einfach glauben musste: Jeder Schritt musste streng bewiesen werden. Leider kann man nicht alles von Grund auf beweisen: Man muss mit ein paar Dingen beginnen, von denen man annimmt, dass sie wahr sind, und schauen, wie weit man damit kommt. Daher ging Euklid von den offensichtlichsten Annahmen aus – Annahmen, die so eindeutig wahr sind, dass sie keinerlei Rechtfertigung oder Beweise bedürfen. Die erste Annahme war, dass man mit einem Lineal Geraden zeichnen kann, die zweite, dass man mit einem Zirkel Kreise zeichnen kann. Sie glauben gar nicht, wie weit man mit diesen beiden einfachen Annahmen kommen kann.

Drei Kreise später, und Sie erhalten ein gleichseitiges Dreieck!

Nehmen Sie also Zirkel und Lineal zur Hand und schauen Sie, ob Sie damit ein Dreieck konstruieren können, dessen drei Seiten genau gleich lang sind (ein gleichseitiges oder regelmäßiges Dreieck). Wenn das zu einfach ist, versuchen Sie es mit einem Quadrat (bei dem offensichtlich alle vier Seiten gleich sein müssen) oder einem regelmäßigen Sechseck. Die wahre Herausforderung beginnt, wenn Sie versuchen, ein regelmäßiges Fünfeck zu konstruieren … All dieses Experimentieren zeigt, dass man nicht einfach an die Existenz von Dreiecken glauben muss. Im ersten Beweis in Euklids «Elementen» geht es darum, wie man mit Zirkel und Lineal ein Dreieck zeichnet. Sobald man akzeptiert, dass Geraden und Kreise existieren, ergibt sich die Existenz von regelmäßigen Dreiecken, Quadraten, Fünf- und Sechsecken als natürliche Konsequenz.

Das ist ein weiteres Beispiel für Abstraktion, wie wir es schon bei den Zahlen gesehen haben. Die Mathematik, wie wir sie heute verstehen, nahm ihren Anfang, als sich die Menschen von der physischen Realität lösten und versuchten, Dinge in ihren abstrakten Formen zu verstehen. Ein rechter Winkel wurde von etwas, das nur existierte, wenn sich zwei Zäune in der Ecke eines Feldes physisch kreuzen, zu einem allgemeinen Konzept. Anders als Zahlen, die in einem bestimmten System ausgedrückt werden, sind Formen offenbar frei von solchen Einschränkungen. Kreise sind Kreise, Geraden sind Geraden, ganz gleich, wie man sie ausdrückt. Unsere besagten Außerirdischen könnten mit uns darüber streiten, wie man eine Zahl niederschreibt, doch sie müssten zugeben, dass ein Fünfeck ein Fünfeck ist. (In welcher Sprache auch immer; lassen Sie uns daher bei der Sprache der Geometrie, bei Zirkel und Lineal bleiben. Dann wissen wir, woran wir sind).

Zeichnen Sie ein paar Halbkreise auf eine Gerade, und das Quadrat ergibt sich ganz von selbst!

Interessanterweise hätten die Außerirdischen jedoch von anderen Annahmen ausgehen können als die Griechen. Einen Knoten in einen Papierstreifen zu machen, um ein regelmäßiges Fünfeck herzustellen, wäre in Euklids Augen keine valide Methode gewesen, da sie über seine Anfangsannahmen hinausgeht, doch die Außerirdischen hätten vielleicht nichts dagegen. Menschen haben eine Vorliebe für das Zeichnen von Formen entwickelt, daher hängt unser Verständnis von Formen stark davon ab, wie wir sie konstruieren können, während die Außerirdischen möglicherweise lieber Dinge falten und ein stärker Origamigeprägtes Verständnis von Geometrie haben. Tatsächlich steckt eine ganze Menge mehr in Formen, als Euklid sich hätte träumen lassen.

Verfallen Sie den Griechen nicht mit Haut und Haaren!

Es gab ein paar Dinge, die die alten Griechen mit Zirkel und Lineal nicht hinbekamen, zum Beispiel, einen Winkel zu dritteln oder einen Kreis und ein Quadrat mit demselben Flächeninhalt zu konstruieren, und das trieb sie buchstäblich in den Wahnsinn! Das Problem war, sie konnten nicht beweisen, dass so etwas (wie wir heute wissen) unmöglich ist; daher hofften sie stets, eine Lösung zu finden, wenn sie sich nur genügend anstrengten. Die Teilung eines Winkels mittels Zirkel und Lineal in drei gleich große Teile wirkt auf den ersten Blick so simpel, dass die Annahme, so etwas könne doch nicht unmöglich sein, ganz natürlich erscheint.

Unsere Außerirdischen hätten damit also kein Problem, sie würden einfach Papier falten. Die Abbildung auf der folgenden Seite zeigt so eine Lösung; sie wurde 1980 von Hisashi Abe von der japanischen Universität Hokkaido entwickelt.

Dreiteilung eines Winkels im Origami-Stil

Beginnen Sie, von einer Ecke des Blattes ausgehend, mit einem beliebigen Winkel.

Falten Sie den Rand einmal und dann noch einmal, sodass zwei parallele Knickfalten entstehen (Falte 1 und Falte 2).

Falten Sie die Ecke so, dass sie Falte 1 gerade berührt hat, während Falte 2 die ursprüngliche Winkelgerade berührt.

Nun haben Sie auf Falte 1 zwei Punkte: wo die Ecke sie berührt und wo die neue Falte sie kreuzt. Verbinden Sie beide mit der Ecke, und der Winkel ist in drei genau gleich große Teile geteilt!

Die Griechen kamen niemals auf diese Idee, weil sie erfordert, dass man gleichzeitig zwei verschiedene Punkte mit zwei verschiedenen Geraden verbindet. Das liegt jenseits dessen, was man mit Zirkel und Lineal machen kann, aber via Origami ist es ganz einfach.

Etwas anderes, das die alten Griechen verrückt machte, waren Formen, bei denen die Kanten durch andere Kanten verlaufen. Wenn Sie das Knoten-Fünfeck nehmen, das Sie zuvor hergestellt haben, und es gegen das Licht halten, werden Sie den fünfeckigen Stern darin erkennen, den man, um Verwirrung zu vermeiden, üblicherweise als Pentagramm bezeichnet. Fünfeck wie auch Pentagramm sind fünfseitige Figuren, bei denen alle Kanten genau gleich lang sind – obwohl das Pentagramm wegen seiner überlappenden Kanten oft ausgeschlossen wird. Manche haben das Gefühl, es sei kein «richtiges» Fünfeck. Wirklich bedauerlich! Ich halte es für eine Frage des persönlichen Geschmacks – und ich mag Figuren, bei denen sich die Kanten schneiden.

Wenn Sie nicht mögen, dass sich Kanten schneiden, gibt es nur ein einziges Siebeneck (Heptagon), doch wenn Sie ein paar gelegentliche Kontakte akzeptieren – und geben wir’s zu, wer tut das heutzutage nicht? –, gibt es zwei weitere regelmäßige Siebenecke, die völlig in Ordnung sind. (Ich gebe Ihnen diesmal einen Tipp: Es handelt sich um eine elfseitige Figur, vgl. die Abbildung oben auf der folgenden Seite.) Das Sechseck ist die größte Figur, von der es nur eine einzige regelmäßige Form gibt; von jeder Figur mit mehr als sechs Seiten existieren zwei oder mehr unterschiedliche Formen. Mehr Seiten sind jedoch keine Garantie für mehr Formen; es gibt nur zwei regelmäßige Zwölfecke (Dodekagone).

Ich finde es schade, dass die meisten Leute, wenn sie einen Stern zeichnen wollen, auf das fünfseitige Pentagramm zurückgreifen. Warum keine sieben- oder selbst neunseitigen Sterne zeichnen? Ein Tipp: Wenn Sie üben wollen, verschiedene Sternformen zu zeichnen, ist der schwierigste Teil, die Punkte immer im gleichen Abstand anzuordnen.

Die fünf regelmäßigen Hendekagone (Elfecke)

Unten sind ein paar Kreise mit gleichmäßig verteilten Punkten vorgegeben, wenn Sie versuchen wollen, ein paar Sterne zu zeichnen, und auf der Website www.makeanddo4D.com finden Sie eine Vielzahl weiterer solcher Schummelseiten zum Ausdrucken.

Das letzte Problem, das die alten Griechen mit ihren sturen Regeln und Hürden (zu Recht) ratlos machte, bestand darin, eine regelmäßige Figur mit sieben Seiten zu zeichnen. Nach vielen Mühen fanden sie heraus, wie man ein Fünfeck konstruiert, aber das Siebeneck bekamen sie nie in den Griff. Daher entschlossen sie sich, dieses Problem zurückzustellen und sich zunächst auf andere Figuren zu konzentrieren. Was die nächsten regelmäßigen Formen betraf, so ließen sich Figuren mit acht und zehn Seiten via Zirkel und Lineal konstruieren, doch neun- und elfseitige Formen schienen unmöglich. Und wie sich herausstellte, waren zwölfseitige Formen recht einfach zu zeichnen, während dies bei solchen mit dreizehn und vierzehn Seiten nicht gelang.1 Die Griechen wussten einfach nicht genug über Mathematik, um beweisen zu können, dass es definitiv unmöglich ist, diese Formen mit Zirkel und Lineal zu konstruieren; daher mühten sie sich weiter vergeblich ab, was sehr frustrierend gewesen sein muss.

Ich möchte betonen, dass die Griechen durchaus in der Lage waren, diese Formen zu zeichnen – es gelang ihnen lediglich nicht mit den Methoden, die sie gern angewandt hätten. Nach einigem Herumprobieren mit einem Lineal nach dem Prinzip von Versuch und Irrtum kann man ein sehr akkurates Siebeneck zeichnen, das sicherlich alle praktischen Bedürfnisse nach einem Heptagon befriedigt. Euklid und seine Freunde frustrierte, dass es sich in ihren Augen niemals um ein wirklich perfektes Siebeneck handeln würde. Sie waren lediglich bereit, perfekte Geraden und Kreise blind zu akzeptieren, und wenn sie keinen Weg fanden, um mit deren Hilfe ein perfektes Heptagon zu konstruieren, waren sie nicht wirklich glücklich. Sie weigerten sich anzunehmen, dass Siebenecke existierten, ohne es von Grund auf bewiesen zu haben.

Ich denke, die Griechen wurden auf die Dauer zu verbissen. Ein Winkel lässt sich allein mit Geraden und Kreisen in drei gleiche Teile zerlegen, doch dazu muss man an einer Stelle einen Kreis zeichnen und ihn dann an eine andere Stelle verschieben. Weil das mit Zirkel und Lineal auf einem Blatt Papier nicht machbar ist, akzeptierten die Griechen diese Methode nicht. Aber das war ihr gutes Recht. Mathematik ist vor allem ein gigantisches Spiel, und die Griechen waren besessen davon, es nach ihren eigenen Regeln zu spielen. Mathematik ist zudem ein Spiel, bei dem man nicht schummeln kann;2 man fügt lediglich neue Regeln hinzu.