Conjuntos y números E-Book

Alonso Castillo Pérez

• Herausgeber: Editorial Universidad de Guadalajara
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Sprache: Spanisch

Seitenzahl: 277

Veröffentlichungsjahr: 2020

Beschreibung

Libro de texto para la Licenciatura en Matemáticas. Contiene un prefacio sobre el lenguaje matemático moderno, y cinco capítulos en los que se desarrollan los temas: lógica básica, conjuntos, relaciones, números, y estructuras algebraicas.

Leseprobe

Colección Licenciatura

Itzcóatl Tonatiuh Bravo Padilla

Rectoría General

Miguel Ángel Navarro Navarro

Vicerrectoría Ejecutiva

José Alfredo Peña Ramos

Secretaría General

César Octavio Monzón

Rectoría del Centro Universitario de Ciencias Exactas e Ingenierías

José Alberto Castellanos Gutiérrez

Rectoría del Centro Universitario de Ciencias Económico Administrativas

José Antonio Ibarra Cervantes

Corporativo de Empresas Universitarias

Edgardo Flavio López Martínez

Encargado del despacho de la Editorial Universitaria

Primera edición electrónica, 2014

Textos

© Alonso Castillo Pérez, Alonso Castillo Ramírez, Elba Lilia de la Cruz García y Alfonso Manuel Hernández Magdaleno

Coordinación editorial

Sayri Karp Mitastein

Producción

Jorge Orendáin Caldera

Coordinación de diseño

Edgardo Flavio López Martínez

Diseño de portada e interiores

Editorial Universitaria

Formación

Lópx. Diseño y Comunicación Visual

Corrección

David Rodríguez Álvarez

D.R. © 2014

Universidad de Guadalajara

Editorial Universitaria

José Bonifacio Andrada 2679

Colonia Lomas de Guevara

44657 Guadalajara, Jalisco

01 800 834 54276

www.editorial.udg.mx

ISBN 978 607 742 091 0

Noviembre de 2014

Este libro se terminó de editar

en las oficinas de la Editorial Universitaria

José Bonifacio Andrada 2679, Lomas de Guevara

44657, Guadalajara, Jalisco

Hecho en México

Made in Mexico

Se prohíbe la reproducción, el registro o la transmisión parcial o total de esta obra por cualquier sistema de recuperación de información, sea mecánico, fotoquímico, electrónico, magnético, electroóptico, por fotocopia o cualquier otro, existente o por existir, sin el permiso por escrito del titular de los derechos correspondientes.

En la formación de este libro se utilizaron las familias tipográficas Meta Pro, diseñada por Erik Spiekermann, y Minion, diseñada por Robert Slimbach.

Diseño epub:

Hipertexto – Netizen Digital Solutions

Índice

Prefacio

Capítulo 1. Lógica básica

1.1 Proposiciones

1.1.1 Ejercicios de proposiciones

1.2 Negaciones y cuantificadores

1.2.1 Negación

1.2.2 Cuantificadores

1.2.3 Ejercicios de cuantificadores

1.3 Conectivos

1.3.1 Conjunción y disyunción

1.3.2 Condicional y bicondicional

1.3.3 Tautologías y contradicciones

1.3.4 Ejercicios de conectivos

1.4 Métodos de demostración

1.4.1 Contraejemplo y contrapuesta

1.4.2 Reducción al absurdo

1.4.3 Demostración de equivalencias

1.4.4 Ejercicios de métodos de demostración

1.5 Glosario

1.6 Definiciones del capítulo

Capítulo 2. Conjuntos

2.1 Teorías de conjuntos

2.1.1 Ejercicios de teorías de conjuntos

2.2 Conceptos básicos de conjuntos

2.2.1 Ejercicios de conceptos básicos de conjuntos

2.3 Operaciones de conjuntos

2.3.1 Ejercicios de operaciones de conjuntos

2.4 Definiciones del capítulo

Capítulo 3. Relaciones

3.1 Funciones

3.1.1 Relaciones binarias

3.1.2 Definición de función

3.1.3 Tipos de funciones

3.1.4 Composición de funciones

3.1.5 Ejercicios de funciones

3.2 Relaciones de equivalencia

3.2.1 Ejercicios de relaciones de equivalencia

3.3 Relaciones de orden

3.3.1 Ejercicios de relaciones de orden

3.4 Definiciones del capítulo

Capítulo 4. Números

4.1 Números naturales

4.1.1 Axiomas de Peano

4.1.2 Inducción matemática

4.1.3 Ejercicios de números naturales

4.2 Números enteros

4.2.1 Divisibilidad

4.2.2 Ecuaciones diofánticas

4.2.3 Ejercicios de números enteros

4.3 Congruencias

4.3.1 Ejercicios de congruencias

4.4 Cardinalidad

4.4.1 Comparación de cardinalidades

4.4.2 Conjuntos numerables

4.4.3 Números cardinales

4.4.4 Ejercicios de cardinalidad

4.5 Técnicas de conteo

4.5.1 Ejercicios de conteo

4.6 Definiciones del capítulo

Capítulo 5. Estructuras algebraicas

5.1 Grupos

5.1.1 Ejercicios de grupos

5.2 Campos

5.2.1 Ejercicios de campos

5.3 Espacios vectoriales

5.3.1 Ejercicios de espacios vectoriales

5.4 Polinomios

5.4.1 Ejercicios de polinomios

5.5 Definiciones del capítulo

Notas al pie

Prefacio

La capacidad de razonamiento es el factor principal en la construcción de una civilización tecnológica y científica. Con la razón podemos interpretar, aprender, deducir y predecir fenómenos naturales para hacer cosas como curar enfermedades, construir computadoras y viajar al espacio.

Aunque es una habilidad inherente a la humanidad, con el paso de los años hemos mejorado la precisión y profundidad de nuestros razonamientos; comprendimos que los lenguajes naturales, como el español, el inglés o el francés, no son suficientes para describir situaciones complejas. Para ejemplificar esto, consideraremos dos silogismos aristotélicos.

Silvestre es un gato.

Los gatos son mamíferos.

Silvestre es un mamífero.

Las hipótesis y conclusión anteriores parecen adecuadas. Entonces, ¿cuál es el problema con el siguiente silogismo?

Silvestre es un gato.

Un gato puede levantar automóviles.

Silvestre puede levantar automóviles.

Después de pensarlo un poco, comprendemos que la palabra “gato” en la primera premisa se usa para referirse a un animal felino, mientras que en la segunda se usa para referirse a una herramienta hidráulica.

Las palabras de los lenguajes naturales son polisémicas (tienen muchos significados) y adquieren diferentes connotaciones ubicándolas en distintos contextos. Todo esto dificulta enormemente el uso del lenguaje natural para razonar de forma clara y precisa. Por tal motivo, la humanidad ha trabajado durante siglos en desarrollar otro lenguaje, uno que permita formular observaciones exactas y hacer deducciones rigurosas. Este lenguaje es la matemática.

Los términos matemáticos pretenden lograr, en cierto contexto, un significado único, preciso y total. En general, son ideas abstractas que carecen de existencia propia y sólo son lo que su definición establece. Si quisiéramos escribir una definición formal de un objeto real, por ejemplo las vacas, sería sumamente difícil. Si establecemos que las vacas son cuadrúpedos, dejaríamos fuera a las que han perdido una pata o nacieron sin ella; además, también son cuadrúpedos los chivos, los venados, los toros, etc. ¿Qué características definen con precisión a las vacas? Afortunadamente, la definición de vaca no es indispensable ya que las reconocemos de cualquier forma. La diferencia entre un veterinario y un matemático es que el primero puede curar una vaca aunque desconozca su definición, mientras que el segundo no podría iniciar una teoría de las “vacas” si no construye primero una definición formal.

A pesar de esto, la matemática nombra sus conceptos utilizando palabras del lenguaje natural, a las cuales asigna un nuevo sentido. Dice el filósofo español José Ortega y Gasset:

Cuando el investigador descubre un fenómeno nuevo, es decir, cuando forma un nuevo concepto, necesita darle un nombre. Como una voz nueva no significaría nada para los demás, tiene que recurrir al repertorio del lenguaje usadero, donde cada voz se encuentra ya adscrita a una significación. A fin de hacerse entender, elige la palabra cuyo usual sentido tenga alguna semejanza con la nueva significación.

Es particularmente complejo encontrar la relación entre el significado común de las palabras y su significado matemático. Por ejemplo, la palabra función en español tiene los siguientes significados:1

1) Capacidad de actuar propia de los seres vivos y de sus órganos, y de las máquinas o instrumentos.

2) Tarea que corresponde realizar a una institución o entidad, o a sus órganos o personas.

3) Representación de una obra teatral, o proyección de una película.

Por otro lado, en matemáticas una función es un conjunto de pares ordenados cuyas primeras coordenadas son todas distintas entre sí (ver definición 3.11). Es importante no mezclar los significados coloquiales con el matemático: en el segundo contexto, una función nunca hará referencia a una obra teatral o a la capacidad de actuar de un instrumento.

No obstante, las definiciones matemáticas tienen una historia. La formalización evoluciona; se van precisando o creando nuevos conceptos que le dan mayor alcance a una teoría. La famosa frase del matemático alemán Leopold Kronecker “los números naturales los hizo Dios, todo lo demás es obra humana”puede interpretarse como que los números que se utilizan para contar son tan antiguos como la civilización misma, pero que la matemática ha trabajado permanentemente en ellos hasta llegar a su axiomatización.

Este texto fue escrito para el curso Conjuntos y Números del Centro Universitario de Ciencias Exactas e Ingenierías de la Universidad de Guadalajara. Está dirigido a estudiantes de primer semestre de la licenciatura en matemáticas. Nuestro objetivo es presentar una sólida introducción al lenguaje matemático moderno. El texto se divide en cinco capítulos principales con los temas: lógica básica, conjuntos, relaciones, números y estructuras algebraicas, cada uno de los cuales contiene varias secciones.

Nos enfocamos en ayudar a que el estudiante comprenda las definiciones de los objetos matemáticos tratados en cada capítulo y las demostraciones rigurosas de algunas de sus propiedades. Tomamos varias medidas para reforzar nuestro enfoque. Primero, cada capítulo incluye una sección títulada “Definiciones del capítulo”, la cual contiene una lista de conceptos. Pedimos al lector que, después de haber leído el capítulo correspondiente, recopile las definiciones de estos conceptos y encuentre un ejemplo de cada una. Cada sección incluye un párrafo final de palabras clave, el cual enlista los conceptos y teoremas relevantes de la sección. En el capítulo 1 exploramos diversas técnicas que brindan al estudiante las herramientas necesarias para entender las demostraciones de los capítulos posteriores y resolver los ejercicios.

Agregamos una advertencia: este texto no debe leerse como uno de historia, literatura u otra asignatura propia del bachillerato. Un texto universitario de matemáticas debe leerse asegurándose de comprender en su totalidad cada línea. Por tal motivo, recomendamos al lector hacer diagramas y notas sobre cada definición, ejemplo, proposición y teorema que encuentre. Para asimilar los conceptos abordados, también es importante resolver, o al menos intentar resolver, todos los ejercicios correspondientes a cada sección.

¡Por el contrario! Si hubiese sido así, entonces lo sería; y siéndolo, quizá lo fuera; pero como no fue así, tampoco lo es asá. ¡Es lógico!

Lewis Carroll, Alicia en el País de las Maravillas

Capítulo 1. Lógica básica

Durante muchos siglos, la lógica fue una rama de la filosofía dedicada al estudio del razonamiento. Aristóteles, el filósofo de la antigua Grecia, escribió el primer tratado de lógica conocido actualmente; sin embargo, la lógica comenzó a aplicarse en matemáticas hace apenas cien años con el objetivo de establecer sólidamente los fundamentos de la aritmética, la geometría y el análisis.

Irónicamente, este capítulo es el más intuitivo e informal del texto. La lógica matemática es un tema complejo y sutil; en las próximas secciones sólo abordaremos algunos de sus temas más importantes.1 El concepto central de este capítulo, que presentamos en la sección 1.1, es el de proposición. La teoría de proposiciones tiene dos ramas: la sintaxis, que se ocupa de su estructura y composición; y la semántica, que se ocupa de su interpretación y la construcción de argumentos. Algunos conceptos relacionados con la sintaxis son los cuantificadores y los conectivos, que estudiamos en las secciones 1.2 y 1.3; profundizamos en la semántica de las proposiciones en la sección 1.4.

1.1 Proposiciones

Recordemos que en la gramática del español la unidad mínima de lenguaje para manifestar una idea, con su significado completo, es la oración, la cual se forma con la estructura

sujeto+predicado.

Cada parte de la estructura de una oración se construye combinando diversos términos. Las oraciones se dividen en las siguientes clases: declarativas, imperativas, exclamativas e interrogativas. Cuando se expresa una idea completa en una oración, cuyo predicado afirma o niega algún atributo del sujeto, se obtiene una oración declarativa. Esta clase de oraciones son las que abordamos en nuestro estudio de la lógica matemática.

Ejemplo 1.1. Consideremos los siguientes ejemplos:

1) ¿Fue resuelta la ecuación por Erika?. Esta no es una oración declarativa sino interrogativa.

2) Javier, apresúrese con ese problema. Esta no es una oración declarativa sino imperativa.

3) La raíz cuadrada de 5 es menor que π. Esta es una oración declarativa.

4) Los lados de un triángulo no son congruentes. Esta es una oración declarativa.

5) La geometría de Riemann es una rama de las matemáticas muy interesante. Esta es una oración declarativa.

6) El promedio de x1, x2, · · ·, xN ∈ es

Esta es una oración declarativa.

Cada una de las oraciones anteriores se da en un contexto implícito que determina la naturaleza de los términos involucrados. Por ejemplo, la oración 3) se da en el contexto de la aritmética de los números reales, mientras que la oración 4) se da en el contexto de la geometría euclidiana. Llamaremos a este contexto el universo de discurso de la oración.

Ahora podemos precisar la noción de proposición.

Definición 1.2 (proposición). Una proposición es una oración declarativa, la cual, en un universo de discurso dado, puede caracterizarse como verdadera o falsa, pero no puede tener ambos atributos.

En el ejemplo 1.1, sólo las oraciones 3) y 6) son proposiciones. Las oraciones 1) y 2) no son proposiciones porque no son declarativas. La oración 4) no es una proposición ya que, al no precisar el triángulo al que se hace referencia, no es posible caracterizarla como verdadera o falsa (es verdadera para algunos triángulos pero falsa para otros). La oración 5) no es una proposición ya que no se ha establecido una definición universal para el término “ser muy interesante”; por lo tanto, es una declaración subjetiva, cuya verdad o falsedad depende de gustos y opiniones.

La característica de verdad o falsedad de una proposición se denomina valor de verdad.

Ejemplo 1.3. Consideremos algunos ejemplos:

1) Dos es un número primo. Esta es una proposición, ya que es una oración declarativa verdadera.

2) El área del círculo es mayor que el área del cuadrado. Esta no es una proposición, ya que no se puede determinar su valor de verdad: puede ser verdadera o falsa dependiendo del círculo y el cuadrado que se consideren.

3) Siempre que x sea un número real, se cumple que −x < 0. Esta es una proposición, ya que es una oración declarativa falsa.La razón de su falsedad recae en el uso de la palabra “siempre”: no es verdad porque podemos encontrar casos que la desmienten, por ejemplo −1 es un número real tal que −(−1) > 0.

Las proposiciones se clasifican en simples y compuestas. Las primeras se componen de términos singulares, los cuales hacen referencia a objetos particulares; actúan en calidad de nombre propio.

Ejemplo 1.4 (términos singulares). Pedro, José, 9, π, la constante de Euler, la ecuación de Laplace, etcétera.

Definición 1.5 (proposición simple). Decimos que una proposición es simple, o atómica, si está constituida por sujetos formados por términos singulares y un predicado con un verbo que expresa una acción sobre dichos sujetos.

En otras palabras, una proposición simple es aquella que no puede separarse en otros enunciados y afirma algo específico sobre un objeto particular.

Ejemplo 1.6. Las siguientes son proposiciones simples:

1) Pedro tiene los ojos negros.

2) El área de un círculo de radio 1 es π.

3) 3 es la raíz cuadrada de 9.

5) 5 es un número impar.

Las proposiciones compuestas están conformadas por dos o más proposiciones simples; estudiaremos más acerca de esto en las próximas secciones.

Finalizaremos esta sección con el estudio de otro concepto importante. Un predicado es una expresión que establece una propiedad o característica de algún sujeto. Como mencionamos anteriormente, los predicados son una parte fundamental en la formación de oraciones. Algunos ejemplos son: “es azul”, “es mayor que” y “es un número par”.

En matemáticas, para hacer referencia a un predicado usamos variables (x, y, z, w, etc.) que representan un sujeto cualquiera dentro del universo de discurso; así pues, el predicado “es azul” será denotado por

Los predicados no son proposiciones, ya que no pueden ser caracterizados como verdaderos o falsos. Sin embargo, al evaluar las variables en sujetos particulares, los predicados producen proposiciones.

Ejemplo 1.7. Consideremos los siguientes ejemplos:

Palabras clave de la sección: proposición, universo de discurso, valor de verdad, término singular, proposición simple, predicado.

1.1.1 Ejercicios de proposiciones

Ejercicio 1.8. Determina si las siguientes expresiones son proposiciones, predicados o ninguna de las dos. Justifica tu respuesta.

a) 5 es mayor que 9.

b)m es un número primo.

c) ¿Es 7 un número primo?

d) Un triángulo tiene cuatro lados.

e) Los matemáticos son personas inteligentes.

f) Escribe el resultado de la ecuación.

g) Sea x un número real mayor que cero.

h) Existe una función que es continua pero no diferenciable.

i) La raíz cuadrada de z es 5.

Ejercicio 1.9. Determina el universo de discurso de las siguientes proposiciones y escribe su valor de verdad. Justifica tu respuesta.

a) Existen aves que no pueden volar.

c) La raíz cuadrada de 4 es 2 y la de 16 es 8.

d) El área de un círculo es igual a π por el cuadrado de su radio.

e) El número 6 es un múltiplo de 3.

f) 32+ 42 52.

Ejercicio 1.10. Considera los siguientes términos: ángulo, el círculo de radio 2, , humano, número real, el conjunto de números reales, Pedro y 73°. ¿Cuáles de estos son términos singulares? Justifica tu respuesta.

Ejercicio 1.11. En cada uno de los siguientes predicados, encuentra los números enteros que producen proposiciones verdaderas.

1.2 Negaciones y cuantificadores

En esta sección estudiaremos dos temas fundamentales ligados a la construcción de proposiciones.

1.2.1 Negación

Si P es una proposición cualquiera, la negación de P, denotada como ~P, es una proposición cuyo valor de verdad es el opuesto al valor de verdad de P. En otras palabras, si P es verdadera, entonces ~P es falsa, y si P es falsa, entonces ~P es verdadera. También se usa comúnmente el símbolo ¬ en lugar de ~.

Ejemplo 1.12. Consideremos la proposición

Entonces la negación de P es

En este caso P es verdadera mientras que ~P es falsa.

Además del vocablo “no”, se usa la frase “no es cierto que” para negar proposiciones.

Ejemplo 1.13. Si

la negación de Q es

En este caso Q es falsa, mientras que ~Q es verdadera.

La esencia de la negación de una proposición puede capturarse en una tabla de verdad, la cual, en este caso, consiste en un arreglo de dos renglones por dos columnas. En la primera columna se escriben los posibles valores de verdad de una proposición arbitraria

(verdadero, abreviado como V; y falso, abreviado como F). En la segunda columna se escriben los valores de verdad correspondientes a la negación de dicha proposición asumiendo el valor de verdad que se encuentra en el mismo renglón.

Específicamente, si P es una proposición arbitraria, la tabla de verdad de la negación se muestra en la tabla 1.1.

Tabla 1.1: Negación

Al negar la negación de una proposición P (hacer una doble negación), obtenemos una proposición con el mismo valor de verdad que P. Más adelante (en el ejercicio 1.47), veremos que las proposiciones P y ~(~P) son lógicamente equivalentes (definiremos esta idea en la sección 1.3.3). Si usamos el símbolo “≡” para expresar que dos proposiciones son lógicamente equivalentes, podemos escribir

~(~P) ≡ P.

Ejemplo 1.15. La doble negación de la proposición P del ejemplo 1.12 es

1.2.2 Cuantificadores

Sea P(x) un predicado cualquiera. En la sección anterior vimos que es posible producir proposiciones a partir de P(x) evaluando la variable x. Otra forma de producir una proposición a partir de P(x) es mediante el uso de un cuantificador. Hay dos tipos de cuantificadores:

■Cuantificador existencial, denotado por el símbolo ∃, el cual se lee como “existe”, “para algún”, “hay al menos uno”o frases equivalentes.

■Cuantificador universal, denotado por el símbolo ∀, el cual se lee como “para todo”, “para cada”, “para cualquier”o frases equivalentes.

Los cuantificadores son elementos clave para lograr la precisión del lenguaje requerida en la formulación de proposiciones.

Por ejemplo, consideremos el predicado

donde el universo de discurso es el conjunto de personas. Podemos evaluar P(x) en personas particulares para producir proposiciones verdaderas o falsas; por otro lado, podemos usar los cuantificadores previamente definidos:

■Existencial:

■Universal:

Queda claro que el uso de los cuantificadores está restringido al universo de discurso.

Las proposiciones previas tienen significados muy distintos. La primera de ellas es verdadera porque efectivamente existe una persona que estudia matemáticas (por ejemplo, el lector de este texto). La segunda proposición es falsa ya que también podemos encontrar personas que no estudian matemáticas.

1)Existencial: existe un número real x tal que x2 − 1 < 0.

2)Universal: todos los números reales x satisfacen que x2 − 1 < 0.

Ejemplo 1.17. Sea x un número real. El predicado x2 ≥ 0 tiene dos interpretaciones:

1)Existencial: existe un número real x tal que x2 ≥ 0.

2)Universal: para todo número real x se cumple que x2 ≥ 0.

Ambas proposiciones son verdaderas porque el cuadrado de cualquier número real siempre es mayor o igual que cero. De hecho, la veracidad de la segunda proposición implica la veracidad de la primera.

En el ejemplo anterior, la frase “sea x un número real” establece que el universo de discurso es el conjunto de los números reales.

Cabe señalar que la expresión “existe un x tal que” significa lo mismo que “existe al menos un x tal que”. La frase al menos es redundante en la mayoría de los casos. Para expresar que sólo existe un x con cierta propiedad, usamos frases como “existe exactamente uno” o “existe y es único”. Usamos el símbolo ∃! para denotar existencia y unicidad.

En este caso, la proposición anterior es verdadera.

Las proposiciones que usan cuantificadores no son proposiciones simples; al igual que las proposiciones de la siguiente sección, son llamadas proposiciones compuestas.

Es importante entender cómo se obtiene la negación de una proposición cuantificada. Por ejemplo, si

¿cuál es la negación de P? A simple vista, podríamos pensar que ~P es la proposición

Sin embargo, esto es un error. Por definición, ~P es verdadera cuando P es falsa, y viceversa. Pero esto no sucede con la proposición Q: en este caso ambas proposiciones, P y Q son falsas, ya que no es cierto que todos los mexicanos sean matemáticos, pero tampoco es cierto que ningún mexicano sea matemático. La negación correcta de P es:

Tal como lo esperábamos, la proposición ~P es verdadera.

El ejemplo anterior nos ayuda a comprender que la negación de una proposición universal se obtiene negando el predicado y reemplazando el cuantificador por uno existencial. De manera similar, la negación de una proposición existencial se obtiene negando el predicado y reemplazando el cuantificador por uno universal. En símbolos, si P(x) es un predicado cualquiera:

~(∀xP(x)) ≡ ∃x ~P(x),

~(∃x P(x)) ≡ ∀x ~P(x).

Ejemplo 1.19. Vemos como negar una proposición existencial.

  Proposición: Existen personas que no dicen la verdad.

  Negación: Todas las personas dicen la verdad.

Ejemplo 1.20. Ahora negamos una proposición universal.

  Proposición: Para cualquier número x tenemos que x2 ≥ 0.

  Negación: Existe un número x tal que x2 < 0.

Ejemplo 1.21. En este ejemplo se combinan, en una misma proposición, ambos cuantificadores.

  Negación: Existe x tal que para toda z se tiene que x + z ≠ 0.

Palabras clave de la sección:negación, doble negación, tabla de verdad, universo de discurso, cuantificadores existencial y universal, existencia y unicidad, negación de proposiciones cuantificadas.

1.2.3 Ejercicios de cuantificadores

Ejercicio 1.22. En cada una de las siguientes proposiciones, identifica el predicado, nómbralo (como P(x), Q(n), etc.) y reescribe la proposición usando los símbolos ∃, ∃! y ∀ apropiadamente.

a) Existe un número positivo x tal que x2 5.

b) Para cualquier n, el número 2n + 1 es impar.

c) Para toda k existe t tal que .

e) Para todo número positivo n, tenemos que n + 1 > n.

Ejercicio 1.23. Escribe la negación de cada una de las siguientes proposiciones.

a) 7 ≤ 10.

c) El cuadrado de 5 no es 16.

d) Ningún político es honesto.

e) Existe un político que es deshonesto.

g) Para cualquier número real x, se cumple que x + 1 ≤ 0.

h) Existe un número natural n tal que para todo número natural m se cumple que n ≤ m.

Ejercicio 1.24. Determina el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones, donde el universo de discurso es el conjunto de los números reales. Justifica tu respuesta.

a) ∀x tenemos que x ≠ π.

b) ∃x tal que 0 ≤ x ≤ 1.

c) ∀x, ∀y tenemos que xy > 0.

e) ∀x, ∃y tal que .

Ejercicio 1.25. Escribe la negación de cada una de las proposiciones del ejercicio 1.24.

1.3 Conectivos

En lógica existe una colección de palabras y símbolos, llamados conectivos lógicos, que se usan para asociar distintas proposiciones. Los conectivos de uso más frecuente son las conjunciones, disyunciones, condicionales y bicondicionales; cada uno de éstos tiene asociada una proposición compuesta.

Supongamos que P y Q son proposiciones cualesquiera. La siguiente tabla establece el símbolo usado para cada conectivo y su significado.

Tabla 1.2: Conectivos lógicos

En las siguientes secciones estudiaremos cada uno de estos conectivos.

1.3.1 Conjunción y disyunción

Si P y Q son proposiciones cualesquiera, la proposición compuesta P ^ Q es llamada la conjunción de P y Q, y afirma simultáneamente lo que P y Q afirman. Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 1.26. Consideremos las proposiciones

entonces

Por razones de estilo, en ciertas ocasiones, en lugar del vocablo “y” se utilizan las palabras “pero” o “sin embargo”.

Ejemplo 1.27. La conjunción de las proposiciones “Los cuadrados tienen cuatro lados” y “Los triángulos tienen tres lados” es

“Los cuadrados tienen cuatro lados, pero los triángulos tres”.

Como observamos en los ejemplos anteriores, el conectivo ∧ es conmutativo en el sentido de que no importa el orden en el que aparezcan las proposiciones; en otras palabras,

P ∧ Q ≡ Q ∧ P.

Además, la conjunción es asociativa ya que, al combinar tres proposiciones P, Q y T, tenemos que

(P ∧ Q) ∧ T ≡ P ∧ (Q ∧ T).

Ejemplo 1.28. Sean P y Q las proposiciones del ejemplo 1.26, y sea

Ahora podemos observar que las proposiciones

tienen el mismo significado.

En este caso L ∧ M es una proposición falsa debido a que L es falsa.

El ejemplo anterior nos sugiere que la conjunción de dos proposiciones es verdadera exclusivamente cuando ambas proposiciones son verdaderas; si al menos una de las proposiciones es falsa, entonces su conjunción también es falsa. La información sobre el valor de verdad de la conjunción queda claramente establecida en la tabla 1.3, en donde P y Q son proposiciones arbitrarias.

Tabla 1.3: Conjunción

La proposición P ∨ Q es llamada la disyunción de P y Q, y afirma que es cierto lo que manifiesta al menos una de las proposiciones P o Q.

En lógica, el uso del vocablo “o” difiere de su uso en el lenguaje cotidiano. Cuando representa una disyunción, “o” significa “uno u otro, o ambos”. La interpretación como “uno u otro, pero no ambos” se denomina disyunción exclusiva, y su uso es poco común; se emplea más en estudios de informática.

El valor de verdad de la disyunción se localiza en la tabla 1.4, donde P y Q son proposiciones arbitrarias.

Tabla 1.4: Disyunción

Como en el caso de la conjunción, la disyunción también es conmutativa y asociativa:

P ∨ Q ∨ Q ≡ P,

(P ∨ Q) ∨ T ≡ P ∨ (Q ∨ T).

Ejemplo 1.30. Sean

La disyunción de estas proposiciones es

En este caso, K ∨ W es verdadera debido a que K es verdadera.

Ejemplo 1.31. Sean

Entonces, la disyunción

es verdadera debido a que ambas, J y G, son verdaderas.

Ejemplo 1.32. Sean

La disyunción

es falsa ya que ambas A y B son proposiciones falsas.

1.3.2 Condicional y bicondicional

Las proposiciones condicionales son las más importantes por su papel en la argumentación. A la proposición compuesta formada por un condicional se le llama implicación.

En la fórmula P ⇒ Q, la proposición P se denomina hipótesis, o antecedente, de la implicación, mientras que la proposición Q se llama consecuente, o conclusión, de la implicación. De esta forma, P ⇒ Q expresa que si la hipótesis es verdadera, entonces la conclusión es verdadera. El valor de verdad correspondiente a la implicación se muestra en la tabla 1.5.

Tabla 1.5: Implicación

Existen diversas formas de expresar la implicación P ⇒ Q con palabras. Algunas de las más comunes son:

1) Si P, entonces Q.

2)P implica Q.

3)P es suficiente para Q.

4)Q es necesario para P.

5)Q si P.

6)Q cuando P.

7)P sólo si Q.

Ejemplo 1.33. Consideremos las proposiciones

Las distintas formas de escribir P ⇒ Q son:

1)Si es tapatío, entonces es mexicano.

2) Ser tapatío implica ser mexicano.

3) Ser tapatío es suficiente para ser mexicano.

4) Ser mexicano es necesario para ser tapatío.

5) Es mexicano si es tapatío.

6) Es mexicano cuando es tapatío.

7) Es tapatío sólo si es mexicano.

Todos los enunciados anteriores son equivalentes.

Ejemplo 1.34. Algunos otros ejemplos de proposiciones condicionales son los siguientes. ¿Puedes identificar cuál es el antecedente y el consecuente?

3) El log w existe cuandow es un número real positivo diferente de cero.

Ejemplo 1.35. En ocasiones las implicaciones involucran cuantificadores universales que no aparecen escritos explícitamente en su interpretación en español. Por ejemplo, en la proposición

“Si x es mayor que 1, entonces x2 es mayor que 1”,

el significado que se pretende establecer es

∀ x [(x > 1) ⇒ (x2 > 1)].

En general, si usamos una variable en el antecedente de una implicación, asumiremos que hay un cuantificador universal implícito.

Tal como su tabla de verdad lo indica, una implicación sólo es falsa cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso.

Para ilustrar esto, consideremos la proposición

“Si lees este libro, entonces aprenderás matemáticas”.

Lo que afirma esta proposición está restringido al caso en el que lees este libro. No establece nada si no lo lees: puedes o no aprender matemáticas por otros medios. Por lo tanto, la proposición sólo es falsa en caso de que leas el libro y no aprendas matemáticas.

Sin embargo, el significado del “si-entonces” usado en español en ocasiones difiere del conectivo lógico ⇒. Por ejemplo, de acuerdo con su tabla de verdad, proposiciones como

(Si las vacas vuelan) ⇒ (Yo soy Superman),

son verdaderas porque el antecedente es falso. Es importante comprender que ⇒ está definido formalmente como su tabla de verdad lo indica, aunque esto no siempre se corresponda con nuestra intuición en los lenguajes naturales.

Definición 1.36 (implicación recíproca). Sean P y Q proposiciones. La implicación

Q ⇒ P,

se llama implicación recíproca de P ⇒ Q.

Definición 1.37 (implicación contrapuesta). Sean P y Q proposiciones. La implicación

(~Q) ⇒ (~P),

se llama implicación contrapuesta de P ⇒ Q.

Por otro lado, el valor de verdad de una implicación sí es equivalente al valor de verdad de su implicación contrapuesta: ambas proposiciones son lógicamente equivalentes. Demostraremos este hecho más adelante, en la sección 1.3.3.

La proposición formada con un conectivo bicondicional es llamada equivalencia, la cual se obtiene como la conjunción de una implicación con su recíproca; en otras palabras:

P ⇔ Q corresponde a (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P).

En la representación escrita, usamos los vocablos “si y sólo si” o “es necesario y suficiente” para representar el bicondicional.

Ejemplo 1.38. Algunos ejemplos de equivalencias son las proposiciones siguientes.

1) Un triángulo es isósceles si y sólo si dos de sus lados tienen el mismo tamaño.

2) Para que su mamá lleve al cine a Pepe es necesario y suficiente que éste termine su tarea.

3) Una persona tiene ojos zarcos si y sólo si sus ojos son color azul claro.

Si P y Q son proposiciones arbitrarias, el valor de verdad de la equivalencia P ⇔ Q se localiza en la tabla 1.6.

Tabla 1.6: Equivalencia

Como podemos observar, una equivalencia es verdadera exactamente cuando ambos P y Q tienen el mismo valor de verdad (ya sean ambos verdaderos o falsos).

Ejemplo 1.39. La equivalencia

“Una persona es mexicana si y sólo si nació en México”

es falsa porque hay personas mexicanas que no nacieron en México.

Haremos una aclaración con respecto a la formulación de definiciones. En matemáticas, una definición es una proposición inequívoca que establece el significado preciso de una palabra, frase, concepto o símbolo matemático. Siempre asumimos que el valor de verdad de una definición es verdadero. Por razones de estilo, enunciamos las definiciones como implicaciones, aunque su significado real es el de una equivalencia. Por ejemplo, consideremos la siguiente definición.