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- Herausgeber: Fondo de Cultura Económica
- Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
- Sprache: Spanisch
- Veröffentlichungsjahr: 2013
El protagonista de este libro, Sarando, es un duende de jardín que ha sido atrapado por el misterioso mundo de las matemáticas y nos invita a convertirnos en sus compañeros de aventura por los muy variados rincones de los conocimientos que constituyen el mundo de las matemáticas: conceptos de gran actualidad como la teoría de nudos o la prueba del teorema de Fermat, pero también otros consolidados por la tradición como la historia del propio teorema de Fermat o los cinco sólidos platónicos. Sarando nos lleva a conocer parte de la vida de algunos de los matemáticos que han participado en la creación del mundo que va descubriendo.
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Seitenzahl: 182
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Carlos Prieto
Primera edición, 2005 Quinta reimpresión, 2012Primera edición electrónica, 2012
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ISBN 978-607-16-1298-4
Hecho en México - Made in Mexico
La Cienciapara Todos
Desde el nacimiento de la colección de divulgación científica del Fondo de Cultura Económica en 1986, ésta ha mantenido un ritmo siempre ascendente que ha superado las aspiraciones de las personas e instituciones que la hicieron posible. Los científicos siempre han aportado material, con lo que han sumado a su trabajo la incursión en un campo nuevo: escribir de modo que los temas más complejos y casi inaccesibles puedan ser entendidos por los estudiantes y los lectores sin formación científica.
A los diez años de este fructífero trabajo se dio un paso adelante, que consistió en abrir la colección a los creadores de la ciencia que se piensa y crea en todos los ámbitos de la lengua española —y ahora también del portugués—, razón por la cual tomó el nombre de La Ciencia para Todos.
Del Río Bravo al Cabo de Hornos y, a través de la mar Océano, a la Península Ibérica, está en marcha un ejército integrado por un vasto número de investigadores, científicos y técnicos, que extienden sus actividades por todos los campos de la ciencia moderna, la cual se encuentra en plena revolución y continuamente va cambiando nuestra forma de pensar y observar cuanto nos rodea.
La internacionalización de La Ciencia para Todos no es sólo en extensión sino en profundidad. Es necesario pensar una ciencia en nuestros idiomas que, de acuerdo con nuestra tradición humanista, crezca sin olvidar al hombre, que es, en última instancia, su fin. Y, en consecuencia, su propósito principal es poner el pensamiento científico en manos de nuestros jóvenes, quienes, al llegar su turno, crearán una ciencia que, sin desdeñar a ninguna otra, lleve la impronta de nuestros pueblos.
Comité de selección
Dr. Antonio AlonsoDr. Francisco Bolívar ZapataDr. Javier BrachoDr. Juan Luis CifuentesDra. Rosalinda ContrerasDr. Jorge Flores ValdésDr. Juan Ramón de la FuenteDr. Leopoldo García-Colín SchererDr. Adolfo Guzmán ArenasDr. Gonzalo HalffterDr. Jaime MartuscelliDra. Isaura MezaDr. José Luis MoránDr. Héctor Nava JaimesDr. Manuel PeimbertDr. José Antonio de la PeñaDr. Ruy Pérez TamayoDr. Julio Rubio OcaDr. José SarukhánDr. Guillermo SoberónDr. Elías Trabulse
Coordinadora
María del Carmen Farías R.
A mis adorados hijosSEBASTIÁN y ADRIÁN
ÍNDICE
PRÓLOGO
I. LA PRIMERA AVENTURA
LOS SÓLIDOS PLATÓNICOS: SON SÓLO CINCO
Los sólidos platónicos: son sólo cinco
¡Haz tu propio poliedro!
II. LA SEGUNDA AVENTURA
CAOS Y LA BELLEZA DE LOS FRACTALES
Caos y la belleza de los fractales
¡Haz tu propio fractal!
Actividad
III. LA TERCERA AVENTURA
AÑO 2001: COMIENZA UN NUEVO SIGLO Y UN NUEVO MILENIO
Año 2001: comienza un nuevo siglo y un nuevo milenio
El principio
El ciclo pascual y el comienzo de nuestra era
El calendario juliano
La reforma de Dionisio y el comienzo de la era cristiana
La reforma gregoriana
El calendario del futuro
¡Quiz!
IV. LA CUARTA AVENTURA
EL ENIGMA DEL MILENIO: EL úTIMO TEOREMA DE FERMAT
El enigma del milenio: el último teorema de Fermat
Del teorema de Pitágoras al último teorema de Fermat
Pero, ¿era correcta la prueba?
¡Quiz!
V. LA QUINTA AVENTURA
¿QUÉ FORMA TIENE EL UNIVERSO? PARTE I. LA FORMA DE LA TIERRA
¿Qué forma tiene el Universo? Parte I. La forma de la Tierra
¡Quiz!
VI. LA SEXTA AVENTURA
¿QUÉ FORMA TIENE EL UNIVERSO? PARTE II. LA FORMA DEL ESPACIO-TIEMPO
¿Qué forma tiene el Universo? Parte II. La forma del espacio-tiempo
VII. LA SÉPTIMA AVENTURA
CRECIMIENTO Y DECAIMIENTO: EL MISTERIO DE LA EXPONENCIAL
Crecimiento y decaimiento: el misterio de la exponencial
¡Quiz!
VIII. LA OCTAVA AVENTURA
ARREGLOS GEOMÉTRICOS DE NÚMEROS
Arreglos geométricos de números
Un problema de poblaciones
¡Quiz!
IX. LA NOVENA AVENTURA
LAS MATEMÁTICAS Y EL ARTE: ¿SE LLEVAN BIEN?
Las matemáticas y el arte: ¿se llevan bien?
¡Quiz!
X. LA DÉCIMA AVENTURA
CUADRADOS MÁGICOS
Cuadrados mágicos
¡Quiz!
XI. LA UNDÉCIMA AVENTURA
NUDOS DE COLORES
Nudos de colores
¡Quiz!
XII. LA DUODÉCIMA AVENTURA
NUDOS Y POLINOMIOS
Nudos y polinomios
¡Quiz!
XIII. LA DECIMATERCERA AVENTURA
NUDOS Y BIOLOGÍA MOLECULAR
Nudos y biología molecular
¡Quiz!
PRÓLOGO
El mundo de las matemáticas es misterioso e invita a la aventura: una vez que nos atrapa el anzuelo de la curiosidad, es difícil resistir la tentación de penetrar en ese mundo. Nuestro protagonista, Sarando, un duende de jardín, ha sido atrapado por este anzuelo, y nos invita a convertirnos en sus compañeros de aventura por los muy variados rincones de los conocimientos que constituyen el mundo de las matemáticas: conceptos, unos, de gran actualidad, como la teoría de nudos o la prueba del teorema de Fermat; otros, consolidados por la tradición, como la historia del propio teorema de Fermat o los cinco sólidos platónicos, y otros más en los que se vislumbra cómo el modo matemático de pensar permite entender temas propios de otras disciplinas, como el análisis de los calendarios o de los sistemas horarios. En su curiosidad, Sarando nos lleva a averiguar parte de la vida de algunos de los matemáticos que han participado en la creación de lo que él mismo va descubriendo.1
1 Las biografías que presentamos a lo largo de esta obra están basadas en los textos de J.J. O’Connor y E. F. Robertson, disponibles en http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians. En español, pueden consultarse algunas biografías de matemáticos célebres en http://www.matem.unam.mx/cprieto.
La primera aventuraI. Los sólidos platónicos: son sólo cinco
Era otoño y llovía profusamente en la calle Albatros. Sarando, un duende que recién había elegido su nueva morada, se resguardaba dentro de su cueva subterránea en el jardín de la familia Portes. Don Joaquín Portes, un matemático que trabaja para Delta-Mat, empresa que produce juegos matemáticos en CD-ROM para niños, se cubría aquella tarde de otoño con una gabardina y su paraguas azul mientras bajaba del coche al regresar de su oficina, cuidando que no se mojaran los libros que había recogido de la biblioteca. Estos libros los había seleccionado para buscar nuevas ideas para los juegos que programa en Delta-Mat.
Sarando, apenas asomado desde su cueva, alcanzó a distinguir la portada de uno de aquellos libros y con dificultad leyó una frase incompleta en el título de uno de ellos: “…son sólo cinco…”. La portada tenía una ilustración muy vistosa que mostraba objetos pintados con brillantes colores, objetos con los que se antojaba jugar. Sarando, de naturaleza curiosa y juguetona, se quedó muy inquieto por averiguar qué maravillosos cinco juegos contendría aquel libro.
El estudio del señor Portes tiene una ventana con vista al jardín; las otras paredes están cubiertas de libreros con toda clase de libros de matemáticas, así como de física y de biología, y de muchos otros temas que lo apasionan, especialmente cuando logra comprender cómo las matemáticas pueden vincularse con otras ciencias.
Al cruzar aquella tarde el umbral de su casa, don Joaquín Portes fue alegremente recibido por sus tres perros miniatura que, contentos por el regreso de su amo, le brincaban gozosos. Después se dirigió a su estudio y colocó sobre su mesa de trabajo, junto a la computadora, los libros que traía consigo. Aún llovía fuertemente y los truenos y relámpagos impedían a Sarando salir de su cueva para satisfacer su ansia por enterarse del contenido de aquel libro que había traído don Joaquín.
No dejó de llover sino hasta después de las dos de la madrugada. Ya hacía dos horas de que se había apagado la luz del estudio, y un poco después también la del dormitorio de don Joaquín y su esposa, doña Violeta. Dione, Beverly y Jerome, que así se llaman sus perritos, ya dormían en sus cojines al pie de la cama del señor Portes. En la casa reinaba un absoluto silencio, era el momento ideal para que Sarando satisficiera la curiosidad que las largas horas de espera habían acrecentado aún más. Salió de su cueva, que se encontraba muy cerca de una magnolia en el jardín y cuya entrada se disimulaba tras un macizo de hortensias que todavía florecía esplendorosamente. Caminó sigilosamente hacia la ventana del estudio y pronto encontró el camino hacia el interior.
Sarando, como todos los duendes, era pequeño: su altura no rebasaba el medio metro; tuvo que treparse en una silla para poder brincar al escritorio y con avidez revisó los libros que se encontraban en éste. Pudo ver la portada que tanto había llamado su atención. Tenía ilustraciones de unos juguetes con formas muy regulares y colores vistosos; parecían objetos de armar: tres estaban hechos con triángulos, otro con cuadrados y otro más con pentágonos, y tenían un aspecto muy regular y simétrico. El libro se titulaba Los sólidos platónicos: son sólo cinco. Veamos qué fue lo que Sarando descubrió en aquel libro que lo hizo comenzar cuanto antes su lectura. En primer lugar encontró el retrato de alguien llamado Leonhard Euler; al verlo, su curiosidad se despertó aún más: detectaba en él un cierto aire familiar.
LOS SÓLIDOS PLATÓNICOS: SON SÓLO CINCO
Tal vez todos hayamos escuchado en determinada ocasión algo sobre los sólidos platónicos; tal vez también sobre el número de Euler. Pero, ¿qué relación guardan ambos conceptos?
Comencemos recordando que los sólidos platónicos son los únicos cinco poliedros regulares que es posible construir. Un poliedro regular es un sólido cuyas caras poligonales son todas iguales. Platón descubrió que sólo hay cinco de ellos. Antes de enumerarlos, veamos que, en efecto, sólo hay cinco de ellos. Para esto haremos uso de ese numerito conocido como número de Euler.
A cada poliedro, aunque no sea regular, le asoció Euler un número denotado por la letra griega c, el cual definió mediante la fórmula
en la que V representa el número de vértices, A el número de aristas, y C el número de caras del poliedro.
Euler demostró que este número, sea cual fuere el poliedro de que se trate, regular o no, ¡es siempre igual a 2!
—Esto no es difícil de imaginar—reflexionó Sarando—. Antes que nada observó que si inflaba el poliedro como si fuera un globo, éste se convertiría en una esfera subdividida en regiones poligonales, como si fuera un balón de futbol. Si agregamos una nueva arista entre dos de los vértices ya existentes en una cara de esta esfera, esta arista parte la cara en dos, de modo que se incrementa el número de aristas en 1, y el número de caras también se incrementa en 1. Como el número de aristas se resta y el de caras se suma en la fórmula de Euler, el valor de ésta se mantiene igual. De modo similar, si eliminamos una arista, las dos caras contiguas se juntan para convertirse en una sola.
Con los vértices le costó más trabajo su reflexión a Sarando, mas no tardó en ver que al eliminar un vértice, o bien eliminaba con él todas las aristas que en él inciden, y con ellas igual número de caras, creando así una sola cara en vez de todas las incidentes en el vértice, de modo que todo se compensa, o bien solamente eliminaba un vértice en el que sólo dos aristas inciden, eliminando así una arista. Reflexionó aún más, preguntándose qué pasaría si iba eliminando vértices y aristas hasta llegar a una configuración singular: un vértice y una cara, sin ninguna arista.
—¡Fantástico!—exclamó—. La suma es igual a 2.
El libro que Sarando tenía en sus manos proponía ahora un juego.
De este modo podemos entender que sin importar cómo descompongamos nuestro poliedro, la fórmula de Euler siempre da 2.
FIGURA I.1.
—¡Caramba!—exclamó Sarando—. Justo fue esto lo que yo pensé cuando vi la fórmula de Euler.
Y continuó su lectura.
¿Qué implicaciones tiene el número de Euler?
La regularidad de un poliedro implica, entre otras cosas, que todas sus caras son iguales, las cuales pueden ser triángulos, cuadrados, pentágonos, etc. Para cada vértice, podemos tener un número distinto de caras que incidan en él; sin embargo, por la regularidad del poliedro, este número es siempre el mismo para cada vértice y tiene que ser al menos 3, ya que nunca son sólo 2 los polígonos que inciden en un vértice. Llamemos n a este número.
Analicemos, en primer lugar, el caso en el que las caras son triángulos. Si C es el número de caras, tenemos que cada cara tiene 3 vértices, es decir, si tomamos las caras por separado, tendríamos 3C vértices; pero como estamos suponiendo que son n caras las que inciden en cada vértice, debemos dividir 3C entre ese número n, es decir, debemos tener 3C/n vértices. Cada cara tiene 3 aristas, por lo que, si tomamos las caras por separado, tendríamos 3C aristas; pero en cada arista inciden exactamente 2 caras (no pueden ser más, ni menos, ¿verdad?), por lo que debemos tener 3C/2 aristas. Así, la fórmula de Euler, que exige que χ sea igual a 2, implica que
De lo cual se obtiene que, cuando las caras son triángulos, el número de ellas está dado por
Así, deducimos que como (6 – n) no puede ser cero ni negativo, n puede ser a lo más 5; es decir, los posibles valores de n son 3, 4 o 5.
es decir, tenemos 4 caras; por lo que se trata de un tetraedro (del griego τέτϱα, cuatro, y ἕδϱα, cara). En este caso, según nuestras fórmulas, el número de vértices es
y el de aristas,
lo cual podemos confirmar a partir de la figura I.2
FIGURA I.2.
es decir, se trata de un octaedro (del griego, ὀϰτώ ocho, y ἕδϱα, cara). En este caso, según nuestras fórmulas, el número de vértices es
y el de aristas,
según se ve en la figura I.3.
FIGURA I.3.
en este caso, se trata de un icosaedro (del griego εἲϰοσι, veinte, y ἕδϱα, cara). Según nuestras fórmulas, el número de vértices de un icosaedro es
y el de aristas,
como se muestra en la figura I.4.
Tenemos que con caras triangulares sólo hay tres poliedros regulares: el tetraedro, el octaedro y el icosaedro.
FIGURA I.4.
Tenemos que la fórmula nos da
así, se trata de un hexaedro, es decir, de un cubo. En este caso, según nuestras fórmulas, el número de vértices es
y el de aristas,
como, en efecto, ya antes habíamos contado.
Luego, con caras cuadradas sólo hay un poliedro regular: el cubo.
Analicemos ahora el caso en el que las caras son pentágonos.
De aquí, deducimos que n solamente puede ser 3, y la fórmula nos da entonces
Así que se trata de un dodecaedro (del griego δώδεϰα, doce, y ἕδϱα, cara). En este caso, según nuestras fórmulas, el número de vértices es
y el de aristas,
según se representa en la figura I.5.
Así, con caras pentagonales sólo hay un poliedro: el dodecaedro.
FIGURA I.5.
lo que significa que n debe ser menor que 3, lo cual es imposible, ya que, según se explicó antes, cuando menos 3 caras inciden en cada vértice. Por lo tanto, concluimos que no hay poliedros regulares con caras que sean hexágonos y mucho menos con caras que sean polígonos de más de 6 lados.
En resumen, el análisis hecho con el número de Euler nos muestra que sólo es posible tener 5 poliedros regulares: los famosos cinco sólidos platónicos. Podemos resumir lo que hemos hecho en el cuadro I.1.
CUADRO I.1
Y aquí Sarando interrumpió su lectura, habiendo quedado muy asombrado de haber comprendido por qué los poliedros regulares eran precisamente cinco y no más. Particularmente estaba muy sorprendido de que, a diferencia de los polígonos regulares, que existen con el número de lados que uno quiera, en el caso de los poliedros regulares sólo los haya con 4, 6, 8, 12 y 20 caras. Su curiosidad era aún mayor ahora, pues trataba de encontrar algo que fuera quizás menos regular que los sólidos platónicos, pero que su regularidad o, dicho con más precisión, su simetría, fuera mayor.
Sarando reflexionó si no habría algo como el número de Euler para polígonos y concluyó que, por supuesto lo hay:
Todos los polígonos tienen una sola cara, y exactamente el mismo número n de lados y de vértices, de modo que no es difícil calcular que en este caso
Es decir, el número de Euler de cada polígono es precisamente 1. Además reparó en que este número 1 no implica restricción alguna para la existencia de polígonos regulares de cualquier número de lados, como el número 2 obligó a que sólo existan cinco poliedros regulares.
Volviendo a pensar en los poliedros, hacia el final de aquel libro encontró Sarando, al reanudar su lectura, que sí era posible producir lo que él buscaba. Recordó su razonamiento para convencerse de la validez de la fórmula de Euler, habiendo primero imaginado que inflaba sus poliedros como si fueran balones de futbol. El libro describía el siguiente juego.
¡HAZ TU PROPIO POLIEDRO!
Con cartulina rígida de diversos colores recorta quince hexágonos regulares, todos con 4 cm de lado, y doce pentágonos regulares. Haz un ensamble como el de la figura I.6.
Si haces otro ensamble igual, puedes pegar los dos ensambles que te quedan. Obtendrás un poliedro de 32 caras. Es éste un poliedro interesante, puesto que es “muy regular”, aunque realmente no es regular, pues no todas sus caras son iguales: unas son pentágonos regulares y otras hexágonos regulares. Se le conoce como fulereno, ya que este compuesto químico, que es una forma cristalina del carbono, tiene la estructura molecular del poliedro futbolero.
FIGURA I.6.
Por supuesto, Sarando buscó en el escritorio cartulina de colores, tijeras y pegamento y de inmediato procedió a construir su juguete. Contó sus vértices, sus aristas y sus caras y calculó, así, el número de Euler. ¿Habrá obtenido 2?
Después de haber hecho este poliedro aprendió muy bien cómo se fabrica un balón de futbol soccer como el que usaban Sebastián y Adrián, los hijos de los Portes, en el jardín durante el día, cuando él solía dormitar.
Su ingenio se aguzó y se divirtió mucho más tratando de armar otros poliedros semirregulares, por ejemplo, un cuboctaedro
