Einführung in die Festkörperphysik E-Book

Philip Hofmann

• Herausgeber: Wiley-VCH
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Sprache: Deutsch

Seitenzahl: 372

Veröffentlichungsjahr: 2013

Beschreibung

Solch eine kurze, und knappe Einführung in die Festkörperphysik gab es noch nicht: In kompakter und leicht verständlicher Form führt der Autor den Leser and Phänomene und Konzepte heran, wobei trotz der Kürze mit Kapiteln zu Magnetismus, Halbleitern, Supraleitern, Dielektrischen Materialien und Nanostrukturen alle wichtigen Gebiete abgedeckt werden.
Die gelungene didaktische Aufbereitung ermöglicht Studenten der Material- und Ingenieurwissenschaften, Chemie und Physik einen leichten Zugang zum Thema. Zahlreiche Abbildungen verdeutlichen die Zusammenhänge und machen das Erklärte gut verständlich. Verständnisfragen und Aufgaben unterstützen beim Einprägen des Stoffs.

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

Vorwort

1 Chemische Bindung in Festkörpern

1.1 Anziehende und abstoßende Kräfte

1.2 Ionische Bindung (Ionenbindung)

1.3 Kovalente Bindung (Atombindung)

1.4 Metallbindung

1.5 Wasserstoffbrückenbindung

1.6 van-der-Waals-Bindung

1.7 Diskussion und Aufgaben

2 Kristallstrukturen

2.1 Allgemeine Beschreibung von Kristallstrukturen

2.2 Einige wichtige Kristallstrukturen

2.3 Methoden zur Bestimmung der Kristallstruktur

2.4 Diskussion und Aufgaben

3 Mechanische Eigenschaften

3.1 Elastische Verformung

3.2 Plastische Verformung

3.3 Diskussion und Aufgaben

4 Thermische Eigenschaften des Gitters

4.1 Gitterschwingungen

4.2 Wärmekapazität des Gitters

4.3 Wärmeleitfähigkeit

4.4 Wärmeausdehnung

4.5 Allotrope Phasenübergänge und Schmelzen

4.6 Diskussion und Aufgaben

5 Elektrische Eigenschaften von Metallen: Klassische Betrachtungsweise

5.1 Die Grundannahmen des Drude-Modells

5.2 Ergebnisse aus dem Drude-Modell

5.3 Schwächen des Drude-Modells

5.4 Diskussion und Aufgaben

6 Elektronische Eigenschaften von Metallen: Quantenmechanische Betrachtungsweise

6.1 Das Konzept der Energiebänder

6.2 Das Modell der freien Elektronen

6.3 Die allgemeine Form der Elektronenzustände

6.4 Das Modell der nahezu freien Elektronen

6.5 Energiebänder in realen Festkörpern

6.6 Transporteigenschaften

6.7 Kurze Zusammenfassung einiger Schlüsselkonzepte

6.8 Diskussion und Aufgaben

7 Halbleiter

7.1 Intrinsische Halbleiter

7.2 Dotierte Halbleiter

7.3 Leitfähigkeit von Halbleitern

7.4 Halbleiterbauelemente

7.5 Diskussion und Aufgaben

8 Magnetismus

8.1 Makroskopische Beschreibung

8.2 Magnetische Effekte in Atomen

8.3 Schwacher Magnetismus in Festkörpern

8.4 Magnetische Ordnung

8.5 Diskussion und Aufgaben

9 Dielektrika

9.1 Makroskopische Beschreibung

9.2 Mikroskopische Polarisation

9.3 Das lokale Feld

9.4 Frequenzabhängigkeit der Dielktrizitätskonstante

9.5 Andere Effekte

9.6 Diskussion und Aufgaben

10 Supraleitung

10.1 Experimentelle Grundlagen

10.2 Einige theoretische Aspekte

10.3 Experimente zur Messung der Lücke

10.4 Kohärenz des supraleitenden Zustands

10.5 Supraleiter vom Typ I und Typ II

10.6 Hochtemperatursupraleitung

10.7 Zusammenfassende Bemerkungen

10.8 Diskussion und Aufgaben

11 Endliche Festkörper und Nanostrukturen

11.1 Quantenbeschränkung

11.2 Oberflächen und Grenzflächen

11.3 Magnetismus auf der Nanoskala

11.4 Diskussion und Aufgaben

A Anhang

A.1 Explizite Formen der Vektoroperationen

A.2 Mikroskopische Form der Maxwell’schen Gleichungen

A.3 Die Maxwell’schen Gleichungen in Materie

Literaturnachweis

Weiterführende Literatur

Physikalische Konstanten und Energieäquivalente

Stichwortverzeichnis

Beachten Sie bitte auch weitere interessante Titel zu diesem Thema

Callister, W.D., Rethwisch, D.G.

Materialwissenschaften und Werkstofftechnik

Eine Einführung

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Wolf, E.L.

Nanophysics and Nanotechnology

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Halliday, D., Resnick, R., Walker, J.

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Kuypers, F.

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Band 2: Elektrizität, Optik und Wellen

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2012

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eMobi ISBN: 978-3-527-66958-5

ePub ISBN: 978-3-527-66959-2

Adobe PDF ISBN: 978-3-527-66960-8

Autor

Dr. Philip Hofmann

Institute for Storage Ring Facilities, U

Nicander Road 66

L18 1HZ Liverpool

United Kingdom

Übersetzung:

Micaela Krieger- Hauwede

Alle Bücher von Wiley-VCH werden sorgfältig erarbeitet. Dennoch übernehmen Autoren, Herausgeber und Verlag in keinem Fall, einschließlich des vorliegenden Werkes, für die Richtigkeit von Angaben, Hinweisen und Ratschlägen sowie für eventuelle Druckfehler irgendeine Haf tung

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Vorwort

Dieses Buch hat sich aus einer Vorlesung über Festkörperphysik heraus entwickelt, die sich an Physikstudenten im dritten Studienjahr richtete. Aber auch für Studenten verwandter Studienrichtungen wie der Chemie oder der Ingenieurwissenschaften sollte dieses Buch nützlich sein. Anliegen dieses Buches ist es, auf Bachelor-Niveau einen Überblick über das gesamte Fachgebiet zu geben, ohne zu stark ins Detail zu gehen. So liegt der Schwerpunkt dieses Buches hauptsächlich auf einer didaktisch anspruchsvollen Darstellung des Stoffes und weniger auf trockenen mathematischen Herleitungen oder Vollständigkeit. Der Leser, der sich tiefgründiger mit dem Thema befassen möchte, sei auf die vielen ausgezeichneten weiterführenden Bücher über Festkörperphysik verwiesen, von denen einige im Anhang aufgeführt sind.

Um diesem Buch folgen zu können, sollten Sie eine Grundvorlesung in Physik besucht haben sowie einige Grundkenntnisse in Chemie, Quantenmechanik und statistischer Physik besitzen. Von Vorteil wären auch Kenntnisse in klassischer Elektrodynamik, auch wenn diese nicht unbedingt notwendig sind.

Es seien nun ein paar Worte darüber gesagt, wie dieses Buch zu handhaben ist: Zu jedem Kapitel gibt es eine Reihe von „Diskussionsfragen“ und Aufgaben. Anhand der Fragen können Sie selbst einschätzen, wie gut sie das Thema wirklich verstanden haben. Einige Fragen lassen sich nur mit dem Wissen aus nachfolgenden Kapiteln beantworten. Diese Fragen sind mit einem Stern gekennzeichnet. Manche Aufgaben sind insofern eine Herausforderung, als dass sie mathematisch oder/und inhaltlich anspruchsvoller sind. Auch diese Aufgaben sind mit einem Stern gekennzeichnet. Nicht alle Informationen, die Sie zur Lösung der Aufgaben benötigen, finden Sie hier in diesem Buch. Standardwerte, wie die Dichte von Gold oder die relative Atommasse von Kupfer, schlagen Sie bitte in den ausgezeichneten, im Internet verfügbaren Übersichten nach. Etliche nützliche Quellen für Dozenten, darunter Gleichungen, Vorlesungsvorschläge und die Lösungen zu den Aufgaben in diesem Buch finden Sie auf den Internetseiten des Verlages. Weiterführende Informationen, wie eine aktuelle Liste empfehlenswerter Internetseiten, finden Sie auf meiner Homepage.

Ich möchte mich bei den Menschen bedanken, die mich durch zahlreiche Diskussionen, Anregungen und Vorschläge unterstützt haben. Besonders erwähnen möchte ich meine Fachkollegen Arne Nylandsted Larsen, Ivan Steensgaard, Maria Fuglsang Jensen, Justin Wells sowie viele andere Seminarleiter und Studenten, die an der Vorbereitung und Durchführung der Vorlesung in Åarhus beteiligt waren.

1

Chemische Bindung in Festkörpern

In diesem Kapitel befassen wir uns mit verschiedenen Mechanismen, die zu einer Bindung zwischen Atomen führen, sodass daraus ein Festkörper entsteht. Dabei werden wir verschiedene Fälle betrachten: ionische Bindung (Ionenbindung), kovalente Bindung (Atombindung) und metallische Bindung (Metallbindung). Im Kopf sollten Sie aber immer behalten, dass diese Bindungstypen nur idealisierte Grenzfälle sind. Oft begegnen uns gemischte Bindungen, wie eine Kombination aus metallischer und kovalenter Bindung bei den Übergangsmetallen.

Wie in der herkömmlichen Chemie sind nur eine begrenzte Anzahl aller Elektronen am Aufbau der Bindung beteiligt. Diese sogenannten Valenzelektronen sind die Elektronen, die sich in den äußeren Schalen (bzw. der äußersten Schale) eines Atoms befinden. Die Elektronen in den inneren Schalen sind so eng an den Kern gebunden, dass sie die Anwesenheit anderer Atome in ihrer Umgebung gar nicht spüren.

1.1 Anziehende und abstoßende Kräfte

Damit in einem Festkörper oder in einem Molekül eine Bindung aufgebaut werden kann, müssen zwei verschiedene Kräfte wirken. Eine anziehende Kraft ist für jede Bindung notwendig. Verschiedene Arten von Anziehungskräften werden wir gleich diskutieren. Es muss aber auch eine abstoßende Kraft wirken, die verhindert, dass sich die Atome zu nahe kommen. Ein möglicher Ausdruck für ein zwischenatomares Potential ist daher

(1.1)

mit n > m, d. h. für kurze Abstände muss der abstoßende Teil vorherrschen (manchmal wird das auch durch die Annahme eines exponentiell fallenden abstoßenden Potentials erreicht). Ein solches Potential und die zugehörige Kraft sind in Abbildung 1.1 dargestellt. Hinter der starken Abstoßung für kleine Abstände steckt das Pauli-Prinzip. Wenn sich die Elektronenwolken zweier Atome stark überlappen, müssen sich die Wellenfunktionen so ändern, dass sie orthogonal zueinander sind, denn das Pauli-Prinzip verbietet, dass sich mehr als zwei Elektronen in demselben Quantenzustand befinden. Die Orthogonalisierung kostet viel Energie, daher die starke Abstoßung.

1.2 Ionische Bindung (Ionenbindung)

Gleich werden wir auch Potentialenergien für komplizierte Strukturen untersuchen. Dabei ist es wichtig, zwischen den verschiedenen Energiebeiträgen zu unterscheiden: Die Kohäsionsenergie ist die Differenz zwischen der Energie eines Festkörpers und der Energie seiner einzelnen Atome. Bei einem Festkörper mit Ionenbindung lässt sich die Energie aus der Gitterenergie, also dem elektrostatischen Energiegewinn beim Zusammenbau des Gitters, sowie aus der Ionisationsenergie und der Elektronenaffinität der Atome berechnen.

1.3 Kovalente Bindung (Atombindung)

Die kovalente Bindung beruht darauf, dass sich zwei verschiedene Atome tatsächlich ein Elektron teilen. Der einfachste Fall ist der eines Wasserstoffmoleküls, den wir gleich quantitativ diskutieren. Bei Festkörpern findet man die kovalente Bindung oft bei Elementen mit einer im Wesentlichen halb gefüllten äußeren Schale. Ein berühmtes Beispiel ist Kohlenstoff, der als Diamant oder als Graphit vorkommt. Es gibt aber auch komplexe Moleküle mit kovalenter Bindung, wie Buckminster-Fullerene C60 oder Kohlenstoffnanoröhren. Die kovalenten Bindungen im Diamanten sind aus einer Linearkombination des 2s-Orbitals und dreier 2p-Orbitale konstruiert. Aus dieser Linearkombination ergeben sich vier sogenannte sp3-Orbitale, die in einer tetraedrischen Konfiguration aus den Kohlenstoffatomen herausragen. Im Graphit wird das 2s-Orbital mit nur zwei 2p-Orbitalen kombiniert. Daraus ergeben sich drei sp2-Orbitale, die alle in einer Ebene liegen und miteinander Winkel von 120° einschließen, sowie ein p-Orbital, das senkrecht zu dieser Ebene orientiert ist. Schon diese Linearkombination von Orbitalen offenbart ein wichtiges Merkmal der kovalenten Bindung: Sie ist stark gerichtet. Außerdem ist sie sehr stabil, denn die Bindungsenergien liegen im Bereich von einigen Elektronenvolt.

(1.2)

schreiben. Dabei sind r1 und r2 die Koordinaten der Elektronen, die zum Kern A bzw. zum Kern B gehören. Die ersten beiden Terme beschreiben die kinetische Energie der beiden Elektronen. Die Operatoren und wirken nur auf die Koordinaten r1 bzw. r2. Der elektrostatische Term beschreibt die Abstoßung zwischen den beiden Kernen und die Abstoßung zwischen den beiden Elektronen sowie die Anziehung zwischen den Elektronen und den Kernen.

Die Gesamtwellenfunktion setzt sich aus einem räumlichen Teil und einem Spinteil zusammen. Daher gibt es für die Konstruktion einer antisymmetrischen Wellenfunktion zwei Möglichkeiten. Wir können entweder einen symmetrischen räumlichen Teil und einen antisymmetrischen Spinteil verwenden oder einen antisymmetrischen räumlichen Teil und einen symmetrischen Spinteil. Die räumliche Wellenfunktion können wir also folgendermaßen konstruieren:

(1.3)

(1.4)

Das Pluszeichen in (1.3) liefert eine symmetrische räumliche Wellenfunktion für eine antisymmetrische Spinwellenfunktion mit Gesamtspin gleich null (den sogenannten Singulett-Zustand); das Minuszeichen liefert eine antisymmetrische räumliche Wellenfunktion für eine symmetrische Spinwellenfunktion mit dem Gesamtspin gleich 1 (den sogenannten Triplett-Zustand).

Eine Methode zur näherungsweisen Berechnung der Eigenwerte von (1.2) wurde im Jahr 1927 von W. Heitler und F. London vorgeschlagen. Die Idee ist, die bekannten 1s-Einteilchen-Wellenfunktionen für atomaren Wasserstoff ΨA und ΨB zu verwenden und daraus eine Zweielektronen-Wellenfunktion Ψ(r1, r2) zu bilden, die entweder durch (1.3) oder durch (1.4) gegeben ist. Eine obere Grenze für die Eigenwerte zur Grundzustandsenergie können wir dann durch

(1.5)

berechnen.

Die Rechnung ist recht länglich, und wir lassen sie daher hier weg. Die Grundzustandsenergien, die sich daraus für den Singulett- und den Triplett-Zustand ergeben, lassen sich in der Form

(1.6)

(1.7)

schreiben. Dabei ist E0 die Grundzustandsenergie für ein Wasserstoffatom, die hier zweimal vorkommt, weil wir von zwei Atomen ausgegangen sind. Die Energien ∆E↑↑ und ∆E↑↓ sind ebenfalls in Abbildung 1.2 dargestellt. Die Energie ∆E↑↑ ist immer größer als null und führt zu keiner chemischen Bindung. Die Energie ∆E↑↓ hat jedoch ein Minimum, das kleiner als null ist, und zwar bei ungefähr dem Eineinhalbfachen des Bohr-Radius. Das ist der Bindungszustand.

Abbildung 1.2 Die Energieänderungen ∆E↑↑ und ∆E↑↓ für die Bildung des Wasserstoffmoleküls. Die gestrichelten Linien stehen für die Näherung für große Abstände. Die beiden Einsätze zeigen Graustufenbilder der zugehörigen Elektronenwahrscheinlichkeitsdichte.

Für große Abstände zwischen den Kernen lassen sich die Gleichungen (1.6) und (1.7) weiter vereinfachen:

(1.8)

Die Energieänderung bei einer Bindung hat also zwei Teile. Einer der beiden Teile hängt von den gegenseitigen Spinorientierungen der Elektronen ab (±X), der andere nicht (C). Die Energiedifferenz zwischen diesen beiden Zuständen ist 2X, also das Doppelte der sogenannten AustauschenergieX. Im Fall des Wasserstoffmoleküls ist die Austauschenergie immer negativ.

Ähnliche Überlegungen werden wir im Kapitel über den Magnetismus anstellen. Das der magnetischen Ordnung zugrundeliegende Prinzip ähnelt sehr stark der hier vorliegenden Situation. Die Gesamtenergie eines Elektronensystems hängt über die Austauschenergie von den gegenseitigen Spinorientierungen der Elektronen ab, und deshalb wird eine besonders geordnete Spinkonfiguration bevorzugt. Bei zwei Elektronen ist der „magnetische“ Charakter einfach durch das Vorzeichen von X gegeben. Hat X ein negatives Vorzeichen, so ist die Kopplung mit zwei entgegengesetzten Spins bevorzugt (das ist der antiferromagnetische Fall). Ist das Vorzeichen von X dagegen positiv, ergibt sich eine Situation, in der für parallel ausgerichtete Spins die niedrigste Energie erreicht wird (das ist der ferromagnetische Fall).

1.4 Metallbindung

Bei Metallen sind die äußeren Valenzelektronen von den Ionenrümpfen getrennt. Anders als bei Festkörpern mit Ionenbindung gibt es aber keine elektronegativen Ionen, die diese Elektronen binden könnten. Deshalb können sich die Elektronen zwischen den verbliebenen Ionenrümpfen frei bewegen. Diese delokalisierten Valenzelektronen leiten den elektrischen Strom, weshalb man sie oft auch als Leitungselektronen bezeichnet. Es ist zu erwarten, dass sich Metalle aus Elementen bilden, bei denen die Energiekosten zur Freisetzung von Außenelektronen nicht zu hoch sind. Trotzdem kostet diese Freisetzung immer etwas Energie, die von der Bindung mehr als kompensiert werden muss. Den Energiegewinn aus einer Bindung in einem intuitiven Bild zu erklären, ist schwierig, wir können aber zumindest versuchen, ihn uns plausibel zu machen. Letztlich muss die Bindung auf eine Art Energieverringerung zurückzuführen sein.

Ein sich verringernder Energiebeitrag ist die kinetische Energie der Leitungselektronen. Um uns das klar zu machen, betrachten wir den Anteil der kinetischen Energie in einem Hamilton-Operator. Ein Matrixelement 〈Ψ|T |Ψ〉 misst die kinetische Energie eines Teilchens. Dabei ist TΨ proportional zur zweiten räumlichen Ableitung der Wellenfunktion, also der Krümmung. Die Krümmung der Wellenfunktion ist bei einem Elektron, das an einem Atom lokalisiert ist, wesentlich größer als bei einem nahezu freien Elektron in einem Metall, und genau daraus ergibt sich der Energiegewinn.

Der andere Beitrag zur Elektronenenergie ist die potentielle Energie. Man sollte annehmen, dass das mittlere elektrostatische Potential jedes Einzelelektrons in einem Festkörper nahezu null ist, weil es (fast) genauso viele andere Elektronen wie Ionen mit derselben Ladungsmenge gibt. Das stellt sich allerdings als Irrtum heraus. In Wirklichkeit sehen die Elektronen ein anziehendes Potential. Der Grund dafür hängt teilweise wieder mit dem Pauli-Prinzip zusammen, das – grob gesprochen – verbietet, dass sich zwei Elektronen mit derselben Spinrichtung am selben Ort befinden, und deshalb gehen die Elektronen einander „aus dem Weg“. Zusätzlich gibt es auch noch eine direkte Coulomb-Wechselwirkung zwischen den Elektronen, die dazu führt, dass sich die Elektronen meiden. Detailliert werden wir darauf eingehen, wenn wir uns mit dem Magnetismus beschäftigen.

Typischerweise ist die Metallbindung schwächer als die kovalente oder ionische Bindung. Die Bindungsenergie beträgt bis zu einigen Elektronenvolt pro Atom. Stärkere Bindungen findet man bei Übergangsmetallen, d. h. Metallen, die sowohl s- als auch p-Leitungselektronen und teilweise gefüllte d-Schalen besitzen. Zurückführen lässt sich dies auf das Vorliegen einer gemischten Bindung. Die s- und p-Elektronen werden zu delokalisierten metallischen Leitungselektronen, während die d-Elektronen lokalisiertere Bindungen vom kovalenten Typ eingehen.

1.5 Wasserstoffbrückenbindung

Wasserstoffatome haben nur ein Elektron und können genau eine kovalente Bindung eingehen. Wird die Bindung zu einem stark elektronegativen Atom (wie F oder O) aufgebaut, ist das Elektron hauptsächlich in der Nähe dieses Atoms lokalisiert, und der Wasserstoffkern wirkt als eine isolierte positive (Teil-) Ladung. Aufgrund der geringen Größe kann diese positive Ladungsdichte beachtlich sein. So kann sie negative (Teil-) Ladungen in anderen Molekülen anziehen, um eine elektrostatische Bindung aufzubauen. Diese Art von Bindung nennt man Wasserstoffbrückenbindung. In der Regel ist sie ziemlich schwach, aber in einigen Fällen kann die Kohäsionsenergie bis zu einigen Hundert meV pro Atom betragen. Sie ist für die zwischenmolekulare Wechselwirkung in Wassereis verantwortlich und für die Bindung der DNA-Doppelhelix.

1.6 van-der-Waals-Bindung

Der Begriff van-der-Waals-Bindung bezeichnet einen schwachen, rein quantenmechanischen Effekt. Die Elektronenwolke um ein Atom oder ein Molekül hat keine statische Ladungsverteilung, sondern eine Verteilung, die quantenmechanischen Fluktuationen unterliegt. Bei einem einfachen Atom mit einer abgeschlossenen Schale kann man die Ladungsverteilung als ein fluktuierendes Dipolmoment betrachten. Dieses Dipolmoment kann andere benachbarte Atome polarisieren, und die Wechselwirkung zwischen den beiden benachbarten Dipolen reduziert die Gesamtenergie, d. h., dies kann zu einer Bindung führen. Diese Art von Bindung gibt es bei jedem Festkörper, aber sie ist viel schwächer als eine ionische, kovalente oder metallische Bindung. Typische Bindungsenergien liegen im meV-Bereich, und daher lässt sich die van-der-Waals-Bindung nur bei Festkörpern beobachten, die kein anderes Bindungsverhalten zeigen. Das betrifft beispielsweise Edelgase. Reine van-der-Waals-Kristalle können nur bei sehr tiefen Temperaturen existieren.

1.7 Diskussion und Aufgaben

1.7.1 Diskussion

1.1. Warum ist ein typisches zwischenatomares Potential wie das aus Abbildung 1.1 auf Seite 2 so asymmetrisch?

1.2. Aus welchen Elementen bilden sich vorzugsweise Kristalle mit Ionenbindung?

1.3. Welche Kräfte sind für eine Ionenbindung wichtig?

1.4. Wie hängt die Gitterenergie in einem ionischen Kristall von dem Abstand zwischen den Atomen ab?

1.5. Erläutern Sie den Unterschied zwischen Kohäsionsenergie und Gitterenergie.

1.6. Aus welchen Elementen bilden sich vorzugsweise Metalle?

1.7. Woraus ergibt sich der Energiegewinn bei einer Metallbindung?

1.8. Was ist der Unterschied zwischen einem einfachen Metall und einem Übergangsmetall (hinsichtlich der Definition und typischer physikalischer Eigenschaften)?

1.9. Warum ist die van-der-Waals-Bindung viel schwächer als die meisten anderen Bindungsarten?

1.7.2 Aufgaben

2

Kristallstrukturen

In diesem Buch werden wir es vorwiegend mit perfekt kristallinen Festkörpern zu tun haben, bei denen die Atome in einem perfekten Gitter angeordnet sind, d. h. ohne Defekte, Verunreinigungen und Ränder. Es stellt sich heraus, dass es uns die perfekte Periodizität und Translationsinvarianz erlaubt, trotz der überaus vielen (≈ NA) beteiligten Teilchen sehr gute Modelle für den Festkörperzustand zu entwickeln. Man könnte meinen, dass solche perfekten Kristalle für echte Stoffe nicht besonders relevant sind, doch das ist ein Irrtum. Tatsächlich setzen sich viele Festkörper aus kleinen Kristallkörnern zusammen. Aufgrund der Tatsache, dass diese Körner dreidimensional sind, ist die Anzahl der Atome an der Korngrenze im Vergleich zur Anzahl der Atome im Korn sehr klein. Bei einer Korngröße in der Größenordnung von 1000 Atomabständen bilden nur 0,1 % der Atome die Korngrenze, der übrige Teil befindet sich in einer perfekt kristallinen Umgebung. Es gibt jedoch einige Festkörper, die nicht kristallin sind. Man nennt sie Charakterisiert wird der amorphe Zustand durch das Fehlen einer langreichweitigen Ordnung. Zwischen den Atomen gibt es jedoch eine gewisse kurzreichweitige Ordnung.