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- Herausgeber: UNAM, Centro de Ciencias Matemáticas
- Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
- Sprache: Spanisch
Querid@ estudiante: Éste no es un libro de fórmulas. No es un libro de recetas. Éste libro es una recopilación de notas que he elaborado a lo largo de muchos años de clases frente a grupos de matemáticas de distintos niveles desde secundaria hasta universidad. Al ofrecer este trabajo quiero ayudarte a que comprendas que para tener éxito con las matemáticas no necesitas saberte todos los temas, sino más bien desarrollar una actitud curiosa, crítica y por qué no de juego y exploración. He reunido de manera lo más compacta posible el conjunto de saberes que considero esenciales para tener un buen desempeño aprendiendo las matemáticas de la universidad. En las etapas escolares (primaria, secundaria y bachillerato), los recientes planes y programas de estudio ubican al aprendizaje de las matemáticas en un punto que parte de las experiencias cotidianas con los números, el significado de sus operaciones y las nociones geométricas y las usa para formar una actitud proactiva en la resolución de problemas, exponiendo ideas y conjeturas más que sólo memorizando fórmulas. Por otro lado, en las carreras de ciencias, las matemáticas presumen de tener un impacto científico y tecnológico gracias a la abstracción característica que está presente desde su concepción. En las carreras de matemáticas, se construyen los objetos y sus relaciones a partir de un sistema axiomático donde se deducen después como consecuencias todas las propiedades de esos objetos, ya sean números o figuras geométricas. Se mencionan estos puntos de referencia como extremos de un aparente continuo que debe atravesar un estudiante de una carrera de ciencias desde la etapa escolar hasta que se ve inmerso en la vida universitaria. Parece haber un salto enorme y los resultados no son siempre alentadores: profesores que se quejan de que sus alumnos no saben sumar fracciones, proyectos de investigación donde se recurre a fórmulas que no se comprenden, entre otras situaciones nada deseables. Este libro pretende ser un material accesible a todo estudiante interesado en estudiar una carrera de ciencias o ingeniería que sirva de apoyo para consultar las ideas que deberían aprenderse en la etapa escolar pero que desafortunadamente no siempre se construyen con la solidez adecuada. Ideas como la suma de fracciones, de números con signo, de monomios y polinomios, etcétera. El libro no se enfoca en dar recetas, fórmulas o procedimientos a seguir. Más bien platica con ejemplos y nociones que nos son familiares de manera empírica, ideas que son piezas fundamentales para entender operaciones en el cálculo, la geometría analítica, y el álgebra lineal de la universidad. Está pensado para que el estudiante detecte aquellas habilidades básicas que necesita recordar o reforzar y lo pueda hacer de forma sencilla sin dejar de avanzar en sus estudios.
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Seitenzahl: 390
Veröffentlichungsjahr: 2025
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Ähnliche
ÍNDICE GENERAL
PRESENTACIÓN
PARTE 1. ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA.
MÓDULO 1. LOS NÚMEROS NATURALES
1.1. Múltiplos
1.2. Divisores
1.3. ¿Qué es factorizar?
1.4. Números primos y compuestos
1.5. El algoritmo de la división
1.6. Divisibilidad
1.7. Factorización completa
1.8. Ejercicios y problemas
MÓDULO 2. LOS NÚMEROS ENTEROS
2.1. ¿Qué son los números enteros?
2.2. Los negativos
2.3. ¿Cómo se ordenan los números enteros?
2.4. Valor absoluto
2.5. Suma y resta de números enteros
2.6. Multiplicación de números enteros
2.7. División de números enteros
2.8. Ejercicios y problemas
MÓDULO 3. LAS FRACCIONES
3.1. Fracciones equivalentes
3.2. Suma – resta de fracciones
3.3. Orden, comparación y recta numérica
3.4. Multiplicación de fracciones
3.5. División de fracciones
3.6. Resolución de problemas con fracciones
3.7. Fracciones con signo
3.8. Ejercicios y problemas
MÓDULO 4. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
4.1. Uso de letras para representar números
4.2. Expresiones algebraicas
4.3. Traducción de enunciados al lenguaje algebraico
4.4. Expresiones aritméticas. Jerarquía de operaciones
4.5. Monomios y polinomios
4.6. Términos semejantes
4.7. Solución de ecuaciones de primer grado
4.8. Ejercicios y problemas
MÓDULO 5. ECUACIONES Y PROBLEMAS
5.1. Problemas que dan lugar a ecuaciones
5.2. Solución de ecuaciones de primer grado
5.3. Ecuaciones con la variable en ambos lados de la igualdad
5.4. Ecuaciones con paréntesis
5.5. Ecuaciones con fracciones
5.6. Sistemas de dos ecuaciones
5.7. Sistemas de tres ecuaciones
5.8. Ejercicios y problemas
MÓDULO 6. MONOMIOS Y POLINOMIOS
6.1. Leyes de los exponentes
6.2. Multiplicación de monomios
6.3. Multiplicación de monomio por polinomio
6.4. Multiplicación de polinomio por polinomio
6.5. Productos notables
6.6. Factorización
6.7. Ecuaciones cuadráticas
6.8. Ejercicios y problemas
PARTE 2. GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
MÓDULO 7. GEOMETRÍA ELEMENTAL
7.1. Palabras importantes
7.2. Ángulos
7.3. Rectas paralelas
7.4. Rectas perpendiculares
7.5. Mediatriz de un segmento
7.6. Bisectriz de un ángulo
7.7. Triángulos
7.8. Ejercicios y problemas
MÓDULO 8. NOCIONES DE TRIGONOMETRÍA
8.1. El número π
8.2. Medición de ángulos y arcos de circunferencia
8.3. Triángulos semejantes
8.4. Razones trigonométricas
8.5. El plano cartesiano
8.6. Distancia entre dos puntos del plano
8.7. La circunferencia unitaria
8.8. Ejercicios y problemas
MÓDULO 9. FUNCIONES CIRCULARES
9.1. Definición de las funciones circulares
9.2. Valores de las funciones circulares de y sus múltiplos
9.3. Valores de las funciones circulares de y sus múltiplos
9.4. Valores de las funciones circulares de y sus múltiplos
9.5. Valores de las funciones circulares de y sus múltiplos
9.6. Dado el valor de una función, hallar el valor de todas las restantes
9.7. Identidades trigonométricas
9.8. Ejercicios y problemas
MÓDULO 10. FUNCIONES CIRCULARES DE SUMAS Y DIFERENCIAS
10.1. Funciones de – β en términos de β
10.2. Propiedad de las cofunciones
10.3 Seno, coseno y tangente de sumas y diferencias
10.4. Funciones circulares del doble de un número
10.5. Transformación de productos a sumas y viceversa
10.6. Ejercicios y problemas
MÓDULO 11. ECUACIONES DE LA RECTA
11.1. Lugares geométricos y ecuaciones
11.2. Forma general de la ecuación de la línea recta
11.3. Inclinación y pendiente de una recta
11.4. Rectas paralelas y perpendiculares
11.5. Ángulo entre dos rectas
11.6. División de un segmento en una razón dada
11.7. Punto medio de un segmento
11.8. Ejercicios y problemas
MÓDULO 12. ECUACIONES DE LAS CÓNICAS
12.1. Ecuación de la circunferencia
12.2. Circunferencia determinada por tres condiciones
12.3. Parábola con vértice en el origen
12.4. Parábola con vértice en un punto (h, k)
12.5. Elipse con centro en el origen
12.6. Elipse con centro en un punto (h, k)
12.7. Ecuación de la hipérbola
12.8. Ejercicios y problemas
PARTE 3. PRECÁLCULO.
MÓDULO 13. CONJUNTOS Y LÓGICA
13.1. Conjuntos
13.2. Conceptos importantes
13.3. Conjunto de números naturales
13.4. Operaciones con conjuntos
13.5. Lógica de proposiciones
13.6. Proposiciones compuestas
13.7. La negación
13.8. Ejercicios y problemas
MÓDULO 14. CONJUNTOS IMPORTANTES
14.1. Los números naturales
14.2. Los números enteros
14.3. Los números racionales
14.4. Los números irracionales
14.5. Los números reales
14.6. Los números complejos
14.7. Forma rectangular de los números complejos
14.8. Ejercicios y problemas
MÓDULO 15. LOS NÚMEROS REALES
15.1. Postulados de campo
15.2. Postulados de orden
15.3. Solución de desigualdades
15.4. Valor absoluto
15.5. Ecuaciones y desigualdades que involucran valor absoluto
15.6. Ejercicios y problemas
MÓDULO 16. FUNCIONES
16.1. Funciones en la vida real
16.2. Gráficas de funciones
16.3. Ejercicios y problemas
MÓDULO 17. FUNCIONES ALGEBRAICAS
17.1. La función lineal
17.2. La función cuadrática
17.3. La función polinomial
17.4. La función racional
17.5. Funciones definidas por segmentos
17.6. Tipos de funciones
17.7. Operaciones con funciones
17.8. Ejercicios y problemas
MÓDULO 18. FUNCIONES TRASCENDENTES
18.1. La circunferencia unitaria
18.2. Función seno
18.3. Función coseno
18.4. La función exponencial
18.5. Progresiones geométricas
18.6. La función logaritmo
18.7. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
18.8. Ejercicios y problemas
APÉNDICES.
APÉNDICE 1. Ley de senos y cosenos
APÉNDICE 2. Interés compuesto
APÉNDICE 3. Números factoriales y coeficientes binomiales
APÉNDICE 4. Definición clásica de la probabilidad
APÉNDICE 5. Espacio muestra y eventos combinados
Bibliografía
Notas al pie
Aviso legal
PRESENTACIÓN
Querid@ estudiante: Éste no es un libro de fórmulas. No es un libro de recetas. Éste libro es una recopilación de notas que he elaborado a lo largo de muchos años de clases frente a grupos de matemáticas de distintos niveles desde secundaria hasta universidad. Al ofrecer este trabajo quiero ayudarte a que comprendas que para tener éxito con las matemáticas no necesitas saberte todos los temas, sino más bien desarrollar una actitud curiosa, crítica y por qué no de juego y exploración. He reunido de manera lo más compacta posible el conjunto de saberes que considero esenciales para tener un buen desempeño aprendiendo las matemáticas de la universidad.
En las etapas escolares (primaria, secundaria y bachillerato), los recientes planes y programas de estudio ubican al aprendizaje de las matemáticas en un punto que parte de las experiencias cotidianas con los números, el significado de sus operaciones y las nociones geométricas y las usa para formar una actitud proactiva en la resolución de problemas, exponiendo ideas y conjeturas más que sólo memorizando fórmulas. Por otro lado, en las carreras de ciencias, las matemáticas presumen de tener un impacto científico y tecnológico gracias a la abstracción característica que está presente desde su concepción. En las carreras de matemáticas, se construyen los objetos y sus relaciones a partir de un sistema axiomático donde se deducen después como consecuencias todas las propiedades de esos objetos, ya sean números o figuras geométricas. Se mencionan estos puntos de referencia como extremos de un aparente continuo que debe atravesar un estudiante de una carrera de ciencias desde la etapa escolar hasta que se ve inmerso en la vida universitaria. Parece haber un salto enorme y los resultados no son siempre alentadores: profesores que se quejan de que sus alumnos no saben sumar fracciones, proyectos de investigación donde se recurre a fórmulas que no se comprenden, entre otras situaciones nada deseables.
Este libro pretende ser un material accesible a todo estudiante interesado en estudiar una carrera de ciencias o ingeniería que sirva de apoyo para consultar las ideas que deberían aprenderse en la etapa escolar pero que desafortunadamente no siempre se construyen con la solidez adecuada. Ideas como la suma de fracciones, de números con signo, de monomios y polinomios, etcétera. El libro no se enfoca en dar recetas, fórmulas o procedimientos a seguir. Más bien platica con ejemplos y nociones que nos son familiares de manera empírica, ideas que son piezas fundamentales para entender operaciones en el cálculo, la geometría analítica, y el álgebra lineal de la universidad. Está pensado para que el estudiante detecte aquellas habilidades básicas que necesita recordar o reforzar y lo pueda hacer de forma sencilla sin dejar de avanzar en sus estudios.
Simbología
∈
Es un elemento de ...
∉
No es un elemento de ...
{ }
Conjunto
Es igual a
|
Tal que
. . .
Y así sucesivamente
ϕ
Conjunto vacío
Conjunto de los números naturales
≠
No es igual a
⊆
Subconjunto de ...
⊄
No es subconjunto de ...
⊂
Subconjunto propio de
>
Es mayor que
<
Es menor que
≤
Es menor o igual que
≥
Es mayor o igual que
∪
Unión con
∩
Intersección con
AC
Complemento del conjunto A
⇒
Implica que, entonces
No es menor que
No es mayor que
⇔
Doble implicación o equivalencia lógica.
≈
Aproximadamente igual a
Conjunto de los números reales
Conjunto de los números enteros
Conjunto de los racionales
C
Conjunto de los irracionales
Conjunto de los números complejos.
π
3.14159...
i
Unidad imaginaria.
Símbolo de la operación raíz cuadrada.
PARTE I
ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA
MÓDULO 1. LOS NÚMEROS NATURALES.
Los números naturales son los primeros que conocemos. Nos sirven para contar o enumerar. Podemos contar 5 sillas, 2 gatos, 1 celular, 21 niñas o 174 alumnos. Pero claro que no podríamos contar 7.4 lápices, 2/5 celulares o -7 alumnos.
Los números naturales son todos los enteros positivos. Usamos la letra para denotar al conjunto de los naturales:
Los números naturales son infinitos. Puedes observar que hay un comienzo: el 1, pero no hay un último elemento1.
Imaginemos que a y b son dos números naturales cualesquiera. Esto se escribe así:
a, b ∈
Se lee: a y bpertenecen a.
Vamos a decir que adivide ab si existe un número natural c tal que
Por ejemplo:
En lo que sigue vamos a explorar las propiedades que conoces de los números, su multiplicación y su divisibilidad.
1.1. Múltiplos.
Si tomamos un número natural cualquiera n y lo vamos multiplicando por 1, por 2, por 3, etcétera, obtenemos los múltiplos de n.
Ejemplos:
Si k es cualquier número natural, denotaremos por M(k) a todos los múltiplos de k, así:
Un número natural tiene infinitos múltiplos, y por ello usamos los puntos suspensivos para indicar que continúa la serie en forma infinita.
1.1.1. Mínimo Común Múltiplo. (mcm)
El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor de los múltiplos que tienen en común esos números.
Ejemplo 1. Encontrar el mcm de 9 y 12.
Solución: Primero escribimos algunos múltiplos de cada número 9 y 12:
Veamos que los múltiplos comunes de 9 y 12 son los que están en negritas: 36, 72, 108,…. El mínimo es 36, por lo tanto
Esto se llama encontrar el mínimo común múltiplo por inspección simple.
Ejemplo 2. Encontrar el mcm (9, 6).
Solución: Primero escribimos algunos múltiplos de cada número: 9 y 6.
Veamos que 18, 36, 54, 72, 90, etc. son múltiplos comunes de 9 y 6, pero el mínimo es el 18, así que:
Ejemplo 3. Luisa y Sergio van con el mismo peluquero. Luisa va cada 8 semanas, mientras que Sergio va cada 6 semanas. Si hoy fueron los dos, ¿dentro de cuánto tiempo será la próxima vez que coincidan?
1.2. Divisores.
Los divisores de un número son los que lo dividen exactamente, es decir, que al dividirlo, el residuo es cero.
Ejemplos:
Nota: El 1 siempre aparece como divisor de cualquier número y que cualquier número es divisor de sí mismo.
1.2.1 Máximo Común Divisor (MCD)
El MCD de dos o más números es el mayor de sus divisores comunes.
Ejemplo 4. Encuentra el MCD (24, 40)
Divisores comunes de 24 y de 40: 1, 2, 4 y 8. Así que:
Ejercicio 1. Encuentra los primeros 7 múltiplos de:
a) 8
b) 10
c) 12
d) 15
e) 17
f) 21
Ejercicio 2. Escribe TODOS los divisores de:
a) 15
b) 18
c) 21
d) 25
e) 30
f) 32
Ejercicio 3. Encuentra lo que se pide en cada inciso.
a) mcm (8, 12)
b) mcm (9, 15)
c) mcm (12, 15)
d) MCD (16, 24)
e) MCD (20, 32)
f) MCD (32, 48)
1.3. ¿Qué es factorizar?
Los divisores de un número también se llaman FACTORES. Factorizar significa descomponer un número en factores, es decir, escribirlo como una multiplicación. Por ejemplo:
Entonces el 12 se puede escribir así:
Ejercicio 5. Escribe todos los divisores de cada número y factorízalo de todas las maneras que se pueda.
a) 40
b) 32
c) 35
d) 25
e) 45
f) 31
g) 27
h) 29
i) 17
j) 36
1.4. Números primos y compuestos.
Veamos que hay números que solo tienen dos divisores, por ejemplo el 17, el 29 o el 31, que solo se pueden dividir entre sí mismos y entre 1. A esos números se les llama números primos.
Números primos. Son los que tienen sólo dos divisores, es decir, solamente son divisibles entre sí mismos y entre la unidad.
Ejemplos. 17, 13, 11, 23, 31, 43, 7, 29 son números primos.
Números compuestos. Son los que tienen más de dos divisores. O sea que además de ser divisibles entre sí mismos y entre 1, lo son entre más números.
Ejemplos. 9, 12, 15, 18, 20, 21, 40, 60, 63 son números compuestos.
Los números primos han sido desde la antigüedad causa de curiosidad. Los griegos los descubrieron desde muy temprano y fue Eratóstenes quien ideó una manera de localizar fácilmente los primos: la criba de Eratóstenes.
La criba de Eratóstenes consiste en elaborar una tabla con los naturales hasta cierto número n, digamos 100, 1000 o 10 000 y hacer lo siguiente:
- Tachar el 1.
- Tachar los múltiplos de 2, exceptuando el 2.
- Tachar los múltiplos de 3, exceptuando el 3.
- Tachar los múltiplos de 5, exceptuando el 5.
- Tachar los múltiplos de 7, exceptuando el 7.
- Etcétera…2
Los números sin tachar son los números primos menores que 100 y los circulamos. ¿Cuáles son?
1.5. Algoritmo de la división.
En la escuela primaria hemos aprendido a dividir:
¿Qué hacemos para dividir?
De todos los múltiplos de 3 menores que 20, buscamos el mayor. Esto es:
Múltiplos de 3 menores que 20: { 3, 6, 9, 12, 15, 18 }
El mayor: 18
Al ser un múltiplo de 3, existe un número c que multiplicado por 3, da 18.
Este número lo seleccionamos como cociente y lo escribimos arriba de la casita:
Una vez hecha la división, se debe cumplir que:
En nuestro ejemplo:
Imagina que a y b son dos números naturales y además a < b, es decir, a es menor que b. Al hacer la división de a entre b obtenemos dos números naturales c y r que cumplen:
El número c se llama cociente incompleto.
El número r se llama residuo.
Por ejemplo:
Ejercicio 7. Encuentra el cociente c y el residuo r cuando b se divide entre a.
Ejercicio 8. ¿Qué pasa si b < a? ¿Se puede dividir b entre a? ¿Cuál es el cociente y el residuo en tal caso? Examina algunos ejemplos y escríbelos.
1.6. Divisibilidad.
Se dice que un número a, es divisible entre un número b, cuando al dividir a entre b, el residuo es cero.
Ejemplos. 24 es divisible entre 8
18 es divisible entre 6
21 es divisible entre 7.
15 es divisible entre 5
27 es divisible entre 9.
Pero
20 No es divisible entre 3.
14 NO es divisible entre 5.
12 NO es divisible entre 7.
1.6.1. Criterios de Divisibilidad.
Los criterios de divisibilidad nos sirven para saber rápidamente si un número es divisible entre 2, 3, 4, 5, 6, etc. Daremos algunos de los más usuales.
Un número es divisible entre:
DOS. Cuando termina en cifra par (2, 4, 6, 8 ó 0).
Ejemplos: 4792, 67496, 17 514 son divisibles entre 2.
373, 451, 1945 no son divisibles entre 2.
TRES. Cuando la suma de todas sus cifras es un múltiplo de tres.
CUATRO. Cuando sus dos últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de cuatro.
Ejemplos: 71 428, 544, 35 032 son divisibles entre 4.
CINCO. Cuando termina en 0 o en 5.
Ejemplos. 375, 1920, 390 son divisibles entre 5.
SEIS. Cuando es divisible entre 2 y también entre 3.
Ejemplo. 53 154 es divisible entre 6 (¿por qué?).
SIETE. Cuando la diferencia entre las decenas y el duplo de las unidades es cero o un múltiplo de 7.
OCHO. Cuando sus tres últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de ocho:
- Si la cifra de las centenas es par, las dos últimas cifras deben formar un múltiplo de 8.
Ejemplo: 1832, 57448 son divisibles entre 8.
- Si la cifra de las centenas es impar, las dos últimas cifras deben formar un múltiplo de 8 aumentado o disminuido en 4 unidades.
Ejemplo 3 512, 7 120 son divisibles entre 8.
NUEVE. Cuando la suma de todas sus cifras es múltiplo de 9.
Ejemplo. 45 126 es divisible entre 9.
Ejercicio 9. Completa la siguiente tabla escribiendo la palabra SI o NO, según sea el caso. Usa los criterios de divisibilidad.
1.7. Factorización en primos.
La factorización completa consiste en factorizar sucesivamente un número hasta donde sea posible, o sea, hasta que nos queden solamente factores primos.
Ejemplos.
Veamos que podemos factorizar completamente un número, de varias maneras, pero de cualquier forma llegaremos a lo mismo. La factorización en primos es única. Usamos los criterios de divisibilidad.
Ejercicio 10. Factorizar en primos los siguientes números.
a) 348
b) 800
c) 945
d) 1000
e) 1024
f) 1260
g) 333
h) 840
i) 240
j) 429
k) 1001
l) 2020
La factorización en primos sirve, entre otras cosas, para calcular el mcm y el MCD de cualesquiera dos números naturales.
Supongamos por ejemplo que queremos calcular el mcm(24, 60).
Podemos factorizar en primos ambos números:
Basta tomar el producto de los primos que aparecen en alguna de estas dos descomposiciones, cada uno elevado a la mayor potencia que aparezca. En este caso:
1.8. Ejercicios y problemas.
1. Completa la siguiente tabla.
MÓDULO 2. LOS NÚMEROS ENTEROS.
2.1. ¿Qué son los números enteros?
Ya conocemos a los números naturales : los números enteros positivos. Sabes que con ellos se pueden hacer algunas operaciones que ya has aprendido. ¿Qué operaciones se pueden hacer en ?
El cociente (división) no siempre puede efectuarse, pues por ejemplo 20/3 nos da un número que no es natural.
Se suele decir que es cerrado bajo la suma, y el producto.
En este capítulo vamos a introducir a los negativos y al cero. De esta manera, los números enteros forman el conjunto
2.2. Los negativos.
Cada número natural 1, 2, 3, 4, … tiene asociado un negativo o también llamado simétrico: -1, -2, -3, -4, …
El negativo de 7 es -7
El simétrico de 10 es -10
Si dibujamos una recta numérica ordenando a los números naturales: 1, 2, 3, 4, … es como si pusiéramos un espejo en el cero y entonces todos los números se reflejan así:
El cero es el único número que no tiene simétrico. También podríamos decir que su simétrico (su negativo) es el mismo.
En general, si a es un número entero, su negativo se denota por – a.
De esta manera, decimos que los números naturales son positivos y sus simétricos son negativos.
¿Cuál es la ventaja? Existen muchas ventajas de trabajar con números positivos y negativos. Por ejemplo se usan para medir temperaturas sobre cero y bajo cero, para resolver problemas de deudas y ganancias, pérdidas e ingresos, pero sobre todo ¡ahora siempre tiene sentido la resta! En los naturales no podíamos hacer 2 – 3. En los enteros esta resta vale -1.
Puede resultar un poco extraño, pero también se puede hablar del negativo de un número negativo. Por ejemplo.
El negativo de -5 es 5
El negativo de 4 es -4
El negativo de -1 es 1
El simétrico de +2 es -2
El simétrico de -40 es 40
El negativo de 0 es 0
Para no estar escribiendo “el negativo de”, o “el simétrico de”, mejor usamos el símbolo “ – ” :
En este caso también usamos paréntesis para separar los signos menos “–”.
De hecho podríamos escribir expresiones tan raras como ésta:
– ( – ( – 2 ) )
Esto se lee: el simétrico del simétrico de –2, ¿de qué número se trata? Pues veamos: El simétrico de – 2 es 2, y el simétrico de 2 es -2. Por lo tanto se trata del número –2.
Ejercicio 1. ¿Cuánto vale la expresión – ( – ( – ( – ( – 1 ) ) ) )?
2.3. ¿Cómo se ordenan los números enteros?
Probablemente conoces los siguientes símbolos:
> Mayor que< menor que
Cuando trabajamos con números naturales resulta ya conocido cómo comparar dos de ellos, por ejemplo:
20 > 15
7 < 10
1 < 2
729 > 84
Como habrás imaginado, los negativos se comparan justo al revés:
-1 > -2
-20 < -15
-7 > -10
-729 < - 84
En símbolos podemos escribir la siguiente regla general:
Si a y b son números naturales tales que a < b, entonces –a > –b.
a) 2 6
b) -1 -6
c) 4 8
d) -5 -15
e) 82 47
f) -82 -47
g) -50 -100
Ahora bien, dados dos números: uno positivo y uno negativo siempre es mayor el positivo que el negativo. Por ejemplo:
-1 < 2
8 > - 15
-40 < 7
a) 4 -2
b) -1 7
c) 14 -15
d) -15 -17
e) 8 -7
f) -1000 47
g) 12345 1
h) -2020 2020
i) 1 -1
Finalmente hemos de señalar lo siguiente:
El cero es mayor que cualquier número negativo.
El cero es menor que cualquier número positivo.
a) -5
0
b) 0
-1
c) -10
-12
d) -7
1
e) 0
0
f) 20
-30
g) -70
0
h) 0
5
2.4. Valor absoluto.
El valor absoluto es un concepto muy importante en matemática. Su definición precisa requiere de más experiencia de la que tenemos en este punto. Por ahora podemos pensar que todo número entero consta de dos partes:
Un signo
Un valor absoluto
Por ejemplo, en el número -7 el signo es “menos” y el valor absoluto es 7.
Por ejemplo, en el número 3 el signo es “más” y el valor absoluto es 3.
Conviene tener en mente que
El valor absoluto de cualquier número es siempre positivo.
Simbólicamente usamos dos barras verticales para representar al valor absoluto:
Por ejemplo:
2.5. Suma y resta de números enteros.
En esta sección supongo que conoces bien la suma y la resta de números naturales, o sea, de números enteros positivos.
En una suma, los números que se suman se llaman sumandos.
En una resta, al primer número se le llama minuendo y al segundo sustraendo. De este modo:
En realidad la resta es la operación inversa de la suma, en el siguiente sentido: resolver la resta a – b tiene por objetivo encontrar un número c tal que sumado con b nos dé como resultado a.
Si queremos restar 5 – 3 debemos encontrar un número que sumado con 3 nos de 5. Si queremos restar 47 – 23 debemos encontrar un número que sumado con 23 nos de 47 etcétera. En palabras, restar
Equivale a encontrar un número llamado diferencia tal que sumado con el sustraendo nos dé como resultado el minuendo.
Cuando el minuendo es mayor que el sustraendo, esta diferencia existe y es siempre un número positivo. Pero cuando es mayor el sustraendo que el minuendo, las cosas se complican un poco, pues por ejemplo, no existe un número positivo que sumado con 5 nos de 3:
El número que completa la operación anterior debe a fuerza ser negativo. La razón primera de introducir a los negativos fue poder hacer restas como las siguientes:
4 – 8
2 – 5
1 – 3
En todas estas el minuendo es menor que el sustraendo. En los números naturales, no existe una respuesta a estas operaciones. Todas ellas dan lugar a números negativos:
Ejercicio 5. Resuelve las restas siguientes:
a) 2 – 6
b) 1 – 7
c) 4 – 10
d) 15 – 20
e) 14 – 17
f) 13 – 27
g) 6 – 14
h) 11 – 19
i ) 15 – 8
j) 20 – 13
k) 13 – 20
l) 11 – 10
Como puedes observar, todo se reduce a saber comparar números naturales.
Pasemos a la suma. Podemos distinguir dos casos:
CASO I. Suma de números con el mismo signo. Se suman los valores absolutos y el resultado adquiere el mismo signo de los sumandos.
Ejemplos:
CASO II. Suma de números con distinto signo. Se restan los valores absolutos y el resultado adquiere el signo del sumando que tenga mayor valor absoluto.
Ejemplos:
Ejercicio 6. Resuelve las sumas siguientes.
a) -1 + (-1)
b) -2 + 3
c) 5 + 8
d) -3 + 2
e) -2 + (-2)
f) -5 + 8
g) -3 + (-2)
h) -2 + 3
i) 4 + (-4)
j) -9 + (-14)
k) 20 + (-30)
l) -93 + (-1)
La resta de dos números puede definirse así:
En palabras:
Restar dos números a menos b equivale a sumarle a a el negativo de b.
Por ejemplo:
Ejercicio 7. Resuelve las siguientes restas.
a) 2 – 3
b) -1 – 2
c) -4 – (-5)
d) 15 – 9
e) -5 – (-6)
f) 4 – ( -1)
g) 8 – (-3)
h) -12 - 3
En ocasiones tendremos sumas y restas combinadas.
Ejemplo 1. Un edificio tiene planta baja (PB),14 pisos hacia arriba y 5 pisos subterráneos. Armando se sube al elevador descompuesto y lo hace subir 5 pisos, luego bajar 3, sube 8 y baja 10. Después de eso sale del elevador. ¿En qué piso salió Armando?
Solución: Podemos representar esta situación con una suma – resta. La PB es el piso cero:
0 + 5 – 3 + 8 - 10
Una manera es ir haciendo las operaciones conforme van apareciendo:
Así que Armando sale nuevamente en la planta baja.
Otra manera de hacerlo es agrupar los números positivos y negativos por separado:
Ejercicio 8. Resuelve las siguientes sumas – restas de números enteros.
Cuando tenemos una suma – resta con paréntesis, es útil seguir la siguiente regla:
1. Todo paréntesis precedido del signo “+” puede suprimirse sin alterar el signo del número que está entre paréntesis.
2. Todo paréntesis precedido del signo “–” puede suprimirse cambiando el signo del número que está dentro del paréntesis.
Ejemplo 2. Resolver la siguiente suma – resta.
(-13) + (+14) + (-6) – (-1)
Solución: Primero quitamos los paréntesis obedeciendo la regla anterior:
-13 + 14 – 6 + 1
Ahora agrupamos por separado positivos y negativos:
Finalmente restamos los valores absolutos y conservamos el signo menos ya que 19 tiene mayor valor absoluto que 15.
Ejercicio 9. Resuelve las siguientes sumas – restas de números enteros:
a) -4 + (-3) – (-2)
b) 5 + (-6) – (-7)
c) 14 – (-1) + (-6)
d) 8 + (-7) – (-6) + (-5) – (-4)
e) 17 – (-3) + (-20) – (-3) – 4 +1
2.6. Multiplicación de números enteros.
En la multiplicación de números enteros se usa la famosa y nunca bien entendida:
Los números que se están multiplicando se llaman factores y el resultado se llama producto. Para multiplicar números con signo basta multiplicar los valores absolutos y el signo del producto lo determina la ley de los signos. Es una costumbre prescindir del signo × para la multiplicación y escribir simplemente a los factores encerrados entre paréntesis pegados uno seguido del otro:
3 × (-4) se escribe (3)(-4)
Ejercicio 10. Resuelve las siguientes multiplicaciones de números enteros.
a) (-3)(-4)
b) (-8)(5)
c) (-10)(+2)
d) 8(-5)
e) (2)(-3)
f) (-2)(3)
g) (-2)(-3)
h) (+2)(3)
i) (-5)(4)
j) (5)(-4)
k) (-5)(-4)
l) (2)(-8)
Cuando multiplicamos tres números abc podemos multiplicar primero a y b y el resultado multiplicarlo por c ó bien podemos multiplicar primero b y c, y el resultado multiplicarlo por a. En símbolos:
Ejemplos:
Con cuatro o más números es la misma idea.
Ejercicio 11. Resuelve las siguientes multiplicaciones de números enteros.
a) (-2)(-3)(-4)(-5)
b) 6(-7)(+2)
c) (-2)(3)(-6)
d) (3)(-5)(-2)(-1)
e) (-2)(3)(-5)(2)
f) (-12)(2)(-4)(-1)
2.7. División de números enteros.
La división es la única operación que no siempre se puede hacer en los números enteros. Por ejemplo la división 20 entre 8 da como resultado un número que no es entero.
Si a y b son dos números enteros, la división a ÷ b es una operación que tiene por objeto encontrar un número c llamado cociente tal que c multiplicado por b dé como resultado a.
Nota que b no puede ser cero. ¿Por qué? Si fuera cero, tendríamos que encontrar un número que multiplicado por cero, dé como resultado el número a. Si a es un número distinto de cero, no existe el número buscado mientras que si es cero, cualquier número cumple lo dicho. Por tal inconsistencia se excluye para siempre la división por cero.
Para la división de números enteros se sigue también la siguiente:
Una división se puede representar de cualquiera de estas maneras:
a ÷ b a / b
Por ejemplo:
Ejercicio 12. Resuelve las siguientes divisiones.
c)
f)
2.8. Ejercicios y problemas.
1. Representa en la recta numérica: 5, -8, 10, -2, 0, 15, -9, 20, -1 y 17.
2. Completa la tabla.
3. Contesta.
g) –(+2)=
h) -(-16)=
i) -(+21)=
j) -(-2)=
