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- Herausgeber: Kiepenheuer & Witsch eBook
- Kategorie: Lebensstil
- Serie: Aus der Welt der Mathematik
- Sprache: Deutsch
- Veröffentlichungsjahr: 2021
Sieben Zwerge, sieben Betten, sieben Probleme. Warum steht eigentlich unser Spiegelbild nicht Kopf? Und was treiben die fantastischen Vieren da? Erneut entführt uns Wissenschaftsjournalist und Mathe-Fan Holger Dambeck in die faszinierende Welt der mathematisch-logischen Knobeleien. Ein gelungenes Rätsel kennt keine offensichtliche Lösung. Umso wichtiger das Credo Holger Dambecks: »Es gibt zwar Regeln. Wer aber wirklich Spaß haben will, wird kreativ.« Seine unterhaltsamen Rätsel zeigen uns also, was Mathe wirklich ist: nicht stumpfes Büffeln, sondern Spaß am Nachdenken und am Finden genialer Lösungen. Nach dem großen Erfolg seines ersten Rätselbuchs »Kommen drei Logiker in eine Bar …« präsentiert uns Holger Dambeck, seit 2014 Autor der beliebten DER SPIEGEL-Kolumne »Rätsel der Woche«, in »Blind Date mit zwei Unbekannten« nun seine neueste Sammlung der 100 schönsten Matheknobeleien. Viel Spaß beim Gehirnjogging!
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Seitenzahl: 185
Ähnliche
Holger Dambeck
Blind Date mit zwei Unbekannten
100 neue Mathe-Rätsel
Mit Illustrationen von Michael Niestedt
Kurzübersicht
> Buch lesen
> Titelseite
> Inhaltsverzeichnis
> Über Holger Dambeck
> Über dieses Buch
> Impressum
> Klimaneutraler Verlag
> Hinweise zur Darstellung dieses E-Books
Inhaltsverzeichnis
Vorwort
Vor sechs Jahren habe ich das erste Rätsel der Woche auf SPIEGEL.de veröffentlicht. Es ging darin um Nudeln, die genau neun Minuten gekocht werden sollen – al dente! Als Zeitmessser standen zwei Sanduhren mit Laufzeiten von vier und sieben Minuten zur Verfügung. Ein Rätselklassiker.
Seitdem ist jede Woche eine mathematische Knobelei erschienen – mehr als 300 sind es inzwischen! Was mich immer wieder aufs Neue überrascht (und natürlich freut), ist das große Interesse der Leserinnen und Leser. 50.000 Abrufe sind normal, manchmal erreicht ein Rätsel auch 100.000 Menschen oder mehr. Und ich bekomme regelmäßig E-Mails. Kein Fehler bleibt unentdeckt. Schon mehrmals musste ich die Aufgabenstellung präzisieren oder auch Lösungen ergänzen.
Das ärgert mich natürlich – aber es ist auch ein gutes Zeichen. Denn niemand ist fehlerfrei. Und vor allem: Mathematik ist immer auch ein Prozess. Wir nähern uns der Wahrheit Schritt für Schritt. Manchmal übersehen selbst professionelle Mathematiker den einen oder anderen Stein am Wegesrand, auf den sie dann aber zum Glück Kollegen hinweisen. Und manchmal nehmen wir einen Umweg zum Ziel, finden also einen Lösungsweg, der komplizierter ist als nötig. Das passiert auch Mathematikern. Die zuerst gefundene Lösung für ein Problem ist oft nicht die eleganteste.
Eine Schwierigkeit, mit der ich immer wieder zu kämpfen habe, ist die präzise Sprache. In meiner Brust schlagen zwei Herzen: das des Journalisten und das des Mathematikers. Als Journalist möchte ich möglichst verständlich schreiben. Klare, eher kurze als lange Sätze. Am besten keine Fachtermini. Aber dieser Stil passt nicht zu jedem mathematischen Rätsel – dafür werde ich auch immer mal wieder von Lesern kritisiert.
Meist geht es darum, einen guten Kompromiss zu finden aus mathematischer Präzision und eher saloppen Formulierungen, die das Rätsel interessanter machen und auch für Laien lesbar.
Wie engagiert meine Leser die Aufgaben angehen, zeigen zwei Beispiele.
Im ersten Rätsel geht es um fünf Damen, die auf einem leeren Schachbrett positioniert werden sollen. Und zwar so, dass jedes freie Feld von mindestens einer Dame in nur einem Zug erreicht werden kann.
Ich hatte zwei verschiedene Stellungen als Lösungen vorgeschlagen. Und zugleich die Leser gebeten, mir ihre Lösungen zu schicken, falls sie weitere gefunden haben.
Das Ergebnis waren Dutzende Mails mit überraschend vielen, sehr unterschiedlichen Lösungen. Zwei davon sehen Sie hier:
Drei Leser schrieben sogar eigens ein Computerprogramm, um nach sämtlichen Lösungen zu fahnden. Sie kamen alle auf dasselbe Ergebnis von 4860 verschiedenen Stellungen. Das Damenrätsel finden Sie hier.
Eine ähnlich große Resonanz hatte die Aufgabe der 16 gitterförmig angeordneten Punkte, die mit sechs geraden Strichen verbunden werden sollten, ohne den Stift dabei abzusetzen – siehe hier.
Ich hatte drei verschiedene Lösungen vorgeschlagen – und auch hier die Leser um eigene Lösungen gebeten. Diese kamen dann zuhauf – siehe folgende Übersicht.
Ich weiß nicht, ob dies bereits alle Lösungen sind, die möglich sind. Es wäre eine interessante Aufgabe für Mathematiker, das herauszufinden. Womöglich lässt sich dieses Problem ebenfalls mit einem Computerprogramm lösen, das alle möglichen Konstellationen durchprobiert. Die 16-Punkte-Aufgabe erscheint mir jedoch schwieriger als das Fünf-Damen-Problem.
Jetzt aber sind Sie dran! Auf den folgenden Seiten finden Sie 100 Knobeleien von Logik über Geometrie bis zu Kombinatorik. Wenn Sie bei einer Aufgabe nicht weiterkommen – geben Sie nicht zu schnell auf. Legen Sie sie zur Seite, lösen Sie erst mal eine andere. Vielleicht kommt ja am nächsten Tag die zündende Idee.
Viel Spaß beim Rätseln!
Holger Dambeck
Hamburg, 10. Januar 2021
Aufgaben
Flott gelöst: Leichte Rätsel für den Einstieg
Wir beginnen mit Aufgaben, bei denen Ihnen hoffentlich nicht gleich die Haare zu Berge stehen. Von Geometrie über Zahlenrätsel bis zu Klassikern ist alles dabei. Los geht’s!
1)Wie messen Sie sechs Liter ab?
Pi mal Daumen funktioniert in vielen Lebenslagen wunderbar. Aber manchmal muss es dann doch genau sein – wie beim folgenden Problem.
Sie benötigen exakt sechs Liter Wasser. Allerdings haben Sie keinen Messbecher zur Hand, mit dem Sie schnell die gewünschte Literzahl abfüllen könnten.
Immerhin stehen neben dem Wasserhahn zwei verschiedene Eimer. In den großen Eimer passen genau neun Liter, in den kleinen vier.
An Wasser herrscht kein Mangel. Sie können die Eimer mehrfach füllen – und mit nicht mehr benötigtem Wasser die Blumen im Garten gießen.
Wie müssen Sie vorgehen, um auf exakt sechs Liter zu kommen?
Die Lösung finden Sie hier
2) Das Gold muss mit – nur wie?
Schön soll es sein, schwer und wertvoll. Deshalb schenkt man sich in der reichsten Familie der Welt zu Weihnachten eigentlich nur Statuen aus purem Gold. Es kann eine Venusfigur sein, eine Tigerplastik oder ein opulenter Kerzenständer – Hauptsache, es glänzt und ist richtig, richtig teuer.
Der Sohn der Familie, der längst nicht mehr zu Hause wohnt, darf sich in diesem Jahr über besonders viele Geschenke freuen. Zusammen genau neun Tonnen wiegen die Statuen und Plastiken aus Gold, die er bekommen hat. Keines der Goldgeschenke ist schwerer als eine Tonne, wie viele es genau sind, ist nicht bekannt.
Nach der Feier möchte der junge Mann die Geschenke gern alle mit nach Hause nehmen. Zum Abholen kann er jedoch nur Lieferwagen nutzen, die klein genug sind, um in die Tiefgarage fahren zu können. Ein solcher Lieferwagen darf maximal drei Tonnen laden.
Wie viele Lieferwagen werden benötigt, um alle Goldgeschenke gemeinsam abtransportieren zu können?
Gesucht ist die kleinste Anzahl, mit der der Transport in jedem Fall klappt.
Die Lösung finden Sie hier
3) Prozente, Prozente, Prozente
Ein Bauer möchte frisch geerntete Früchte trocknen. Insgesamt 100 Kilogramm hat er auf einer großen Decke ausgebreitet und lässt die Sonne ihr Werk verrichten. Zu Beginn lag der Wasseranteil bei 99 Prozent.
Einige Tage später ist der Wasseranteil auf 98 Prozent gesunken. Wie schwer sind die Früchte dann – inklusive des in ihnen enthaltenen Wassers?
Die Lösung finden Sie hier
4) Acht Hasen rennen um die Wette
Höher, schneller, weiter: Acht Hasen haben sich viel vorgenommen, als sie sich zu einem sportlichen Wettkampf treffen. Die flinken Tiere wollen unter anderem gemeinsam um die Wette laufen.
Dabei planen sie auf jeden Fall mehr als nur ein Wettrennen, damit jeder Hase jeden anderen Hasen mindestens einmal besiegt hat. Also in mindestens einem Lauf vor diesem anderen Hasen ins Ziel gekommen ist.
Am einfachsten wäre, wenn sie achtmal gegeneinander antreten würden – und jedes Mal ein anderer Hase gewänne. Aber klappt das Vorhaben vielleicht auch mit weniger Läufen?
Wie viele Wettrennen müssen die acht Hasen mindestens veranstalten, damit jeder jeden anderen Hasen mindestens einmal besiegt hat?
Hinweis: Zum Besiegen eines anderen Hasen muss man nicht zwingend Erster sein. Man muss nur vor ihm platziert sein.
Die Lösung finden Sie hier
5) Wo ist der fehlende Euro?
Können Sie gut mit Zahlen? Das wäre hilfreich, wenn Sie das Kuddelmuddel entwirren wollen, das drei Restaurantgäste und ein umtriebiger Kellner angerichtet haben.
Drei Stammgäste besuchen gemeinsam ihr Lieblingsrestaurant. Genau zehn Euro muss jeder von ihnen bezahlen. Jeder hat jeweils nur einen Zehner dabei und so geben sie dem Kellner 30 Euro. »Trinkgeld gibt’s beim nächsten Mal«, erklären die drei und verlassen das Lokal.
Kurz danach kommt der Inhaber des Restaurants zur Tür hinein und fragt den Kellner, wo die drei Stammgäste geblieben seien. Der Kellner berichtet von der soeben beglichenen 30-Euro-Rechnung, worauf sein Chef ihn bittet, den drei Gästen schnell noch fünf Euro auszuzahlen. »Die hatten nämlich noch einen gut bei mir«, sagt der Inhaber.
Der Kellner verlässt das Restaurant und erwischt die drei eine Straßenecke weiter. Der Mann überlegt sich, dass sich fünf Euro schlecht auf drei Personen aufteilen lassen, und beschließt, einfach jedem Gast je einen Euro zu geben und zwei Euro als Trinkgeld zu behalten.
Damit hat jeder Gast neun Euro bezahlt, macht zusammen 27 Euro. Addiert man die zwei Euro hinzu, die sich der Kellner eingesteckt hat, kommt man auf 29 Euro. Ursprünglich hatten die drei Gäste jedoch 30 Euro bezahlt. Wo ist der fehlende Euro geblieben?
Die Lösung finden Sie hier
6) Blaue und rote Steine als Kleingeld
Münzen sind schwer – und immer fehlt einem genau jene, die man gerade braucht. Der Finanzminister hat deshalb beschlossen, dass das Kleingeld künftig aus bunten Steinen besteht. Damit die Menschen es leichter haben, soll es nur zwei verschiedene Farben geben.
Die roten Steine haben einen Wert von 70 Cent, der Wert der blauen liegt bei einem Euro, also 100 Cent. Weniger Varianten beim Kleingeld würden die Akzeptanz der Geldreform erhöhen, argumentiert der Minister.
Welches ist der kleinstmögliche Betrag, den man an einer Kasse bezahlen kann, wenn ausschließlich rote und blaue Steine zum Einsatz kommen?
Die Lösung finden Sie hier
7) Die abgestumpfte Pyramide
Wenn Sie größtmögliche Symmetrie mögen, sind Sie sicher ein großer Freund platonischer Körper. Die Bezeichnung geht auf den griechischen Philosophen Platon zurück. Ein platonischer Körper hat als Seitenflächen identisch große, regelmäßige Vielecke. Und an jeder Ecke stoßen gleich viele Kanten zusammen. Beispiele sind der Würfel oder das Dodekaeder, das aus zwölf zusammengesetzten Fünfecken besteht.
In diesem Rätsel geht es um den einfachsten platonischen Körper – das Tetraeder. Das ist eine dreieckige Pyramide, deren vier Seitenflächen sämtlich gleichseitige Dreiecke sind.
Von einem solchen Tetraeder wird an jeder seiner vier Ecken ein kleineres Tetraeder abgeschnitten. Die Kantenlänge dieser vier kleinen Tetraeder ist genau halb so lang wie beim ursprünglichen Tetraeder – siehe die Zeichnung
Durch das Abschneiden entsteht ein anderer platonischer Körper – ein Achtflächner, auch Oktaeder genannt. In der Zeichnung ist dieser Körper dunkelgrau gefärbt. Seine Oberfläche besteht aus acht gleichseitigen Dreiecken.
Welchen Anteil hat das Volumen dieses Oktaeders am Volumen des ursprünglichen Tetraeders?
Hinweis: Versuchen Sie, die Aufgabe ganz ohne komplizierte Formeln zu lösen!
Die Lösung finden Sie hier
8) Der pedantische Tom
Seine Lese-Technik ist etwas seltsam, aber immerhin weiß Tom ganz genau, wann er fertig sein wird mit der Lektüre seines Buches. Der Roman hat 342 Seiten. Jeden Tag liest Tom exakt die gleiche Zahl an Seiten. Und zwar vom ersten bis zum letzten Tag, an dem er das Buch fertiggelesen hat, ohne dass sich an der Anzahl etwas ändert.
Tom beginnt an einem Sonntag. Am darauffolgenden Sonntag sitzt er mit dem Roman auf dem Sofa, als sein Telefon klingelt. Tom schaut noch mal kurz in das Buch: Er hat seit dem Morgen genau 20 Seiten geschafft.
Wie viele Seiten wird Tom an diesem Tag noch lesen?
Die Lösung finden Sie hier
9) Welche Lose stehen kopf?
Ein überdimensionierter Schlüsselanhänger, der Flaschenöffner aus Edelstahl, ein edles Schreibset: Bei einer großen Firmenparty werden sämtliche Werbegeschenke, die sich im Laufe des Jahres angesammelt haben, unter den Angestellten verlost.
Das Prozedere der Tombola ist folgendes: Jeder Mitarbeiter kann zum Stückpreis von einem Euro Lose kaufen, solange der Vorrat reicht. Auf jedes Los sind vier Ziffern gedruckt.
Die IT-Abteilung hat zuvor mit einem Zufallsgenerator allen zu verlosenden Werbegeschenken eine vierstellige Zahlenkombination zugeordnet. Wer das Los mit einer dieser Zahlen zieht, hat gewonnen.
Die Kollegen, die sich um die Tombola kümmern, prüfen die insgesamt 10.000 verschiedenen Lose mit den Kombinationen von 0000 bis 9999. Dabei fällt einem Mitarbeiter auf, dass das Los mit der Nummer 9999 – wenn man es auf den Kopf dreht – auch die Kombination 6666 zeigt. Damit wären die Lose 6666 und 9999 quasi zweimal da, was natürlich nicht sein darf.
Die Tombola-Mitarbeiter schauen sich daraufhin die Ziffern auf den Losen genauer an und stellen fest, dass es neben der 6 und der 9 noch zwei andere Ziffern gibt, bei denen Probleme entstehen können, wenn man die Lose um 180 Grad dreht: nämlich die 0 und auch die 8. Das Los 0808 entspricht somit auch der 8080.
Um Streit bei der Verlosung zu vermeiden, wollen die Tombola-Verantwortlichen alle Losnummern ausschließen, bei denen die Zahlenkombination nicht eindeutig ist.
Fest steht immerhin, dass eine Losnummer klar zuzuordnen ist, sobald sie eine oder mehrere der Ziffern 1, 2, 3, 4, 5, 7 enthält. Denn dann sieht man sofort, wie man das Los halten muss, um die Losnummer abzulesen.
Wie viele der 10.000 Lose müssen die Tombola-Organisatoren aussortieren? Gesucht ist die kleinstmögliche Zahl.
Die Lösung finden Sie hier
10) Die verrückte Uhr
Bei einer Wanduhr hat ein Spaßvogel die beiden Zeiger miteinander vertauscht. Die Zeiger stehen deshalb immer wieder an Positionen, die es bei einer normalen Uhr so gar nicht gibt.
Es ist gerade Punkt 12 Uhr – da fällt die Vertauschung nicht auf, denn beide Zeiger sind in diesem Moment bei der 12 wie bei einer normalen Uhr.
Um 12.30 Uhr ist das anders: Der kleine Zeiger ist exakt bei der 6, der große in der Mitte zwischen der 12 und der 1. Eine solche Konstellation ist eigentlich nicht möglich, weil der kleine Zeiger eine volle Stunde anzeigt (6.00 Uhr), der große hingegen auf einigen Minuten nach der vollen Stunde steht.
Nun die Frage: Wie oft von 12 Uhr bis 13 Uhr zeigt die Uhr trotz vertauschter Zeiger eine Uhrzeit an, die tatsächlich existiert? Die angezeigte Uhrzeit muss dabei nicht der tatsächlichen Uhrzeit entsprechen, es muss sie nur geben. 12.00 Uhr soll dabei nicht mitgezählt werden.
Die Lösung finden Sie hier
11) Ein Puzzleteil muss weg – nur welches?
Legen Sie aus vier Puzzleteilen ein Quadrat!
Das klingt einfacher, als es ist. Denn vor Ihnen liegen nicht vier, sondern fünf Teile. Sie brauchen davon nur vier. Welches Puzzlestück ist überflüssig?
Die Lösung finden Sie hier
12) Neun Weinfässer fair aufteilen
Drei Brüder streiten sich ums Erbe – das gehört zu den Klassikern unter mathematischen Knobeleien. Wenn beispielsweise Kamele gerecht verteilt werden sollen, kann das schnell kniffelig werden. Den Tieren darf schließlich kein Haar gekrümmt werden. Wer möchte schon ein Drittel Kamel haben?
In unserem Rätsel geht es um Wein. Das Erbe für die drei Brüder besteht aus neun Fässern. Dummerweise sind die Fässer aber nicht gleich voll. In Fass 1 ist ein Maß, in Fass 2 sind es zwei, in Fass 3 drei Maß und so weiter – bis zum Fass Nummer 9, das mit neun Maß gefüllt ist.
Die drei Brüder gönnen einander nichts. Jeder soll die gleiche Anzahl Fässer und auch die gleiche Menge Wein bekommen. Dabei soll möglichst kein Wein umgefüllt werden.
Ist das überhaupt möglich? Falls ja, wie sieht die Aufteilung aus?
Die Lösung finden Sie hier
Aha: Aufgaben mit Trick 17 lösen
Die schönsten mathematischen Knobeleien haben eine überraschend kurze und einfache Lösung. Oft steckt auch ein Trick dahinter. Jetzt ist Ihre Kreativität gefragt!
13) Welche Zahl fehlt?
Auf dem Klassentreffen taucht als Überraschungsgast der Mathelehrer auf. Er hat seine Schülerinnen und Schüler immer wieder mit verrückten Knobeleien beschäftigt – und natürlich hat er auch diesmal eine schier unlösbare Aufgabe dabei.
»Ich möchte euer Gedächtnis testen«, sagt er. »Jeder darf mitmachen. Aber ihr dürft euch weder Notizen machen noch untereinander verständigen. Jeder ist auf sich allein gestellt, das einzig erlaubte Hilfsmittel ist euer Gehirn.«
Jetzt hat der Mathelehrer die volle Aufmerksamkeit.
»Ich werde aus den Zahlen von 1 bis 100 genau 99 auswählen und sie euch in einer zufälligen Reihenfolge vorlesen. Alle zehn Sekunden nenne ich eine neue Zahl. Ganz am Ende sagt ihr mir bitte, welche Zahl von 1 bis 100 in meiner Auswahl gefehlt hat.«
Gibt es eine Möglichkeit, die fehlende Zahl zu finden?
Hinweis: Wir gehen davon aus, dass die Teilnehmer des Klassentreffens alle nur über ein durchschnittliches Gedächtnis verfügen. Niemand kann sich 99 Zahlen in zufälliger Reihenfolge merken – außer Gedächtniskünstler, die es in der Klasse aber nicht gibt. Drei oder vier Zahlen zugleich im Kopf behalten – mehr ist kaum drin.
Die Lösung finden Sie hier
14) Das Kaninchen am falschen Fleck
Das Sommerfest des Kaninchenzüchtervereins rückt näher. Der Vereinsvorsitzende will die Mitglieder mit einer neuen Tischdecke für den kreisrunden Stammtisch überraschen. Er hat extra ein hübsches Karnickelgesicht daraufdrucken lassen.
Doch dabei ist etwas schiefgelaufen. Der Kopf befindet sich nicht genau in der Mitte der runden Decke, sondern am Rand – siehe Skizze.
Was nun? Man könnte die Decke noch einmal drucken lassen. Das würde dann aber extra kosten, denn der Fehler ist dem Vereinsvorsitzenden unterlaufen. Er hatte den Layout-Vorschlag der Druckerei durchgewinkt, ohne genau draufzuschauen.
Deshalb erwägt der Kaninchenzüchter eine andere Lösung. Seine Tochter kann sehr gut nähen. Sie würde es hinbekommen, die Decke zu zerschneiden und wieder zusammenzufügen, ohne dass es besonders auffällt.
Aber es wäre natürlich gut, wenn sie die Decke nicht in allzu viele Stücke zerschneiden müsste.
Was ist die kleinstmögliche Zahl an Stücken, in die man die Decke zerlegen muss, damit sich der Kaninchenkopf nach dem Zusammenfügen genau in der Mitte befindet?
Die Lösung finden Sie hier
15) Der Zaubertrick
Mit Zahlenmagie kann man Menschen immer beeindrucken.
Ein Zauberer bittet zwei Zuschauer, sich jeweils eine Ziffer größer als null auszusuchen. Also je eine einstellige, positive, ganze Zahl. Wir nennen diese beiden Ziffern A und B.
Dann sollen die beiden Zuschauer aus diesen beiden Ziffern die folgende sechsstellige Zahl bilden:
ABABAB
Die beiden Zuschauer schreiben diese Zahl auf ein großes Blatt Papier und zeigen sie dem Publikum – der Zauberer kennt die beiden Zahlen nicht.
Doch er behauptet: »Diese Zahl ist durch 7 teilbar.«
Die Zuschauer staunen, denn der Zauberer hat recht.
Zufall? Oder stimmt das wirklich für alle denkbaren Ziffern A und B? Falls ja, warum?
Die Lösung finden Sie hier
16) Wie teilt man das Quadrat?
Gegeben ist ein Quadrat. Sie sollen es in n kleinere Quadrate zerlegen, die nicht zwingend gleich groß sein müssen. n soll dabei eine gerade natürliche Zahl sein.
Für welche geraden Zahlen n ist so eine Aufteilung in kleinere Quadrate möglich? Finden Sie alle diese Zahlen!
Die Lösung finden Sie hier
17) Ein guter Schnitt
Ein viereckiges Stück Papier soll mit nur zwei geraden Schnitten in sechs Stücke zerschnitten werden. Das Papier darf dabei weder gebogen noch gefaltet werden. Zudem dürfen die Papierstücke nach dem ersten Schnitt nicht neu angeordnet oder übereinandergelegt werden.
Kann das gelingen?
Die Lösung finden Sie hier
18) Der Münztrick
Tausende Mathematikerinnen und Mathematiker treffen sich für eine Woche zu ihrem weltgrößten Kongress. Abends bevölkern sie die Kneipen und Bars der Stadt.
Ein Barkeeper will schauen, wie kreativ Mathematiker wirklich sind, und stellt den Gästen folgende Aufgabe: »Ich habe hier zehn Münzen. Die sollen über diese drei Plastikbecher verteilt werden. Und zwar so, dass jeder Becher eine ungerade Anzahl von Münzen enthält.«
