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- Herausgeber: Fondo de Cultura Económica
- Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
- Sprache: Spanisch
- Veröffentlichungsjahr: 2019
Más aventuras… continúa la narración del descubrimiento, en libros y sueños por parte del duende Sarando, de distintos temas de matemáticas: los números primos, el concepto de infinito, la conjetura de Poincaré, la topología y las teselaciones son algunos de los temas que aborda esta obra; en total son nueve "aventuras" que descubren al lector el lado recreativo de las matemáticas. Al final de cada capítulo se incluyen breves biografías de los matemáticos de los que se habló en la "aventura" y que contribuyeron al desarrollo de esta disciplina.
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Carlos Prieto de Castro
Primera edición, 2012Primera edición electrónica, 2012
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ISBN 978-607-16-1299-1
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La Cienciapara Todos
Desde el nacimiento de la colección de divulgación científica del Fondo de Cultura Económica en 1986, ésta ha mantenido un ritmo siempre ascendente que ha superado las aspiraciones de las personas e instituciones que la hicieron posible. Los científicos siempre han aportado material, con lo que han sumado a su trabajo la incursión en un campo nuevo: escribir de modo que los temas más complejos y casi inaccesibles puedan ser entendidos por los estudiantes y los lectores sin formación científica.
A los 10 años de este fructífero trabajo se dio un paso adelante, que consistió en abrir la colección a los creadores de la ciencia que se piensa y crea en todos los ámbitos de la lengua española — y ahora también del portugués—, razón por la cual tomó el nombre de La Ciencia para Todos.
Del Río Bravo al Cabo de Hornos y, a través del mar océano, a la península ibérica, está en marcha un ejército integrado por un vasto número de investigadores, científicos y técnicos, que extienden sus actividades por todos los campos de la ciencia moderna, la cual se encuentra en plena revolución y continuamente va cambiando nuestra forma de pensar y observar cuanto nos rodea.
La internacionalización de La Ciencia para Todos no es sólo en extensión sino en profundidad. Es necesario pensar una ciencia en nuestros idiomas que, de acuerdo con nuestra tradición humanista, crezca sin olvidar al hombre, que es, en última instancia, su fin. Y, en consecuencia, su propósito principal es poner el pensamiento científico en manos de nuestros jóvenes, quienes, al llegar su turno, crearán una ciencia que, sin desdeñar a ninguna otra, lleve la impronta de nuestros pueblos.
Comité de selección de obras
Dr. Antonio Alonso
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Dra. Rosalinda Contreras
Dra. Julieta Fierro
Dr. Jorge Flores Valdés
Dr. Juan Ramón de la Fuente
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Dr. Julio Rubio Oca
Dr. José Sarukhán
Dr. Guillermo Soberón
Dr. Elías Trabulse
A mis adorados hijos,Adrián y Sebastián
A la memoria de mi padre
ÍNDICE
Prólogo
I. Primera aventura: de primos y gemelos
Los números primos
¿Cuántos números pr[imos hay?
Números primos grandes
Criba de Eratóstenes
La geometría de los números primos
Una fórmula para primos
Los primos gemelos y la conjetura de Goldbach
La función zeta y la hipótesis de Riemann
Eratóstenes de Cirene
Euclides de Alejandría
Christian Goldbach
Georg Friedrich Bernhard Riemann
Stanisław Ulam
II. Segunda aventura: conquistando terrenos y haciendo pompas
La fundación de Cartago
El problema isoperimétrico
Figuras convexas
Paralelogramos isoperimétricos
Triángulos isoperimétricos
Polígonos isoperimétricos
Solución del problema isoperimétrico
Optimación
Pompas de jabón
Superficies mínimas y el problema de Plateau
Joseph Antoine Ferdinand Plateau
Karl Theodor Wilhelm Weierstrass
III. Tercera aventura: empacando naranjas y canicas
Empaque de discos
La densidad en el plano
Teselaciones
Densidad en el espacio
La conjetura de Kepler
Células de Voronoi
Ejercicios
Johannes Kepler
Axel Thue
IV. Cuarta aventura: ¿qué tan grande es el infinito?
Los números naturales, paradigma del infinito
Conjuntos equivalentes
Conjuntos numerables
El Hotel Infínitum
Conjuntos no numerables
La hipótesis del continuo
El principio de inducción
Ejercicios
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor
Kurt Gödel
V. Quinta aventura: ¿paradojas en matemáticas?
La paradoja de Zenón
¿En realidad es infinito el universo?
La paradoja de Russell
Las paradojas de Laplace
La paradoja del cumpleaños
Otras triquiñuelas
Bertrand Arthur William Russell
Zenón de Elea
VI. Sexta aventura: sobre lazos y pelotas
La conjetura de Poincaré
La prueba de la conjetura
¿Qué se gana con la prueba de la conjetura?
Grigory Yakovlevich Perelman
Jules Henri Poincaré
William Paul Thurston
VII. Séptima aventura: de puentes, toros y tazas
Los puentes de Königsberg
La fórmula de Euler
Superficies topológicas
La fórmula de Euler para superficies
Felix Hausdorff
Solomon Lefschetz
Stephen Smale
VIII. Octava aventura: colocando losetas en el piso
Teselaciones
Teselaciones regulares
Teselaciones semirregulares
Grupos de transformaciones
Simetrías
Grupos de permutaciones
Los 17 grupos cristalográficos planos
Resumen
Teoría de los grupos
Por qué son exactamente 17 grupos
La característica de Euler
Arquímedes de Siracusa
Roger Penrose
George Pólya
IX. Novena aventura: dibujando con regla y compás
Construcciones con regla y compás
Construcción de polígonos regulares
Los problemas imposibles
Irracionales
El campo de los racionales y extensiones
Números construibles
Teoría de Galois
Niels Henrik Abel
Evariste Galois
Carl Louis Ferdinand von Lindemann
Pierre Laurent Wantzel
PRÓLOGO
En la tranquila calle Albatros sigue viviendo la familia Portes. Su jardín es cada día más bello, pues doña Violeta se ocupa con afán de él. Los niños, Adrián y Sebastián, lo disfrutan mucho. Pero quien más disfruta es Sarando, el duende que vive escondido en una acogedora cueva debajo del pirul, detrás del macizo de hortensias. Su pasión por las matemáticas sigue plena y ha mantenido su costumbre de colarse a la biblioteca de don Joaquín, quien constantemente llega con nuevos libros, a cual más de atractivos.
En estas nuevas aventuras Sarando disfrutará de muy variados temas de las matemáticas. Va a intrigarse con preguntas aún no respondidas sobre los números primos, tratando de demostrar la conjetura de Goldbach o la de los primos gemelos. Aprenderá cómo Dido, la reina de Cartago, echó mano de las matemáticas para fundar su grandiosa ciudad-Estado al comprender en qué consisten los problemas isoperimétricos.
Pensará en la mejor manera de acomodar balas de cañón para que ocupen el mínimo espacio estudiando la conjetura de Kepler y calculando las mejores opciones. Después hará un viaje al infinito y comprenderá los distintos infinitos que manejan los matemáticos. Meditará sobre la existencia del infinito en el universo. Más adelante se confrontará con cuestiones paradójicas en matemáticas, averiguará si la tortuga le ganó la carrera a Aquiles y sabrá quién rasura al barbero del pueblo.
Se romperá la cabeza tratando de entender la emoción del señor Portes al enterarse de que la conjetura de Poincaré había sido demostrada. Tratar de comprender qué significa la dichosa conjetura mete en camisa de once varas al duende, quien después de grandes meditaciones logra entender más o menos de qué trata. Esto lo lleva a estudiar un poco de topología. Estudia los orígenes de esta área de las matemáticas y entiende la diferencia entre topología y geometría.
Agasaja su vista con hermosos mosaicos y decoraciones, presentes ya sea en las tumbas egipcias, en las paredes de la Alhambra o en los embaldosados de Praga. Pero más le asombra que haya matemáticas involucradas y que haya teoremas que los expliquen. Finalmente acaba estudiando las construcciones geométricas con regla y compás, y comprendiendo los tres problemas insolubles de la geometría griega.
Concluye cada una de sus aventuras leyendo las biografías de personajes centrales para cada uno de los temas con los que se confronta en sus aventuras, y se asombra de su pasión y de sus contribuciones a las matemáticas.*1
Sarando, nuestro duende matemático, no es sólo un cicerone que nos guía en nuestro paseo por el mundo de las matemáticas, sino que trata de representar al lector e intenta ponerse en sus zapatos para ayudarle a entender mejor los temas que se tratan en este libro. Partiendo de que las matemáticas no son una disciplina sencilla de entender, y de que es necesario manejar el idioma en el que están escritas, Sarando se transforma en una especie de intérprete, en un alter ego del lector, que le ayuda a entender y también a comprender que no todo se puede entender, aunque se puede apreciar y en cierta medida disfrutar.
Las matemáticas no se leen como una novela. Hay que leer y releer y volver a leer cambiando el orden. El orden de las aventuras no guarda una lógica estricta; es un tanto aleatoria, por lo que el lector no tiene que leerlas en orden. Siempre será conveniente tener papel y lápiz a mano para poder hacer matemáticas y reproducir la idea que se presenta en el texto. De igual modo, la escritura de cada capítulo no es rígida; intenta parecerse a una plática informal sobre matemáticas (Sarando revisa uno y otro libro, sin mayor orden, al colarse a la biblioteca del señor Portes). De repente se cambia de tema, para luego volver al tema central.
Agradezco a Michael Barot por haberme proporcionado la espiral de Ulam y la distribución de los primos y de los primos gemelos que se presenta en la primera aventura, y a Francisco Martín, por su anuencia para usar sus imágenes de las superficies mínimas. Las imágenes de las teselaciones provienen de la Wikipedia.
1* Veinticinco de las 26 biografías presentadas se basan en los textos de J. J. O’Connor y E. F. Robertson, disponibles en http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/BiogIndex.html (MacTutor History of Mathematics Archive). Sólo la de Bertrand Russell se basa en un artículo de A. D. Irvine (misma página web). En español pueden leerse versiones ampliadas en http://www.matem.unam.mx/cprieto.
I. Primera aventura: de primos y gemelos
La matemática es la reina de las ciencias, la teoría de los números es la reina de las matemáticas.
CARL-FRIEDRICH GAUSS (1777-1855)
El cielo tronaba y a lo lejos se apreciaban los relámpagos que amenazaban con una fuerte tormenta aquella noche de verano. Hacía un par de horas que don Joaquín había regresado a casa y estaba sentado frente a su escritorio leyendo con avidez un libro, cuya portada estaba decorada con números dibujados a colores.
Como ya había ocurrido en otras ocasiones, esta portada intrigó a Sarando, nuestro viejo amigo, el duende del jardín de la casa, quien contaba los minutos para que se apagaran todas las luces y poder colarse de nuevo a la biblioteca a revisar ese libro que tanto interés despertaba en el señor Portes.
Poco antes de la medianoche se fueron oscureciendo las ventanas de la casa. Doña Violeta había atendido a sus perros y finalmente se fue a la cama. La ansiedad de Sarando se desbordaba e, inmediatamente, entró en el estudio y revisó aquel libro. Los números primos era su título.
—Vaya — meditó Sarando—, números primos. De ellos no había yo aún escuchado.
Y observó aquellos números que aparecían en la portada del libro: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31…
—¿Qué misterio encierran estos números? — se preguntó intrigado.
Comenzó a meditar sobre ellos y observó que todos eran números impares (o nones, como había escuchado a unas niñas decir durante la fiesta de cumpleaños de Adrián), salvo el primero, que era 2. Pero vio que no estaban todos los impares, pues faltaban 9, 15, 21, 25, 27… Gracias a su perspicacia no le costó trabajo percatarse de que los impares que faltaban eran 3 × 3, 3 × 5, 3 × 7, 5 × 5, 3 × 3 × 3…, es decir, eran productos de algunos de los números que sí aparecían. No tardó en darse cuenta también de que los que se enlistaban en la portada del libro eran precisamente aquellos que no podían descomponerse como un producto de números más pequeños. Entonces abrió la primera página del libro.
LOS NÚMEROS PRIMOS
Los números primos son los átomos de las matemáticas.
—¿En qué quedamos? — pensó Sarando—. ¿Es esto matemáticas, química o física? ¿Átomos?
Son los átomos, pues como la etimología de la palabra lo dice son indivisibles; además son los elementos con que se construyen todos los demás números.
Por supuesto que Sarando se sintió fascinado, pues había descubierto por sí mismo el concepto de número primo y había entendido por qué estos números son los átomos de las matemáticas.
Una de las primeras preguntas que surgen respecto de la colección de los números primos es si hay un número finito de ellos o, por el contrario, si hay una infinidad.
—Buena pregunta — se dijo Sarando—. Si son sólo un número finito, eso simplificaría mucho la aritmética; facilitaría los cálculos. ¿Pero cómo se podrá averiguar eso?
Sarando se puso a pensar y comenzó a alargar la lista de los números primos que contenía la portada de aquel libro: 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139…
—¡Caramba! Parece que no se acaba esta lista; pero también se vuelve cada vez más difícil de continuar, pues hay que hacer muchas divisiones para ver si salen exactas o no—reflexionaba Sarando.
Tratando de continuarla, el sueño lo venció y cayó dormido sobre la página del libro. Al empezar a clarear la mañana despertó súbitamente y se levantó para salir a esconderse en su cueva antes de que la familia Portes apareciera para desayunar. No obstante alcanzó a leer algo más del libro: “Hay una infinidad de números primos”. Salió corriendo, mas alcanzó a discurrir:
—Tenía yo razón, hay una infinidad. Pero, ¿cómo verificar esto?
Durmiendo, ya metido en su cueva bajo el árbol, Sarando tuvo un sueño. En él se vio a sí mismo hablando con un antiguo griego que decía llamarse Euclides. Por supuesto, quien en su sueño se aparecía era el gran matemático del siglo III antes de nuestra era. El sabio le preguntó a Sarando qué le preocupaba, y Sarando le respondió:
—Son los números primos; quiero saber por qué hay una infinidad de ellos—le respondió el duende, y Euclides le dijo:
—Pues esto es muy sencillo de verificar. Si fueran sólo un número finito, entonces podría tomarse el producto de todos ellos y a este producto sumarle 1. Ahora es muy sencillo ver que si tomamos cualquiera de los primos, ninguno de ellos dividirá al resultado. Esto significaría que ningún número, salvo 1 y él mismo, lo dividirá, por lo que el resultado tendría que ser un número primo, obviamente, mayor que todos los que se habían tomado, lo cual es una contradicción, pues supuestamente ya habíamos tomado a todos los números primos.
—¡Vaya!—meditó Sarando en sueños—, una contradicción.
Y continuó el resto del día durmiendo. Al caer la tarde despertó y recordó vagamente su sueño. No había olvidado, sin embargo, la pregunta con la que se había escapado de la biblioteca temprano esa mañana. Más o menos intuía cómo estaba la prueba: si la colección de números primos es finita, se toma el producto de todos y se le suma 1; con ello construimos un nuevo número que no puede ser divisible más que entre 1 y entre sí mismo, por lo que debe ser primo. Esto contradice la hipótesis de que ya habíamos tomado todos los primos. Luego, la suposición de que hay un número finito de primos debe ser falsa. Con esto en su cabeza, esperó ansiosamente volver a entrar a la biblioteca para continuar su lectura de la noche anterior. Entrada la noche, al oscurecerse la casa, penetró y, hojeando el libro de la velada pasada, encontró la prueba del teorema.
¿CUÁNTOS NÚMEROS PRIMOS HAY?
TEOREMA. Hay una infinidad de números primos.
Demostración. Supongamos que el teorema fuese falso y, por lo tanto, que sólo tenemos un número finito de ellos (tal vez muchísimos). Denotémoslos por p1, p2…, pn. Ahora consideremos el número
que es mayor que todos los primos que tomamos y, por tanto, debe ser compuesto. Si ahora tomamos cualquiera de los números primos, digamos pi, donde i es alguno de los índices entre 1 y n, y dividimos k entre pi, nos queda siempre un residuo de 1, es decir, k no es divisible entre ninguno de los primos más pequeños y, por tanto, debe ser primo. Esto es absurdo, pues ya habíamos tomado a todos los primos.
Esta demostración, probablemente debida a Euclides, es uno de los primeros ejemplos que hubo de una demostración por reducción al absurdo.
—¡Mira nada más!—consideró Sarando, que empezaba a recordar su sueño—, éste es el señor que vi en mi sueño diciéndome precisamente la prueba que acabo de leer—y continuó leyendo.
Sarando había visto nuevamente cómo era una demostración en matemáticas y no podía más que estar fascinado, pues veía en ella una gran frescura. Entendía perfectamente que las verdades matemáticas eran eternas y, con ello, modernas, aunque tuvieran más de 20 siglos de haber sido probadas. Las matemáticas no envejecen y sus verdades son hoy por hoy tan vigentes como lo han sido siempre. Esto no ocurre en otras ciencias, en que las teorías sobre los fenómenos dejan de ser satisfactorias, a veces, muy pronto. Al longevo duende le encantaba la idea de haber encontrado un conocimiento a su medida: un conocimiento eterno.
NÚMEROS PRIMOS GRANDES
es decir, dos elevado a treinta y siete millones ciento cincuenta y seis mil seiscientos sesenta y siete menos uno. Éste es un número con más de 11 millones de cifras. Hay uno aún más grande que el anterior, pero de la misma forma, se trata de
es decir, dos elevado a cuarenta y tres millones ciento doce mil seiscientos nueve menos uno. Éste es un número con casi 13 millones de cifras. Por supuesto, los exponentes 37 156 667 y 43 112 609 son también números primos.1
Sarando se quedó asombrado. Trató de pensar en el número más grande en el que hubiera pensado alguna vez. Recordó que el universo había aparecido a partir de una gran explosión que tuvo lugar hace aproximadamente 13 750 millones de años. No le costó demasiado trabajo calcular que este lapso corresponde a 433 917” 000 000’ 000 000 segundos (más de 430 000 billones de segundos), que es apenas un número con 18 cifras.
–Realmente estos matemáticos tienen mucha imaginación –caviló Sarando–. Mira que “inventar” números con casi 13 millones de cifras. Esos números seguramente no son concebibles ni como “cifras astronómicas”.
En medio de su sueño, Sarando extrajo papel y lápiz y, siguiendo la propuesta del viejo profesor, calculó, multiplicando primero 2m por todo el chorizo del lado derecho, y luego restando el producto de 1 por el mismo chorizo:
CRIBA DE ERATÓSTENES
No hay una receta para producir uno a uno los números primos; para verificar que lo son hay que probar dividirlos entre todos los números (primos) más pequeños que ellos. De hecho, si un número n es producto de otros dos números k y l, entonces claramente uno de los dos debe ser menor que o igual a la raíz cuadrada de n, mientras que el otro tendrá que ser mayor o igual a dicha raíz.
De hecho se tiene:
TEOREMA. Un número es primo si y sólo si no es divisible entre ningún primo menor que o igual a su raíz cuadrada.
Eratóstenes diseñó un método para buscar primos; a saber, se elabora una lista ordenada de todos los números desde 1 hasta N.
Primero se tachan a partir del 4 todos los pares (de 2 en 2); luego a partir de 6 los múltiplos de 3 (de 3 en 3), a partir de 10 los múltiplos de 5 (de 5 en 5), etc. De acuerdo con el teorema de arriba, basta con tachar hasta los múltiplos del primo más grande que es menor o igual a la raíz cuadrada de N. Los que no se tachan en este proceso—es decir, los que no se atoran en la criba (o coladera) — son los números primos menores o iguales a N. A éste se le conoce como método de la criba de Eratóstenes.
En una tabla se ve así:
Sarando se quedó muy contento de conocer un par de métodos seguros para encontrar números primos.
—Eso de echarlos en una coladera y sólo los que no pasan son primos suena muy conveniente—consideró.
Le quedaba claro, no obstante, que el proceso es laborioso. Decidió regresar a su cueva y continuar la noche siguiente su excursión al mundo de los números primos. Esa noche sus sueños lo llevaron a pasear por un bosque donde cada árbol era un número natural. Se detenía ante cada uno, preguntándose si el número del árbol era primo o no. Lo acompañaba el viejo profesor, que había cambiado su tiza por una varita mágica en forma de brocha. Cada vez que Sarando verificaba que el número de algún árbol era primo, el profesor hacía un movimiento con la varita y el árbol se volvía rojo. Así, había árboles verdes y rojos en aquel bosque. Al despertar, Sarando aún se sentía rodeado de árboles. Pero pensando en los primos, se preguntó si había una regla que dijera cómo estaban acomodados los árboles rojos entre los verdes, es decir, los primos entre los naturales. Llegada la noche, en el mismo libro que había estado leyendo, encontró la siguiente tabla:
En otras palabras, entre los primeros 1 000 números naturales, 16.8% son primos; entre el primer millón, son 7.85%; entre el primer millardo, sólo son 5.08%; mientras que entre el primer billón sólo son 3.76%; en el primer billardo son 2.98%, y en un trillón son 2.47%. Los matemáticos especialistas en la teoría de los números ya tienen una fórmula para calcular esta distribución; es conocido como teorema de los números primos, que asegura que el número de primos menores que N, denotado por Π(N), cumple
Π(N) ~ N / ln N,
donde ln N es el llamado logaritmo natural, o logaritmo de base e (donde e es el número de Euler) de N. Es decir, Π(N) es aproximadamente N dividido entre el logaritmo natural ln N de N.
Si bien Sarando entendía la fórmula, no supo bien a bien cómo interpretarla para entender cómo estaban distribuidos los árboles rojos en su bosque. Continuó, curioso, su lectura.
LA GEOMETRÍA DE LOS NÚMEROS PRIMOS
Un físico y matemático polaco, Stanisław Ulam, alguna vez tuvo la ocurrencia de poner todos los números naturales sobre una espiral cuadrada, donde los números primos se escriben en rojo, como se aprecia en la figura I.1.
Observó que hay ciertas diagonales en las cuales se concentran más los primos. La figura I.2 concentra varios miles de números en la espiral de Ulam, que sólo se ven como pequeños puntos de colores. Los puntos rojos marcan los primos.
Sarando se asombró de ver que en la distribución de los números primos aparentemente sí hay geometría. Se preguntó si hay alguna manera de formalizar esta situación geométrica de los números primos. Finalmente se quedó dormido y, para su asombro, en sus sueños comenzó a volar en un globo de Cantoya. Desde ahí veía su bosque de la noche anterior, que más bien era un huerto, con todos los árboles acomodados en forma de una espiral cuadrada. Como en su sueño ya era otoño, la estación favorita
FIGURA I.1.
FIGURA I.2.
de Sarando, los árboles eran amarillos. El viejo profesor caminaba en espiral, pintando de rojo con su varita cada árbol correspondiente a un número primo. El globo se elevaba cada vez más y Sarando veía los árboles apenas como pequeños puntos amarillos y rojos en aquella espiral de Ulam.2 El profesor también pintaba con azul los primos que aparecían en parejas, es decir, los de la forma p y p + 2, como 3 y 5, 5 y 7, 11 y 13, 17 y 19, 29 y 31, etc. El paisaje que veía Sarando desde la altura se veía como en la figura I.2.
Con la agradable imagen del enorme jardín de árboles amarillos, rojos y azules, Sarando acabó de pasar la noche tranquila y descansadamente.
UNA FÓRMULA PARA PRIMOS
Un grupo de matemáticos—Jones, Sato, Wada y Wiens—3 obtuvo en 1976 un complicado polinomio en 26 variables, cuyos valores positivos para valores enteros de las variables son todos los números primos. Si denotamos esas variables por las 26 letras a, b, c, …, x, y, z del alfabeto (inglés), el polinomio es:
(k + 2){1 – [wz + h + j – q]2 – [(gk + 2g + k + 1)(h + j) + h – z]2 –
– [2n + p + q + z – e]2 – [16(k + 1)3(k + 2)(n + 1)2 + 1 – f2]2 –
– [e3(e + 2)(a + 1)2 + 1 – o2]2 – [(a2 – 1)y2 + 1 – x2]2 –
– [16r2y4(a2 – 1) + 1 – u2]2–
– [((a + u2(u2 – a))2 – 1)(n + 4dy2) + 1 – (x + cu) 2]2 – [n + l + v – y]2 –
– [(a2 – 1)l2 + 1 – m2]2 – [ai + k + 1 – l – i]2–
– [p + l(a – n – 1) + b(2an + 2a – n2 – 2n – 2) – m]2 –
– [q + y (a – p – 1) + s(2ap + 2a – p2 – 2p – 2) – x]2 –
– [z + pl(a – p) + t(2ap – p2 – 1) – pm]2}.
—¡Vaya, fórmula!—pensó Sarando—. Además, dicen los que la encontraron, que sus valores positivos dan números primos; eso no lo entiendo—censuró Sarando de inmediato—, pues tiene dos factores: uno es k + 2 y el otro es algo larguísimo. De esta forma, yo no entiendo cómo va a salir un primo.
Continuó su lectura.
A primera vista podría pensarse que esta fórmula es contradictoria, toda vez que es equivalente a (k + 2){1 – M}, donde M es una suma de cuadrados, es decir, un número mayor que o igual a 0. Así, el resultado de la fórmula es un producto.
—¿No lo decía yo?—exclamó Sarando.
—¡Esto sí que me ha rebasado y me ha dejado completamente anonadado! ¡Estos matemáticos y sus fórmulas!—meditó Sarando—. Me imagino tomando números enteros para cada letra del alfabeto, ponerme a hacer las cuentas y luego me sale que la tal M no es 0. Entonces debo volver a empezar. Yo creo que habría que poner a trabajar a alguna super-computadora para hacer las cuentas.
Esa noche fue demasiado para Sarando. La fórmula lo había apabullado, y en sus intentos por calcular con ella se había dado cuenta de que, en primer lugar, era una verdadera lata hacerlo y, en segundo, de que era bastante difícil que ese término, que en el libro se denotaba por M, resultara igual a 0.
Decidió irse a su cueva. No obstante semejante fórmula, su curiosidad no disminuía y empezó a pensar en los números primos de otras maneras. Primero escribió nuevamente su lista de primos, recordando los árboles azules del viejo profesor en el jardín. Pensando en eso cayó profundamente dormido. Sus árboles numerados estaban alineados en una fila que parecía infinitamente larga. Los árboles que no eran primos seguían siendo de un hermoso color dorado, los primos eran rojos, y había pares de árboles, con sólo un amarillo intermedio, que eran azules. A lo lejos se veía al viejo profesor pintando de rojo los árboles primos y de azul las parejas de números impares consecutivos, tales que ambos son primos, a saber: 3 y 5, 5 y 7, 11 y 13, 17 y 19, 29 y 31, 41 y 43, 59 y 61, 71 y 73, 101 y 103, 107 y 109, 137 y 139, etcétera.
En su sueño empezó a ver que algunos números primos, cobrando vida, se desprendían de los árboles y aparecían muy arregladitos, con sus sombreritos y sus pantaloncillos cortos. Venían cogidos de las manos, de dos en dos, y era notable que cada pareja constaba de números primos que son impares consecutivos. Además, entraban danzando y salían y volvían a entrar otros y cada vez más y más. Luego empezó a ver que se elevaban en el aire de la noche, luminosos, hasta confundirse con las estrellas, y lo hacían por cientos y por miles de parejas que se perdían en el infinito. Al despertar retumbaba aún en sus oídos la música al ritmo de la cual bailaban las parejas de primos. Y, por supuesto, surgía la pregunta: ¿habrá una infinidad de tales parejas? Inmediatamente encontró, en su lectura de la siguiente noche, una sección del libro que había estado leyendo que abordaba parejas de números primos.
LOS PRIMOS GEMELOS Y LA CONJETURA DE GOLDBACH
La distribución de los números primos es un misterio, toda vez que, a pesar de la larga fórmula del párrafo anterior, no es posible dar una fórmula recursiva que diga cómo, dados los primeros primos, se puede encontrar el siguiente. Una cuestión relacionada con lo anterior es la de los primos gemelos, es decir, pares de la forma p y p + 2, de modo que ambos sean números primos. Hay una conjetura famosa que afirma que la familia de estos pares de primos gemelos es una familia infinita; hoy por hoy, aunque hay muchas evidencias de que eso sea cierto, no hay indicios de una prueba para arribar a este resultado.
También existe una conjetura relacionada que afirma que para cada número k hay una infinidad de parejas de primos k-gemelos, es decir, números de la forma p y p + 2k, de modo que ambos son números primos.4
Para Sarando resultaba muy tentador encontrar tantas preguntas sobre los primos, aparentemente inocentes, que los matemáticos aún no podían responder. Para su agradable sorpresa, al seguir leyendo encontró lo siguiente:
Otro de los problemas famosos de la teoría de los números primos es la llamada conjetura de Goldbach, la cual parte de la observación de los primeros números pares. Por ejemplo:
En 1742, Goldbach, en una carta dirigida a Euler, observó que, con excepción del 2, todos los números pares que consideraba, siempre era posible escribirlos como la suma de dos números primos. Deseaba saber si Euler podía probar que: Todos los números pares mayores que 2 se pueden escribir como suma de dos números primos.5
Euler nunca respondió a esta pregunta y hasta el día de hoy nadie ha podido proporcionar ni una prueba ni un contraejemplo (es decir, un número par mayor que 2 que no sea suma de dos primos).6 Parece que la dificultad en esta afirmación estriba en que el concepto de número primo está íntimamente vinculado con la multiplicación, en tanto que la conjetura se refiere a una operación muy distinta, a saber, la suma. A ésta se le llama la conjetura de Goldbach.
—¡Qué interesante está esto!—masculló Sarando—. Me gustaría encontrar una prueba contundente para todas estas conjeturas. Me haría famoso, no sólo entre los duendes. Pero quizá se pueda probar algo más sencillo, por ejemplo, que todo número par es suma de tres primos.
Con esta idea se fue a la cama. En su sueño apareció un duende de lentes de aspecto un tanto taciturno, que le preguntó qué era lo que le producía ese sueño tan intranquilo.
—La conjetura de Goldbach—respondió Sarando—. Dicen que no se puede probar y yo trato de ver un resultado más sencillo, pero que esté relacionado.
—Pues claro que lo hay—respondió el duende de lentes—. Usando la conjetura de Goldbach puedes probar que cualquier número entero mayor que 5 es suma de tres números primos.
—¿Cómo es eso?—cuestionó Sarando.
—Muy fácil—respondió el duende de los lentes; sacó un gis y en un pizarrón que apareció de la nada empezó a escribir mientras decía—: Toma un número mayor que 5. Si es par, sólo réstale 2 y vuelves a obtener un par, ahora mayor que 3, y éste lo escribes, por la conjetura de Goldbach, como suma de dos primos. Así, el par con el que empezaste es la suma de los dos primos y de 2, es decir, la suma de tres primos. Si el número que tomas es impar, entonces réstale 3 y obtienes un par, que otra vez es la suma de dos primos; por lo tanto, el impar que tomaste es la suma de esos dos primos y 3.
—Vaya prueba—pensó Sarando, aún en sueños, cuando un ruido en el jardín lo despertó. Era don Joaquín que salía corriendo a su trabajo. Intrigado por el sueño, Sarando esperó la noche para volver a hurgar en el libro de teoría de números. Y, en efecto, encontró el resultado del duende de lentes.
A la siguiente se le conoce como la pequeña conjetura de Goldbach: Todo número entero mayor que 5 es la suma de tres números primos.
Tanto la conjetura original como la pequeña conjetura de Goldbach—aunque esta última aparentemente es más simple — siguen siendo problemas abiertos. Han sido verificadas, usando computadora, con números pares hasta 400 billones (4 × 1014).
LA FUNCIÓN ZETA Y LA HIPÓTESIS DE RIEMANN
En los muchos intentos que se han hecho para estudiar la distribución de los números primos, así como para muchos otros problemas de números primos, incluidas las conjeturas de Gold-bach, ha jugado un papel importante una función descrita por Riemann y una conjetura que el propio Riemann formuló. Consideremos para cada número entero k las siguientes sumas:
De hecho, ya que es posible definir potencias con exponentes que sean cualquier número arbitrario, si x es cualquier número mayor que 1, se tiene la siguiente función de él:
donde cada factor corresponde a cada uno de los números primos p. Esta coincidencia plantea una muy interesante relación, puesto que la función zeta de Riemann está descrita en términos de todos los números naturales, mientras que esta segunda función está dada en términos de los números primos.
Resulta que esta expresión tiene una connotación geométrica, pues su valor es precisamente
Tenemos, pues, una estrecha relación entre los números naturales, los números primos y la razón entre el perímetro y el diámetro de un círculo, es decir, π.
—¡Vaya, vaya!—exclamó Sarando—, es como si Dios hubiera codificado la lista de los números primos en la longitud de la circunferencia de radio 1/2.
—¡Ya lo decía yo!—suspiró Sarando, aliviado—. Esta tal función de Riemann es de lo más extraña e incomprensible.
La hipótesis de Riemann sigue siendo una de las grandes preguntas abiertas de las matemáticas; en palabras afirma: Todos los ceros no triviales de la función zeta deben tener su parte real igual a un medio.
Esta conjetura, junto con la de Goldbach (que se presume podría ser demostrada a partir de la hipótesis de Riemann), la conjetura de los primos gemelos y su generalización para los primos k-gemelos, así como el último teorema de Fermat (probado por A. Wiles apenas en 1995),9 han intrigado a los matemáticos durante siglos.
Sarando, fascinado por todos los maravillosos descubrimientos que sobre los números primos y la extraña función zeta de Riemann había hecho, deseaba saber quiénes fueron los personajes de su aventura. Recurrió al libro Biografías de matemáticos famosos para averiguar sobre la vida de los protagonistas de esta fascinante historia.
ERATÓSTENES DE CIRENE
Nació en 276 a.C., en Cirene, África del Norte (ahora Shahhat, Libia), y murió en 194 a.C., en Alejandría, Egipto. Entre sus maestros se encontraron el erudito Lisanias de Cirene y el filósofo Aristón de Quíos, quien había estudiado con Zenón, el fundador de la escuela estoica de filosofía. Eratóstenes también estudió con Calímaco, quien también era originario de Cirene, y pasó algunos años estudiando en Atenas.
Fue Ptolomeo I Sotero quien planeó la biblioteca de Alejandría, y su hijo, Ptolomeo II Filadelfo (el que ama a su hermana), quien la construyó. La base de aquel proyecto fueron copias de obras pertenecientes a la biblioteca de Aristóteles, quien, por cierto, era el mentor de Alejandro Magno. Ptolomeo II designó a uno de los maestros de Eratóstenes, Calímaco, como segundo bibliotecario. Cuando Ptolomeo III Evergetes (el Benefactor) sucedió a su padre en 245 a.C., persuadió a Eratóstenes para que fuese a Alejandría como tutor de su hijo Filopátor. A la muerte de Calímaco alrededor de 240 a.C., Eratóstenes se convirtió en el tercer bibliotecario en Alejandría, en la biblioteca ubicada en el templo de las musas, llamado Museion (o Museo de Alejandría).
Una de las obras importantes de Eratóstenes fue Platonicus, que trataba de las matemáticas que subyacen a la filosofía de Platón. Esta obra fue usada sustancialmente por Teón de Esmirna, cuando escribió Expositio rerum mathematicarum [Tratado de las ciencias de la matemática], y aunque el Plato-nicus ahora está perdido, Teón de Esmirna nos cuenta que la obra de Eratóstenes abordaba las definiciones básicas de la geometría y la aritmética, así como también trataba temas como la música.
Algunos detalles de lo que escribió Eratóstenes en Platonicus los da Teón de Esmirna. En particular, ahí describió la historia del problema de duplicar el cubo.10 Cuenta que cuando el dios proclamó a los delianos, a través del oráculo, que para deshacerse de una plaga debían construir un altar que duplicara el tamaño del que ya existía, sus artesanos no supieron cómo hacer un cubo sólido del doble de volumen; por lo tanto, fueron a consultar a Platón, quien respondió que lo que el oráculo quiso decir no fue que el dios quisiera un altar del doble de tamaño, sino que lo que deseaba al asignarles la tarea era avergonzar a los griegos por su desprecio por las matemáticas y su desdén por la geometría.
Eratóstenes también trabajó con números primos. Se le recuerda por su criba de números primos, la “criba de Eratóstenes” que, modificada, sigue siendo una importante herramienta en la investigación de la teoría de los números. Dicha criba aparece en la Introducción a la aritmética de Nicomedes.
Otro libro escrito por Eratóstenes fue sobre las medias; aunque ahora está perdido, Pappus lo menciona como uno de los grandes libros de la geometría. En el campo de la geodesia, sin embargo, Eratóstenes siempre será recordado por sus mediciones de la Tierra. En efecto, hizo mediciones sorprendentemente precisas de la circunferencia de la nuestro planeta. Los detalles los incluyó en su tratado Sobre la medición de la Tierra, el cual también está perdido. Comparó la sombra del mediodía en el verano entre Siena (ahora Asuán en el Nilo, Egipto) y Alejandría. Supuso (correctamente) que el Sol estaba lo suficientemente lejos como para considerar que sus rayos eran básicamente paralelos y, entonces, conociendo la distancia entre Siena y Alejandría y habiendo medido la diferencia entre los ángulos con que inciden, calculó la circunferencia de la Tierra como 250 000 estadios.11
Eratóstenes también determinó la distancia al Sol como 804 000 000 de estadios y la distancia a La luna como 780 000 estadios.12 Calculó estas distancias usando datos obtenidos durante eclipses lunares. Ptolomeo nos dice que aquél también midió la inclinación del eje de la Tierra con gran precisión, obteniendo un valor de 11/83 de 180°, es decir, 23° 51’ 15”.13
Hizo muchas otras contribuciones importantes al progreso de la ciencia. Elaboró un calendario que contenía años bisiestos y sentó las bases de una cronografía sistemática del mundo, al tratar de dar las fechas de eventos políticos y literarios desde el sitio de Troya. Se dice que también compiló un catálogo que contenía 675 estrellas.
Los escritos de Eratóstenes incluyen el poema Hermes, inspirado por la astronomía, así como obras literarias sobre el teatro y la ética, que era un tema favorito de los griegos. Se dice que este personaje perdió la vista a edad avanzada y se ha afirmado que se suicidó por inanición.
EUCLIDES DE ALEJANDRÍA
Euclides es, con toda seguridad, el matemático más prominente de la Antigüedad. Vivió en el siglo III a.C.; se cree que nació alrededor de 325 a.C. y murió alrededor de 265 a.C. Su fama se debe a su tratado sobre matemáticas llamado Elementos. Esta obra en 13 volúmenes convirtió a Euclides en el principal maestro de matemáticas de todos los tiempos.
