Aufgabensammlung Mathematik für BWL-Studenten E-Book

Birgit Ueckerdt

• Herausgeber: tredition
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Sprache: Deutsch
• Veröffentlichungsjahr: 2017

Seitenzahl: 415

Beschreibung

Für viele BWL-Studenten stellt die Mathematikklausur eine erhebliche Hürde dar, für die oft mehrere Versuche nötig sind und an der viele sogar ganz scheitern und das BWL-Studium aufgeben müssen. Diese Aufgabensammlung, die zum großen Teil aus ehemaligen Klausuraufgaben der HWR Berlin besteht, kann helfen, diese Anforderung zu meistern. Es gibt zu Beginn jedes Kapitels ein komplett vorgerechnetes Einführungsbeispiel, das deutlich schwieriger ist als die ersten Aufgaben des Kapitels, aber ansonsten keine Darstellung der Theorie. Daher ist dieses Buch kein Ersatz für ein Lehrbuch, aber eine wertvolle Hilfe zur Klausurvorbereitung. Logisches Denken fällt manchem leicht, anderen sehr schwer, aber es ist erlernbar. Dazu gibt es einen ausführlichen Lösungsteil mit zahlreichen Hinweisen zu möglichen Fehlern. Die Anregungen zu vielen Aufgaben stammen aus Nachrichten oder Wirtschaftssendungen verschiedener Medien (wie die Aufgabe zum Puppenkrieg zwischen Barbie und Bratz, die zu Preiserhöhungen für Milchprodukte, die Aufgaben zu Wohnungen für Flüchtlinge oder zu einem TV-Reisemagazin). Weitere Aufgaben gehen auf Studienarbeiten der dualen Studenten der HWR (z.B. die Aufgabe zum Personalcontrolling, Bahn versus HKX, die Aufgabe zur Verkaufsflächenoptimierung und zur Preissenkung von Medikamenten nach Auslaufen der Schutzfrist), die Probleme aus ihren Unternehmen eingebracht haben, zurück. Auch Erfahrungen aus dem täglichen Leben spiegeln sich hier wider. Neben dem Erlernen und Verstehen der Mathematik, kann der Leser damit auch einen Eindruck gewinnen, welche praktischen Probleme sich mit den verwendeten mathematischen Verfahren lösen lassen. Dabei wurden die Zusammenhänge stark vereinfacht und stark gerundete Koeffizienten genutzt, um möglichst ganzzahlige Ergebnisse zu erhalten. In den Beispielen aus ganz unterschiedlichen Sachgebieten und der Realitätsnähe liegt ein besonderer Reiz dieser Aufgabensammlung.

Leseprobe

Birgit Ueckerdt

Aufgabensammlung Mathematik für BWL-Studenten

tredition Verlag

Ueckerdt, Birgit

Hochschule für Wirtschaft und Recht Berlin

ISBN 978-3-7345-7972-1 (Paperback)

ISBN 978-3-7345-7973-8 (Hardcover

ISBN 978-3-7345-7974-5 (e-book)

tredition Verlag 2017

Aufgabensammlung Mathematik für BWL-Studenten

Zum Geleit

1 Brückenkurs Mathematik

1.1 Bruchrechnung

1.2 Rechnen mit Potenzen und Wurzeln

1.3 Rechnen mit Logarithmen

1.4 Lösungen der Übungsaufgaben

1.4.1 Bruchrechnung

1.4.2 Rechnen mit Potenzen und Wurzeln

1.4.3 Rechnen mit Logarithmen

2 Analysis

2.1 Funktionen einer Veränderlichen

2.1.1 Ableitungen, Elastizitäten und ihre Interpretation

2.1.2 Kurvendiskussion

2.2 Funktionen mehrerer Veränderlicher

2.2.1 Höhenlinien, partielle Ableitungen, das totale Differential, der Gradient und partielle Elastizitäten

2.2.2 Relative Extrema von Funktionen mit zwei Veränderlichen

2.2.3 Relative Extrema unter Nebenbedingungen

2.3 Lösungen der Übungsaufgaben

2.3.1 Funktionen einer Veränderlichen

2.3.2 Funktionen mehrerer Veränderlicher

3 Lineare Algebra

3.1 Matrizen

3.1.1 Rechnen mit Matrizen

3.1.2 Die inverse Matrix

3.2 Lineare Gleichungssysteme

3.2.1 Aufstellung und Lösung linearer Gleichungssysteme

3.2.2 Lineare Gleichungssysteme mit Parametern

3.3 Lineare Optimierung

3.3.1 Grafische Lösung

3.3.2 Simplex-Methode

3.3.3 Nichtzulässige Ausgangslösung

3.3.4 Minimierungsprobleme

3.4 Lösungen der Übungsaufgaben

3.4.1 Matrizen

3.4.2 Lineare Gleichungssysteme

3.4.3 Lineare Optimierung

4 Literatur

Zum Geleit

Die Mehrheit bringt der Mathematik Gefühle entgegen, wie sie nach Aristoteles durch die Tragödie geweckt werden sollen, nämlich Mitleid und Furcht. Mitleid mit denen, die sich mit der Mathematik plagen müssen, und Furcht: dass man selbst einmal in diese gefährliche Lage geraten könne.

Paul Epstein (1883 - 1966)

Dieses Zitat spricht sicherlich vielen BWL-Studenten aus der Seele, die sich in der Mathematik-Ausbildung erst mal hoffnungslos überfordert fühlen und häufig mehrere Klausurversuche benötigen, um zumindest die Grundanforderungen zu bewältigen. Einige müssen ihr BWL-Studium aus diesem Grund sogar aufgeben. Logisches Denken fällt manchem leicht, anderen sehr schwer, aber es ist erlernbar. Je größer die Probleme dabei sind, umso mehr Übung ist erforderlich. Um Ihnen dies zu erleichtern, habe ich diese Aufgabensammlung zusammengestellt. Zum Einstieg gibt es am Beginn jedes Abschnitts ein komplett durchgerechnetes Einführungsbeispiel, das deutlich anspruchsvoller ist als die ersten Übungsaufgaben des betreffenden Abschnitts. Begonnen wird dann in der Regel mit einfacheren, teils reinen Rechenaufgaben. Sachbezogene Aufgaben folgen. Aufgaben oder Teilaufgaben, die mit einem * gekennzeichnet sind, sind schwieriger als der Rest. Dabei ist es nicht erforderlich, alle Aufgaben des betreffenden Abschnitts zu lösen. Aus Aufgaben des zweiten und dritten Kapitels lassen sich jederzeit neue Probeklausuren zusammenstellen, notfalls auch noch zur Vorbereitung einer zweiten oder dritten Klausur, obwohl diese bei guter Vorbereitung der Erstklausur vermutlich nicht mehr erforderlich sind.

Wie der Titel bereits sagt, handelt es sich hier um eine Aufgabensammlung, nicht um ein Lehrbuch. Was eine partielle Ableitung ist, eine Elastizität oder ein totales Differential und wie die Simplex-Methode funktioniert, sollte aus dem Mathematik-Unterricht bekannt sein oder es bedarf eines Lehrbuchs, um sich dies zu erarbeiten. Im Literaturverzeichnis finden Sie diesbezüglich einige Empfehlungen, viele andere Lehrbücher sind dazu jedoch genauso gut geeignet. Bei vielen Studenten beginnen die Probleme mit der Mathematik nicht erst beim Ableiten. Rechenregeln der Bruchrechnung, sowie der korrekte Umgang mit Potenzen, Wurzeln und Logarithmen und nicht zuletzt die Umstellung einer Gleichung nach einer Variablen, die lange vor dem Abitur in der Schule behandelt wurden, sind zu Studienbeginn weitgehend vergessen oder sogar gänzlich unbekannt. Diese werden jedoch z.B. im Rahmen der Kurvendiskussion und bei der Bestimmung relativer Extrema von Funktionen mit einer oder mehreren Veränderlichen benötigt. Mancher rechnet hier einfach so, wie er denkt, und nutzt dabei sehr kreative Rechenregeln, die nur leider nicht gelten. Um solche Lücken zu schließen, ist dem im BWL-Studium behandelten Stoff ein Brückenkurs voran gestellt. Der Lösungsteil enthält auch Hinweise zu häufigen Fehlern, die regelmäßig in Mathematik-Klausuren auftreten, obwohl dieses Schulwissen im BWL-Studium gar nicht unmittelbar abgeprüft wird.

Dabei gibt es keinen einfachen und kurzen Weg, dies alles schnell zu erlernen. Man braucht Zeit, Geduld und vor allem sehr viel Übung. Die ausführlichen Lösungen oder ein guter Nachhilfelehrer können dabei helfen, aber Denken, Erfahrung und Rechnen kann Ihnen niemand abnehmen. Insbesondere gehört es zum Lernprozess, auch Fehler zu machen, deren Ursachen zu erkennen und diese künftig zu vermeiden. Eine häufige Fehlerquelle ist, wie schon erwähnt, die Nutzung frei erfundener Rechenregeln. Wer sich im Eiltempo nur die Lösungen anschaut, wird wenig von diesem Buch profitieren. Dabei lernt er weder, den richtigen Ansatz zur Lösung einer Aufgabe zu finden, z.B. zu erkennen, welche Ableitungsregel erforderlich ist, noch macht er Fehler, mit denen er sich beim Vergleich mit der angegebenen Lösung auseinandersetzen muss. Das ist wie Schwimmtraining nur durch Bewegungsübungen auf dem Trockenen, Radfahrtraining ohne Rad oder Reittraining ohne Pferd. Auch Kleinkinder lernen nicht Laufen, indem man mit ihren Beinen die Laufbewegungen ausführt. Ohne eigene praktische Erfahrung geht es nicht, auch nicht in der Mathematik. Immer wieder fragen mich Studenten, ob sie in der Klausur nicht wenigstens den Lösungsweg erläutern können, wenn sie es nicht schaffen, die Lösung danach zu ermitteln. Nein, das reicht nicht. Wenn Ihr Fernsehgerät defekt ist, möchten Sie auch, dass der bestellte Monteur es repariert und nicht, dass er Ihnen sagt, was Sie tun müssten, um es wieder in Gang zu setzen. Wenn Sie Erklärungen abgeben wollen, sollten Sie Politiker werden, nicht Betriebswirt. Von einem Betriebswirt wird erwartet, dass er rechnen kann. Er sollte Kosten und Preise von Produkten und Leistungen kalkulieren, ein Werbebudget verwalten und gezielt einsetzen oder Verkaufsflächen aufteilen können, um einen maximalen Umsatz zu erwirtschaften. Ihre Ideen dazu können Sie umso erfolgreicher präsentieren, je besser Sie Kosten und Nutzen der vorgeschlagenen Maßnahmen belegen, je exakter Sie diese kalkulieren können. Ein sicherer Umgang mit Formeln, Zahlen und Modellen, angefangen mit der Prozentrechnung, ist dabei sehr hilfreich.

Wenn sich dann erste Erfolge einstellen, verliert die Mathematik allmählich ihren Schrecken. Wenn Sie dann auch noch entdecken, dass diese Mathematik sogar etwas mit Ihrem täglichen Leben und der Wirtschaft zu tun hat, finden Sie am Ende vielleicht sogar Spaß daran. Die Aufgaben und Beispiele stammen aus jahrzehntelanger Tätigkeit in der Hochschulausbildung von Betriebswirten in Mathematik und Statistik, davon die letzten 20 Jahre im dualen Studium der HWR Berlin. Viele Beispiele habe ich in meinem Unterricht verwendet, die meisten stammen jedoch aus Mathematik-Klausuren des Fachbereichs Duales Studium der HWR. In diesem Zusammenhang möchte ich mich bei meinen Kolleginnen an der HWR Karin Krüger und Karin Brinner für ihre Unterstützung bedanken, von denen zahlreiche Übungsaufgaben und Ideen dazu stammen. Die betreffenden Aufgaben sind gekennzeichnet.

Die in den Aufgaben verwendeten Preis-Absatz-, Umsatz-, Gewinn- und Kostenfunktionen sind frei erfunden. Ähnlichkeiten mit dem wirklichen Leben sind zwar beabsichtigt aber keineswegs gewährleistet, selbst dann nicht, wenn sie sich auf reale Produkte beziehen. So lassen sich für Preis-Absatz-Funktionen z.B. folgende Ansätze verwenden:

Allen ist gemeinsam, dass sich bei positiven Werten der Parameteraundbmit wachsendem Preispdie absetzbare Menge des betrachteten Produkts verringert. Das ist ökonomisch plausibel. Ich habe bei den Übungsaufgaben verschiedene dieser Funktionen eingesetzt, die jedoch auch durch andere Ansätze ersetzbar wären. Die dargestellten Zusammenhänge sind generell stark vereinfacht, es werden nur wenige Einflussgrößen einbezogen, die Realität ist wesentlich komplexer. Insbesondere wurden für die Konstanten möglichst einfache und glatte Werte gewählt, um die Rechnungen zu erleichtern. Darüber hinaus wurde bei allen durchgeführten Rechnungen auf Angaben zu den Dimensionen der Variablen und Konstanten verzichtet. Diese werden erst im Ergebnis hinzugefügt oder bei der Interpretation der ermittelten Werte genannt. Das gleiche gilt auch für die lineare Algebra. Viele der verwendeten Modelle sind realistisch, jedoch stark vereinfacht. Die Koeffizienten wurden dabei so gewählt, dass die Rechnung möglichst einfach ist und zu weitgehend ganzzahligen Ergebnissen führt. Die Ideen zu den Aufgaben stammen aus Nachrichten- oder Wirtschaftssendungen oder entsprechenden Zeitungsmeldungen (wie die Aufgaben zur Aufteilung einer Erbschaft im 1. Kapitel, die Aufgabe zu Tonerkassetten für Laserdrucker, die Aufgabe zum Puppenkrieg zwischen Barbie und Bratz im 2. Kapitel, die Aufgaben zu Preiserhöhungen für Milchprodukte, die Aufgabe zum Wohnungsbau für Flüchtlinge, die Aufgabe zum Ökostrom, die Aufgaben zum Download von Videos, das Beispiel zu einem TV-Reisemagazin und die Aufgabe zu einer Partnervermittlung im 3. Kapitel). Weitere Anregungen sind Projektberichten und Bachelor Thesis dualer Studenten der HWR entlehnt, die in ihren Unternehmen mit solchen oder ähnlichen Problemen zu tun hatten (wie die Aufgabe zum Personalcontrolling, die Aufgabe Bahn versus HKX, die Aufgaben zur Verkaufsflächenoptimierung im 2. Kapitel, die Aufgaben zur Werbung und zu Maklerannoncen und die Aufgabe zur Preissenkung von Medikamenten nach Auslaufen der Schutzfrist im 3. Kapitel. In anderen Aufgaben spiegeln sich Erfahrungen aus dem täglichen Leben wider. Dabei beginnen die Probleme mit der Mathematik bei vielen Studenten bereits mit der mathematischen Formulierung der Aufgabenstellung, mit dem Aufstellen der entsprechenden Gleichungen oder Ungleichungen. Das ist jedoch genau der Teil, der zur Nutzung der Mathematik in der Praxis unbedingt erforderlich ist, und den keine Software dem Betriebswirt abnehmen kann. In der späteren Berufspraxis ist dieser Teil sogar der wichtigste. Auch das lässt sich anhand der verschiedenen Aufgaben üben.

Trotz mehrfachen Korrekturlesens kann ich Druckfehler nicht ausschließen und bitte dafür schon vorab um Entschuldigung, ebenso wie für die unprofessionellen Grafiken, da mir weder ein sachkundiger Lektor noch ein Grafiker zur Verfügung stand. Dessen ungeachtet wünsche ich allen viel Erfolg beim Lösen der Aufgaben und hoffe, dass es Ihnen nach anfänglichen Mühen am Ende sogar ein bisschen Freude bereitet und vor allem zum Erfolg führt.

Birgit Ueckerdt

1 Brückenkurs Mathematik

1.1 Bruchrechnung

Beispiel: Testament und Erbschaft

Nach dem von den Eheleuten verfassten gemeinsamen Testament erbt nach dem Tod des Ehemannes seine Frau die Hälfte seines Vermögens. Der Rest soll an die 3 Kinder und 4 Enkel so aufgeteilt werden, dass jedes Kind und jedes Enkelkind den gleichen Anteil erhält, wobei der Erbteil eines Kindes doppelt so hoch sein soll wie der eines Enkels. Insgesamt beträgt die Erbschaft 180 000 €.

Bestimmung der Erbteile aus dem Vermögen des Vaters nach dem Testament

Das ergibt folgende Vermögensaufteilung:

Da der Erbteil eines Kindes doppelt so hoch sein soll wie der eines Enkels, ist

Eingesetzt in die obige Gleichung erhält man:

Daraus folgt dann, dass und damit und

ist. Damit erbt jedes Kind ein Zehntel (oder 10 %) des hinterlassenen Vermögens und jeder Enkel ein Zwanzigstel (oder 5 %). Die Höhe der Erbschaft der Ehefrau wird mit EF, die eines Kindes mit EK und die eines Enkels mit EE bezeichnet. Somit entfallen

Probe

Die Summe der Erbanteile der Kinder und Enkel muss ½ ergeben. Das ist aufgrund von

der Fall.

Von den drei Kindern sind zwei Töchter, die beide verheiratet sind und jeweils zwei Kinder haben. Das jüngste Kind ist ein Sohn, der allein lebt. Die Familien der Töchter erben damit jeweils:

Der Sohn erhält mit 18 000 € dagegen nur halb so viel wie die Familien seiner Schwestern. Er findet diese Aufteilung ungerecht. Wenn es kein Testament gäbe, stünde gemäß der gesetzlichen Erbfolge der Ehefrau die Hälfte des Erbes zu. Von dem Rest erhielte jedes der drei Kinder den gleichen Anteil, das wäre jeweils

während die Enkel leer ausgingen. Der Anwalt, den er aufsucht, empfiehlt ihm, gegen die Aufteilung des Testaments zu klagen, denn ungeachtet der Regelungen des Testaments steht ihm die Hälfte seines gesetzlichen Erbteils als Pflichtteil zu. Vor Gericht erhält er recht und bekommt den Pflichtteil zugesprochen.

Neubestimmung der Erbteile nach der Gerichtsentscheidung

Bei der Neubestimmung der Erbanteile wird der Anteil des Sohnes mit xS, der seiner Schwestern (Geschwister) mit xG und der der Enkel wieder mit y bezeichnet. Die zugehörigen Erbschaften werden mit ES, EG und EE bezeichnet.

Gesetzlicher Erbteil des Sohnes:

Pflichtteil:

Damit erhält er den Betrag:

Da das weniger ist als er nach dem gemeinsamen Testament der Eltern erhalten hätte, sucht er den Anwalt erneut auf, um sich bei diesem über die schlechte Beratung zu beschweren. Der Anwalt weist dies mit der Begründung zurück, dass er ihn juristisch völlig korrekt beraten hätte, rechnen müsse er schließlich selbst. Er, der Anwalt, sei schließlich kein Mathematiker.

Den Rest des Erbes, die Mutter erhält auch hier einen Anteil von 50 %, teilen sich die beiden Geschwister und ihre Kinder wie geplant.

Rest:

Aufteilung des Rests:

Da gemäß dem Wunsch der Eltern, die Kinder doppelt so viel erhalten sollen wie die Enkel, ergibt das:

Probe

Die Summe der Erbanteile der Kinder und Enkel muss ½ ergeben. Dabei ist:

Als die Mutter Jahre später ebenfalls stirbt, hinterlässt sie ihren Kindern und Enkeln ein Vermögen von 270 000 €, bestehend aus ihrer Vermögenshälfte und der nach dem Tode ihres Mannes erhaltenen Erbschaft. Sie hat ihrem jüngsten Sohn den Erbschaftsstreit, der sie sehr belastet hat, nicht verziehen und ihn daher in ihrem Testament ebenfalls nur mit dem Pflichtteil, der Hälfte seines gesetzlichen Erbteils, bedacht. Sein inzwischen geborenes Kind soll jedoch den gleichen Betrag wie die anderen 4 Enkelkinder erhalten. Nach dem gemeinschaftlichen Testament war sie zu entsprechenden Änderungen nach dem Tod ihres Mannes befugt.

Bestimmung der Erbteile aus dem Vermögen der Mutter

Probe

Die Summe der Erbanteile der Kinder und Enkel muss jetzt eins ergeben. Dabei ist:

Um diese drei Brüche addieren zu können, müssen sie auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden. Dieser ist 54. Dazu muss der erste Bruch mit 9 und der zweite mit 2 erweitert werden. Das ergibt:

Bestimmung der Erbanteile der Kinder und Enkel aus dem Vermögen des Ehepaares insgesamt

Insgesamt haben die einzelnen Familienmitglieder nach dem Tod beider Eltern folgendes Erbe erhalten:

Erbschaft des Sohnes:

Erbschaft jeder Schwester:

Bei den Enkeln muss zwischen dem Kind des Sohnes, dass nur nach dem Tod der Mutter erbt, und denen der Schwestern, die nach dem Tod jedes ihrer Großeltern erben, unterschieden werden.

Erbschaft des Kindes des Sohnes:

Erbschaft der Kinder der Schwestern:

Bestimmung der Anteile am Vermögen des verstorbenen Paares insgesamt:

Anteil des Sohnes:

Anteil jeder Schwester:

Hier wurde zunächst der Faktor 10 gekürzt, dann 25 und schließlich noch 5. Weitere gemeinsame Faktoren gibt es nicht.

Anteil des Kindes des Sohnes:

Hier wurde zunächst der Faktor 1 000 gekürzt und danach 5.

Anteil der Kinder der Schwestern:

Probe

Da es keine weiteren Erben gibt, muss die Summe der Erbanteile der Kinder und Enkel eins ergeben: Dabei ist:

Der gemeinsame Nenner der zu addierenden Brüche ist 144, wobei der erste Bruch mit 24 und der dritte mit 2 erweitert werden muss. Das ergibt:

Aufgabe 1.1.1

Bestimmen Sie das Ergebnis der folgenden Summen bzw. Differenzen und kürzen Sie dieses soweit wie möglich:

Lösen Sie diese Aufgaben, ohne die Bruchrechnungsfunktion des Taschenrechners zu aktivieren, sonst ist der Übungseffekt gering, wie Sie bei der Lösung der nächsten Aufgabe feststellen werden.

Aufgabe 1.1.2

Führen Sie folgende Rechnungen aus und kürzen Sie das Ergebnis, falls möglich. Bei den Parametern a und b handelt es sich um positive Konstanten.

Aufgabe 1.1.3

Bestimmen Sie folgende Terme und kürzen Sie die Brüche anschließend soweit wie möglich: Lösen Sie diese Aufgaben, ohne die Bruchrechnungsfunktion des Taschenrechners zu aktivieren.

Aufgabe 1.1.4

Führen Sie folgende Rechnungen aus und kürzen Sie das Ergebnis, falls möglich. Bei den Parametern a, b und c handelt es sich um positive Konstanten.

Aufgabe 1.1.5

Beseitigen Sie in folgenden Termen die Doppelbrüche und kürzen Sie das Ergebnis soweit das möglich ist:

Lösen Sie diese Aufgaben, ohne die Bruchrechnungsfunktion des Taschenrechners zu aktivieren.

Aufgabe 1.1.6

Beseitigen Sie in folgenden Termen die Doppelbrüche und kürzen Sie das Ergebnis soweit das möglich ist:

Aufgabe 1.1.7  Verkaufsflächenaufteilung

In der Etage der Damenoberbekleidung eines Kaufhauses, soll eine gegebene Verkaufsfläche auf die Marken Aniston (Anteil x1), Boss (Anteil x2), Esprit (Anteil x3), Laura Scott (Anteil x4) und Tom Tailor (Anteil x5) aufgeteilt werden. Dabei bekommt Aniston die geringste Verkaufsfläche zugeteilt. Die Fläche der Marke Boss soll 1,5 mal so groß sein, die von Laura Scott 2 mal, die von Esprit 2,5 mal und die von Tom Tailor 3 mal so groß wie die der Marke Aniston.

a) Bestimmen Sie die Anteile aller 5 Marken an der insgesamt für diese Marken verfügbaren Fläche.

b) Welcher Teil dieser Fläche entfällt dabei insgesamt auf die Marken Aniston, Boss und Esprit?

c) In der Abteilung Damenoberbekleidung des Kaufhauses werden insgesamt 25 % der Gesamtfläche für diese 5 Marken reserviert. Welcher Teil der Gesamtfläche entfällt dabei auf die Marke Laura Scott?

Aufgabe 1.1.8 Aktie

Ein Anleger erwirbt eine Aktie, deren Wert im ersten Jahr um 20 % steigt und in den beiden Folgejahren jeweils 10 % an Wert verliert. Anschließend wird die Aktie wieder verkauft.

a) Wie hoch ist der dabei erzielte Gewinn oder Verlust in Prozent?

b) Ändert sich der Gewinn oder Verlust, wenn die Aktie in den ersten zwei Jahren jeweils 10 % an Wert verliert und im letzten Jahr 20 % zulegt?

Aufgabe 1.1.9 Einkommen eines Ehepaars

Bei der Eheschließung hat der Mann ein 50 % höheres Nettoeinkommen als seine Frau. Nach 10 Jahren Ehe hat sie mehrere Weiterbildungskurse besucht und ist zur Abteilungsleiterin aufgestiegen, wodurch sich ihr Nettoeinkommen um 38 % erhöht hat. Auch das Nettoeinkommen des Mannes ist gewachsen, aber nur um 8 %:

a) Welchen Anteil hatten beide zu Beginn ihrer Ehe am gemeinsamen Haushaltsnettoeinkommen (abgekürzt HHNE)?

b) Welchen Beitrag in Prozent leisten beide nach 10 Jahren zum gemeinsamen Nettoeinkommen?

c) Um wie viel Prozent ist das Haushaltsnettoeinkommen im Laufe der 10 Jahre gewachsen?

Aufgabe 1.1.10 Witwenrente

Wenn bestimmte rentenrechtliche Voraussetzungen gegeben sind (Ehedauer mindestens ein Jahr, beide Ehepartner sind Rentner) erhält der Hinterbliebene beim Tode seines Ehepartners eine Witwenrente von 55 % der Bruttorente des Verstorbenen, sofern er kein oder nur ein geringes eigenes Einkommen hat. Der Ehemann des hier betrachteten Paares erhält eine Bruttorente in Höhe von 2 500 €, die Ehefrau bekommt 1 500 €.

Fall A: Witwenrente der Frau nach dem Tod ihres Mannes

a) Wie hoch wäre die Witwenrente der Ehefrau, wenn sie kein eigenes Einkommen besäße?

Besitzt die Hinterbliebene eine eigene Rente, so wird die Witwenrente entsprechend gekürzt. Zunächst wird die Bruttorente des Hinterbliebenen um den geschätzten Steuerbetrag von derzeit 14 % vermindert. Von der verbleibenden Nettorente wird ein Freibetrag in Höhe von 741 € abgezogen. Der Rest wird zu 40 % auf die Witwenrente angerechnet, d.h. diese wird um den betreffenden Betrag (40 % der verbleibenden eigenen Nettorente nach Abzug des Freibetrags) vermindert.

b) Welcher Betrag wird ihr tatsächlich als Witwenrente ausgezahlt?

c) Wie viel Prozent der Bruttorente des Verstorbenen erhält die Hinterbliebene dabei als Witwenrente ausgezahlt?

Fall B: Witwerrente des Mannes nach dem Tod seiner Frau

d) Welche Witwerrente erhält der Ehemann ausgezahlt?

e) Wie viel Prozent der Witwerrente, die bei Fehlen eines eigenen Einkommens ausgezahlt worden wäre, beträgt die tatsächlich erhaltene Witwerrente in diesem Fall?

Aufgabe 1.1.11 Elektriker

In einem Handwerksbetrieb (Elektriker) liegen die Materialkosten im Mittel bei einem Drittel, während 2/3 als Arbeitskosten anfallen. Im Folgejahr erhöhen sich die Materialpreise um 12 %, während die Arbeitskosten nur um 6 % steigen.

a) Um wie viel Prozent erhöhen sich dadurch die Gesamtkosten des Handwerksbetriebes?

b) Welcher Teil der Kosten entfällt im Folgejahr auf die Arbeitskosten?

Aufgabe 1.1.12 Cocktail

An der Bar wird aus Wodka, Wein und Fruchtsaft ein Cocktail gemixt. Der Wodka enthält 40 % Alkohol, der Wein 12 % und der Fruchtsaft ist alkoholfrei.

a) Wie hoch ist der Alkoholgehalt des Cocktails, wenn dieser zu 25 % aus Wodka und zu 40 % aus Wein besteht?

b) Für eine Hochzeitsfeier sollen die angebotenen Cocktails nur 10 % Alkohol enthalten, wobei vom Fruchtsaft 40 % in der Mischung enthalten sind. Wie hoch ist der dafür erforderliche Anteil Wodka?

Aufgabe 1.1.13 Mehrwertsteuer Hotel

Für eine Übernachtung im Hotel fällt eine Mehrwertsteuer von 7 % an, für das Frühstück sind es 19 %.

a) Um wie viel Prozent müssten die Übernachtungspreise wachsen, wenn der Steuersatz, so wie vor 2010, ebenfalls auf 19 % angehoben wird?

b) Wie hoch ist der Durchschnittssteuersatz bei einer Hotelübernachtung mit Frühstück, wenn die Übernachtungskosten (der Nettopreis) im Einzelzimmer fünfmal so hoch sind wie die Kosten des Frühstücks (ebenfalls netto)?

c) Wie viel kosten Übernachtung und Frühstück im Einzelzimmer (beides netto), wenn ein Gast brutto dafür 65,4 € zahlt?

d) Welchen Doppelzimmerpreis (brutto, also inklusive Mehrwertsteuer) erhält man, wenn die Übernachtungskosten netto nur 5 € höher sind als im Einzelzimmer, das Frühstück für zwei Personen jedoch doppelt so viel kostet wie das für eine Person? (Gehen Sie dabei von den unter c) berechneten Kosten (netto) für Einzelzimmer aus.

Aufgabe 1.1.14 Erbschaft Patchwork-Familie

Betrachtet wird hier eine Patchwork-Familie, bei der das Ehepaar zwei gemeinsame Kinder besitzt. Dazu kommen noch ein Kind der Frau aus früherer Ehe und zwei Kinder des Mannes. Aufgrund der bei der Eheschließung vorliegenden Vermögen beider Partner besitzt der Mann ein Vermögen in Höhe von 60 000 € und die Frau eines in Höhe von 120 000 €.

Wenn es kein Testament gibt, erbt beim Tod eines Ehepartners der überlebende Ehegatte die Hälfte des Vermögens des Verstorbenen, während der Rest auf alle Kinder des Verstorbenen, gemeinsame und die aus der früheren Ehe, zu gleichen Teilen aufgeteilt wird.

Fall A: Der Ehemann stirbt zuerst

a) Berechnen Sie die Erbschaft der Frau und der 4 Kinder des Mannes.

Beim Tod der Frau ist ihr Vermögen um den Betrag aus der Erbschaft ihres Mannes angewachsen. Dieses wird nun zu gleichen Teilen auf ihre 3 Kinder aufgeteilt.

b) Welche Erbschaft entfällt dabei auf die 3 Kinder der Frau?

c) Welchen Betrag und wieviel Prozent des gesamten Vermögens des Paares hat dabei jedes der 5 Kinder insgesamt erhalten? Weisen Sie dies getrennt für die gemeinsamen Kinder, die beiden anderen Kinder des Vaters und das Kind der Mutter aus früherer Ehe aus.

Addieren Sie die ermittelten Anteile und prüfen Sie, ob diese zusammen 1 (100 %) ergeben.

Fall B: Die Ehefrau stirbt zuerst.

Beim Tode des Ehemanns ist wiederum ein Vermögen zugrunde zu legen, das aus dem kompletten Vermögen des Mannes und dem halben Vermögen der Frau besteht, welches der Mann bei ihrem Tod erhalten hat.

d) Bestimmen Sie erneut getrennt nach gemeinsamen Kindern, denen des Vater und dem der Mutter, welchen Betrag jedes einzelne Kind insgesamt erhält und welchem Teil des Gesamtvermögens dies entspricht.

Addieren Sie die ermittelten Anteile und prüfen Sie, ob diese zusammen 1 (100 %) ergeben.

e) Warum erhalten die gemeinsamen Kinder in beiden Fällen eine unterschiedlich hohe Erbschaft von den Eltern?

Fall C: Die Eltern finden eine solche Vermögensaufteilung, die die Kinder des zuerst Verstorbenen klar benachteiligt, ungerecht und wollen dies durch die Abfassung eines Testaments vermeiden.

Insgesamt soll jedes Kind den gleichen Anteil am Vermögen seines Vaters und seiner Mutter erben, wobei die Kinder aus früheren Beziehungen nur ihren Elternteil beerben, die gemeinsamen Kinder dagegen beide Eltern.

f) Welche Erbschaft bekämen dann die gemeinsamen Kinder, die beiden Kinder des Vaters und das Kind der Mutter insgesamt nach dem Tod des Ehepaars. Welchem Prozentsatz des Gesamtvermögens entspricht das?

Addieren Sie die ermittelten Anteile und prüfen Sie, ob diese zusammen 1 (100 %) ergeben.

1.2 Rechnen mit Potenzen und Wurzeln

Beispiel: Aktienfonds

Ein Ehepaar entschließt sich zu einem Experiment in der Geldanlage. Der Mann erwirbt für 10 000 € Anteile eines Investmentfonds. Die Frau legt den gleichen Betrag als Festgeld für 5 Jahre an, das mit 2,5 % jährlich verzinst wird. Nach einem Jahr wird anhand der Kontoauszüge der Anlageerfolg beider verglichen. Die Maßeinheit (€) wird hier immer erst beim Rechenergebnis genannt, nicht in der Rechnung selbst.

Bestimmung des Guthabens beider am Ende des ersten Jahres

Mann:

Bestimmung des Guthabens beider nach 5 Jahren

Frau: K5K0·1,0255·1,0255

Im zweiten Jahr erzielt der Aktienfons sogar einen Kurszuwachs von 14 %, im dritten 20 % und im vierten Jahr verlor er 10 %, legte allerdings im 5. Jahr wieder 8 % zu. Außer dem Ausgabeaufschlag fallen die restlichen Gebühren in jedem Jahr an. Daraus ergibt sich folgende Rechnung für den Kurswert der Fondsanteile nach 5-jähriger Anlagedauer.

Mann

Damit hat die Frau mit der sicheren Strategie in den 5 Jahren fast 52 € mehr erzielt als ihr Mann im gleichen Zeitraum mit seiner renditestärkeren aber auch risikobehafteten Anlage. Die Frau triumphiert angesichts dieses Ergebnisses.

Bestimmung der durchschnittlichen jährlichen Rendite

Die Frau hat bei ihrer Festgeldanlage eine jährliche Rendite von 2,5 % erzielt. Um die des Mannes zu errechnen, ersetzt man die tatsächliche Wertentwicklung, die in den einzelnen Jahren unterschiedlich hoch war, durch einen festen Prozentsatz p bzw. einen Aufzinsungsfaktor

der für alle 5 Jahre angesetzt wird. Dieser wird wie folgt berechnet:

Daraus ergibt sich eine durchschnittliche jährliche Rendite von 2,406 %:

Der Mann möchte jedoch seinen Investmentfonds noch nicht aufgeben. Vielleicht sollte er die Fondsanteile noch einige Jahre halten, damit die Kursentwicklung den gezahlten Ausgabeaufschlag besser kompensieren kann, denn dieser Aufschlag wird nur zu Beginn der Anlage gezahlt. Ohne den Ausgabeaufschlag, aber unter Berücksichtigung der laufenden Kosten, hätten seine Fondsanteile in den 5 Jahren einen Wertzuwachs von 18,2567 % erzielt, denn

1,08.1,14.1,2.0,9.1,08.0,961955 =1,182567 .

Das entspricht einem durchschnittlichen jährlichen Wachstum von 3,41 %:

Wenn dieses Kurswachstum in den nächsten 5 Jahren anhielte, käme er nach 10 Jahren auf folgendes Guthaben.

Mann:

wobei der einmalige Ausgabeaufschlag von 5 % zu Beginn der Anlagezeit mit einbezogen wurde.

Seine Frau hätte dagegen mit ihrer Festgeldanlage im gleichen Zeitraum nur ein Guthaben von

erzielt. D.h. langfristig zahlt sich die Anlage in Aktienfonds durchaus aus, allerdings bleibt dabei das Kursrisiko zu beachten. Außerdem sollte man auf die laufenden Kosten achten und sich diese vorab erläutern lassen.

Aufgabe 1.2.1

Geben Sie den Exponenten x in folgenden Gleichungen an:

Aufgabe 1.2.2

Ermitteln Sie die Exponenten x und y in folgenden Gleichungen:

Aufgabe 1.2.3

Die Umstellung von Gleichungen nach einer Variablen ist eine wichtige Übung zur Vorbereitung der Kurvendiskussion und der Bestimmung von Extremwerten im 2. Kapitel.

Stellen Sie folgende Gleichungen nach x um:

Aufgabe 1.2.4 Darlehen

Ein Student benötigt 10 000 € zum Kauf eines Autos. Er könnte sich dieses Geld von seiner Schwester, seinem Vater oder seinem Großvater leihen. Die Schwester möchte dafür in 3 Jahren 10 927 € zurück, der Vater würde ihm das Geld zu einem Zinssatz von 2,5 % jährlich für 4 Jahre leihen und der Großvater erwartet dafür in 5 Jahren 11 041 € zurück.

a) Bestimmen Sie für die Angebote der Schwester und des Großvaters den durchschnittlichen Jahreszinssatz.

b) Welchen Betrag müsste der Student seinem Vater nach einer Frist von 4 Jahren zurückzahlen?

c) Welches der drei Angebote besitzt den geringsten Zinssatz?

Aufgabe 1.2.5 Getränkepackung

Es soll eine Getränkepackung in Form eines Quaders hergestellt werden, bei dem die längste Kante doppelt so lang wie die nächstkürzere und viermal so lang wie die kürzeste Kante ist.

Abbildung 1.2-1 Quader

Das Volumen soll 1 000 cm3 (1 Liter) betragen. Wie lang müssen die drei Kanten sein?

Aufgabe 1.2.6 Gebrauchtwagenpreis

Ein Auto, dessen Neupreis bei 15 000 € lag, verliert in den ersten 4 Jahren jeweils 10 % seines Wertes, im 5. und 6. Jahr jeweils 12 % und im 7. und 8. Jahr jeweils 15 %.

a) Zu welchem Preis kann der Eigentümer das Auto nach 7,5 Jahren verkaufen?

b) Wie hoch war in diesen 7,5 Jahren der mittlere jährliche Wertverlust?

Aufgabe 1.2.7 Aktienfonds

Ein Anleger investiert 10 000 € in einen Aktienfonds, der Aktien aus 3 Branchen enthält. Zum Anlagezeitpunkt entfallen 20 % des Wertes auf Branche A, 30 % auf Branche B und 50 % auf Branche C. Innerhalb von 3,5 Jahren steigt der Kurs von Branche A um 25 %, der von Branche B sinkt um 8 % und der von Branche C steigt um 30 %.

a) Welchen Betrag erhält der Anleger beim Verkauf seiner Fondsanteile nach 3,5 Jahren?

b) Wie hoch sind die Anteile der drei Branchen am Aktienfonds zum Verkaufszeitpunkt?

c) Welche durchschnittliche jährliche Rendite hat der Anleger dabei erzielt?

Aufgabe 1.2.8 Monitor

Die Bilddiagonale d eines Monitors, die sich nach dem Pythagoras aus den Längen der beiden Seiten x und y gemäß

berechnet, soll 80 cm betragen.

Abbildung 1.2-2 Monitor

a) Wie lang müssen dann die beiden Seiten x und y sein, wenn das Verhältnis der Seitenlängen 4:3 sein soll?

b) Bei dem neueren Bildschirmformat beträgt das Verhältnis der Seitenlängen 16:9. Wie lang müssen die Seiten x und y hier bei gleicher Bildschirmdiagonale sein?

Aufgabe 1.2.9 Kirchturm

Nach einem Sturm benötigt die Dorfkirche eine neue Turmspitze. Der Turm ist quadratisch mit der Seitenlänge a. Das Dach besteht aus 4 Dreiecken mit der Seitenlänge a und der Höhe hΔ , die nach dem Pythagoras aus der Seitenlänge a und der Dachhöhe h berechnet wird gemäß:

Abbildung 1.2-3 Kirchturmdach

Die Dachfläche insgesamt beträgt damit:

a) Vereinfachen Sie die Formel zur Berechnung der Dachfläche soweit es geht, wenn die Höhe der Turmspitze h 1,2-mal so groß sein soll, wie die Seitenlänge a.

b) Welche Höhe h besitzt die Turmspitze, wenn die Seite a 12 m lang ist und die gesamte Dachfläche 240 m2 umfasst?

Aufgabe 1.2.10 Festgeld

Ein Anleger hat 2010 einen Betrag von 12 000 € als Festgeld angelegt. Dieser Betrag wird im ersten Jahr mit 1 % verzinst. Von Jahr zu Jahr steigen die Zinsen um 0,25 % bis sie im 5. und letzten Jahr 2 % erreichen.

a) Welches Guthaben bekommt der Anleger nach 5 Jahren ausgezahlt?

b) Bei welchem konstanten Zinssatz hätte er nach 5 Jahren den gleichen Endbetrag erzielt?

In dieser Zeit lag die Inflationsrate 2011 bei 2,3 %, 2012 bei 2,0 %, 2013 bei 1,5 %, 2014 bei 0,9 % und 2015 bei 0,25 %.

c) Um wieviel Prozent haben sich demnach die Preise 2015 gegenüber 2010 erhöht?

d) Welcher durchschnittlichen jährlichen Inflationsrate entspricht das?

e) Wie hat sich die Kaufkraft des angelegten Geldes prozentual in diesen 5 Jahren entwickelt?

Aufgabe 1.2.11 Aussichtsturm

Ein runder Aussichtsturm soll ein Dach erhalten Das Dach hat den Radius r und die Höhe h. Die Dachfläche berechnet sich daraus mittels:

Abbildung 1.2-4 Dach des Aussichtsturms

Dabei ist s die Seitenlänge, die nach dem Pythagoras mittels:

berechnet wird. Die Höhe h soll das α-fache des Radius r sein.

a) Geben Sie die Formel zur Berechnung der Seitenlänge s in Abhängigkeit von r und α an und vereinfachen Sie diese soweit wie möglich.

b) Setzen Sie das Ergebnis aus a) in die Formel zur Berechnung der Dachfläche ein. Um wie viel Prozent ändert sich die Dachfläche bei einer Erhöhung des Radius um 50 %?

c) Bestimmen Sie die Dachfläche bei einem Radius des Aussichtsturms von 10 m, wenn die Höhe h ¾ der Länge des Radius hat.

1.3 Rechnen mit Logarithmen

Beispiel: Immobilie

Ein neu gebautes Wohnhaus verliert pro Jahr 4 % seines Wertes. Wenn sich der Wert der Immobilie halbiert hat, ist eine umfassende Sanierung vorgesehen.

Bestimmung des Zeitpunkts der Sanierung

Der Restwert nach n Jahren beträgt dann

Um zu ermitteln, wann der Restwert halb so groß ist wie der Neuwert, muss Wn0/2 gesetzt und die Gleichung nach n umgestellt werden.

Da die gesuchte Größe n im Exponenten steht, muss die Gleichung logarithmiert werden, bevor sie sich nach n umstellen lässt. Dabei spielt es keine Rolle, welche Basis für diese Logarithmen dabei gewählt wird, denn das Ergebnis für n hängt davon nicht ab.

Damit ist

Damit hat sich der Wert des Hauses nach 17 Jahren halbiert.

Aufgabe 1.3.1

Bestimmen Sie den Logarithmus ln c für folgende Terme und vereinfachen Sie den Ausdruck durch Nutzung der Rechenregeln für Logarithmen, wobei a und b positive reelle Zahlen sind:

Aufgabe 1.3.2

Bestimmen Sie den Logarithmus ln c für folgende Terme und vereinfachen Sie den Ausdruck durch Nutzung der Rechenregeln für Logarithmen (a, b > 0):

Aufgabe 1.3.3

Stellen Sie folgende Gleichungen nach den Exponenten α um (a, b > 0):

Aufgabe 1.3.4

Stellen Sie, ohne den Taschenrechner zu benutzen, folgende Gleichungen nach x um:

Aufgabe 1.3.5 Radioaktivität (Zerfallsgesetz)

Der Abbau einer freigesetzten Strahlungsmenge N0 erfolgt exponentiell, d.h. die Reststrahlung Nt (in Bq) nach der Zeit t berechnet sich mittels:

.

Dabei wird die Zeit tH, bis zu der die Hälfte der Strahlungsmenge abgebaut wurde, als Halbwertzeit bezeichnet.

a) Das bei den Katastrophen von Tschernobyl 1986 und Fukushima 2011 freigesetzte Cäsium hat eine Halbwertzeit von 30 Jahren. Bestimmen Sie den Parameter λ in der obigen Funktion, wenn t die Anzahl der seit der Katastrophe vergangenen Jahre ist.

Aufgabe 1.3.6 Preis-Absatz-Funktion

Nach erfolgreicher Werbekampagne ist die neue Bio-Babynahrung inzwischen den meisten betroffenen Eltern bekannt. Die monatlich absetzbare Menge y (in Mio. Gläsern) hängt nunmehr vom Verkaufspreis p pro Glas (in €) gemäß der folgenden Preis-Absatz-Funktion ab:

,

wobei a und b positive Konstanten sind. Der Ansatz bedeutet, dass bei negativen Funktionswerten von bln(a – p) der Absatz y null ist, eben das Maximum aus diesem Funktionswert und null. Dabei verringert sich die absetzbare Menge mit wachsendem Preis p des Produkts.

a) Bestimmen Sie die Nullstelle dieser Preis-Absatz-Funktion. Es genügt hier, den Term bln(a – p) zu betrachten.

Aufgabe 1.3.7 Werbung

Die pro Monat verkaufte Menge einer neuen Bio-Säuglingsnahrung y (in Mio. Gläsern) hängt bei gegebenem Preis gemäß der folgenden Funktion von den Werbungskosten x (in Mio. €) ab:

.

Dabei ist a der Sättigungswert, der unabhängig von der Höhe der aufgewandten Werbungskosten nicht überschritten wird. Dieser liegt bei dem betrachteten Produkt bei 10 Mio. Gläsern.

a) Bisher lagen die Werbungskosten bei 2 Mio. €. Damit wurde eine monatliche Verkaufsmenge von 7 Mio. Gläsern erzielt. Bestimmen Sie damit den Funktionsparameter b. Runden Sie das Ergebnis auf eine Kommastelle.

b) Der Hersteller möchte die Verkaufsmenge pro Monat auf 8 Mio. Gläser steigern. Welche Werbungskosten sind dazu erforderlich? Nutzen Sie dabei den in a) ermittelten Wert für b.

Aufgabe 1.3.8 Wäscherei

Der Gewinn einer Wäscherei G (in 100 €/Tag) hängt von der in Auftrag gegebenen Wäschemenge x (in kg pro Tag) gemäß der folgenden Gewinnfunktion ab:

wobei a und b positive Konstanten sind. Je größer das Auftragsvolumen pro Tag ist, umso höher ist auch der erzielte Gewinn.

a) Welche Wäschemenge muss pro Tag mindestens in Auftrag gegeben werden, damit kein Verlust entsteht?

b*) Welche Werte nehmen die beiden Konstanten a und b an, wenn ab einer Wäschemenge von 90 kg pro Tag ein Gewinn erwirtschaftet wird und der Gewinn bei 200 kg Wäsche pro Tag 400 € beträgt? (Ergebnisse auf eine Kommastelle runden)

Aufgabe 1.3.9 Cobb-Douglas Produktionsfunktion

Für die Abhängigkeit des Umsatzes einer Handelsfiliale U (in € pro Woche) von der Verkaufsfläche F (in m2) und den geleisteten Arbeitsstunden A (h pro Woche) soll eine Cobb-Douglas Produktionsfunktion ermittelt werden. Da dies eine nichtlineare Funktion ist, wurde sie logarithmiert, um die Funktionsparameter aus den Beobachtungswerten der einzelnen Filialen einer Handelskette (nach der Methode der kleinsten Quadrate) ermitteln zu können.

Aus den Daten von 400 Filialen wurde mit Hilfe von Statistik-Software die folgende Funktion berechnet:

a) Geben Sie dazu die entsprechende Funktion für den Umsatz U an.

b*) Durch Erwerb eines weiteren Raumes und Umbau konnte die Verkaufsfläche um 10 %

vergrößert werden. Wieviel Prozent der Arbeitsstunden ließen sich dann einsparen bei gleichbleibendem Umsatz?

1.4 Lösungen der Übungsaufgaben

1.4.1 Bruchrechnung

Aufgabe 1.1.1

Um Brüche addieren oder subtrahieren zu können, müssen sie auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden. Dieser ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner der betrachteten Brüche, d.h. die kleinste Zahl, die durch die Nenner aller betrachteten Brüche teilbar ist. Die einzelnen Brüche müssen dann entsprechend erweitert werden.

h) Bestimmung des Hauptnenners:

i) Bestimmung des Hauptnenners:

Aufgabe 1.1.2

Der Lösungsweg ist der gleiche wie in Aufgabe 1.1.1, nur haben Sie es hier teilweise mit unbekannten Konstanten zu tun.

Für die Multiplikation und Division von Brüchen gilt:

Zur Addition und Subtraktion von Brüchen müssen diese in der Regel erweitert und auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden (vergl. Aufg. 1.1.1 und 1.1.2).

Häufiger Fehler

Ein häufiger Fehler besteht darin, dass bei der Multiplikation eines Bruches mit einer ZahlcZählerundNenner mitcmultipliziert werden. Dabei ändert sich jedoch der Wert des Bruches nicht, der Bruch wird dadurch lediglich mitcerweitert. (vergl. Rechenregeln oberhalb)

Aufgabe 1.1.3

Aufgabe 1.1.4

Der Lösungsweg ist der gleiche wie in Aufgabe 1.1.3, nur haben Sie es hier teilweise mit unbekannten Konstantenaundbzu tun. Außerdem wird beic)die erste und beie)die dritte binomische Formel zur Vereinfachung genutzt:

Aufgabe 1.1.5

Zunächst müssen die Summen bzw. Differenzen im Zähler und Nenner, soweit vorhanden, ausgerechnet werden. Der Doppelbruch wird dann beseitigt, indem der Zähler mit dem Kehrwert des Nenners multipliziert wird. Alternativ kann man auch den ganzen Bruch mit dem Nenner des Zählers und dem des Nenners erweitern, was zum gleichen Ergebnis führt, sich aber leichter merken lässt, wenn man mit der Erweiterung von Brüchen bereits vertraut ist.

Aufgabe 1.1.6

Der Lösungsweg ist der gleiche wie in Aufgabe 1.1.5, nur haben Sie es hier wieder mit unbekannten Konstantenaundbzu tun. Außerdem wird beig)undh)die dritte binomische Formel zur Vereinfachung genutzt.

Aufgabe 1.1.7 Verkaufsflächenaufteilung

a)Dabei bekommt Aniston die geringste Verkaufsfläche zugeteilt. Die Fläche der Marke Boss soll 1,5 mal so groß sein, die von Laura Scott 2 mal, die Esprit 2,5 mal und die von Tom Tailor 3 mal so groß sein wie die der Marke Aniston, d.h.

c)y4

bzw. 5 %

Aufgabe 1.1.8

a)K0K3

Das ergibt:

Der Aktienbesitzer erhält beim Verkauf noch 97,2 % des ursprünglichen Kurswertes.

b)Der Kurswert am Ende ändert sich nicht, wenn die Aktie erst zwei Jahre lang an Wert verliert und im letzten Jahr wieder steigt, da sich das Produkt nicht ändert, wenn man die Reihenfolge der Faktoren vertauscht.

Aufgabe 1.1.9 Einkommen eines Ehepaars

a)Anteil des Ehemannes zu Beginn der Ehe am HHNE:

Anteil des Mannes zu Ehebeginn am HHNE: 60 %

b)Anteil des Ehemannes nach 10 Jahren Ehe am HHNE:

Anteil des Mannes nach 10 Ehejahren am HHNE: 54 %

Wertentwicklung:

Das hat sich HHNE in den 10 Jahren um 20 % erhöht.

Aufgabe 1.1.10 Witwenrente

Zunächst muss von der Bruttorente des Hinterbliebenen der Steuersatz von 14 % abgezogen werden. Der Restbetrag sind 86 % der eigenen Bruttorente, hier

Von diesem Betrag werden 40 % auf die Witwenrente angerechnet, das sind

Zusammenfassung der Rechnung:

Um diesen Betrag wird die Witwenrente gegenüber einer Witwe ohne eigenes Einkommen gemindert:

c)Anteil der Witwenrente an der Rente des Verstorbenen:

Aufgabe 1.1.11 Elektriker

a)

Kostensteigerung insgesamt:

b)

Anteil Arbeitskosten:

Aufgabe 1.1.12 Cocktail

Wodka: 40 % Alkohol Wein: 12 % Alkohol Fruchtsaft : 0 % Alkohol

a)Alkoholgehalt des Cocktails aus 25 % Wodka, 40 % Wein und 35 % Fruchtsaft

b)Alkoholgehalt des Cocktails: 10 %

Zusammensetzung:x% Wodka , (60 –x) % Wein , 40 % Fruchtsaft

Zunächst wird die Gleichung mit 100 multipliziert und dann nachxumgestellt:

Aufgabe 1.1.13 Mehrwertsteuer Hotel

a)x

Zunächst muss der Nettopreisxder Übernachtung aus dem alten Bruttopreiszalt, den der Kunde bisher gezahlt hat, bestimmt werden:

xzalt/ 1,07

Um den neuen Preiszneu(brutto) nach Anhebung der Mehrwertsteuer zu ermitteln, müssen auf diesen Preis 19 % draufgeschlagen werden:

Aufgabe 1.1.14 Erbschaft Patchwork-Familie

VMVFEMEFEG1EG2EKMEKF

Fall A:Der Ehemann stirbt zuerst

a)Erbschaft der Frau:

Erbschaft der 4 Kinder des Mannes:

Erbschaft der 3 Kinder der Frau:

c)Gesamterbschaft

Weiteres Kind der Frau:EKF

Anteile am Gesamtvermögen:

Fall B:Die Ehefrau stirbt zuerst.

d)Erbschaft der Kinder beim Tod der Frau

e)Die Anteile der Halbgeschwister sind unterschiedlich, weil sie nur beim Tode ihres Vaters oder ihrer Mutter erben. Stirbt ihr Elternteil zuerst, erben Sie nur die Hälfte des ihnen eigentlich zustehenden Erbes, weil der überlebende Ehepartner die Hälfte des Vermögens ihres Elternteils erbt und dieses dann nur noch an seine Kinder weiter vererbt.

Auch für die gemeinsamen Kinder unterscheiden sich die Erbanteile in beiden Varianten, da sie sich das Erbe ihres Vaters mit 2 und das der Mutter nur mit einem weiteren Erben teilen müssen. Da das größere Erbe erst beim Tod des zweiten Ehepartners anfällt, es besteht aus dessen Vermögen und der Hälfte des Vermögens seines Ehepartners, ist es für die gemeinsame Kinder günstiger, den geringeren Erbteil beim Tode des ersten Elternteils mit mehr Halbgeschwistern und den wesentlich höheren Rest mit weniger Halbgeschwistern zu teilen.

Fall C:gerechte Vermögensaufteilung

1.4.2 Rechnen mit Potenzen und Wurzeln

Aufgabe 1.2.1

Hierbei sind z.B. folgende Darstellungen zu nutzen:

Für die restlichen Teilaufgaben werden folgende Rechenregeln für Potenzen und Wurzeln benötigt, wobeiaundbpositive reelle Zahlen sind: (für negative Zahlen sind einige dieser Rechenoperationen nicht ausführbar)

lassen sich die Rechenregeln für Wurzeln direkt auf die zuvor genannten Rechenregeln für Potenzen zurückführen.

Aufgabe 1.2.2

Aufgabe 1.2.3

Häufige Fehler

Gern genutzt werden die folgendenfalschenRechenregeln:

Bei der Lösung der folgenden Teilaufgaben muss genau beachtet werden, wo die Wurzel endet und welche Summandennichtunter der Wurzel stehen. Als erstes müssen diese störenden Summanden subtrahiert werden. Anschließend wird durch den Faktor vor dem Wurzelzeichen, sofern vorhanden, dividiert. Erst dann wird die Gleichung quadriert bzw. in die benötigte Potenz erhoben.

Aufgabe 1.2.4 Darlehen

Rückzahlungsbetrag: Schwester:KS3Vater:KV4Großvater:KG5

Vater:

c)Vergleich der Zinssätze:

Zinssätze: Schwester:pSVater:pVpG

Aufgabe 1.2.5 Getränkepackung

Aufgabe 1.2.6 Gebrauchtwagenpreis

a)Restwert nach 7,5 Jahren:

b)durchschnittlicher jährlicher Wertverlust:

Aufgabe 1.2.7 Aktienfonds

a)Auszahlungsbetrag nach 3,5 Jahren

Aufgabe 1.2.8 Monitor

Häufiger Fehler

Sehr beliebt ist die Vereinfachung mittels allerdings zu Unrecht, denn sie istfalsch, wie man beim Einsetzen dieses Ergebnisses in die binomische Formel feststellt. (siehe auch Hinweis zu Aufgabe 1.2.3)

Aufgabe 1.2.9 Kirchturm

Aufgabe 1.2.10 Festgeld

Anlagebetrag:K0Zinssatz:

c)Inflationsraten 2,3 % (2011), 2,0 % (2012), 1,5 % (2013), 0,9 % (2014), 0,25 % (2015) Preisentwicklung 2015 gegenüber 2010:

d)Durchschnittliche jährliche Inflationsrate:

e)Entwicklung der Kaufkraft des angelegten Geldes:qreal

Aufgabe 1.2.11 Aussichtsturm

Die Dachfläche würde sich auf 225 % bzw. um 125 % vergrößern.

1.4.3 Rechnen mit Logarithmen

Definiert ist der natürliche Logarithmus (zur Basise) mittels:

Häufige Fehler

In Unkenntnis der Rechenregeln für Logarithmen werden oft Formeln wieln (a+b)ln a + ln bebenso wieln (a b)ln a) · (ln b) verwendet. Das sollten Sie lieber bleiben lassen, denn beide Formeln sindfalsch.

Folgende Rechenregeln, die übrigens für Logarithmen mit beliebiger Basis gelten, sind dagegen korrekt:

Aufgabe 1.3.1

Aufgabe 1.3.2

Aufgabe 1.3.3

d)Da sich der Logarithmus einer Summe oder Differenzen durch keine Rechenregel vereinfachen lässt, muss als erstes der störende Summandbsubtrahiert werden, bevor logarithmiert wird, umα zu bestimmen..

Aufgabe 1.3.4

b)Zu beachten ist erneut, dass es für den Logarithmus von Summen und Differenzen keine Rechenregel zur Vereinfachung gibt.

Um die Gleichung nachxumzustellen, muss sie zunächst mitxmultipliziert werdenund dann durch (ec– a) dividiert werden.

Aufgabe 1.3.5 Radioaktivität (Zerfallsgesetz)

Aufgabe 1.3.6 Preis-Absatz-Funktion

Bei höheren Preisen als 1 € pro Glas kann keine Babynahrung mehr verkauft werden, die Absatzmenge ist dann null.

Aufgabe 1.3.7 Werbung

y

x

Aufgabe 1.3.8 Wäscherei

Aufgabe 1.3.9 Cobb-Douglas Produktionsfunktion