Das Anisotropic Reverberation Model (ARM) E-Book

Stefan Drechsler

• Herausgeber: tredition
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Sprache: Deutsch

Seitenzahl: 404

Veröffentlichungsjahr: 2016

Beschreibung

Die Planung der Raumakustik von Innenräumen wie Büros, Seminarräumen, Foyers und ähnlichen Innenräumen wird häufig vernachlässigt. Anders als bei Konzertsälen wird hier oft die Notwendigkeit einer Akustiksimulation in der Planungsphase verneint, auch um Kosten einzusparen. Es ist daher das Ziel von Forschungen, für solche einfacheren Fälle der Akustikplanung Methoden und Verfahren der Raumakustiksimulation als Software zu implementieren, die einem akustischen Laien bei der akustisch sinnvollen Innenraumplanung helfen. Im Rahmen solcher Forschung wird mit dieser Dissertationsschrift ein Verfahren vorgeschlagen und diskutiert, das das Schallfeld als homogen und anisotrop annimmt. Damit liegt es zwischen einfachen Nachhallzeitformeln mit der Annahme von homogenem und isotropem Schallfeld und aufwendigeren Simulationsverfahren der geometrischen Raumakustik, die ein sowohl inhomogenes als auch anisotropes Schallfeld zu modellieren erlauben. Dieses Anisotropic Reverberation Model (ARM) verwendet als Unbekannte eines linearen Differentialgleichungssystems die Schallenergien von homogenen Schallenergieflüssen unterschiedlicher Ausbreitungsrichtungen. Die Koeffizienten der Systemgleichung beschreiben die Interaktion des Schalls an den Wänden des zu untersuchenden Raumes hinsichtlich Absorption und mehr oder weniger streuender Reflexion des Schalles. Damit lässt sich der energetische Verlauf des Nachhalles berechnen und damit auch die Nachhallzeit.

Leseprobe

Das Anisotropic Reverberation Model (ARM), ein neues und effizientes Rechenverfahren zur vereinfachten Raumakustiksimulation

© 2016 Stefan Drechsler Dissertation, HafenCity-Universität, Hamburg

Verlag: tredition, Hamburg

ISBN e-Book: 978-3-7345-5047-8(e-Book) ISBN Hardcover: 978-3-7345-5046-1(Hardcover)

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Inhalt

Abbildungsverzeichnis

Tabellenverzeichnis

Symbole und Formelzeichen

1 Einleitung

2 Etablierte Verfahren der Raumakustiksimulation

2.1 Wellenbasierte Simulationsmodelle

2.2 Simulation mit geometrischer Raumakustik

2.2.1 Wandabsorption

2.2.2 Schallstreuung

2.2.2.1 Ursachen für Schallstreuung

2.2.2.2 Beschreibungsparameter der Schallstreuung

2.2.2.3 Streumodelle

2.3 Nachhallzeitberechnung mit statistischen Methoden

2.4 Hybride Verfahren

2.5 Angestrebte Simulationsergebnisse

3 Geometrievereinfachung

3.1 Eingangsgrößen

3.2 Aufgabenstellung

3.3 Der Vereinfachungsalgorithmus

3.3.1 Zuordnung der Polygone zu Regressionsebenen

3.3.2 Rekonstruktion vereinfachter Polygone

3.3.3 Berechnung der Regressionsebene

3.3.3.1 Regressionsebene durch eine Punktewolke

3.3.3.2 Regressionsebene durch eine Anzahl Polygone

3.3.3.3 Verwendete Bezeichnungen

3.3.3.4 Häufige Integrale

3.3.3.5 Die Fläche als nulltes Moment

3.3.3.6 Der Schwerpunkt als erstes Moment

3.3.3.7 Die zweiten Momente

3.3.3.8 Gemischte zweite Momente

3.4 Weitere Erläuterungen und Sonderfälle

3.4.1 Fallunterscheidungen

3.4.2 Größe von Polygonen

3.4.3 Verwendung der Polygongröße

3.4.4 Berechnung der Matrixelemente

3.4.5 Polygongruppen einer Ebene

3.4.6 Projektion in die Regressionsebene

3.4.7 Ebenenschnittpunkte

3.4.8 Ebenen und Säulen

3.4.9 Behandlung paralleler Regressionsebenen

3.5 Leistungsfähigkeit anhand von Beispielen

3.5.1 Vereinfachte Kugeln

3.5.2 Geometrievereinfachung in einem praktischen Fall

4 Die Idee des Anisotropic Reverberation Model

4.1 Das Wellenfeld als Superposition ebener Wellen

4.2 ARM als vereinfachtes Radiosity-Verfahren

4.3 ARM als richtungsabhängige statistische Methode

5 Theorie des Anisotropic Reverberation Model

5.1 Die ARM-Systemmatrix

5.1.1 Richtungsdiskretisierung

5.1.2 Komponenten der ARM-Systemmatrix

5.1.3 Eigenschaften der ARM-Systemmatrix

5.1.4 Streumodelle im ARM

5.1.4.1 Das klassische Lambert’sche Streumodell überlagert mit Spiegelung

5.1.4.2 Vektormixing

5.1.4.3 Streukegelmodell

5.2 Vereinfachte Kantenbeugung nach Gordon

5.2.1 Kantenbeugung nach Gordon

5.2.2 Oktavbandgemittelte Kantenbeugung

5.2.3 Vergleich mit anderen Streuabschätzungen

5.2.4 Anwendung der Kantenbeugung in ARM

5.2.4.1 Gordon-Beugung ersetzt Spiegelung

5.2.4.2 Streuparameter aus Kantenstreucharakteristik

5.2.5 Zusätzliche Streuung bei Geometrievereinfachung

5.3 Ermittlung des Nachhallverlaufs …

5.3.1 … mit dem Euler-Verfahren

5.3.2 … mit Eigenvektoren

5.4 Akustische Auswertung der Nachhallkurven

5.4.1 Problematik Echogramm

5.4.2 Nachhallzeiten

5.4.3 Stärkemaß

5.4.4 Flatterechos

5.5 Grenzen von ARM

6 Evaluierung von ARM anhand von numerischen Beispielen

6.1 Der Grenzfall vollständiger Diffusität

6.2 Die notwendige Auflösung der Richtungsdiskretisierung im Rechenbeispiel

6.3 Vergleich unterschiedlicher Streumodelle

6.4 Der Fall provozierter Flatterechos

6.4.1 Erkennung von Flatterechopfaden

6.4.2 Flatterechos im Rechteckraum

6.5 In ARM ununterscheidbare Fälle

6.5.1 Ununterscheidbare Materialverteilung

6.5.2 Ununterscheidbare Raumgeometrie

6.6 Der Rechteckraum

6.7 Die Aula der RWTH - Vergleich mit Messungen

7 Zusammenfassung und Ausblick

A Richtungsdiskretisierung

A.1 Die Unterteilung des Ikosaeders

A.2 Die flächentreue Projektion

A.2.1 Die Snyder-Projektion

A.2.2 Die Tegmark-Projektion

A.2.3 Die baryzentrische Projektion

A.3 Eigenschaften der Richtungsdiskretisierungen

B Daten zur Aula der RWTH

Literaturverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

2.1

Schematische Darstellung des Spiegelschallquellenverfahrens

2.2

Schematische Darstellung der Schallteilchenmethode

2.3

Schematische Darstellung der Radiosity-Methode

2.4

Das Spiegelstreumodell

2.5

Das Lambert’sche Streumodell

2.6

Das Spiegel-Lambert-Streumodell

2.7

Das Vektormixing-Streumodell

3.1

Regressionsebene in der Doppelschicht

3.2

Kantenrekonstruktion bei der Geometrievereinfachung

3.3

Priorisierung großer Polygone

3.4

Ambivalente Polygonzuordnung zu Regressionsebenen

3.5

Nicht einfach zusammenhängende Polygone

3.6

Rekonstruktion von Polygoneckpunkten

3.7

Vereinfachte Säulen

3.8

Parallele Regressionsebenen

3.9

Kugel mit vereinfachter Geometrie

3.10

Zu vereinfachende Geometrie der RWTH-Aula

3.11

Regressionsebenen zur RWTH-Aula

3.12

Vereinfachte Geometrie der RWTH-Aula

5.1

Abtasttheorem auf der Kugeloberfläche

5.2

Schema zur Umverteilung der Schallenergie

5.3

Das Vektormixing Streumodell VM

5.4

Abhängigkeit des Diffusitätskoeffizienten vom Streugrad

5.5

Das Kegel-Streumodell

5.6

Zur Herleitung der Kantenbeugung

5.7

Näherung bei Kantenbeugung

5.8

Streudiagramme bei schrägem Einfall

5.9

Kantenbeugung an einem sternförmigen Polygon

5.10

Die ARM-Systemmatrix als Adjazenzmatrix

5.11

Die stärksten Kanten im ARM-Systemgaphen

5.12

Geschlossene Wege im ARM-Systemgraph

5.13

Rekonstruktion des Echokorridors

6.1

Nachhall im “weißen” Würfel

6.2

Nachhall im “spiegelnden” Würfel

6.3

Nachhall im “mattgrauen” Würfel

6.4

Nachhall im “glänzendgrauen” Würfel

6.5

Darstellung der Schallrichtungsverteilung durch Eigenvektoren

6.6

Isotropiemaß im Würfel beim SL-Streumodell

6.7

Isotropiemaß im Würfel beim VM-Streumodell

6.8

Isotropiemaß im Würfel beim KE-Streumodell

6.9

Nachhallzeiten beim SL-Streumodell nach Diskretisierungen

6.10

Abweichungen beim SL-Streumodell nach Diskretisierungen

6.11

Nachhallzeiten beim VM-Streumodell nach Diskretisierungen

6.12

Abweichungen beim VM-Streumodell nach Diskretisierungen

6.13

Nachhallzeiten beim KE-Streumodell nach Diskretisierungen

6.14

Abweichungen beim KE-Streumodell nach Diskretisierungen

6.15

Nachhallkurve im leeren Hallraum

6.16

Nachhallkurve im Hallraum mit absorbierendem Boden

6.17

Nachhallkurve im Hallraum mit einer absorbierenden Wand

6.18

Nachhallkurve im Hallraum mit zwei absorbierenden Wänden

6.19

Flatterechopfade im Rechteckraum

6.20

Flatterechopfade im Dreiecksprisma

6.21

Flatterechos im Achteckprisma

6.22

Flatterechos im Siebeneckprisma

6.23

Ein nicht ebener Flatterechopfad

6.24

Flatterechos im Hallraum ohne parallele Wände

6.25

Verlängerter Nachhall durch Flatterechos

6.26

Bekämpfung von Flatterechos durch Absorption

6.27

Bekämpfung von Flatterechos durch Streuung

6.28

Bekämpfung von Flatterechos durch Wandneigung

6.29

Materialverteilungsvarianten mit gleicher ARM-Systemmatrix

6.30

Unterschiedliche Anordnung von spiegelndem Material

6.31

Unterschiedliche Anordnung von absorbierendem Material

6.32

Unterschiedliche Anordnung von streuendem Material

6.33

Unterschiede in den Nachhallkurven nach Streumodellen

6.34

Raumgeometrievarianten mit identischer ARM-Systemmatrix

6.35

Nachhallzeiten für Raumgeometrievarianten

6.36

Nachhallzeiten in Rechteckräumen unterschiedlicher Gestalt

6.37

Gemessene Nachhallzeiten der RWTH-Aula

6.38

Abgleich der Luftabsorption in der RWTH-Aula

6.39

Nachhallkurven der RWTH-Aula

6.40

Nachhallzeitenvergleich zur RWTH-Aula mit dem SL-Streumodell

6.41

Nachhallzeitenvergleich zur RWTH-Aula mit dem VM-Streumodell

6.42

Nachhallzeitenvergleich zur RWTH-Aula mit dem KE-Streumodell

6.43

Vergleich der Streumodelle bei der Simulation der RWTH-Aula

A.1

Netzabwicklung eines Ikosaeders

A.2

Design der Richtungsdiskretisierung

A.3

Eine Richtungsdiskretisierung mit Dreiecken

A.4

Die gnomonische Projektion

A.5

Zur Herleitung der Snyder-Projektion

A.6

Zur baryzentrischen Projektion

A.7

Der Satz von Lexell

A.8

Diskretisierungen mit gleicher Anzahl an Richtungsbereichen

B.1

Grundriss der RWTH-Aula

B.2

Querschnitt der RWTH-Aula

B.3

Materialverteilung in der RWTH-Aula I

B.4

Materialverteilung in der RWTH-Aula II

Tabellenverzeichnis

3.1

Algorithmus zum Ermitteln von Regressionsebenen

3.2

Die Rechenzeiten der Geometrievereinfachung

6.1

Nachhallzeiten im Würfelraum

6.2

Zusammenhang von Standardabweichung und Diskretisierung

6.3

Koordinaten des Hallraums nach

[

106

]

6.4

Simulationsergebnisse zur RWTH-Aula

A.1

Daten ausgewählter Richtungsdiskretisierungen

A.2

Richtungsdiskretisierungen mit Dreiecken

A.3

Richtungsdiskretisierungen mit Sechsecken

B.1

Absorptionsgrade in der RWTH-Aula

B.2

Streugrade in der RWTH-Aula

Symbole und Formelzeichen

𝐀

\mathbf{A}

Momentenmatrix

A

2

A^2

Isotropiemaß

a

⃗

i

\vec{a}_i

Polygoneckpunkt

a

i

j

a_{ij}

Element der ARM-Systemmatrix

α

\alpha

Schallabsorptionsgrad

ARD

Adaptive Rectangular Decomposition

ARM

Anisotropic Reverberation Model

ART

Acoustic Radiance Transfer

AWP

Acoustical Wave Propagator

B

baryzentrische Projektion

BDTF

Bi-Directional Transfer Function

BEM

Boundary Element Methode

c

c

Phasengeschwindigkeit der Wellenausbreitung

C

80

C_{80}

Klarheitsmaß

CAD

Computer Aided Design

CARAO

Computer Aided Room Acoustics Optimisation, Name eines Forschungsprojektes

D

D

optionaler Längenparameter

d

d

Diffusitätskoeffizient

d

d

Schichtdicke als Filterparameter

d-MCSSP

multi-

d

imensional

M

ultiple

C

hoice

S

ubset

S

um

P

roblem

D

50

D_{50}

Deutlichkeitsmaß

dB

Dezibel, logarithmisches Verhältnismaß

Δ

\Delta

Der Laplacoperator, also für dreidimensionale kartesische Koordinaten

∂

2

∂

x

2

+

∂

2

∂

y

2

+

∂

2

∂

z

2

\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}

d

j

k

i

d_{jki}

diskretisiertes Streumodell

d

k

d_k

kantenbedingter Diffusitätskoeffizient

d

r

d_r

rauigkeitsbedingter Diffusitätskoeffizient

E

E

Empfängerposition

E

E

Liste von Regressionsebenen

EDT

Early Decay Time

f

f

Frequenz

FDM

Finite Differenzen Methode

FEM

Finite Elemente Methode

f

n

m

(

p

)

f_n^m(p)

Kugeloberflächenfunktionen

f

S

f_S

Schroeder-Frequenz

G

gnomonische Projektion

G

G

Green’sche Funktion

G

G

Stärkemaß

g

g

Polygongröße

γ

m

n

\gamma_{mn}

Koeffizienten der Kugeloberflächenfunktionen

γ

2

\gamma^2

Varianz der mittleren freien Weglänge

HRT

Heat Radiance Transfer

i

,

j

,

k

i, j, k

Zählindex

KE

Ke

gelstreumodell

λ

\lambda

Eigenwert

Λ

\Lambda

Mittlere freie Weglänge

M

M

Anzahl der Wände eines akustisch zu untersuchenden Raumes

MLS

Maximum Length Sequenz

μ

\mu

arithmetischer Mittelwert

M

x

M_x

,

M

y

M_y

,

M

z

M_z

erste Momente

M

x

x

M_{xx}

,

M

x

y

M_{xy}

…

\dots

zweite Momente

N

N

Anzahl der Richtungsbereiche einer Richtungsdiskretisierung

n

n

Anzahl

n

⃗

\vec{n}

Einheitsnormalenvektor

(

n

1

,

n

2

)

(n_1, n_2)

Designparameter für Richtungsdiskretisierungen

𝒪

\mathcal{O}

Big-O-Notation für Komplexität von Algorithmen

ODEON

kommerzielles Softwaresystem zur Raumakustiksimulation

Ω

\Omega

Raumwinkel

ω

\omega

Kreisfrequenz

p

(

x

⃗

,

t

)

p(\vec{x}, t)

Schalldruck als Amplitude der Schallwelle

P

,

Q

P, Q

Polyeder

P

,

Q

P, Q

Polygon

R

̲

\underline{R}

komplexer Reflexionsfaktor

R

R

Ort einer Reflexion

R

⃗

\vec{R}

Ortskoordinate

RAY

Schallteilchenalgorithmus mit der in dieser Arbeit verwendeten Implementierung

r

⃗

i

\vec{r}_i

,

r

⃗

j

\vec{r}_j

Richtungsvektoren, vor allem für Einfalls- und Ausgangsrichtung

RWTH Aula

Aula der Rheinisch Westfälischen Technischen Hochschule in Aachen

S

S

Fläche, Flächeninhalt

S

S

Source, Schallquellenposition

S

Projektion nach Snyder

S

⃗

\vec{S}

Ortskoordinate des Schwerpunkts

s

s

Streugrad, Gesamtstreugrad

S

2

S^2

Oberfläche der Einheitskugel

σ

\sigma

statistische Streuung

s

j

k

s_{jk}

Anteil der projizierten Fläche der Wand

k

k

in Richtung

j

j

s

k

s_k

kantenbedingter Streugrad

SL

Streumodell, das

S

piegelung und

L

ambert’sche Streuung kombiniert

s

r

s_r

rauigkeitsbedingter Streugrad

STI

Speech Transmission Index

SVD

Singular Value Decomposition

τ

\tau

Zeitschritt im Euler-Verfahren

T

,

T

20

,

T

30

T, T_{20}, T_{30}

Nachhallzeit

T

Projektion nach Tegmark

t

t

Zeitvariable

θ

\theta

Einfalls-, Ausgangswinkel

V

V

Raumvolumen

v

⃗

\vec{v}

Eigenvektor

VM

Streumodel

V

ektor

m

ixing

x

⃗

\vec{x}

Vektoren für dreidimensionale Geometrie werden mit einem Pfeil gekennzeichnet

𝐱

\mathbf{x}

Vektoren mit mehr als drei Komponenten werden durch Fettschrift gekennzeichnet

1 Einleitung

Mit dem Thema Raumakustik kommt ein interessierter Laie oft nur dann bewusst in Berührung, wenn es um Konzertsäle oder Opernhäuser geht. Weitaus häufiger ist man im Alltag von Raumakustik betroffen, ohne dass dies einem bewusst wird: Unangenehm laute Umgebung in Räumen der Gastronomie, Museen mit schwer zu verstehenden Führungen oder vom Lärm im Klassenzimmer gestresste Lehrer sind nur wenige Beispiele für Situationen, in denen eine Planung der Raumakustik hätte Abhilfe schaffen können.

Auch in der Fachliteratur ist die Königsdisziplin die akustische Behandlung von Konzertsälen unter verschiedenen Aspekten wie praktische Fragestellungen für das Orchester [103], [201], Gestaltungsprinzipien [343] oder der sensorischen Erfassung und Bewertung des Hörerlebnisses [320], [187]. Neben diesem prestigeträchtigen Bereich lebt die Branche der Raumakustik-Beratung aber in erster Linie von eher alltäglichen Problemsituationen, etwa bei den besonderen Anforderungen, wenn in Klassenzimmern [251], [329] nicht nur Frontalunterricht stattfinden soll [11], bis hin zu Räumen zur Religionsausübung [234], [230]. Fälle mit problematischen akustischen Verhältnissen, die auch einer breiteren Öffentlichkeit auffallen, wie etwa der Plenarsaal in Bonn [93], liegen schon etwas länger zurück.

Räume, die im Gegensatz zu Konzertsälen geringere akustische Anforderungen stellen, sind dabei keineswegs einfacher zu simulieren [45], gerade weil außergewöhnliche Situationen im Rechenmodell nachgestellt werden müssen, die man im Konzertsaal vermeidet. In einigen Fällen versagen daher auch einfache Formeln zur Berechnung der Nachhallzeit.

Von den Proportionen eher flache (zum Beispiel Großraumbüros [334]) oder längliche Räume, oder ungleichmäßige Verteilung von akustischen Materialeigenschaften führen zur ungleichmäßigen Verteilung der Eigenschaften der Schallfelder im Raum, auch hinsichtlich der unterschiedlichen Ausbreitungsrichtungen des Schalls. Man ist daher bestrebt, Formeln wie die von Sabine oder Eyring zu erweitern, um zum Beispiel auch schallstreuende Materialeigenschaften berücksichtigen [87] oder die Gestalt des Raumes in eine Simulation mit einfließen lassen zu können [98], [219], [220].

Den Architekten, die in solchen Fällen eine akustische Planung unterlassen haben, ist auch keine Absicht vorzuwerfen, sondern oft lediglich die Unkenntnis der Möglichkeiten der raumakustischen Gestaltung. Das Anliegen, mehr akustische Themen in der Ausbildung an Architekten zu vermitteln [16], [238], ist daher zu unterstützen.

Einen Architekten, der im Bereich der Raumakustik als Laie gilt, mögen auch die Kosten abschrecken, die er von der Planung der Raumakustik von Konzertsälen aus der Tagespresse kennt. Dazu kommt das Problem, das eigentliche Ziel der Raumakustikplanung genau zu definieren: Was ist gute Akustik? Hier hilft die reine Naturwissenschaft nicht weiter; man muss die Wissenschaft der Hörpsychologie mit ins Boot nehmen. Neben allgemeinen Werken der Psychoakustik [96], [349] wird insbesondere in [187] für Konzertsäle eine sensorische Bewertung ihrer Raumakustik angestrebt, ein Forschungsgebiet, auf dem sich noch längst nicht allgemein anerkannte Bewertungskriterien herauskristallisiert haben. Auch zur Bewertung der Klangqualität von Räumen zum Zwecke der Kommunikation wird die Psychoakustik als Werkzeug benutzt [27].

Aus diesem Grund verfolgt man oft eine andere Strategie bei der Akustikplanung. Der Entscheider, also der Bauherr, entscheidet nach persönlichem Geschmack aufgrund eines Hörerlebnisses, das dazu in der Planungsphase simuliert wird. Diese Auralisierung der Raumakustik ist ebenfalls seit Langem Gegenstand der Forschung [28]. Ein Überblick über diese Technologie ist in [335] zu finden. Die Ergebnisse von Simulationstechniken, die später noch genauer beschrieben werden, werden dabei weiteren Rechenschritten unterzogen, um hörbare Ergebnisse zu erzeugen. In [170] und [168] wurde zu diesem Zweck ein Zufallsprozess vorgeschlagen, der mit [78] auch implementiert wurde, um die spezifische Akustik eines Raumes in Audiosignale umzusetzen. Die der Auralisierung zugrundeliegende Kunstkopfstereophonie wird mit ihren theoretischen Grundlagen in [60] beleuchtet. Die Verwendung in einem hybriden Modell wird in [168] erläutert. In einem ähnlichen hybriden Modell verwenden [196] und [332] weißes Gauß’sches Rauschen statt eines Poisson-Prozesses.

Für die Anwendung der Auralisierung steht auch Software frei zur Verfügung [222], mit der in der Planungsphase ein Höreindruck der projektierten Räume erlebt werden kann. Auch wenn die Auralisierung es dem Entscheider erlaubt, die Planung subjektiv und ohne Fachkenntnisse zu beurteilen, erfordert die Auralisierung doch viele Fachkenntnisse beim Planer, so dass es nicht verwunderlich ist, dass Architekten auch hier den Aufwand für das vermeintlich geringe Problem der Raumakustik scheuen.

Im Gegensatz zu Konzertsälen, wo es um die Optimierung der letzten akustischen Nuance für das Musikerlebnis geht, gilt es in alltäglicheren Situationen oft nur, grobe akustische Fehler zu vermeiden.

Dies war eine der Motivationen für ein Drittmittelprojekt an der HafenCity-Universität Hamburg. Bei CARAO (Computer Aided Room Acoustics Optimisation) ging es darum, Algorithmen zu entwickeln und zu implementieren, die Architekten bei der raumakustischen Planung von Innenräumen unterstützen. Dabei standen folgende Teilaspekte im Fokus:

Zum einen sollten Architekten als Nutzer einer Planungssoftware bei der Materialauswahl für Wände, Decken und Böden eines Raumes unterstützt werden, damit die Nachhallzeit – einer der wichtigsten raumakustischen Parameter – innerhalb der empfohlenen Grenzen bleibt.

Zum anderen sollte ein Algorithmus entwickelt werden, der die Lücke schließt zwischen den simplen, nicht immer gültigen Formeln für die Nachhallzeit – am bekanntesten sind hier die Formeln von Sabine und Eyring – und den aufwendigen und Expertenwissen erfordernden Rechenverfahren, die auf Strahlverfolgung und Spiegelschallquellen basieren.

Das dritte Ziel war, typische Fehler der Akustik, wie etwa Flatterechos bereits in der Planung erkennen zu können.

Schließlich sollte, um bereits vorhandene CAD-Daten aus der Planung von Innenräumen nutzen zu können, ein Algorithmus entwickelt werden, der diese Daten für raumakustische Analyseverfahren aufbereitet. Dazu ist insbesondere eine Vereinfachung der Raumgeometrie notwendig.

Die erste Anforderung zielt auf die Optimierung ab, also auf die algorithmische Unterstützung der Raumplanung zum Erreichen gewisser akustischer Kriterien. Es handelt sich also konkret um ein inverses Problem: Vorgegeben ist eine anzustrebende akustische Eigenschaft, zum Beispiel die Nachhallzeit, gesucht ist eine Materialauswahl für die einzelnen Wände des Raumes, mit der die gewünschten Nachhallzeiten erreicht werden. Mitunter sind bei der akustischen Optimierung auch weitere, zum Beispiel finanzielle, Nebenbedingungen zu berücksichtigen [290].

Eine allgemeinere Formulierung des inversen Problems gibt eine gemessene oder angestrebte Raumimpulsantwort vor, aus der die Raumform rekonstruiert werden soll [73]. Abgesehen von der praktischen Herausforderung hat es auch bei der theoretischen Behandlung nach der Veröffentlichung der Fragestellung [148]26{}{26} Jahre bis zur Antwort [113] gedauert, die zudem nur das zweidimensionale Problem behandelte und außerdem aufzeigte, dass die Ergebnisse – für die Verteilung der Resonanzfrequenzen – nicht eindeutig sind.

Im Rahmen von CARAO wurde das einfachere inverse Problem der vorgegebenen Nachhallzeiten und der gesuchten Materialverteilung als ein multidimensional multiple choice subset sum problem (d-MCSSP) beschrieben, die frühe Version einer Lösung veröffentlicht [75] und eine ausgereiftere Version an den Drittmittelpartner zur Implementierung übergeben. Dieses Verfahren verwendet die Sabine’sche Nachhallformel in einer speziellen Form eines Knapsack-Problems zusammen mit einem heuristischen und interaktiven Lösungsverfahren. Dieser Zweig des CARAO-Projektes ist jedoch nicht Gegenstand dieser Arbeit. Auch eine notwendige Sammlung von Materialdaten, insbesondere von Schallabsorptionsgraden und Streugraden war Aufgabe eines weiteren CARAO-Partners und ist ebenfalls nicht Gegenstand dieser Arbeit.

Das Thema dieser Dissertationsschrift ist im Wesentlichen aus der Anforderung entstanden, ein Rechenmodell zur Behandlung der Raumakustik zu entwickeln, das einfacher gestaltet ist als die etablierten Simulationsverfahren und insbesondere auch weniger akustische Fachkenntnisse vom Benutzer zur Bedienung einer Softwareimplementation desselben verlangt. In diesem Rahmen wird auch eine aus Optik und Radartechnik entlehnte Methode zur Berechnung der Wellenbeugung in der Akustik angewandt. Aufgrund der Eigenschaften des vereinfachten physikalischen Modells erhielt dieses Verfahren die Bezeichnung Anisotropic Reverberation Modell (ARM).

Dieses Modell ist der zentrale Gegenstand dieser Arbeit.

Die Eigenschaften von ARM erlauben auch in einem weiteren Schritt die Erkennung von Flatterechos und erfüllen somit eine weitere Anforderung des CARAO-Projektes. Ein weiterer akustischer Fehler, der Fokussierungseffekt, der auftritt, wenn gewölbte Wand- oder Deckenteile wie ein Hohlspiegel für Schall wirken, kann mit ARM allerdings nicht behandelt werden.

Die vierte Anforderung, die Geometrievereinfachung, war ursprünglich eine Aufgabe des Drittmittelpartners von CARAO. Im Lauf des Projektes fiel diese Aufgabe dann auch dem Autor zu. Da die Geometrievereinfachung ein wesentlicher Bestandteil in der Automatisierung des akustischen Modellierungs- und Berechnungsprozesses ist, wird sie hier ausführlich vorgestellt.

Auch wenn sich die Themenbereiche dieser Arbeit zum großen Teil mit den den Zielen von CARAO decken, soll die Darstellung hier auch ohne nähere Kenntnisse des Drittmittelprojektes verstanden werden können, so dass sich die Hinweise auf CARAO im Wesentlichen auf diese Einleitung beschränken.

Die Hauptthemen dieser Arbeit sind wie folgt in die vorliegende Arbeit eingegliedert. Zu Beginn wird mit Kapitel 2 über den Stand der Technik der Kontext beschrieben, das Thema der Raumakustiksimulation und der Stand der Forschungen auf diesem Gebiet, auf die diese Arbeit Bezug nimmt. Dann wird Kapitel 3 eingeschoben, das das Problem der Geometrievereinfachung behandelt. Auch wenn hier akustische Kriterien einige Vorgaben an den Algorithmus stellen, handelt sich es vorrangig um eine rein geometrische Aufgabenstellung, die den Zusammenhang der folgenden Kapitel nicht unterbrechen soll. Die folgenden Kapitel zum Kernthema, dem Anisotropic Reverberation Model (ARM), beginnen mit einer Motivation (Kapitel 4), in der die Ideen von ARM im Kontext zu anderen Simulationstechniken dargestellt werden, bevor in Kapitel 5 die theoretischen Grundlagen behandelt werden. Die Anwendung des ARM schließt sich in Kapitel 6 an zunächst mit einigen Rechenbeispielen, die die Grenzen des Verfahrens ausloten und dann mit einigen Fällen, die den praktischen Umgang mit ARM aufzeigen. Zum Schluss werden die Ergebnisse zusammengefasst und die verbleibenden und neu aufgeworfenen Fragen in einem Ausblick (Kapitel 7) diskutiert.

Die Durchführung der Arbeit baut unter anderem auf allgemeinen Wissensgrundlagen auf, für die zahlreiche Quellen zur Verfügung stehen. Statt jeweils die Originalquellen anzugeben, wird aus Gründen des Umfanges an dieser Stelle pauschal auf Nachschlagewerke verwiesen, in denen Grundlagen nachzulesen sind. Für die Mathematik sind dies im Wesentlichen [33] und [297]. Algorithmen und Datenstrukturen, wie sie in der dreidimensionalen Computergrafik Verwendung finden, sind in [108], [8], [155] und [126] nachzulesen. Für die Grundlagen der Akustik wurde [166], [199], [213], [333] und [29] verwendet. Die Verwendung der akustischen Fachbegriffe orientiert sich an [64].

Weitere Darstellungen unter verschiedenen Aspekten findet man zum Beispiel in [95] mit praktischen Planungshinweisen, in [212] mit dem Schwerpunkt Messtechnik, in [198] als Formelsammlung zur Akustik, in [214] geht es eher um den Aspekt der Lärmbekämpfung, und [240] bietet eine eher populärwissenschaftliche Einführung.