Einführung in die Einstein'sche Summen-Notation E-Book

Hans-Friedrich Pfeiffer

• Herausgeber: Books on Demand
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Sprache: Deutsch

Seitenzahl: 57

Veröffentlichungsjahr: 2023

Beschreibung

Das Buch ist eine Einführung in die Einstein'sche Summennotation. Anhand von Beispielen aus der Linearen Algebra und der Funktionalanalysis wird gezeigt, wie mit der Einstein'schen Summation verfahren wird. Insbesondere werden die folgenden Punkte behandelt: - Kronecker-Symbol - Levi-Civita-Symbol - Matrizenrechnung - Vektorrechnung - Differential-Operatoren (Gradient, Divergenz, Rotation) Das Buch richtet sich an Studierende der Physik.

Leseprobe

Hans-Friedrich Pfeiffer

Einführung in die Einstein’sche Summen-Notation

Hans-Friedrich Pfeiffer

Einführung in die Einstein’sche Summennotation

Für Studierende der Physik

Über den praktischen Umgang mit der Einstein’schen Summennotation mit Beispielen aus der Linearen Algebra, Vektor-Rechnung und Funktionalanalysis.

Das Buch richtet sich an Studierende der Physik, die sich mit der Speziellen und Allgemeinen Relativitätstheorie befassen wollen.

- Kronecker-Symbol δij

- Levi-Civita-Symbol εijk

- Matrizenrechnung

- Vektorrechnung

- Differential-Operatoren (Gradient, Divergenz, Rotation)

Impressum

Texte:   © 2022 Copyright by Hans-Friedrich Pfeiffer

Umschlag: © 2022 Copyright by Hans-Friedrich Pfeiffer

ISBN: 9783734716102

Verantwortlich für den Inhalt:

Dipl.-Math. Hans-Friedrich Pfeiffer

E-Mail: [email protected]

Version 2.0

Einleitung

Die Einstein’sche Summation, auch Einstein Summation Notation (ESN) genannt, ist ein effektives Hilfsmittel, um komplizierte mathematische Ausdrücke (Summen von Summen von Summen) übersichtlich darzustellen. Dabei arbeitet die Einstein’sche Summation mit Indizes, also „kleinen“ Buchstaben, die unterhalb oder oberhalb eines Ausdrucks gestellt werden, etwa aij oder auch bnm. Der korrekte Umgang mit diesen Indizes ist wesentlich für die Einstein’sche Summation, wir werden daher in diesem Buch die grundlegenden Eigenschaften erläutern und dies an zahlreichen Beispielen zeigen.

Diese Veröffentlichung richtet sich insbesondere an Studierende der Physik, die sich mit der Speziellen und Allgemeinen Relativitätstheorie (SRT/ART) von Albert Einstein befassen wollen. Insbesondere in diesen Gebieten ist der korrekte Umgang mit der ESN unumgänglich.

Das Rechnen mit Indizes wird auch als Index-Akrobatik bezeichnet. Fehler können sich auch in diesem Skript eingeschlichen haben. Sollte ein solcher entdeckt werden, so erbitte ich eine entsprechende Nachricht an [email protected] . Errata werde ich auf der Seite http://www.hans-friedrich-pfeiffer.de/Mathematik/de/ESN-Errata.pdf zur Verfügung stellen.

Vorausgesetzte Kenntnisse

Es ist hilfreich, wenn der Leser mit Vektorenrechnung und Matrizen vertraut ist. Ebenso sind Kenntnisse der Differentialoperatoren (Gradient, Rotation, Divergenz) wünschenswert. Für das eigentliche Verständnis sind Kenntnisse der genannten Gebiete nicht zwingend notwendig, wir werden aber anhand von Beispielen erläutern, wie mit der ESN gearbeitet werden kann. Die Beispiele beziehen wir aus der Linearen Algebra und der Funktionalanalysis.

Über den Autor

Studium der Mathematik von 1980 – 1987 an der Christian-Albrecht-Universität zu Kiel und der Université Montpellier II – Sciences et Techniques du Languedoc, Montpellier mit Abschluß als Dipl.-Math.

Seit 1989 Tätigkeiten als Software-Entwickler im Bereich Relationaler Datenbanken.

Konventionen

In der gängigen Literatur wird zwischen kovarianten und kontravarianten Vektoren unterschieden. Dies bezieht sich äußerlich darauf, dass kontravariante Vektoren obere Indizes erhalten, kovariante untere Indizes. Für unsere Zwecke ist diese Unterscheidung nicht notwendig, wir werden daher überwiegend alle Indizes als untere Indizes notieren.

Vektoren werden wir mit fett kursiven Buchstaben bezeichnen, also etwa v als Vektor.

Im Folgenden bezeichnet

( e1, e2, ..., en ) stets die orthonormierte Standard-Basis für den Vektorraum ℝn. Dabei sind die Komponenten des Vektors ej allesamt 0 bis auf die j-te Stelle, die eine 1 enthält.

Diese Vektoren stehen jeweils senkrecht aufeinander (orthogonal) und besitzen allesamt die Länge 1 (orthonormiert). Dieses Basissystem wird auch kartesisch genannt.

Bei Matrizen werden wir Zeilen und Spalten jeweils mit 0 beginnend durchnummerieren – dies geschieht, weil in der SRT/ART der sogenannte Minkoswki-Raum verwendet wird. Dieser Vektorraum ist etwas unterschiedlich zum ℝ4, die 2-te, 3-te und 4-te Komponente verhalten sich dabei wie der ℝ3.

In der SRT / ART werden 4-dimensionale Räume betrachtet. In unserer Darstellung werden wir aber beliebige Dimensionen zulassen.

Die Einstein’sche Summation Notation werden wir durch ESN abkürzen.

Das Zeichen „≡“ steht für „entspricht“. Wir werden dieses Zeichen an den Stellen verwenden, wo wir auf der linken Seite eine ESN haben und aufzeigen, wie dies als Summation mittels dargestellt wird.

Tipp

Im Laufe des Buches werden zahlreiche Gleichungen abgeleitet. Lesen Sie die Gleichungen in beiden Richtungen, also insbesondere von rechts nach links. Wesentlich ist, dass Beziehungen wiedererkannt werden und dann durch Umschreibung vereinfacht werden können.

Einstein’sche Summenkonvention

An vielen Stellen in der Physik entstehen Summen von Summen von Summen, also etwa Ausdrücke wie

∑ni=1∑nj=1∑nk=1 aijkbkcj

Solche ineinander gereihte Summen führen schnell zur Unübersichtlichkeit, so dass wesentliche Punkte einer solchen Aufsummierung in der Schreibweise verloren gehen. Wir werden sehen, dass mittels der ESN ganze Gleichungssysteme in einer einzigen Zeile formuliert werden können.

Bevor wir auf das eigentliche Regelwerk eingehen, schauen wir uns ein paar Beispiele an. Dabei wird die linke Seite des Gleichheitszeichens die Einstein’sche Summation bedeuten, die rechte Seite zeigt, was genau unter der linken Seite zu verstehen ist. Dabei müssen wir vorausschicken, dass jeweils nur über doppelt auftretende Indizes summiert wird.

Die Einstein-Summation zeichnet sich dadurch aus, dass auf das Summationszeichen ∑ verzichtet werden kann, wenn bestimmte Regeln eingehalten werden.

(B 1) Beispiel 1

Die Einstein’sche Summation ai ui wird wie folgt definiert:

Der doppelt (und NUR doppelt) auftauchende Index „i“ auf der linken Seite der Gleichung wird gebundener oder auch stummer Index genannt, da dieser nach Auflösung der Summation verschwindet.

ai ui ist also lediglich eine abkürzende Schreibweise für die Summation. Wenn also klar ist, dass nur über doppelt auftauchende Indizes summiert wird, kann das Summenzeichen entfallen.

(B 2) Beispiel 2

In diesem Beispiel ist wiederrum „i“ der gebundene Index, über den summiert wird. Der Index „j“ taucht nur einmal auf, er wird freier Index genannt. „j“ kann zwar frei gewählt werden, bleibt dann aber nach seiner Wahl fest. Wenn also „j“ Werte von 1 bis m annehmen kann, dann entstehen durch den obigen Ausdruck dadurch ein System von m Summationen:

a1j u1

a2j u2

...

anj un,

welche wiederrum als einzelne Einstein’sche Summationen zu verstehen sind. Damit zeigt sich, dass die ESN nicht nur auf das Summationszeichen verzichtet, sondern dass gleich eine ganze Reihe von Gleichungen in einer ESN dargestellt werden kann.

Im letzten Beispiel könnten etwa die aij Zeilen- und Spaltenwerte einer Matrix darstellen (mit i als Zeile und j als Spalte), ui könnten Komponenten eines Vektors sein. Dann stellt die Einstein-Summe die einzelnen Komponenten der Matrix-Multiplikation (aij) mit dem Vektor (u1, u2,…,un) dar. Es ist wichtig zu verstehen, dass sich die Einstein-Summation immer nur auf Komponenten bezieht. Wir werden später noch sehen, dass viele Beweise in der Vektorrechnung mit einer reinen Darstellung als Komponenten vollständig auskommen, denn wenn wir einen Beweis für eine (beliebige) Komponente führen, dann gilt die zu beweisende Aussage für alle Komponenten. Wir werden auch sehen, dass einige Beweise in der ESN sehr einfach und – das ist der wesentliche Grund – übersichtlich sind.