Die Finite-Elemente-Methode für Anfänger E-Book

Herbert Goering

• Herausgeber: Wiley-VCH
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Sprache: Deutsch

Seitenzahl: 226

Veröffentlichungsjahr: 2012

Beschreibung

Die Finite-Elemente-Methode ist eine grundlegende mathematische Technik zur Behandlung von Differentialgleichungs- und Variationsproblemen, die in Physik und Mechanik, im Bau- und Ingenieurwesen sowie in Elektrotechnik und Mechatronik auftreten.

Das vorliegende Buch ist die vierte Auflage des bewïhrten Standardwerks der drei Autoren. Es ist speziell für Naturwissenschaftler und Ingenieure geeignet, die die mathematischen Grundlagen der Methode kennenlernen wollen. Das Lehrbuch wurde grändlich überarbeitet, zudem u.a. durch Hinweise auf unstetige Galerkin-Methoden und verschiedene Varianten von a posteriori Fehlerabschätzungen sowie Literatur- und Softwareverweise auf den aktuellen Stand gebracht.

Leseprobe

Contents

Vorwort

Kapitel 1 Einführung

1.1 Allgemeines zur Methode der finiten Elemente

1.2 Wie überführt man ein Randwertproblem in eine Variationsgleichung?

Kapitel 2 Grundkonzept

2.1 Stetiges und diskretes Problem. Beispiele von finiten Elementen

2.2 Der Aufbau des Gleichungssystems

Kapitel 3 Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen

3.1 Direkte oder iterative Verfahren?

3.2 Direkte Verfahren

3.3 Iterative Verfahren

Kapitel 4 Konvergenzaussagen

4.1 Allgemeine Bemerkungen zur Konvergenzproblematik

4.2 Ein Beweis einer Fehlerabschätzung für Dreieckselemente vom Typ 1

4.3 Zusammenfassung der Resultate

Kapitel 5 Numerische Integration

5.1 Allgemeine Bemerkungen

5.2 Der Quadraturfehler für lineare Elemente

5.3 Eine Übersicht: passende Integrationsformeln

Kapitel 6 Randapproximation. Isoparametrische Elemente

6.1 Approximation des Gebietes Ω durch ein Polygon

6.2 Isoparametrische Elemente

6.3 Randapproximation mit Hilfe isoparametrischer quadratischer Elemente

Kapitel 7 Gemischte Verfahren

7.1 Ein Strömungsproblem (Stokes-Problem)

7.2 Laplace-Gleichung

7.3 Biharmonische Gleichung

7.4 Lösung der entstehenden Gleichungssysteme

Kapitel 8 Nichtkonforme FEM

8.1 Laplace-Gleichung

8.2 Biharmonische Gleichung

8.3 Stokes-Problem

Kapitel 9 Nichtstationäre (parabolische) Aufgaben

9.1 Das stetige, das semidiskrete und das diskrete Problem

9.2 Numerische Integration von Anfangswertaufgaben: eine Übersicht

9.3 Die Diskretisierung des semidiskreten Problems mit dem θ-Schema

9.4 Eine Gesamtfehlerabschätzung für das θ-Schema

Kapitel 10 Gittergenerierung und Gittersteuerung

10.1 Erzeugung und Verfeinerung von Dreiecksgittern

10.2 Fehlerschätzung und Gittersteuerung

Anhang A Hinweise auf Software und ein Beispiel

A.1 Notwendige Files fürdas MATLAB-Programm fem2d

A.2 Einige numerische Ergebnisse

Literaturnachweis

Index

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2009

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4. wesentlich überarb. u. erw. Auflage 2010

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Print ISBN 9783527409648

Epdf ISBN 978-3-527-63044-8

Epub ISBN 978-3-527-66000-1

Mobi ISBN 978-3-527-65999-9

Autoren

Prof. Dr. Herbert Goering

Otto-von-Guericke-Universität

Institut für Analysis und Numerik

PF 4120, 39016 Magdeburg

Prof.Dr.Hans-Görg Roos

TU Dresden

Institut für Numerische Mathematik

01062 Dresden

[email protected]

Prof. Dr. Lutz Tobiska

Otto-von-Guericke-Universität

Institut für Analysis und Numerik

PF 4120, 39016 Magdeburg

[email protected]

Vorwort

Das vorliegende Buch stellt eine Einführung in die Methode der finiten Elemente dar. Dabei wird versucht, die für die praktische Realisierung des Verfahrens notwendigen Kenntnisse und theoretischen Grundlagen gleichermaßen zu berücksichtigen; es zeigt sich sogar, dass für eine effektive Realisierung des Verfahrens gewisse Kenntnisse über dessen theoretische Eigenschaften unumgänglich sind.

Das Buch wendet sich in erster Linie an Ingenieure, Naturwissenschaftler und Studierende entsprechender Fachrichtungen. Demgemäß wird zum Verständnis der Stoff der üblichen Mathematikausbildung von Ingenieuren vorausgesetzt. Für Fehlerabschätzungen, Konvergenzuntersuchungen u. a. m. werden einige Begriffe der Funktionalanalysis so dargestellt, dass sie für den Anfänger transparent werden. Die dabei z. T. verlorengegangene mathematische Präzision, z. B. bei der Einführung des Raumes der quadratisch integrierbaren Funktionen oder von Sobolev-Räumen, mögen Mathematikstudenten und Mathematiker verzeihen.

Nur einige grundlegende Tatsachen werden als Satz formuliert, Beweise von grundlegenden Aussagen zur Methode der finiten Elemente werden ausgeführt, z.T. aber nur exemplarisch. Der mehr an der praktischen Realisierung des Verfahrens interessierte Leser stösst an den entsprechenden Stellen auf Hinweise, welche Abschnitte er überspringen kann und wo er zusammenfassende Schlussfolgerungen aus den theoretischen Untersuchungen findet.

Es wurde eine den Zielstellungen dieses Buches entsprechende einfache, aber mathematisch fundierte Darstellung gewählt. Natürlich erhebt die gewählte Darstellung keinen Anspruch auf Vollständigkeit.

Im Mittelpunkt des Buches stehen zweidimensionale, elliptische Aufgaben zweiter Ordnung, wobei Erweiterungsmöglichkeiten auf dreidimensionale Probleme aufgezeigt werden. Auf diese Aufgaben zugeschnitten wird im Kapitel 2 erläutert, wie man die diskreten Probleme gewinnt, im Kapitel 3, wie man die diskreten Probleme löst, im Kapitel 4, wie man Fehlerabschätzungen herleitet und in den Kapiteln 5, 6, wie man krummlinige Ränder berücksichtigt und Integrale zweckmäßig numerisch berechnet.

In den Kapiteln 7,8 werden gemischte und nichtkonforme Methoden vorgestellt, insbesondere auch zur Behandlung des Stokes-Problems und von elliptischen Aufgaben vierter Ordnung. Kapitel 9 ist instationären Aufgaben zweiter Ordung gewidmet, wobei verschiedene Klassen von Zeitdiskretisierungsverfahren vorgestellt werden. Im Kapitel 10 werden Aspekte der Erzeugung von Gittern und deren Verfeinerung diskutiert, wobei auch adaptive Methoden, basierend auf a posteriori Fehlerabschätzungen, eine Rolle spielen.

In einem kurzen Anhang wird erklärt, wie man auf der Basis eines allgemein verfügbaren MATLAB-Programmes sehr schnell selbst erste Testrechnungen zur numerischen Lösung elliptischer Aufgaben mit der Methode der finiten Elemente realisieren kann.

Die erste Version dieses Buches entstand 1983, der Inhalt wurde dann für die dritte Auflage 1993 ein wenig aktualisiert. Für die vorliegende vierte Auflage wurden alle Abschnitte noch einmal gründlich überarbeitet, insbesondere die Kapitel 7–10.

Für zahlreiche Hinweise und interessante Diskussionen danken wir unseren Kollegen A. Felgenhauer, Ch. Großmann, V. John, G. Matthies, U. Risch, F. Schieweck; ferner S. Rajasekaran, M. Schopf und R. Vanselow für die Testrechnungen, das Titelbild und den Vorschlag zur Gestaltung des Anhangs.

Magdeburg/Dresden, November 2009

Herbert GoeringHans-Görg RoosLutz Tobiska

Kapitel 1

Einführung

1.1 Allgemeines zur Methode der finiten Elemente

Die Methode der finiten Elemente (FEM) ist eines der praktisch wichtigsten Näherungsverfahren zur Lösung von Variationsproblemen, Differentialgleichungen und Variationsungleichungen in den Ingenieurwissenschaften und der mathematischen Physik. Die Erfolge der FEM, insbesondere in der Festkörpermechanik, führten zu einer verstärkten Nutzung in der Thermodynamik, in der Strömungsmechanik und in anderen Gebieten. Die Leistungsfähigkeit der Methode liegt darin begründet, dass die FEM die Vorteile besitzt, systematische Regeln für die Erzeugung stabiler numerischer Schemata bereitzustellen, und es relativ einfach ist, kompliziertere zwei- und dreidimensionale Geometrien zu berücksichtigen.

Ursprünglich wurde die Methode in den fünfziger Jahren von Ingenieuren entwickelt, um große Systeme von Flugzeugbauteilen untersuchen zu können. Erst später entdeckte man die enge Verbindung der FEM mit dem bekannten Ritzschen Verfahren und eine Arbeit von Courant hierzu aus dem Jahre 1943. Die ersten mathematisch fundierten Untersuchungen stammen von K.O. Friedrichs (1962) und L.A. Oganesjan (1966), in den darauffolgenden Jahren schuf man eine breite mathematische Theorie der Methode. Zur raschen Verbreitung der FEM trug wesentlich die Monographie von Zienkiewicz (1967) bei. Heute existiert eine Vielzahl von Büchern, die sich den unterschiedlichen Aspekten der FEM – Theorie, Anwendung und Implementierung – widmen, erwähnt seien nur [11, 13, 19, 33, 57].

Wir nehmen an, dass ein gegebenes stationäres technisches Problem durch ein Variationsprinzip oder ein Randwertproblem für eine Differentialgleichung beschrieben werde. Bei der Methode der finiten Elemente wird das z.B. zweidimensionale zugrunde liegende Gebiet in einfache Teilgebiete zerlegt, etwa in Dreiecke, Vierecke usw. Die FEM erzeugt dann ein Gleichungssystem für Näherungswerte der unbekannten Funktion in ausgezeichneten Punkten der Teilgebiete. Nach dem Lösen des Gleichungssystems sind die Werte der Unbekannten in den ausgezeichneten Punkten näherungsweise bekannt.

Es gibt nun verschiedene Möglichkeiten der Erzeugung des Gleichungssystems (des diskreten Problems), ausgehend von einem Variationsprinzip oder einem Rand- wertproblem (s. Abb. 1.1). Einen weiteren Weg, die diskrete Modellierung, möchten wir lediglich erwähnen.

Abbildung 1.1 Verschiedene Varianten zur Erzeugung des diskreten Problems.

Das Ritzsche Verfahren stellt beim Vorliegen eines Variationsprinzips den einfachsten Weg zum diskreten Problem dar. Es gibt jedoch für ingenieurtechnische Probleme oft kein Variationsprinzip. Dies hängt eng damit zusammen, dass die Lösung eines Randwertproblems nur dann auch Lösung eines zugeordneten Variationsproblems ist, wenn der entsprechende Differentialoperator symmetrisch ist. Deshalb gehen wir in diesem Buch ab Kapitel 2 stets so vor, dass wir als Ausgangspunkt eine Variationsgleichung wählen, dann ist nämlich die Erzeugung des diskreten Problems ebenfalls einfach. Im Abschnitt 1.2 demonstrieren wir an typischen Beispielen, wie man ausgehend von einem Variationsprinzip oder einem Randwertproblem die zugeordnete Variationsgleichung gewinnt. In Abschnitt 1.2 findet man eine Übersicht von Randwertproblemen zweiter Ordnung und den zugeordneten Variationsgleichungen.

Wir erläutern nun noch den Begriff Variationsgleichung. Sei V eine gegebene Menge von Funktionen mit der Eigenschaft, dass aus v1 ∈ V, v2 ∈ V folgt β1v1 + β2v2 ∈ V für reelle β1, β2 (man sagt, V ist eine lineare Menge). Als Beispiel halten wir uns die Menge der in einem Gebiet Ω stetig differenzierbaren Funktionen vor Augen. Dann heißt f(v) mit v ∈ VLinearform aufV, wenn f(v) reell ist sowie

(1.1)

und

(1.2)

gelten. Ein Beispiel einer Linearform ist etwa

ein zweites

mit einer beliebig gewählten, festen stetigen Funktion g.

Aus den Eigenschaften (1.1) und (1.2) einer Linearform folgt für beliebige reelle α1, α2 unmittelbar

(1.3)

Wird jeweils zwei Funktionen u, v ∈ V eine reelle Zahl a(u, v) zugeordnet, so heißt diese Abbildung Bilinearform aufV, wenn sie für jedes feste u und für jedes feste v eine Linearform in der anderen Variablen ist.

Sei Ω ein zweidimensionales Gebiet in der x-y-Ebene. Dann sind Beispiele von Bilinearformen

im letzten Beispiel sind g1 und g2 beliebig gewählte, feste stetige Funktionen.

Die Eigenschaften von Linearformen übertragen sich auf Bilinearformen, so gilt

(1.4)

Wir nennen nun ein Problem der folgenden Form Variationsgleichung.

(1.5)

Wir bezeichnen den Rand eines beschränkten zwei- oder dreidimensionalen Gebietes Ω mit Γ und die Vereinigung von Ω mit seinem Rand Γ mit .

1.2 Wie überführt man ein Randwertproblem in eine Variationsgleichung?

1.2.1 Beispiel 1

Bei Wärmeleitungsproblemen genügt die stationäre Temperaturverteilung T der Differentialgleichung

(1.6)

dadurch kennzeichnen, dass sie das Funktional

minimiert. Auf diesem Weg kann man analog wie eben beschrieben die (1.6) zugeordnete Variationsgleichung bestimmen. Entsprechend unserem Schema (s. Abb. 1.1) kann man die Variationsgleichung aber auch direkt aus (1.6) gewinnen.

Nun benötigen wir den Gaußschen Integralsatz

(1.7)

Hier sind Γ der Rand von Ω und n der äußere Normaleneinheitsvektor bezüglich Γ. Setzt man

so verschwindet das Integral auf der rechten Seite, weil Funktionen v ∈ V auf dem Rand von Ω gleich Null sind, und man erhält

Setzt man

so haben wir das Randwertproblem (1.6) in die Variationsgleichung

mit einer symmetrischen Bilinearform überführt.

Bei der Herleitung ist es belanglos, ob Ω ein zweidimensionales oder ein dreidimensionales Gebiet ist, im zweidimensionalen Fall fällt lediglich der letzte Summand in dem die Bilinearform definierenden Integral weg.

Andere technische Problemstellungen führen ebenfalls auf die Randwertaufgabe (1.6). Betrachtet man z.B. einen geraden Stab mit Vollquerschnitt, der durch ein konstantes Moment, dessen Wirkungsebene senkrecht zur Stabachse liegt, auf Torsion beansprucht wird, so genügt die Torsionsfunktion F(x, y) dem System

dabei sind G der Schubmodul und ϑ die spezifische Verdrehung des tordierten Stabes.

1.2.2 Beispiel 2

Untersucht man die Strömung diffundierender Substanzen, so genügt die Konzentrationsverteilung infolge Diffusion und Konvektion im stationären, zweidimensionalen Fall einem Randwertproblem vom Typ

(1.8)

Sei also V die Menge aller in Ω differenzierbaren Funktionen. Setzt man

so hat man (1.8) in eine Variationsgleichung mit einer nicht symmetrischen Bilinearform überführt.

Man nennt manchmal eine Dirichletsche Randbedingung für Probleme vom Typ (1.6) wesentliche Randbedingung, da sie den Raum V mit kennzeichnet, eine Neumannsche Randbedingung natürliche Randbedingung, weil sie die Definition von V nicht beeinflusst.

Weitere Beispiele von Randwertaufgaben und zugeordneten Variationsgleichungen findet der Leser in Abschnitt 2.1.

Kapitel 2

Grundkonzept

2.1 Stetiges und diskretes Problem. Beispiele von finiten Elementen

2.1.1 Die Grundzüge der Methode

V sei eine gegebene Menge von Funktionen, wir sagen auch: ein gegebener Funktionenraum. Gesucht ist nun eine Funktion u ∈ V, die die Variationsgleichung (das stetige Problem)

(2.1)

erfüllt.

Als Standardbeispiel benutzen wir die dem Dirichlet-Problem mit homogenen Randbedingungen für die Laplacesche Differentialgleichung (DGL) entsprechende Aufgabe (vgl. Abschnitt 1.2): Dort war V die Menge aller in einem Gebiet Ω stetig differenzierbaren Funktionen, die auf dem Rand von Ω verschwinden, weiter