9,99 €
Mehr erfahren.
- Herausgeber: ROWOHLT E-Book
- Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
- Sprache: Deutsch
- Veröffentlichungsjahr: 2015
Der Zauberer bändigt das Chaos: Ein gut sortiertes Kartenblatt wird von einem Zuschauer scheinbar völlig beliebig durcheinandergebracht. Doch dann – Simsalabim! – ist die Ursprungsreihenfolge wiederhergestellt. Zaubertricks wie dieser sind nicht schwer, und sie haben einen interessanten mathematischen Hintergrund. Ehrhard Behrends hat viele solcher verblüffenden Kartentricks und Zahlenspiele zusammengetragen - und präsentiert sie in diesem farbig illustrierten Buch mit leichter Hand. Wer will, kann sich einfach auf die Zaubereien konzentrieren und die Tricks lernen. Behrends freilich erklärt auch die faszinierende Mathematik dahinter, die sich mit den Eigenschaften von Zahlen, mit Kodierungen und Wahrscheinlichkeiten beschäftigt. Spaß mit Mathe - und mit hohem Unterhaltungswert. «Die Popularisierung der Mathematik ist dem Professor der Freien Universität eine Herzensangelegenheit.» (Der Tagesspiegel) «Mathematik, das ist für Behrends keine Welt der staubtrockenen Zahlen und Formeln. Für ihn ist es eine Wissenschaft für die Sinne.» (Die Welt)
Das E-Book können Sie in Legimi-Apps oder einer beliebigen App lesen, die das folgende Format unterstützen:
Seitenzahl: 267
Ähnliche
Ehrhard Behrends
Der mathematische Zauberstab
Über dieses Buch
Der Zauberer bändigt das Chaos: Ein gut sortiertes Kartenblatt wird von einem Zuschauer scheinbar völlig beliebig durcheinandergebracht. Doch dann – Simsalabim! – ist die Ursprungsreihenfolge wiederhergestellt. Zaubertricks wie dieser sind nicht schwer, und sie haben einen interessanten mathematischen Hintergrund. Ehrhard Behrends hat viele solcher verblüffenden Kartentricks und Zahlenspiele zusammengetragen – und präsentiert sie in diesem farbig illustrierten Buch mit leichter Hand. Wer will, kann sich einfach auf die Zaubereien konzentrieren und die Tricks lernen. Behrends freilich erklärt auch die faszinierende Mathematik dahinter, die sich mit den Eigenschaften von Zahlen, mit Kodierungen und Wahrscheinlichkeiten beschäftigt. Spaß mit Mathe – und mit hohem Unterhaltungswert.
«Die Popularisierung der Mathematik ist dem Professor der Freien Universität eine Herzensangelegenheit.»
(Der Tagesspiegel)
Über Ehrhard Behrends
Ehrhard Behrends, 69, ist Professor für Mathematik und Informatik an der FU Berlin. Unter anderem ist er Mitgründer der beliebten Webseite www.mathematik.de, analog dazu auf europäischer Ebene der Website www.mathematics-in-europe.eu
Inhaltsübersicht
Du mußt verstehn!
Aus Eins mach’ Zehn,
Und Zwei laß gehn,
Und Drei mach’ gleich,
So bist Du reich.
Verlier’ die Vier!
Aus Fünf und Sechs,
So sagt die Hex’,
Mach’ Sieben und Acht,
So ist’s vollbracht:
Und Neun ist Eins,
Und Zehn ist keins.
Das ist das Hexen-Einmaleins!
Aus Goethes Faust, Hexenküche,
Zeile 2540 bis 2552
Vorwort
Haben Sie Lust, beim nächsten Treffen mit Freunden oder bei der nächsten Familienfeier einige überraschende Zaubertricks zu präsentieren? Tricks, für die Sie nicht lange üben müssen, die von niemandem im Publikum durchschaut werden und die garantiert funktionieren?
Zauberei, die auf Mathematik beruht, vereinigt alle diese Vorteile. In diesem Buch finden Sie viele Vorschläge, wie der «zauberhafte» Aspekt dieses Faches eingesetzt werden kann.
Falls Sie zu den Menschen gehören, die nicht nur bewährte Kochrezepte anwenden wollen, sondern auch verstehen möchten, warum die beschriebenen Tricks so funktionieren wie behauptet, werden Sie auch dazu alle wichtigen Informationen finden. Die zugehörige Mathematik wird in allen Fällen ausführlich erläutert.
Ich würde mich freuen, wenn dieses Buch Ihr Interesse für die Zauberei oder für die Mathematik – vielleicht sogar für beides – wecken oder, falls schon vorhanden, vertiefen kann.
Ehrhard Behrends
Berlin, im Juli 2015
Einleitung
Die Zauberei ist eine eigene Welt. Tausende sind ihr verfallen. Sie sind in Vereinen organisiert (hierzulande zum Beispiel in vielen regionalen Vereinigungen unter dem Dachverband des Magischen Zirkels von Deutschland; http://www.mzvd.de/). Es gibt Meisterschaften und regelmäßig erscheinende Fachzeitschriften. Perfektion und Originalität der «Aficionados» haben naturgemäß eine große Variationsbreite.
Da bekanntlich niemand wirklich zaubern kann, muss die Illusion, dass gerade etwas Unmögliches passiert, anders erzeugt werden. In der klassischen Zauberkunst spielen deshalb Fingerfertigkeit und vorbereitete Hilfsmittel eine große Rolle: Falsche Übergabe einer Münze (sie wandert in Wirklichkeit nicht in die andere Hand), Kästen mit versteckten Schubladen, unauffälliges Verbergen einer Münze oder einer Spielkarte in der Hand (sogenanntes Palmieren) und vieles mehr.
In diesem Buch wird die Hauptarbeit von der Mathematik geleistet. Das ist möglich, weil mit dem richtigen mathematischen Hintergrund manchmal Strukturen und Informationen in Situationen aufgedeckt werden können, in denen nicht Eingeweihte Voraussagen gar nicht für möglich halten. Zum Beispiel:
• Jemand denkt sich eine Zahl, mit der gewisse Manipulationen vorgenommen werden: Reihenfolge der Ziffern vertauschen, Additionen, Multiplikationen usw. Und unabhängig von der gedachten Zahl kann das Ergebnis vorausgesagt werden.
• Ein Kartenspiel wird gemischt, scheinbar ist die Reihenfolge der Karten unvorhersehbar durcheinandergebracht. Trotzdem kann die Stelle bestimmt werden, an der sich eine vorher ausgewählte Karte befindet.
Schon seit Jahren finde ich diesen Aspekt der Mathematik faszinierend. Natürlich versuche ich, nach und nach auch die «klassischen» Bereiche der Zauberei zu lernen, doch wird es sicher noch eine Weile dauern, bis ich – zum Beispiel – das Zerschneiden und Wiederzusammenfügen von Seilen oder das unvorhergesehene Umfärben von Seidentüchern in meine Programme aufnehmen möchte.
Manche, die an die Mathematik ihrer Schulzeit nicht so positive Erinnerungen haben, werden vielleicht befürchten, dass sie sich hier durch viel Theorie hindurcharbeiten müssen, bevor richtig gezaubert wird. Für die gibt es eine Entwarnung: Man kann das vorliegende Buch auch als ganz gewöhnliche Zauberanleitung lesen. Es wird ausführlich beschrieben, was zu tun ist, damit der Trick funktioniert. Und wenn man den einfachen Anleitungen folgt, wird auch alles klappen.
Ich hege allerdings die Hoffnung, dass es viele Leserinnen und Leser gibt, die wissen möchten, warum ein spezieller Trick eigentlich funktioniert. Für sie gibt es ausführliche mathematische Erläuterungen.
Dabei wird es an keiner Stelle wirklich schwierig. Wer sich noch an einige wichtige Begriffe des Schulstoffs erinnert, sollte keine Probleme haben: Wie multipliziert man schriftlich zwei dreistellige Zahlen? Was sind Teiler einer Zahl? Was ist eine Primzahl?
Deshalb kann man das Buch auch als Einladung verstehen, einige interessante und wichtige Aspekte der Mathematik kennenzulernen: Wie beherrschen Mathematiker die Unendlichkeit durch Induktion? Warum sind Reste beim Teilen wichtig? Was ist Codierung? Wie gehen Mathematiker mit Wahrscheinlichkeiten um?
Das Buch beginnt mit einem vorbereitenden Abschnitt, in dem einige Grundbegriffe erklärt werden. Man kann ihn sofort lesen oder sich erst dann darum kümmern, wenn die entsprechenden Erläuterungen bei einem der Tricks erforderlich werden. Dann gibt es vier Kapitel, in denen Zaubertricks präsentiert werden. Ihr mathematischer Hintergrund ist sehr unterschiedlich:
• In Kapitel 1 («Zahlen, bitte») werden Tricks beschrieben, die auf Zahlen beruhen. Es gibt eine sehr einfache und eine etwas anspruchsvollere Abteilung. In der ersten wird bis auf wenige Ausnahmen nur an Kenntnisse aus der Grundschulzeit appelliert, bei der zweiten spielen Primzahlen und einige ihrer überraschenden Eigenschaften eine wichtige Rolle.
• In Kapitel 2 («Kombiniere!») kommen Zahlen nicht mehr vor. Es geht vielmehr darum zu analysieren, welche Informationen beim scheinbar hoffnungslosen Durcheinanderbringen von Objekten erhalten bleiben. Da man das mit verschiedenen Mischtechniken bei Karten sehr gut anwenden kann, wird es überwiegend um Kartentricks gehen.
Je nachdem, welche Ausgangsinformation die Hauptrolle spielt, sind die Schwerpunkte der Unterkapitel verschieden: Invarianten (welche Eigenschaften bleiben beim Mischen unverändert?), Detektivarbeit (was lässt sich voraussagen, wenn man sich ein bisschen mehr anstrengt?) und Symmetrie (wie lässt es sich ausnutzen, dass das Kartenspiel vor dem Mischen eine gewisse Symmetrieeigenschaft hat?).
• Die Grundidee von Kapitel 3 («Codierung») besteht darin, Informationen so zu verschlüsseln, dass sie für die Zuschauer nicht erkennbar sind. Hier gibt es einige einfache Tricks, bei anderen wiederum ist der intellektuelle Aufwand für die Vorführenden (die Zauberer und die Helfer) aber nicht unerheblich.
• Grundlage des letzten Kapitels, Kapitel 4 («Der Zufall zaubert»), ist die Wahrscheinlichkeitsrechnung. Es gibt in diesem Gebiet viele überraschende Phänomene (sogenannte Paradoxien). Das liegt daran, dass uns die Evolution recht schlecht darauf vorbereitet hat, mit Wahrscheinlichkeiten richtig umgehen zu können.
Einige werden hier für Zaubertricks ausgenutzt. Es soll allerdings nicht verschwiegen werden, dass es dabei mitunter auch einmal schiefgehen kann, dass also der gewünschte Effekt nicht eintritt. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist minimal, aber es liegt nun einmal im Wesen des Zufalls, dass absolute Sicherheit nicht zu erreichen ist.
Es gibt dann noch zwei Anhänge, in denen sich Interessenten um Einzelheiten von zwei Tricks mit einem etwas anspruchsvolleren mathematischen Hintergrund kümmern können, und am Schluss folgen dann ausgewählte Literaturempfehlungen. Da findet man Bücher, die für mich bei der Vorbereitung wichtig waren, allgemeine Empfehlungen und Links (mit QR-Code zum einfacheren Finden) zu eigenen Artikeln zum Thema «Zaubern».
Wie bei allen etwas anspruchsvolleren menschlichen Beschäftigungen reicht es nicht, ein Buch zu lesen. Niemand lernt allein dadurch Klavier spielen, Judo oder Segeln, ja nicht einmal Schnürsenkel binden. Das gilt auch für die Zauberei. Wie so oft, macht auch hier die Übung den Meister. Probieren Sie die Tricks immer wieder, zunächst auch ganz allein, und treten Sie erst dann vor Ihr Publikum, wenn es wirklich flüssig klappt.
Es gibt noch einen weiteren Aspekt, an dem man immer weiter feilen kann. Mit Zaubertricks ist es nämlich wie mit Geschenken: Die Verpackung spielt eine ganz wichtige Rolle. Im Buch findet man viele Hinweise dazu, es ist aber beliebig viel Platz für eigene Kreativität und eigene Variationen. Und man muss auch wissen, was man nicht machen sollte: Verraten Sie nie (wirklich nie!) nach der Vorführung, wie der gerade gezeigte Trick funktioniert. Das Publikum würde bestimmt eher enttäuscht als beeindruckt sein.
Abschließend noch ein Wort an Sie, liebe Leserinnen. In vielen Bereichen wird es heute als notwendig erachtet, die Gleichberechtigung zwischen Männern und Frauen stets auch sprachlich umzusetzen. Ich habe davon Abstand genommen, da mir Formulierungen wie «Der Zauberer oder die Zauberin» oder «Der Zuschauer oder die Zuschauerin» (wahlweise auch «Der/die Zauberer/in» oder Der/die ZuschauerIn) sehr schwerfällig vorkommen. Meine Wertschätzung für weibliche Zauber-Interessierte ist genau so groß wie für männliche. Mehr noch: Zurzeit ist die Zauberei eher von Männern dominiert, es gibt nur verschwindend wenige Zauberinnen, Frauen findet man fast nur als «charmante Assistentinnen». Ich fände es sehr gut, wenn sich das durch dieses Buch ändern könnte.
PS: Einige Danksagungen sind mir auch noch wichtig. Da sind zunächst die Studierenden meines Proseminars «Mathematik und Zaubern» an der Freien Universität Berlin. Grundlage dieser Veranstaltung war eine erste Rohfassung dieses Buches, und durch die Vorträge der Teilnehmer gab es viele Anregungen. Ich danke auch den Mitgliedern der «Berliner Zauberfreunde». In diesem Verein konnte ich viele meiner Tricks vorführen und Vorschläge für die Präsentation sammeln. Schließlich möchte ich auch Herrn Dr. Marco Sarich erwähnen, der mich dankenswerterweise bei der Zusammenstellung der Fotos unterstützt hat.
Lies mich!
Man kann dieses Buch quasi an jeder Stelle beginnen, denn die behandelten Themen bauen bis auf wenige Ausnahmen nicht aufeinander auf. Die wichtigsten Bezeichnungsweisen und Begriffe sollen aber nicht immer wieder neu erklärt werden, sie sind an einer Stelle – nämlich hier – gesammelt. Sie können sich diesen Abschnitt aber auch später vornehmen: erst dann, wenn die hier gesammelten Themen bei einem für Sie interessanten Trick eine Rolle spielen.
Hier das Wichtigste über Spielkarten, die wir sehr oft verwenden werden[1]:
Die Karten
Es ist für so gut wie alle Tricks egal, welche Spielkarten verwendet werden: französisches Blatt, deutsches Blatt, das Werbekartenspiel eines großen Möbelhauses. Eine Ausnahme gibt es nur in Abschnitt 2.3, da spielt die Symmetrie der verwendeten Karten eine wichtige Rolle, und das deutsche Blatt wird dafür ungeeignet sein.
In Geschäften für Zauberzubehör kann man auch besonders große Karten kaufen. Diese Investition lohnt sich, besonders, wenn man öfter als Zauberer auftreten möchte.
Meist ist es auch egal, ob Skatspiele mit 32 Karten oder Bridgespiele mit 52 Karten verwendet werden, ein vollständiges Spiel wird fast nie benötigt.
Wie stellen wir Karten dar?
Um Kartentricks zu erläutern, müssen die Spielkarten irgendwie bezeichnet werden. Wir verwenden im Text die Symbole , , und für Kreuz, Pik, Herz und Karo, und wenn wir uns auf eine spezielle Karte beziehen, wird das durch einen angehängten Buchstaben oder eine angehängte Zahl ausgedrückt: Nachstehend sehen wir Pik 8, Herz Bube, Kreuz Dame, Karo König, Pik Ass:
8, B, D, K, A.
Für die Erklärungen wird es auch wichtig sein, dass man ausdrücken kann, wie die Karten in einem Kartenstapel liegen. Wenn nichts anderes gesagt ist, zeigen alle Karten mit dem Rücken nach oben, und links liegt die oberste Karte des Stapels.
Mischen 1: Abheben
Karten kann man auf viele verschiedene Weisen durcheinanderbringen. Hier wollen wir uns auf einige Vokabeln verständigen.
Bei einigen Vorführungen habe ich die Erfahrung gemacht, dass es Zuschauer gibt, die sich unter dem Wort «Abheben» nichts vorstellen können. Deswegen hier eine Erinnerung:
• Man hat einen Kartenstapel. Er kann auf dem Tisch liegen oder in der Hand gehalten werden, üblicherweise zeigen die Bildseiten nach unten.
• Dann wird ein Teil des Stapels hochgehoben («abgehoben»). Liegt der Rest in der Hand, wird der abgehobene Stapel daruntergelegt. Lag der Stapel allerdings auf dem Tisch, werden die abgehobenen Karten danebengelegt und die restlichen werden darauf gepackt.
Einige Karten abnehmen und danebenlegen.
Wie viele Karten abgehoben werden, ist dem Zufall überlassen. In vielen Fällen ist es sinnvoll, in etwa die Hälfte des Stapels abzuheben.
Beim Abheben bleiben überraschend viele Informationen über den Kartenstapel erhalten, darauf beruht zum Beispiel der erste Trick aus Abschnitt 2.1. Doch zum Glück wissen das die meisten der Zuschauer nicht.
In seltenen Fällen hat «abheben» eine etwas andere Bedeutung. Da bedeutet es nur, dass von einem Stapel einige Karten hochgenommen und daneben gelegt werden. (Sodass es also zwei Stapel gibt).
Mischen 2: Riffle Shuffle
«Riffle Shuffle» ist das, was man sich als Laie als die Profi-Methode zum Mischen eines Kartenspiels vorstellt; man sieht sie oft in Filmen.
Sie geht so:
• Teile den Stapel ungefähr in der Mitte.
• Lege die Teilstapel so, wie im nachstehenden Bild gezeigt, aneinander; die Daumen heben sie leicht an.
• Lasse die Karten «ineinanderschnurren».
Riffle Shuffle.
• Schiebe sie dann zu einem Kartenstapel zusammen.
Mehrfache Anwendung des Riffle Shuffle bringt ein Kartenspiel wirklich perfekt durcheinander. Wenn man es aber nur einmal macht, weiß man immer noch eine Menge, und darauf beruht einer der interessantesten Tricks: Es ist eigentlich eine ganze Familie von Tricks, sie werden in Kapitel 2 ausführlich besprochen.
Es sollte erwähnt werden, dass manche Profi-Spieler und manche Profi-Zauberer in der Lage sind, dieses Mischen so durchzuführen, dass der Kartenstapel zuerst exakt in der Mitte geteilt wird und der anschließende Riffle Shuffle dazu führt, dass sich die Karten aus den Teilstapeln exakt abwechseln: je einer aus dem linken und dem rechten Teilstapel. Wenn man das kann, sind interessante Tricks möglich. Ich kann es nicht, und die allermeisten Leser werden diese Perfektion wahrscheinlich auch nie erreichen. Deswegen werden wir diese perfekte Variante des Riffle Shuffle auch nicht voraussetzen.
Sehr gern hätte ich «Riffle Shuffle» durch eine deutsche Bezeichnung ersetzt. Wikipedia bietet «Bogenmischen» an, doch das scheint mir auch keine gut passende Bezeichnung zu sein. (Das zugehörige Verb wird in diesem Buch «Rifflemischen» sein.)
Manchmal gibt es im Publikum niemanden, der diese Art des Mischens beherrscht. Dann kann man sich gleichwertig mit der folgenden Notlösung behelfen, die man als Fächermischen bezeichnen könnte:
• Teile den Stapel in zwei Teilstapel.
• Verbreitere beide Teilstapel durch Auffächern, und zwar beide nach vorne (oder beide nach hinten).
• Drücke die aufgefächerten Teilstapel nach Belieben ineinander.
Fächermischen.
• Schiebe alles wieder zu einem einzigen Stapel zusammen.
Das ist genauso gut wie ein Riffle Shuffle, aber viel leichter durchzuführen.
Weitere Mischmethoden werden im Text beschrieben.
Einige technische Tipps
Für manche Tricks ist es günstig, einige Methoden aus dem riesigen Reservoir der Zauberei zu kennen, um die auf Mathematik beruhenden Tricks wirkungsvoller vorführen zu können. Zwei Beispiele:
• Sie haben ein Kartenspiel sehr sorgfältig vorbereitet, und für den Trick ist es auch wichtig, dass diese Reihenfolge erhalten bleibt. Damit die Zuschauer nicht misstrauisch werden, wäre es günstig, einen Mischvorgang zu kennen, der wie wirkliches Mischen aussieht, die Reihenfolge in Wirklichkeit aber nicht ändert.
• Für Ihren Trick ist es wichtig, dass die unterste Karte eines Spiels nach oben kommt. Trotzdem soll es wie richtiges Mischen aussehen.
Hier folgen einige Vorschläge, die einfach auszuführen sind.
Die unterste Karte bleibt beim «Mischen» unten:
Der zu mischende Stapel kommt in die linke Hand. Im ersten Schritt werden nun einige Karten von oben und von unten mit der rechten Hand abgezogen, sie bleiben in der rechten Hand. Wichtig ist dabei, dass mindestens eine von unten abgezogen wird. Und danach werden die in der linken Hand verbleibenden Karten in mehreren Schritten in die rechte Hand gegeben: ein kleiner Teilstapel von oben, dann noch einer usw., bis alle Karten in der rechten Hand sind.
Das kann man mehrfach und quasi beiläufig machen, während man den Trick ankündigt.
Die unterste Karte kommt nach oben:
Das ist einfach. Man sagt: «Wie viele Karten sind es eigentlich?» Dann werden die Karten einzeln auf den Tisch geblättert.
Falsches Abheben:
Diese «Mischmethode» erweckt den Anschein, als ob die Karten danach durcheinandergebracht sind. In Wirklichkeit ist die Reihenfolge genau so wie vorher. Es geht so:
• Der Stapel kommt in die linke Hand. Die rechte zerteilt ihn in drei etwa gleich große Teilstapel und legt sie von rechts nach links auf den Tisch.
• Nun nimmt die linke den mittleren Stapel auf. Danach legt die rechte den rechten Teilstapel obendrauf, und zum Schluss platziert die linke beide auf den letzten (den linken) auf dem Tisch liegenden Teilstapel.
Dadurch, dass sich linke und rechte Hand abwechseln, wird niemand merken, dass sich eigentlich nichts verändert hat.
Die Idee lässt sich dadurch verfeinern, dass man mehr als drei Teilstapel auf den Tisch legt. Wichtig ist nur, dass beim Aufnehmen die ursprüngliche Reihenfolge wiederhergestellt wird und dass – zur Verschleierung – beide Hände beteiligt sind. Hat man etwa 4 Teilstapel von rechts nach links ausgelegt, könnte es so gehen: linke Hand nimmt Stapel 3 auf; rechte Hand legt Stapel 2 obendrauf; linke Hand legt alles auf Stapel 4; rechte Hand legt Stapel 1 auf die bisher zusammengelegten Teilstapel.
1Zahlen, bitte
Wir beginnen unseren Ausflug in den Grenzbereich zwischen Mathematik und Zauberei mit der Vorstellung einiger Tricks, bei denen Zahlen die Hauptrolle spielen.
1.1Aus Eins mach’ Zehn, und Zwei laß gehn
Der Titel dieses Abschnitts ist ein Zitat aus den ersten Zeilen des «Hexeneinmaleins» aus Goethes Faust. Das passt ganz gut, denn hier geht es um «Hexerei» (= Zauberei), die auf sehr einfachen Eigenschaften von Zahlen beruht.
Zunächst muss ich Ihnen aber ein Geständnis machen: Die allermeisten Tricks, die auf Zahlenmanipulationen beruhen und die in Zauberbüchern oder im Internet angeboten werden, gefallen mir nicht. Sie sind für das Publikum ein bisschen langweilig und leicht zu durchschauen. Hier ein typisches Beispiel:
Denke dir eine Zahl zwischen 1 und 20. Multipliziere sie mit 3 und addiere 6. Subtrahiere von dem Ergebnis die gewählte Zahl. Sage mir das Ergebnis. Und dann kann der Zauberer die gewählte Zahl «erraten».
Mit einfachster Schulmathematik ist schnell zu sehen, was zu tun ist: Wenn man die vom Zuschauer gewählte Zahl mit x bezeichnet, so wird dem Zauberer die Zahl (3x + 6) – x = 2x + 6 genannt. Daraus ist x leicht zu ermitteln: 6 abziehen und durch 2 teilen. Wird etwa 24 genannt, so wurde am Anfang die 9 gewählt.
Hier habe ich einige Tricks ausgewählt, bei denen es auch um Zahlen geht, wo der mathematische Hintergrund aber sehr viel besser versteckt ist. Viel Spaß beim Nachmachen!
Der 1001-Trick
Das ist einer meiner Lieblingstricks: Die Mathematik ist gut versteckt, es kann nichts schiefgehen.
Der Zaubertrick: Ein Zuschauer schlägt eine beliebige dreistellige Zahl vor. Man schreibt dieselbe Zahl noch einmal daneben, so entsteht eine sechsstellige Zahl: Aus 453 etwa wird 453453. Diese sechsstellige Zahl ist dann garantiert durch 7 teilbar:
Wie ist der Trick vorzubereiten? Bei diesem Trick ist nichts vorzubereiten.
Der mathematische Hintergrund: Natürlich könnte man durch eine systematische Rechnung nachprüfen, dass der Trick immer funktionieren wird: Es klappt, wenn der Zuschauer 100 wählt, wenn er 101 wählt, …, und so weiter bis 999. Das ist aber recht aufwendig und langweilig, und außerdem hat man damit noch nicht verstanden, woran es eigentlich liegt.
Mathematiker gehen deswegen anders vor. Sie beginnen damit, dass sie ein allgemeines Symbol für eine dreistellige Zahl einführen, zum Beispiel xyz. Dabei steht x für eine der Ziffern von 1 bis 9, und y und z dürfen Werte von 0 bis 9 annehmen.
Die erste wichtige Beobachtung ist nun, dass der Übergang von xyz zur sechsstelligen Zahl xyz xyz einerseits durch Nebeneinanderschreiben bewerkstelligt werden kann, andererseits aber auch durch Multiplikation von xyz mit 1001. Dazu muss man sich nur daran erinnern, wie man schriftlich mehrstellige Zahlen miteinander multipliziert.
Hier ein Beispiel. Nach und nach werden die Ziffern des zweiten Faktors abgearbeitet[1]:
Wenn der zweite Faktor 1001 ist, wird es viel einfacher:
Zweitens stellt man durch eine kurze Rechnung schnell fest, dass die Zahl 1001 durch 7 teilbar ist (1001 ist das Produkt der Zahlen 7, 11, 13).
Und drittens muss man das nun nur noch mit folgender Tatsache kombinieren: Ist bei einem Produkt A·B einer der Faktoren, etwa A, durch 7 teilbar, so ist auch A · B durch 7 teilbar. (Wenn nämlich A durch 7 teilbar ist, so gilt A = 7 · C für eine geeignete Zahl C. Dann ist A · B = 7 · C · B, d.h. auch A · B enthält 7 als Faktor[1].)
Die Präsentation: Zu Beginn kündige ich an, dass es nun etwas zu gewinnen gibt, dabei halte ich einige Geldscheine hoch. Dann gibt es immer viele Freiwillige. Einer kommt nach vorne.
Auf einem großen Blatt Papier rechnen wir ein bisschen «zur Übung». Ich erkläre, dass es nur um den Rest beim Teilen geht und dass dieser Rest dann in Zehn-Euro-Scheinen ausgezahlt werden wird.
Zur Erläuterung – noch ohne Geldversprechen – teilen wir dann einige zweistellige Zahlen durch eine einstellige Zahl, um den Rest zu ermitteln.
Dann kommt der eigentliche Trick: Der Zuschauer wählt seine dreistellige Zahl, muss sie noch einmal daneben schreiben («damit es nicht zu leicht ist»), und dann wird durch die «Glückszahl» 7 geteilt.
Es geht – große Überraschung! – auf, der Zauberer hat noch einmal Glück gehabt.
Das kann man gern mit einem anderen Freiwilligen wiederholen, alle hoffen natürlich, dass bei ihnen der Rest nicht null sein wird.
Varianten: Wem Geld zu profan ist, kann auch anderes versprechen (Blumen, Süßigkeiten, …).
Es sind auch noch zwei mathematische Varianten erwähnenswert. Erstens kann man statt 7 auch die Zahlen 11 und 13 verwenden, denn auch sie sind Teiler von 1001. Ich mache das nie, denn erstens bietet sich die 7 als Glückszahl an und zweitens könnte das Teilen durch 11 oder 13 für manche zu schwierig sein.
Zweitens ist es, nachdem man die Begründung verstanden hat, im Prinzip möglich, auch zu Zahlen mit mehr als drei Stellen überzugehen:
Schreibt man eine vierstellige Zahl zweimal nebeneinander, so entspricht das der Multiplikation dieser vierstelligen Zahl mit 10001. Folglich wird die neue – die achtstellige – Zahl durch alle Teiler von 10001 teilbar sein.
Das ist zwar richtig, aber leider für Zaubertricks nicht gut zu nutzen, denn die Teiler von 10001 sind 73 und 137. Wer möchte während einer Zaubervorstellung schon durch 73 oder gar 137 teilen?
Sieht es denn bei Zahlen mit noch mehr Stellen besser aus? In der nachstehenden Tabelle sind die Teiler der hier wichtigen Zahlen 1001, 10001, … zusammengestellt.
Einen geeigneten Teiler, die 7, gibt es erst wieder bei 1000000001. Im Prinzip könnte man also mit «Denken Sie sich eine neunstellige Zahl …» beginnen, die durch Nebeneinanderschreiben entstehende 18-stellige Zahl wird garantiert durch 7 teilbar sein. Die dann folgende Rechnung dürfte nicht wirklich spannend für das Publikum sein, man sollte doch lieber bei dreistelligen Zahlen bleiben.
«Magische» Quadrate
Der Zaubertrick: Man sieht ein quadratisches Zahlenschema. Ein Zuschauer wählt einige Zahlen auf die folgende Weise aus:
• Die erste gewählte Zahl bekommt ein Sternchen «*», die restlichen Zahlen in dieser Zeile und dieser Spalte werden durchgestrichen.
• Unter den noch nicht gewählten oder gelöschten Zahlen bekommt eine weitere ein «*», und die restlichen in der gleichen Zeile und Spalte werden wieder gestrichen.
• Das wird so lange gemacht, bis alle Zahlen ein «*» haben oder gelöscht sind. (Im letzten Schritt bekommt nur noch eine Zahl ein «*».)
Dann werden die gewählten – also die Zahlen mit «*» addiert. Hier ein Beispiel, da sieht man das quadratische Schema im Original und nach einer, zwei und drei Zuschaueraktionen:
Der Zuschauer hat 11, 17 und 7 gewählt, und die 15 bleibt übrig. Deswegen ist 11 + 17 + 7 + 15 auszurechnen, die Summe ist also gleich 50.
Die Überraschung: Obwohl das Ergebnis aufgrund der verschiedenen möglichen Entscheidungen des Zuschauers völlig zufällig sein sollte, weiß es der Zauberer im Voraus.
Wie ist der Trick vorzubereiten? Der Zauberer wählt sich eine beliebige Zahl, wir nennen sie die Zielzahl Z: Am Ende wird sich garantiert die Summe Z ergeben. Er arbeitet zunächst mit einem quadratischen Zahlenschema aus 4 mal 4 Feldern (Varianten werden weiter unten besprochen):
Nun sucht er sich acht Zahlen, deren Summe gleich Z ist. Wenn er sich etwa bei einer Geburtstagsfeier für die Zahl 50 entschieden hat, könnte er sich die Zahlen 2, 9, 3, 5, 10, 15, 2, 4 aussuchen.
Diese Zahlen werden nun in einer beliebigen Reihenfolge an den Rand des Zahlenschemas geschrieben:
Und dann werden die 16 noch freien Felder gefüllt: In jedes Feld wird die Summe aus den zwei Randzahlen (oben und links) geschrieben. Zum Beispiel hat sich die 17 im nachstehenden Schema als Summe aus 15 (darüber) und 2 (links) ergeben.
Das alles wurde vor der Vorstellung gemacht. Für das Publikum wird das mit den eben berechneten Zahlen gefüllte Zahlenschema noch einmal abgeschrieben, die Randzahlen müssen auf jeden Fall geheim bleiben!
Und dann kann es losgehen.
Der mathematische Hintergrund: Durch das Verfahren, wie die Zahlen mit «*» ausgewählt wurden, wird sichergestellt, dass am Ende in jeder Zeile und in jeder Spalte genau eine Zahl ein «*» hat. Da die Zahlen im Schema als Summe der Randzahlen (oben und links) definiert wurden, sind damit alle der am Anfang gewählten Randzahlen genau einmal berücksichtigt worden. Und da die so gewählt waren, dass die Summe gleich der Zielzahl ist, wird man die garantiert als Endergebnis erhalten.
Es ist hier noch auf eine besondere Eigenschaft von Zahlen hinzuweisen, ohne die der Trick nicht funktionieren würde. Betrachten wir das obige Beispiel noch einmal. Da hat sich doch die Zielzahl 50 so ergeben:
50 = 17 + 11 + 7 + 15 = (15 + 2) + (2 + 9) + (4 + 3) + (10 + 5).
Es hätte doch aber sein können, dass ein Zuschauer ganz andere Zahlen gewählt hätte, etwa die Zahlen 19, 4, 18, 9.
Und dann hätte man so rechnen müssen:
50 = 19 + 4 + 18 + 9 = (10 + 9) + (2 + 2) + (15 + 3) + (4 + 5).
Auch das ergibt 50, aber hier wird wichtig, dass man beim Addieren beliebig umsortieren kann und sich auch aussuchen darf, in welcher Reihenfolge man addiert. Die zugehörigen Fachausdrücke sind Kommutativität und Assoziativität:
Kommutativität: Da für Zahlen stets a + b = b + a gilt, die Reihenfolge also keine Rolle spielt, sagt man, dass das Kommutativgesetz gilt.
Assoziativität: Sind a, b, c Zahlen und möchte man die Summe ausrechnen, so gibt es dafür zwei Möglichkeiten: Zuerst a + b berechnen und dazu c addieren. Oder zuerst b + c ermitteln und dann diese Summe zu a addieren. Als Beispiel betrachten wir die Summe 3 + 4 + 5. Die kann man als (3 + 4) + 5, also als 7 + 5, aber auch als 3 + (4 + 5), d.h. als 3 + 9, ermitteln. In beiden Fällen kommt 12 heraus, deshalb ist es egal, wie man vorgeht. Wirklich gilt stets (a + b) + c = a + (b + c), diese Tatsache wird das Assoziativgesetz der Addition genannt.
Beide Eigenschaften spielen eine wichtige Rolle in der Mathematik. Wenn Assoziativität und Kommutativität garantiert werden können, ist es egal, in welcher Reihenfolge die Rechnungen durchgeführt werden, und Klammern können beliebig gesetzt werden.
Kurz: Für unseren Trick ist wichtig, dass «+» kommutativ und assoziativ ist[1].
Der Vollständigkeit halber sei angemerkt, dass alles ganz anders ist, wenn man «+» durch «–» ersetzt: 3 – 4 ist etwas anderes als 4 – 3, und 9 – 2 – 5 könnte (9 – 2) – 5 = 2 oder 9 – (2 – 5) = 12 bedeuten.
Die Präsentation: Wie schon bei den Vorbereitungen erwähnt, dürfen die acht Randzahlen für die Zuschauer nicht sichtbar sein. Viel mehr ist bei der Präsentation nicht zu beachten. Es wird vom Anlass und vom persönlichen Geschmack abhängen, ob die Zielzahl irgendeinen Bezug zur Veranstaltung hat oder ob man sie beliebig wählt und dann irgendwo in einem verschlossenen Umschlag deponiert, der dann – große Überraschung! – die richtige Voraussage enthält.
Varianten: Wir haben in der mathematischen Begründung gesehen, dass es nur auf Kommutativität und Assoziativität ankam. Bisher haben wir immer mit natürlichen Zahlen (also den Zahlen 1, 2, 3, …) gearbeitet, man kann aber auch zu beliebigen Zahlen (etwa zu Brüchen) übergehen, denn da gelten diese Eigenschaften ebenfalls. Auch kann man die Addition durch die Multiplikation ersetzen, denn auch sie ist kommutativ und assoziativ.
Übrigens kann dieser Trick mit beliebig großen quadratischen Rastern durchgeführt werden. Beliebige n×n-Raster sind möglich, wobei n irgendeine natürliche Zahl ist. (Diese Wahl von allgemeinen Buchstaben für Variable ist etwas gewöhnungsbedürftig. Das ist aber viel eleganter und ökonomischer, als «ein 2 × 2-Raster, oder ein 3 × 3-Raster, oder ein 4 × 4-Raster, oder …» zu sagen.) Diesmal brauchen wir n Zahlen für den linken und n Zahlen für den oberen Rand, insgesamt also 2n Zahlen. Die Summe soll wieder gleich einer Zielzahl Z sein. In die Felder werden dann die jeweiligen Summen eingetragen: Zahl links plus Zahl oben.
Nachstehend sieht man ein 3 × 3-Quadrat, das mit den Zahlen 3, 1, 5 (linker Rand) und 2, 2, 3 (oberer Rand) erzeugt wurde. Man findet auch das Ergebnis einer Trickvorführung: Die gewählten Zahlen ergeben die vorher gewählte Zielzahl 16 = 5 + 3 + 8 = (3 + 2) + (1 + 2) + (5 + 3).
Der Phantasie sind keine Grenzen gesetzt, zwischen 2 × 2 und beliebig großen Rastern ist alles möglich. Zum Abschluss folgt noch ein Beispiel für alle, die wissen, was komplexe Zahlen sind (auch hier ist die Addition kommutativ und assoziativ). Das 5 × 5-Schema wurde bei der Vorführung dieses Zaubertricks zum 50. Geburtstag (eines Mathematikers) eingesetzt[1]:
2. Die folgende Variante entspricht eigentlich einem magischen Würfel. Da man damit nicht so gut arbeiten kann, wird die dritte Dimension durch Farben dargestellt. Genauer sieht es so aus:
• Entscheiden Sie sich für eine Zahl r: Es wird um einen «Würfel» gehen, bei dem jede Kante r Einheiten lang ist. Bei den folgenden Illustrationen wird r = 4 sein.
• Wählen Sie nun zunächst r verschiedene Farben: F1, …, Fr. Wir wählen F1 = Rot, F2 = Blau, F3 = Grau und F4 = Grün.
• Nun sind Zahlen a1, …, ar, b1, …, br, c1, …, cr zu bestimmen. Für ein allgemeines Publikum sollten sie nicht zu groß sein, im Prinzip ist hier aber alles möglich: ganze Zahlen, gebrochene oder sogar komplexe Zahlen. Wichtig ist wieder nur, dass beim Addieren das Assoziativ- und das Kommutativgesetz gilt.
Am Ende des Tricks wird die Summe über alle ai, bj, ck eine Rolle spielen. Wir nennen diese Zahl wieder die Zielzahl und bezeichnen sie mit Z. Meist wird es sich anbieten, die Zahlen so auszusuchen, dass Z eine für den Anlass besondere Zahl ist (Geburtstag, Jubiläum, …).
Wir wollen alles für eine Vorführung bei einem vierzigsten Geburtstag vorbereiten und entscheiden uns deswegen für Z = 40. Die ai-bj-ck-Zahlen wählen wir so:
a1 = 4, a2 = 1, a3 = 3, a4 = 2;
b1 = 5, b2 = 1, b3 = 4, b4 = 2;
c1 = 8, c2 = 0, c3 = 3, c4 = 7.
• Der nächste Schritt besteht darin, eine r × r-Tabelle vorzubereiten. Dabei kommen in das Feld in der i-ten Zeile und der j-ten Spalte r Zahlen, und zwar die Zahlen ai + bj + ck für k = 1, …, r. Dabei wird ai + bj + ck mit der Farbe Fk geschrieben. Damit stehen in diesem Feld r Zahlen in verschiedenen Farben. Sie sollten so positioniert sein, dass es etwas unregelmäßig aussieht: In manchen Feldern ist die Zahl oben links mit Farbe F1 geschrieben, in anderen mit Farbe F3 usw.
Unsere Tabelle sieht so aus:
Die graue 11 im Feld in der ersten Zeile und der dritten Spalte kam zum Beispiel so zustande: Es ist i = 1 (erste Zeile) und j = 3 (dritte Spalte); «grau» ist unsere dritte Farbe (d.h. k = 3), es geht also um die Zahl a1+b3+c3 = 4+4+3 = 11, die in grau aufzuschreiben ist.
Nun die Spielregel: Ein Zuschauer wählt irgendeine der r3 Zahlen in der Tabelle. (In unserem Fall sind es 4·4·4 = 64 Zahlen.) Die bekommt ein Sternchen «*», und ab sofort sind alle Zahlen in dieser Zeile, in dieser Spalte und in dieser Farbe nicht mehr wählbar. Man könnte sie sicherheitshalber durchstreichen.
Im nächsten Schritt wird eine der verbleibenden Zahlen gewählt und mit einem Sternchen versehen. Danach sind die entsprechende Zeile, die Spalte und die Farbe nicht mehr wählbar. So geht das immer weiter, bis es keine Wahlmöglichkeiten mehr gibt. (Das ist im letzten, dem r-ten, Durchgang der Fall: Da gibt es nur eine Zahl, die ein «*» bekommen kann.)
Wenn man jetzt die mit «*» gekennzeichneten Zahlen addiert, ergibt sich die Zielzahl Z. Das kann man als Prognose inszenieren (Z steht auf einem Zettel, der aus einem verschlossenen Umschlag hervorgeholt wird) oder als zauberhaften Beitrag zur Feier des Z-ten Geburtstags oder des Z-Jubiläums präsentieren.
Die Begründung ist die gleiche wie im zweidimensionalen Fall zuvor: Jede der Zahlen a1, …, ar, b1, …, br, c1, …, cr
