Dreiecksbeziehungen E-Book

Matt Parker

• Herausgeber: Goldmann Verlag
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Sprache: Deutsch

Seitenzahl: 400

Veröffentlichungsjahr: 2026

Beschreibung

Witzig und lehrreich: Eine Liebeserklärung an das Dreieck. Trigonometrie erklärt die Welt.

Dreiecke sind viel mehr als nur geometrische Formen. Sie bilden die Grundlage unseres täglichen Lebens und der Zivilisation, wie wir sie kennen. Trigonometrie ist vielleicht das grundlegendste Konzept, das Menschen jemals entwickelt haben. Das einfache, aber vielseitige Dreieck ermöglicht es uns, die Welt zu kartieren, Raketen ins All zu schießen, Musik aufzunehmen und beim Billard etwas weniger schlecht zu sein. Der Stand-up-Comedian, ehemalige Mathematiklehrer und Bestsellerautor Matt Parker erklärt äußerst unterhaltsam und auch für Mathe-Muffel nachvollziehbar, warum wir Dreiecke gar nicht genug schätzen können – genauso wie die überaus nützliche Trigonometrie und Geometrie, die sie ermöglichen. Denn Dreiecke sind das verborgene Muster unter der Oberfläche der heutigen Welt, das in allem verwendet wird, von GPS bis CGI über Spotify-Streaming, den Play-Button und das Dreieckstattoo Ihres besten Freundes. Ein mathematisches Pop-Science-Feuerwerk!

Leseprobe

Buch

Trigonometrie ist vielleicht das grundlegendste Konzept, das Menschen jemals entwickelt haben. Das einfache, aber vielseitige Dreieck ermöglicht es uns, die Welt zu kartieren, Raketen ins All zu schießen, Musik aufzunehmen und beim Billard etwas weniger schlecht zu sein. Der Stand-up-Comedian, ehemalige Mathematiklehrer und Bestsellerautor Matt Parker erklärt äußerst unterhaltsam und auch für Mathe-Muffel nachvollziehbar, warum wir Dreiecke gar nicht genug schätzen können.

Autor

Matt Parker ist Mathematiker und Stand-up-Comedian. Der Australier studierte Maschinenbau an der University of Western Australia, wandte sich aber vor dem Abschluss dem Unterrichten der Mathematik zu und zog nach London. Er betreibt den YouTube-Kanal »StandUpMaths«, hält Vorträge und tritt in Radio und Fernsehen auf. Matt Parker hat Mathematik an der Cambridge University, der Oxford University, der Harvard University und einer australischen Grundschule unterrichtet.

Außerdem von Matt Parker im Programm

Damit hatte keiner gerechnet. Die größten Mathe-Irrtümer der Menschheit

auch als E-Book erhältlich

Matt Parker

Dreiecks-

beziehungen

Wie Sinus, Kosinus & Co. unser ganzes Leben bestimmen

Aus dem Englischen von Monika Niehaus und Bernd Schuh

Die englische Originalausgabe erschien 2024 unter dem Titel »Love Triangle« bei Allen Lane, Penguin Random House UK, London.

Der Verlag behält sich die Verwertung der urheberrechtlich geschützten Inhalte dieses Werkes für Zwecke des Text- und Data-Minings nach § 44 b UrhG ausdrücklich vor. Jegliche unbefugte Nutzung ist hiermit ausgeschlossen.

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Deutsche Erstausgabe Januar 2026

Copyright © 2024 der Originalausgabe: Stand-up Maths Ltd.

Copyright © 2026 der deutschsprachigen Ausgabe: Wilhelm Goldmann Verlag, München, in der Penguin Random House Verlagsgruppe GmbH, Neumarkter Straße 28, 81673 München

[email protected]

(Vorstehende Angaben sind zugleich Pflichtinformationen nach GPSR.)

Redaktion: Eckard Schuster

Umschlag: Uno Werbeagentur, München

Umschlagmotiv: FinePic®, München

Satz und E-Book Produktion: Satzwerk Huber, Germering

CH ∙ CB

ISBN 978-3-641-33438-3V002

www.goldmann-verlag.de

Gewidmet meinen Eltern, Brad und Judy Parker, die mich Dreiecke lieben lehrten

Inhalt

NullEinführung

EinsNicht auf der Strecke bleiben

ZweiEin neuer Blickwinkel

DreiGesetze und Regeln

VierBe-Netzen

FünfPerfekte Passform

SechsWoher kommen Formen?

SiebenAllmählich wird es »triggi«

AchtWo in aller Welt?

NeunIst das wirklich Kunst?

ZehnWellen schlagen

Zusammenfassung

Dank – ein Dankestrio

Bildnachweis

Register

NullEinführung

ImFebruar 2021 legte ein Autofahrer vor dem Supreme Court von South Australia Einspruch gegen einen Bußgeldbescheid wegen Geschwindigkeitsüberschreitung ein. Im März 2019 war dieser Mann in seinem Mitsubishi Magna mit leicht überhöhter Geschwindigkeit von 68km/h in einer 60er-Zone geblitzt worden. Er hatte den Strafbescheid wegen Geschwindigkeitsüberschreitung vor einer niedrigeren Instanz erfolglos angefochten und seinen Fall inzwischen durch alle Instanzen bis vor das oberste Gericht des Bundesstaates gebracht.

Und mit welchen Argumenten? Der Wagen habe größere Radkränze, was den Durchmesser des Rades erhöhe und den Tachometer ungenau mache. Wirklich erstaunlich!

»Wie gesagt, Pythagoras und Physik, ein kleiner Kreis dreht sich schneller als ein großer Kreis – was brauche ich mehr an Beweisen, es handelt sich schließlich um Mathematik«, rechtfertigte er sich vor Gericht. Gefragt, warum er keine Berechnungen von Fachleuten vorlege, erklärte er: »Ich bin nicht bereit, acht Riesen für ein Expertengutachten zu zahlen.« Was mich auf den Gedanken bringt, dass ich meine Meinung als Mathe-Experte viel zu billig verkaufe (ich gebe sie kostenlos und ungefragt zum Besten).

Und meiner Ansicht nach hatte seine Verteidigung durchaus Potenzial. In gewissem Sinne stimmt es tatsächlich, »ein kleinerer Kreis dreht sich schneller als ein großer Kreis«, wenn es ums Rollen geht. Der Umfang eines kleinen Rades ist … nun eben kleiner, daher muss es sich öfter drehen als ein größeres Rad, um dieselbe Strecke zurückzulegen.

Falls der Tachometer des Mitsubishi Magna zur Bestimmung der momentanen Geschwindigkeit des Wagens die Achsendrehung benutzt, würde er tatsächlich inkorrekte Geschwindigkeiten anzeigen, wenn er auf eine andere Radgröße geeicht wurde. Um diese Argumentation zu stützen, wären allerdings Berechnungen erforderlich.

Berechnungen, die der Beklagte nicht vorlegen konnte. Er war zudem ein Serientäter, was Geschwindigkeitsüberschreitungen anging, und hatte in den vergangenen fünf Jahren bereits zwölf Bußgelder für zu schnelles Fahren aus verschiedenen Gründen angefochten. Er verlor den Prozess.

Was ich allerdings besonders interessant daran finde, ist die Rechtfertigung des Beklagten im Namen von Pythagoras. Tatsächlich hat die Situation nichts mit Pythagoras zu tun. Pythagoras war ein antiker griechischer Philosoph und Mathematiker, dessen Ruhm auf Dreiecken basierte, nicht auf Kreisen. Offenbar wollte diese opportunistische Person beim Versuch, sich aus der Strafanzeige herauszureden, besonders mathematisch klingen und den geheimnisvollen »Pythagoras« als allumfassende mathematische Gottheit heraufbeschwören.

Der Satz des Pythagoras ist, so vermute ich, das schwierigste Stück Mathematik, mit dem sich fast jeder in der Schule auseinandersetzen muss. Daher ist Pythagoras zu einer Art Gallionsfigur für komplexe, aber irgendwie nutzlose Mathematik geworden. Man kann sich ziemlich sicher sein, dass etwas fest in der Psyche der Allgemeinheit verankert ist, wenn in Folgen von Serien wie Inspektor Morse, Mordkommission Oxford und FamilyGuy darauf angespielt wird.

Ich finde es sehr schade, dass sich die meisten Leute im Zusammenhang mit Dreiecken nur an die Langeweile erinnern, die sie in der Schule beim Satz des Pythagoras empfanden. Ich liebe Dreiecke! Wir alle sind auf Dreiecke angewiesen, um die moderne Welt am Laufen zu halten. Meiner Ansicht nach (und daher dieses Buch, das Sie in Händen halten) haben Dreiecke den Weg für einige der wichtigsten Erkenntnisse geebnet, die die Menschheit jemals gewonnen hat. Dreiecke sind das Tor zur Geometrie und Trigonometrie. Dreiecke helfen uns, den Alltag zu meistern, und machen die Zivilisation möglich. Außerdem gefallen sie mir einfach.

Viele Leute beschäftigen sich nicht mehr mit Dreiecken, sobald sie den obligatorischen Unterricht über Pythagoras hinter sich haben, nur um Geometrie und Trigonometrie abrupt zu reanimieren, sobald sie ihre berufliche Karriere starten. Ganz offensichtlich kommt man durch einige Lebensentscheidungen in engen Kontakt mit Dreiecken. Meine eigene Erfahrung als Mathelehrer und Mathe-Autor ist dafür ein Beispiel. Bei anderen Berufen ist dies oft weit weniger offensichtlich. Wann immer irgendeine Art von »Ist Mathe nicht doof?«-Gerede in den Sozialen Medien auftaucht, gibt es einen ganzen Chor von Leuten, die dem widersprechen und erzählen, wie wichtig Mathe beruflich für sie ist. Zu meinen Favoriten gehört ein Arbeiter auf einem Ölfeld, der erklärte: »Mein Tag beginnt und endet mit Geometrie.« Und ein Maschinist pflichtete ihm bei: »Ich benutze praktisch jeden Tag Trigonometrie.«

Der Ölarbeiter beschrieb sogar genauer, wie unerwartet wichtig mathematisches Wissen für seine Karriere war. »Eine Sache, die ich rasch lernte, war, dass deine mathematischen Fertigkeiten oder vielmehr dein mathematisches Geschick darüber entscheiden, wie weit du es in dieser Industrie bringen kannst.« Durch das Erlernen von Geometrie gelang es ihm, vom einfachen Bohrhelfer (der sich um das Bohrgestänge kümmert) zum Bohrgeräteführer befördert zu werden, der die ganze Operation leitet.

Zudem setzen wir Menschen schon seit sehr langer Zeit Dreiecke ein, um die Welt um uns herum zu gestalten. Ich lebe etwas außerhalb von London, das einst als antike römische Stadt Londinium gegründet wurde. Irgendwann im 1.Jahrhundert v.Chr. entschlossen sich die Römer, eine Straße zu bauen, um Londinium mit einer Stadt namens Noviomagus Regnorum in der Nähe der Südküste von England zu verbinden, die heute Chichester heißt. Die Römer sind berühmt dafür, stets schnurgerade Straßen gebaut zu haben (was solide Kenntnisse in Landvermessung und Geometrie verlangt), doch in diesem Fall ging das wohl nicht.

Zwischen London und Chichester liegen die Surrey Hills. Zu ihnen gehört ein Höhenzug, die North Downs, der für englische Verhältnisse einer beeindruckenden Bergkette gleichkommt. Dort lebe ich, und das macht Laufen und Radfahren ebenso malerisch wie anstrengend. Die Römer wussten zwar nicht, dass dies mein zukünftiger Wohnsitz sein würde, wohl aber, dass die North Downs und die sich anschließenden South Downs zu hügelig waren, als dass man dort problemlos Straßen hätte bauen können. Selbst wenn es ihnen gelungen wäre, eine gerade Straße durch die Hügelregion zu legen, wäre sie zu steil gewesen, als dass Gefährte darauf hätten verkehren können. Daher entschieden sie sich gegen eine gerade Verbindung zwischen London und Chichester und bauten mithilfe ihrer ingenieurstechnischen und trigonometrischen Fähigkeiten eine Umgehungsstraße, die sich aus zahlreichen geraden Abschnitten zusammensetzte und als Stane Street bekannt wurde.

Um herauszufinden, wo die gerade Straße verlaufen wäre, zog ich mithilfe von Google Maps eine Gerade zwischen der modernen London Bridge (Sitz der ersten, von den Römern errichteten festen Brücke über die Themse) und dem Ort, wo einst das Osttor von Noviomagus in Chichester war. Laut der Karte betrug die Entfernung 88,6 Kilometer, und als mein Blick die Gerade entlangwanderte, stellte ich fest, dass sie perfekt in einer Linie mit einem Abschnitt der modernen A3 lag. Die A3 bog nach Südlondon ab, doch dann führte meine virtuelle Linie offenbar direkt über einen geraden Abschnitt der A24. In der modernen Londoner Straßenkarte verliefen wichtige Straßen auf der direkten Verbindungslinie zwischen London Bridge und Chichester.

Es ist nicht ungewöhnlich, dass moderne Land- und Schnellstraßen in England dem Verlauf antiker Straßen folgen, und verdächtig gerade Straßen sind ein sicheres Zeichen dafür, dass hier die Römer am Werk waren. Der Fingerabdruck römischer Ingenieurskunst lebt im modernen Straßensystem weiter. Diese Teilstrecken der A3 und der A24 sind fossile Überreste der von den Römern errichteten Stane Street. Die ersten 20 Kilometer der Straße verliefen direkt in Richtung Chichester, bevor die Straße nach Osten abbog, um die North Downs zu umgehen. Was mich allerdings verwunderte, war, dass die Straße diese frühere Linie niemals mehr aufnimmt. Die geraden Abschnitte führen um und durch das Gebiet, wo heute die Ortschaft Dorking liegt, bevor sie den Osten der Stadt Chichester erreicht.

Das konnte ich einfach nicht glauben. Die Römer hatten offenbar die Geometrie bewältigt, die man braucht, um sicherzustellen, dass eine Straße direkt auf ihr Ziel in 88 Kilometern Entfernung zuläuft, aber nur für die ersten 20 Kilometer? Das hätte erfordert, die gesamte Luftlinie (über zwei Hügelketten) zu vermessen, nur um sicherzustellen, dass das erste Viertel passte. Die Straße wäre kürzer und direkter verlaufen, wenn sie direkt auf einen Pass durch die North Downs abgezielt hätten, aber nein, sie richteten ihre Straße zunächst nach Chichester aus, vergeudeten unzählige Arbeitsstunden und Mühen für Berechnungen und vermaßen Dreiecke in schwierigem Terrain, nur um anzugeben? Oder wollten sie, wie ich lieber glauben würde, das Wunder der Dreiecke zelebrieren, mit deren Hilfe man Landflächen, Strecken und Winkel vermessen kann?

Wenn man weiß, wohin man schauen muss, kann man Hinweise auf Dreiecke – und auf Geometrie im Allgemeinen – finden, die praktisch überall in unserem Leben eine Rolle spielen. Meistens bleiben sie dank zahlreicher mathematisch geschulter, geschickter Expertinnen und Experten unsichtbar im Hintergrund, doch hin und wieder können wir Sterbliche Hinweise auf die geheime Welt der Dreiecke entdecken – manchmal deshalb, weil jemand wie die Römer einfach nur angeben wollte.

Ich glaube, es ist an der Zeit, dass mehr Menschen die Wunder der Dreiecke kennenlernen, zusammen mit dem, was sie ermöglichen: Geometrie und Trigonometrie. Diese blasierte Haltung, sich nicht um Formen zu kümmern, kann nicht unwidersprochen hingenommen werden! Sehen Sie sich diese Packung Biskuits an. Ein offensichtlich achtseitiger Keks wird als »hexagonal« – sechseckig – bezeichnet. Eine achtseitige geometrische Form ist ein Oktagon, ein Achteck! Können Sie sich vorstellen, dass die Hersteller dieser Packung an anderer Stelle einen ähnlich schlimmen Fehler hätten durchgehen lassen, beispielsweise einen Tippfehler oder einen falschen Inhaltsstoff?

Und wie steht es mit einem Unternehmen namens Octagon Timber Flooring, dessen Logo kein Oktagon zeigt, sondern eine 3D-Form, das Ikosaeder.

Das ist wirklich schwer zu schlucken.

Würden Sie diesen Leuten trauen, einen Raum zum Verlegen auszumessen?

Ich bin ein großer Ikosaeder-Fan – schließlich besteht es aus 20 Dreiecken –, aber es handelt sich nicht um ein Oktaeder. Alles, was uns noch fehlt, ist ein drittes Produkt oder Unternehmen, das sich Ikosaeder nennt, aber tatsächlich ein Hexagon im Logo trägt; dann würde sich der Teufelskreis des Chaos schließen.

Diese anderen Figuren sind ebenso wichtig wie Dreiecke. Wie ich noch zeigen werde, lassen sich alle Formen auf Dreiecke zurückführen, doch was noch wichtiger ist: Diese Beispiele zeigen, wie überraschend locker wir als Gesellschaft sind, wenn es um geometrische Präzision geht. Meiner Ansicht nach ist das ein Symptom dafür, dass Leute Geometrie als eines der nutzlosen Dinge ansehen, die sie in der Schule lernen mussten, deren Details sie aber nun ruhig vergessen können. Jene Tage gehören dank dieses Buches hoffentlich bald der Vergangenheit an.

Wir haben bereits viele Leute im Boot, Dreiecksliebhaber und Menschen, die Dreiecke beruflich einsetzen. Manche Leute, die Dreiecke lieben, lieben sie wirklich. Mindestens zwei meiner Freunde haben ein Dreiecks-Tattoo. Und denken Sie nur an die vielen Fun-Dreiecke: Das allgegenwärtige Tastensymbol für »Abspielen« ist ein Dreieck, das beste Instrument in einem Orchester ist die Triangel, und ein Sandwich schneidet man idealerweise in Dreiecksform. Dreiecke sind einfach großartig!

Während ich dabei war, dieses Buch mit dem Arbeitstitel Love Triangle zu schreiben, brachte der fantastische Stand-up-Comedian James Acaster sein Netflix-Special Repertoire: Recognise heraus, in dem er meinte: »Every triangle is a love triangle when you love triangles.« (Jedes Dreieck ist ein Dreiecksverhältnis, wenn man Dreiecke liebt.) Das kann ich nur unterstreichen. Ich wünsche mir, dass alle Menschen Dreiecke lieben. Und welchem Mathematiker schrieb Acaster diesen fiktiven mathematischen Slogan zu? Pythagoras, natürlich!

Lassen Sie uns daher einen Weg durch die Welt der Geometrie und Trigonometrie anlegen, um Dreiecke aller Art zu feiern. Keinen direkten, geraden Weg, sondern einen, der eine bequemere Route durch die North Downs und all ihre blöden Unebenheiten nimmt. Wo auch immer im Spektrum zwischen »Bin ich froh, niemals wieder Geometrie betreiben zu müssen« und »Ich liebe Dreiecke« Sie sich befinden – ich hoffe, ich kann Ihnen die nützlichen, die wirklich wichtigen und die spielerischen Seiten von Dreiecken aufzeigen.

Dreiecke sind alles, und alles ist Dreieck.