Curso básico de teoría de números E-Book

Sebastian Castañeda

• Herausgeber: Universidad del Norte
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Sprache: Spanisch

Veröffentlichungsjahr: 2018

Beschreibung

Teoría de congruencias, funciones aritméticas, residuos cuadráticos y raices primitivas son los temas que trata este texto dirigido a estudiantes de pregrado de Matemáticas. El propósito del texto es presentar la información básica que se requiere como fundamento en un primer curso de Teoría de Números, y como tal se hace énfasis en el manejo de los conceptos.

Leseprobe

Curso básico de Teoría de Números

Curso básico de Teoría de Números

Sebastián Castañeda Hernández

Castañeda Hernández, Sebastián.

Curso básico de teoría de números / Sebastián Castañeda Hernández. -- Barranquilla : Editorial Universidad del Norte, 2016.

126 p. ; 24 cm.

Incluye referencias bibliográficas (p.123-124) e índice.

ISBN 978-958-741-692-3 (impreso)

ISBN 978-958-741-910-8 (epub)

1. Teoría de los números. I. Tít.

(512.72 C346 23 ed.) (CO-BrUNB)

www.uninorte.edu.co

Km 5, vía a Puerto Colombia

A.A. 1569, Barranquilla (Colombia)

© Universidad del Norte, 2016

Sebastián Castañeda Hernández

Coordinación editorial

Zoila Sotomayor O.

Diagramación

Sebastian Castañeda Hernández

Diseño de portada

Joaquín Camargo Valle

Corrección de textos

Henry Stein

Procesos técnicos

Munir Kharfan de los Reyes

Desarrollo ePub

Lápiz Blanco S.A.S.

Hecho en Colombia

Made in Colombia

© Reservados todos los derechos. Queda prohibida la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio reprográfico, fónico o informático, así como su transmisión por cualquier medio mecánico o electrónico, fotocopias, microfilm, offset, mimeográfico u otros sin autorización previa y escrita de los titulares del copyright. La violación de dichos derechos puede constituir un delito contra la propiedad intelectual.

Contenido

Prólogo

1 Preliminares

1.1 Introducción

1.2 Números enteros

1.3 Divisibilidad y algoritmo de la división

1.4 Números primos y primos relativos

1.5 Grupos finitos

1.5.1 El grupo aditivo ℤn y el grupo de Euler

2 Teoría de congruencias

2.1 Introducción

2.2 La ecuación lineal diofantina

2.3 Congruencias lineales

2.4 Congruencias lineales en n variables

2.5 El teorema del resto

3 Funciones aritméticas

3.1 La función indicatriz de Euler

3.2 Funciones multiplicativas. Las funciones τ y σ

3.3 La función de Möbius y el producto de Dirichlet

4 Residuos cuadráticos. Raíces primitivas

4.1 Introducción

4.2 Congruencias cuadráticas módulo un primo

4.3 El símbolo de Legendre y la ley de reciprocidad cuadrática

4.4 Raíces primitivas

4.5 Existencia de raíces primitivas módulo m

A Lista de los primeros diez mil primos

Bibliografía

Prólogo

Este texto está dirigido a estudiantes de pregrado en Matemáticas. Presupone un conocimiento básico sobre Álgebra lineal, incluyendo rudimentos de teoría de grupos y, preferiblemente, de anillos.

El texto inicia con algunos preliminares sobre números enteros (presentados como subconjunto del campo ordenado de los números reales), divisibilidad y números primos, así como resultados básicos de grupos, especialmente grupos finitos. En esta primera edición los temas incluidos son pocos, pensados para un curso de un semestre con intensidad de tres horas semanales, pero se espera ampliarlo en futuras ediciones, año tras año, contando con la facilidad de la edición electrónica.

Temas de complementación y profundización se irán adicionando en ediciones futuras o podrán consultarse próximamente en la página web del autor (https://sites.google.com/site/scasta1957). Esta primera edición será ampliada y mejorada con la ayuda de los estudiantes y lectores si ellos así lo desean. En la página web mencionada se podrá tener acceso a software de ayuda, como tests de primalidad, determinación de residuos cuadráticos módulo un primo y cálculos en aritmética modular, entre otros.

La idea del texto es presentar la teoría básica requerida como fundamentación de las clases en un primer curso de Teoría de números y, como tal, se insiste principalmente en el manejo teórico por parte de los estudiantes; en la página web del autor antes indicada se hará la presentación de talleres y ejercicios adicionales sobre los temas tratados en el texto. Finalmente, estamos abiertos a cualquier sugerencia o corrección que los estudiantes o lectores consideren pertinentes.

El [email protected], [email protected]

CAPÍTULO

1

Preliminares

SECCIÓN 1.1

Introducción

En este primer capítulo presentamos algunos preliminares para el curso de Teoría de números; específicamente, cuestiones relativas a números enteros y a temas puntuales de Álgebra, especialmente de Teoría de grupos, y de estructuras cociente, en particular la estructura de anillo de ℤn. Los números enteros se introducirán como un subconjunto especial de los números reales, asumiendo que el estudiante-lector está familarizado con la estructura

(ℝ, +, ·, ≤)

como campo ordenado y completo.

SECCIÓN 1.2

Números enteros

Suponemos, como ya se mencionó, que se está familiarizado con la estructura de campo (ℝ,+,·), así como con los axiomas de orden en ℝ, el axioma de completitud o del supremo, y el respectivo resultado dual relativo al ínfimo, y las principales propiedades y teoremas relativos a cotas, máximo, mínimo, etc. de subconjuntos de ℝ.

Definición 1.2.1.

Sea I un subconjunto del conjunto ℝ. I es inductivo si, y solo si satisface:

1. 1∈I.

2. Para todo k∈ℝ, se cumple que si k∈I, entonces (k+1)∈I.

Claramente, el conjunto mismo de los reales es inductivo, de modo que la familia

{I⊆ℝ|I es inductivo }

es no vacía. De igual manera es fácil demostrar (ejercicio) que la intersección de conjuntos inductivos es también un conjunto inductivo; es decir, es cerrado bajo intersecciones. El conjunto de los números naturales lo definimos como la intersección de todos los conjuntos inductivos. Notaremos tal conjunto por ℕ. Es decir:

De la definición anterior se sigue que ℕ es el menor (según la inclusión de conjuntos) conjunto inductivo. Esto significa:

1.ℕ es inductivo.

2. Para todo I∈ se tiene que ℕ⊆I.

Tenemos el siguiente resultado inmediato, fundamental en las denominadas demostraciones por inducción.

Teorema 1.2.1. Principio de inducción matemática:SeaI⊆ℕ. SiIes inductivo, entoncesIℕ

En particular, si consideramos el conjunto I{x∈ℕ|x≥1}, entonces se tiene que:

1 ∈

I

.

Si

k

∈

I

, entonces

k

≥

1

, por lo que

k

+1

≥

2

≥

1

. Como

ℕ

es inductivo se tiene además que

(

k

+1)

∈

ℕ

, luego

(

k

+1)

∈

I

.

Tenemos así que I es inductivo y por tanto Iℕ. Así, resulta que todo número natural es positivo y que no existe un número natural entre 0 y 1. Definimos el conjunto de los números enteros, notado ℤ, como

ℕ será también denominado el conjunto de los enteros positivos. El conjunto ℕ0ℕ∪ {0}{0,1,2,...} será denominado conjunto de los números cardinales o enteros no negativos. EL conjunto ℤ−{−x|x∈ℕ} será, consecuentemente, denominado conjunto de los enteros negativos.

Algunos resultados básicos sobre enteros se resumen en el siguiente teorema1.

Teorema 1.2.2.

1.ℕ, ℕ0yℤson cerrados para la adición y la multiplicación. (ℤ, +, ·) es un anillo conmutativo con identidad.

3.Principio del buen orden.Si A ⊆ ℕ0y A≠ ∅, entonces A tiene un primer (mínimo) elemento. Dualmente, todo subconjunto no vacío del conjunto de los enteros negativos tiene un máximo o último elemento.

4. Para todo entero n, el conjunto {x ∈ ℤ|n < x < n +1} es vacío.

5.ℕ(y por tantoℤ) no está acotado superiormente. El resultado dual es queℤ−(y por tantoℤ) no está acotado inferiormente.

6.Propiedad arquimediana.Si x, y ∈ ℝ, con x > 0, existe un natural n tal que nx > y.

7. Si A ⊆ ℤy A es acotado superiormente, entonces sup(A) ∈ A. Dualmente, si A está acotado inferiormente, entonces inf(A) ∈ A.

El principio de inducción (teorema 1.2.1), como se dijo, es el fundamento de las denominadas demostraciones por inducción matemática. Si P(n) es una proposición acerca del natural n, y si

I{n∈ℕ|P(n) es verdadera },

entonces, por el teorema mencionado, se tiene que si I es inductivo, entonces Iℕ lo que significa que P(n) es verdadera para todo número natural. Es decir, tenemos entonces que si se cumplen:

1.P(1) es verdadera.

2. Para todo natural k, si P(k) es verdadera, entonces P(k+1) es verdadera.

entonces P(n) es verdadera para todo número natural n.

Si n0 es un entero cualquiera, el principio de inducción puede extenderse fácilmente al subconjunto

En efecto, supongamos que I es un subconjunto de A que satisface:

1.n0∈I.

2. Para todo k∈ℝ, si k∈I entonces k+1∈I.

Entonces si x∈A se tiene xn0+k para algún k∈ℕ0. Si k se sigue que xn0∈I. Si k >0, entonces k∈ℕ y podemos usar el principio de inducción para probar que n0+k∈I para todo k≥1.

Ahora, para k se tiene que como n0∈I, entonces n0n0+k∈I. Si se supone que n0+k∈I para un natural k, entonces por la segunda condición cumplida por I se sigue que (n0+kn0 + (k + 1)∈I, lo que termina la demostración. Se tiene entonces que A⊆I y, en consecuencia, AI.

Tenemos entonces que si n0∈ℤ y P(n) es una proposición acerca del entero n y si se cumplen:

1.P(n0) es verdadera.

2. Para todo entero k≥n0 se verifica que si P(k) es verdadera, entonces P(k+1) lo es.

Necesariamente se sigue que P(n) es verdadera para todo entero n≥n0.

Una tercera versión, muy útil, del principio de inducción es como sigue. La demostración se propone como ejercicio.

1.n0 ∈ I.

2.Para todo entero k con n0 ≤ k < n, si k ∈ I, entonces n ∈ I.

SECCIÓN 1.3

Divisibilidad y algoritmo de la división

Definición 1.3.2.

Sean a, b∈ℤ. Decimos que a divide a b, lo que notaremos a|b, si y solo si existe un entero c tal que bac.

Si a divide a b es usual decir que a es un divisor de b y que b es un múltiplo de a. Algunas de las propiedades básicas de la relación de divisibilidad en ℤ se presentan a continuación.

Teorema 1.3.1.

1. La relación de divisibilidad es reflexiva y transitiva pero no es simétrica ni antisimétrica.

3. Para todo entero a se tiene que a||a|, |a||a

4. Si a, b, c, d ∈ ℤ, entonces:

(b) Si a|b y b≠ 0, entonces |a| ≤ |b|.

(c) Si a|b y a≠ 0, entonces.

(d) Si a|b y a|c, entonces para todo par de enteros x, y se tiene que a|(bx + cy).

(e) Si ac|bc y c≠ 0, entonces a|b.

(f) Si a|b y c|d, entonces ac|bd.

Demostración. La mayoría de las demostraciones son sencillas y se proponen como ejercicios. Por ejemplo, demostremos (4a). Si a|b y b|a, entonces existen enteros x, y tales que bax, aby. Si b, entonces a y |a||b|. Si b≠ 0, entonces de bby)xb(yx), se sigue que yx, de donde yx±1 y por tanto b±a, luego |a||b|. Ahora, si |a||b|, entonces ab o a−b, b−a de donde a|b y b|a. Para demostrar (4b), notamos que si 0 ≠bax, entonces |x| ≥1 y, por tanto|b||a||x| ≥ |a|.

Una relación reflexiva y transitiva es usualmente denominada un preorden. Para una tal relación pueden también definirse elementos maximales, minimales, máximo y mínimo de un conjunto respecto de dicho preorden, de manera similar como en conjuntos parcialmente ordenados. Sin embargo, no necesariamente elementos máximos (o mínimos) bajo un preorden son únicos. En el caso del conjunto de los enteros, en particular, la divisibilidad es un preorden (no antisimétrico) y, por ejemplo, 0 es un elemento máximo pues para todo x∈ℤ se cumple que x|0. 0 es también un elemento maximal pues, como lo indica el teorema anterior, si 0|x, entonces x. Por su parte, 1 y −1 son elementos mínimos (aunque no minimales) en ℤ, bajo la relación de divisibilidad ya que para todo entero x se verifica que 1|x y −1|x. De particular interés en Teoría de números es la existencia de elementos maximales o máximos (y los duales, mínimo y minimales) de subconjuntos de ℤ bajo la relación de divisibilidad, en especial en subconjuntos de divisores comunes de un conjunto finito de enteros dados. Antes presentamos el algoritmo de la división que será de utilidad en la dirección mencionada.

Teorema 1.3.2. Algoritmo de la división.Sean a y b enteros con b > 0. Entonces existen enteros q y r tales que

Demostración. Si b >0, por la propiedad arquimediana, teorema 1.2.2 (6), existe t0∈ℕ tal que t0b≥ −a, de modo que a+bt0≥0. Así, el conjunto

es no vacío y tiene, por tanto, un elemento mínimo (principio del buen orden). Sea rA)≥0, de modo que existe t1∈ℤ tal que ra+bt1 y haciendo q−t1∈ℤ se tiene que abq+r.

Si r≥b, entonces se tendría

por lo que a+(−q−1)ba−qb−b∈A, de donde a−bq−b≥ra−bq, de donde se seguiría que b≤0, que contradice la positividad de b. Así, necesariamente, se tiene que r < b.

Observación 1.3.1.

Los enteros q y r del teorema anterior son únicos (ejercicio) y son denominados usualmente el cociente (q) y el residuo (r) de la división de a entre b.

Si A es un subconjunto no vacío de ℤ y si

es el conjunto de los divisores comunes de los elementos de A, entonces dicho conjunto es no vacío pues contiene al conjunto {−1,1}. Si existe un elemento máximo (respecto de la relación de divisibilidad) de DC(A), digamos d, entonces d∈DC(A) y para todo x∈DC(A) se satisface que x|d. Claramente −d es también un máximo de DC(A), por lo que la unicidad no está garantizada. Para garantizar tal unicidad exigiremos que d≥0.

Definimos inicialmente el máximo común divisor para dos enteros y después lo extenderemos a un número finito cualquiera de enteros. La definición, sin embargo, como se comentó en el párrafo anterior, puede extenderse a cualquier subconjunto de ℤ si bien en general no está garantizada la existencia.

Definición 1.3.3.

Sean a, b, d∈ℤ. Si d≥0, d es un máximo común divisor de a y b si y solo si:

1. d|a y d|b.

2. Para todo c∈ℤ si c|a y c|b, entonces c|d.

Como se demostrará a continuación, la condición exigida de no negatividad garantiza la unicidad del máximo común divisor de dos enteros cualesquiera.

Teorema 1.3.3.Sean a y b enteros cualesquiera. Entonces existe un único máximo común divisor de a y b.

Demostración. Consideremos primero el caso en que uno de los dos enteros dados, o ambos, es cero. Supongamos, sin perder generalidad, que b. Como todo entero divide a cero se tiene que |a||b y, además |a||a, |a| ≥0. Ahora, si ces un entero tal que c|a y c|b, entonces, como a||a| se sigue que c||a|, por lo que |a| es un máximo común divisor de a y b. Si d fuese otro máximo común divisor de a y b se tendría que d≥0 y d||a|,|a||d, de donde se sigue que d|d||a| y se tiene la unicidad.

Consideremos ahora el caso restante: a ≠ 0, b ≠ 0. Sea

Como se sigue que |a| (y, por razones similares, también |b|) está en A, por lo que tal conjunto es no vacío y, por el principio del buen orden, existe