El pensamiento aleatorio y los sistemas de datos en los libros de texto: E-Book

Víctor Miguel Ángel Burbano Pantoja

• Herausgeber: Editorial de la Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia - UPTC
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Serie: Investigación
• Sprache: Spanisch
• Veröffentlichungsjahr: 2021

Seitenzahl: 187

Beschreibung

Desde la antigüedad, el ser humano ha tratado de asimilar y cuantificar los fenómenos aleatorios, surgiendo distintas concepciones sobre el azar y lo probable; también por miles de años, el hombre ha realizado actividades asociadas con la recolección, organización e interpretación de información, las cuales paulatinamente fueron abordadas por la estadística. Tanto la probabilidad como la estadística se han constituido en herramientas de razonamiento y reflexión destinadas al tratamiento de información con presencia de incertidumbre, de allí que diversos organismos internacionales y nacionales han sugerido que estas materias sean incluidas en el currículo escolar y universitario a fin de potenciar en el estudiantado el desarrollo del Pensamiento Aleatorio (PA) y el manejo de los sistemas de datos, de modo que, le permitan transformarse en el futuro ciudadano informado con capacidad crítica para enfrentar sin asombro los "desafíos" que genera la sociedad actual. En este trabajo investigativo se indaga sobre la forma como algunos libros de texto abordan las temáticas de probabilidad y estadística siguiendo un enfoque mixto anclado en un paradigma plurimetódico apoyado con técnicas de investigación documental y análisis de contenido. Además, se propone una serie de situaciones problema que posibiliten potenciar el PA y los sistemas de datos tanto en los profesores como en los estudiantes, las cuales de forma gradual, se pueden abordar desde la educación primaria hasta la media e incluso los primeros semestres de la universidad. Por consiguiente, esta obra puede contribuir con el incremento del saber profesional docente y de la formación estudiantil en tanto que, involucra aspectos disciplinares y didácticos encaminados a potenciar el razonamiento y la interpretación de resultados antes que la memorización y el desarrollo de cálculos centrados en la aplicación de fórmulas con poco sentido para el estudiantado. Esta obra está dirigida a investigadores, docentes y estudiantes interesados en incrementar sus conocimientos sobre tópicos de probabilidad y estadística, temas necesarios para desarrollar procesos de aprendizaje e investigación en el campo de las ciencias naturales, ingeniería, ciencias aplicadas y educación matemática, entre otros. Para su abordaje se requieren algunos conocimientos básicos sobre: aritmética, combinatoria, conjuntos, variables y series numéricas. Este libro hace un aporte direccionado al desarrollo del PA como parte del pensamiento matemático y al abordaje de aspectos didácticos referidos a la enseñanza de la probabilidad y de la estadística en diferentes niveles educativos.

Leseprobe

El pensamiento aleatorio y los sistemas de datos en los libros de texto: situaciones alternativas de investigación formativa / Random Thinking and Data Systems in Textbooks: Alternative Formative Research Situations / Burbano Pantoja, Víctor Miguel Ángel; Valdivieso Miranda, Margoth Adriana; Burbano Valdivieso, Ángela Saray. Tunja: Editorial UPTC, 2021, 170 p.

ISBN (impreso) 978-958-660-598-4

ISBN (ePub) 978-958-660-599-1

Incluye referencias bibliográficas

1. Pensamiento aleatorio. 2. Probabilidad. 3. Sistemas de datos. 4. Estadística. 5. Investigación formativa.

(Dewey 519 /21) (Thema 375831-PBT - Probabilidad y estadística)

Primera Edición, 2021

50 ejemplares (impresos)

El pensamiento aleatorio y los sistemas de datos en los libros de texto: situaciones alternativas de investigación formativa

Random Thinking and Data Systems in Textbooks: Alternative Formative Research Situations

ISBN (impreso) 978-958-660-598-4

ISBN (ePub) 978-958-660-599-1

Colección de Investigación UPTC No. 225

Proceso de arbitraje doble ciego

Recepción: mayo de 2021

Aprobación: septiembre de 2021

© Víctor Miguel Ángel Burbano Pantoja, 2021

© Margoth Adriana Valdivieso Miranda, 2021

© Ángela Saray Burbano Valdivieso, 2021

©Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia, 2021

Editorial UPTC

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Libro resultado de investigación con SGI 2605

Citar este libro / Cite this book

Burbano Pantoja, V., Valdivieso Miranda, M. & Burbano Valdivieso, Á. (2021). El pensamiento aleatorio y los sistemas de datos en los libros de texto: situaciones alternativas de investigación formativa. Editorial UPTC.

doi: https://doi.org/10.19053/9789586605984

Resumen

Desde la antigüedad, el ser humano ha tratado de asimilar y cuantificar los fenómenos aleatorios, surgiendo distintas concepciones sobre el azar y lo probable; también por miles de años, el hombre ha realizado actividades asociadas con la recolección, organización e interpretación de información, las cuales paulatinamente fueron abordadas por la estadística. Tanto la probabilidad como la estadística se han constituido en herramientas de razonamiento y reflexión destinadas al tratamiento de información con presencia de incertidumbre, de allí que diversos organismos internacionales y nacionales han sugerido que estas materias sean incluidas en el currículo escolar y universitario a fin de potenciar en el estudiantado el desarrollo del Pensamiento Aleatorio (PA) y el manejo de los sistemas de datos, de modo que, le permitan transformarse en el futuro ciudadano informado con capacidad crítica para enfrentar sin asombro los “desafíos” que genera la sociedad actual.

En este trabajo investigativo se indaga sobre la forma como algunos libros de texto abordan las temáticas de probabilidad y estadística siguiendo un enfoque mixto anclado en un paradigma plurimetódico apoyado con técnicas de investigación documental y análisis de contenido. Además, se propone una serie de situaciones problema que posibiliten potenciar el PA y los sistemas de datos tanto en los profesores como en los estudiantes, las cuales de forma gradual, se pueden abordar desde la educación primaria hasta la media e incluso los primeros semestres de la universidad. Por consiguiente, esta obra puede contribuir con el incremento del saber profesional docente y de la formación estudiantil en tanto que, involucra aspectos disciplinares y didácticos encaminados a potenciar el razonamiento y la interpretación de resultados antes que la memorización y el desarrollo de cálculos centrados en la aplicación de fórmulas con poco sentido para el estudiantado.

Esta obra está dirigida a investigadores, docentes y estudiantes interesados en incrementar sus conocimientos sobre tópicos de probabilidad y estadística, temas necesarios para desarrollar procesos de aprendizaje e investigación en el campo de las ciencias naturales, ingeniería, ciencias aplicadas y educación matemática, entre otros. Para su abordaje se requieren algunos conocimientos básicos sobre: aritmética, combinatoria, conjuntos, variables y series numéricas. Este libro hace un aporte direccionado al desarrollo del PA como parte del pensamiento matemático y al abordaje de aspectos didácticos referidos a la enseñanza de la probabilidad y de la estadística en diferentes niveles educativos.

Palabras clave: Pensamiento aleatorio; Probabilidad; Sistemas de datos; Estadística; Investigación formativa; situaciones problema.

Abstract

Since ancient times, the human being has tried to assimilate and quantify random phenomena, emerging different conceptions about chance and the probable; also for thousands of years, man has carried out activities associated with the collection, organization and interpretation of information, which were gradually approached by statistics. Both probability and statistics have become tools of reasoning and reflection aimed at the treatment of information in the presence of uncertainty, hence various international and national organizations have suggested that these subjects be included in the school and university curriculum in order to enhance, in the student body, the development of Random Thinking (RT) and the management of data systems, so that they allow them to become the future informed citizen with a critical capacity to face the “challenges” generated by today’s society without astonishment.

This investigative work investigates the way in which some textbooks approach the topics of probability and statistics following a mixed approach anchored in a multimethodic paradigm supported by documentary research techniques and content analysis. In addition, a series of problem situations is proposed that make it possible to enhance the RT and data systems in both teachers and students, which can gradually be addressed from primary to secondary education and even the first semesters of University. Consequently, this work can contribute to the increase of professional teaching knowledge and student training insofar as it involves disciplinary and didactic aspects aimed at enhancing reasoning and the interpretation of results rather than memorization and the development of calculations focused on the application of formulas with little meaning for the student body.

This work is aimed at researchers, teachers and students interested in increasing their knowledge on topics of probability and statistics, topics necessary to develop learning and research processes in the field of natural sciences, engineering, applied sciences and mathematics education, among others. For its approach, some basic knowledge about: arithmetic, combinatorics, sets, variables and numerical series are required. This book makes a contribution directed to the development of RT as part of mathematical thinking and the approach to didactic aspects related to the teaching of probability and statistics at different educational levels.

Keywords: Random thinking; Probability; Data systems; Statistics; Formative research; problem situations

Contenido

Resumen

Abstract

Introducción

1. Fundamentos conceptuales y metodológicos

1.1 Fundamentos conceptuales

1.2 Una aproximación al problema por indagar

1.2.1 ¿Por qué incluir el PA y los sistemas de datos en el currículo?

1.2.2 Interrogantes de investigación iniciales

1.3 Sobre el estado del objeto de investigación

1.4 Aspectos metodológicos

1.4.1 Eje de investigación

1.4.2 De la metódica y los aspectos de procedimiento

1.4.3 Sobre los aspectos éticos del trabajo

1.4.4 Procesos adicionales

2. La probabilidad y la estadística en los libros de texto

2.1 La probabilidad y la estadística en el currículo escolar

2.2 Investigaciones sobre libros de texto de matemáticas para la educación secundaria

2.3 Probabilidad y estadística en los textos del nivel universitario

3. Situaciones problema para la estadística escolar

3.1 Situación relacionada con datos de una variable cualitativa

3.2 Situación relacionada con datos de una variable discreta

3.3 Situación relacionada con datos de una variable continua

4. Situaciones problema para probabilidad

4.1 Conteos y acercamiento a la concepción intuitiva de probabilidad

4.2 Situación problema asociada a la concepción frecuencial de probabilidad

4.3 Situación problema referida a la concepción clásica de probabilidad

4.4 Situación problema asociada con la probabilidad no laplaciana

4.5 Situación problema sobre medida de probabilidad en espacios discretos infinitos

5. Conclusiones

5.1 Principales hallazgos

5.2 Colofón

Referencias

Introducción

Desde hace miles de años, el hombre ha realizado actividades asociadas con la recolección, organización e interpretación de información; actividades que paulatinamente fueron relacionadas con la estadística como una actividad administrativa del estado para llevar el control de la natalidad, el cobro de impuestos, la administración de riqueza y producción de artefactos de consumo (Rioboó, González y Tato, 1997). La estadística creció como tecnología para analizar datos en el método científico y actualmente, tiende a consolidarse como “la ciencia de los datos” (Gunderson y Aliaga, 2005; Burbano y Valdivieso, 2016). Asimismo, desde la antigüedad, el ser humano ha tratado de asimilar y cuantificar los fenómenos aleatorios, surgiendo distintas concepciones sobre el azar y lo probable; al principio asociadas con la adivinatoria, la filosofía y el reparto de apuestas relacionadas con los juegos de azar, pero que hace menos de 500 años, se constituyó en un campo de estudio que llevó a la definición formal de la probabilidad como rama de las matemáticas en los inicios del siglo XX (Burbano, 2017).

Puesto que hoy en día, tanto la estadística como la probabilidad se han constituido en herramientas de razonamiento y reflexión destinadas al tratamiento de información con presencia de incertidumbre, diversos organismos nacionales e internacionales ha sugerido que estas materias han de incluirse en el currículo escolar y universitario a fin de desarrollar habilidades que le permitan al estudiante transformarse en el futuro ciudadano informado con capacidad crítica para enfrentar sin asombro los “desafíos” del presente siglo (Burbano y Valdivieso, 2020) en correspondencia con las necesidades de una sociedad que cambia continuamente. Así entonces, la estadística y la probabilidad son materias con una amplia aplicación en la vida de las personas (Swenson, 1998) y en distintas ramas del saber, entre ellas, las ingenierías, las ciencias naturales y sociales, la economía, la administración, la psicología, las telecomunicaciones, solo por mencionar algunas; de allí la necesidad de usar estas materias para potenciar en el Pensamiento Aleatorio (PA) y los sistemas de datos en el estudiantado (Schmidt, 2006).

En este contexto, resulta perentorio desarrollar los contenidos de estadística y probabilidad sugeridos por el Ministerio de Educación Nacional para la educación primaria, secundaria y media, de la mejor forma posible, de modo que potencie de manera significativa el PA y los sistemas de datos en el estudiantado. En este sentido, el profesor aprovisionado de didácticas específicas pertinentes y libros de texto adecuados, se constituye en un elemento clave para fortalecer el pensamiento estadístico y el razonamiento probabilístico estudiantil desde edades tempranas; sin embargo, se ha detectado que con frecuencia estos temas son poco abordados en los libros escolares de texto y los docentes apoyados en dichos textos los desarrollan de forma parcializada o incompleta dentro del currículo de matemáticas.

Con el propósito de menguar esta problemática, desde el Grupo de Investigación GICI de la Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia (UPTC), se ha propuesto indagar sobre la forma como algunos libros de texto abordan las temáticas de estadística y probabilidad, y en consecuencia proponer una serie de situaciones problema que posibiliten potenciar el PA y los sistemas de datos tanto en los profesores como en los estudiantes; las cuales, de forma gradual, se pueden abordar desde la educación primaria hasta la media e incluso los primeros semestres de la universidad. Por consiguiente, esta obra puede contribuir con el incremento del saber profesional docente y de la formación estudiantil en tanto que involucra aspectos disciplinares y didácticos encaminados a potenciar el razonamiento y la interpretación de resultados antes que la memorización y el desarrollo de cálculos centrados en la aplicación de fórmulas con poco sentido para el estudiantado.

La metodología utilizada para desarrollar este trabajo investigativo se focalizó en un paradigma plurimetódico que conjuga elementos cualitativos y cuantitativos propios del enfoque mixto; la parte cualitativa está centrada en el “análisis de contenido” (Bardín, 1986) y las técnicas asociadas con la Investigación Documental (ID), la parte cuantitativa recoge el análisis de datos estadísticos y las diversas concepciones de probabilidad. En esta dirección, el análisis textual fue efectuado sobre diversas fuentes de información, en principio, se tuvieron en cuenta aquellas relacionadas con los estándares curriculares tanto nacionales como internacionales en torno a la estadística y a la probabilidad, luego las que posibilitaron diagnosticar la manera como los libros de texto han abordados estas temáticas y, finalmente, las que permitirían generar las situaciones problema alusivas a estas materias, de manera que se pudieran tratar siguiendo el método inductivo pero generando estrategias didácticas tendientes a potenciar el PA y el uso de los sistemas de datos.

Esta obra se ha estructurado en cinco capítulos. En el primero se exponen los fundamentos teóricos y metodológicos que soportan el trabajo investigativo. En el segundo se indica la primera categoría que ha emergido del análisis de contenido, denominada la probabilidad y la estadística en los libros de texto, la cual abarca una mirada de estas materias en el currículo escolar, algunos estudios focalizados en la forma como tales libros abordan estos tópicos tanto en la educación básica como en la universitaria. En el tercero, se presenta la segunda categoría emergente, titulada situaciones problemapara la estadística escolar, las cuales se centran en las principales actividades que se realizan en el análisis de datos desde un punto de vista descriptivo. El cuarto, se explicita la tercera categoría llamada situaciones problema para probabilidad, las cuales de forma progresiva abarcan las concepciones de probabilidad intuitiva, frecuencial, clásica y axiomática. En el quinto capítulo, se mencionan las conclusiones y recomendaciones.

Este libro está dirigido a todo tipo de personas interesadas en iniciarse en los temas de estadística y probabilidad; en particular, aquellas que deseen abordar estas temáticas desde miradas alternativas, entre ellos, los profesores que trabajan en la educación básica y media, los estudiantes tanto de la educación pre-universitaria como universitaria, profesionales e investigadores interesados en acrecentar su conocimiento estadístico, probabilístico y didáctico de estas materias. Los autores de este libro son profesores-investigadores del proyecto con SGI 2605, desarrollado bajo convocatoria de la Vicerrectoría de Investigaciones (VIE) de la UPTC y, en consecuencia, contó con el aval del Comité de ética de esta universidad.

1. Fundamentos conceptuales y metodológicos

Este capítulo recoge tres subcategorías conceptuales que proporcionaron las bases teóricas para elaborar el proceso de investigación, centradas en: los fundamentos conceptuales, el problema por indagar y los aspectos metodológicos. En la primera se indican aspectos relacionados con el pensamiento aleatorio y los sistemas de datos incluyendo la forma como se han abordado en los libros de texto, en la segunda se describen diversos elementos contextuales que contribuyeron para focalizar y justificar el problema motivo de indagación, y en la tercera se mencionan los aspectos metodológicos que orientaron la trayectoria investigativa implementada.

1.1 Fundamentos conceptuales

La formación lograda por el docente, tanto en el ámbito disciplinar como didáctico, se constituye en un elemento clave para promover el aprendizaje de las matemáticas en las aulas de cualquier país (Burbano, 2017). En este contexto, el sistema educativo ha de posibilitar espacios y escenarios pertinentes para que sus docentes puedan cualificarse de forma permanente y prestar un mejor servicio educativo a esta sociedad, la cual reclama que sus estudiantes sean competentes en la vida real; de allí la necesidad de que los futuros ciudadanos sean educados tanto en las aulas como fuera de ellas, ya que los aprendizajes se han de asimilar a lo largo de la vida del individuo (Kant, 2003). En particular, la matemática como un conjunto de formas de razonamiento se constituye en una herramienta poderosa para que las personas puedan pensar en la búsqueda de soluciones a los problemas reales; para este propósito, desde las aulas, se han de potenciar diversos pensamientos matemáticos, entre ellos, el numérico, espacial, métrico variacional y aleatorio (Ministerio de Educación Nacional -MEN-, 2006).

El Pensamiento Aleatorio (PA), también denominado pensamiento probabilístico o estocástico, está constituido por un conjunto de formas de pensar y razonar con el propósito de tomar decisiones en diversas situaciones en las cuales exista presencia de incertidumbre, riesgos, azar, aleatoriedad, ambigüedad, falta de información confiable o tampoco sea posible efectuar predicciones seguras de aquello que pueda suceder hacia el futuro (MEN, 2006). Por su parte, los sistemas de datos son abordados por la estadística, la cual se define como la ciencia de los datos y una herramienta fundamental del método científico experimental (Gunderson y Aliaga, 2005). En Colombia, el PA y los sistemas de datos forman parte del currículo escolar de matemáticas; el PA está asociado con contenidos de probabilidad y los sistemas de datos están relacionados con la estadística tanto descriptiva como inferencial.

La probabilidad es una rama joven de las matemáticas, la cual se gestó en los juegos de azar y se formalizó en 1933 con los trabajos de Kolmogórov. La probabilidad ha permitido acrecentar nuestra comprensión sobre sucesos, eventos o fenómenos aleatorios, los cuales pueden ocurrir tanto en la sociedad como en la naturaleza; en cambio, la estadística tuvo sus orígenes en las técnicas de registros de diversas informaciones en distintas culturas, creció como una tecnología del método científico y se formalizó como la ciencia de los datos (Burbano y Valdivieso, 2016). La estadística escolar suele dividirse en estadística descriptiva e inferencial; la primera se encarga de realizar actividades como i) recoger información, ii) organizar los datos, iii) representar la información, iv) interpretar los datos, v) generar conclusiones; la segunda, con base en una muestra aleatoria y distribuciones de probabilidad asociadas a los estimadores efectúa procesos de comprobación de hipótesis asociadas con la investigación cuantitativa (Gutiérrez y De la Vara, 2008).

De manera intuitiva, la probabilidad puede entenderse como la medida numérica de la posibilidad de que un determinado evento o suceso pueda ocurrir hacia el futuro (Burbano y Valdivieso, 2020); en estas circunstancias, tanto el profesorado como el estudiantado de la educación básica y de la superior, han de acrecentar sus conocimientos acerca de tópicos asociados con el concepto de probabilidad, con el fin de afrontar con mejor disposición los interrogantes y desafíos que generan los fenómenos aleatorios presentes en la sociedad actual. Aunque la probabilidad se ha gestado en torno a la repartición de apuestas relacionadas con los juegos de azar, paulatinamente, se constituyó en una forma de razonar frente a los fenómenos azarosos, la cual se apoya en modelos probabilísticos de amplia aplicación en distintos espacios de actuación de las personas, entre ellos, el sector productivo, académico, investigativo y social (Swenson, 1998).

Con frecuencia, la estadística se focaliza en trabajar con un conjunto de individuos, los cuales pueden corresponder a personas u objetos reales o abstractos sobre los que se ha de efectuar un estudio o investigación específica en un contexto particular de acuerdo con un determinado objetivo. Este objetivo contribuye a delimitar la población objeto de estudio, la estadística descriptiva se centra en describir y analizar una o más características (variables) en los individuos de una población o de una muestra; para esto, se calculan determinados parámetros o estimadores respectivamente, los cuales se han de interpretar de forma pertinente (Valdivieso, 2011). Por otra parte, la inferencia estadística se focaliza en desarrollar procesos de estimación de diversos parámetros que se asumen desconocidos para una determinada población y de la prueba de hipótesis que involucran a esos parámetros (Hurtado & Silvente, 2012).

Adicionalmente, desde una mirada histórica, se han asumido distintas posturas en relación al concepto de probabilidad, las cuales se han denominado significados o concepciones de probabilidad, entre ellas, la probabilidad intuitiva, clásica (lapalaciana), frecuencial, subjetiva y axiomática. La probabilidad intuitiva se manifiesta en los escolares o en quienes no ha sido instruidos en el tema de probabilidad, por medio del uso de términos como: posible, probable, presumible, plausible, verosímil, admisible para referirse a eventos catalogados como inciertos o azarosos (Batanero & Sánchez, 2005); para medir tal probabilidad se utiliza frases como poco probable, moderadamente posible o muy probable (Burbano y Valdivieso, 2020). De allí que esta concepción sea útil para enseñar probabilidad en los primeros niveles de la educación primaria.

La concepción clásica de probabilidad se debe a Laplace, por eso también se denomina probabilidad laplaciana, esta se define de la siguiente manera: si un evento puede ocurrir en una cantidad finita de maneras, las cuales se recogen en un conjunto notado con , siempre y cuando cada una ocurra con igual probabilidad, entonces la probabilidad se obtiene al dividir el cardinal del evento entre el cardinal del conjunto (Laplace, 1812); en esta concepción se ha de trabajar bajo equiprobabilidad. Esta concepción es la que frecuentemente se enseña en el aula y se indica en diversos libros de texto en los distintos niveles educativos. La concepción frecuencial fue propuesta por Bernoulli a inicios del siglo XVIII y potencializada por Mises (1928), la cual se puede expresar así: sin un suceso o evento puede repetirse un número grande de veces “n” en condiciones similares, entonces la probabilidad de un evento de interés se ha de estabilizar en un valor correspondiente a su frecuencia relativa. Esta concepción puede usarse para motivar a los estudiantes hacia la simulación de eventos aleatorios (Pantoja, Sosa y Miranda, 2015).

En la concepción subjetiva de probabilidad, los individuos asignan probabilidades a los eventos de acuerdo con sus creencias, sus experiencias personales o apoyados en la información que poseen sobre el evento que les interesa (Burbano, 2017); esta concepción fue establecida por Bayes en el siglo XVIII para calcular la probabilidad condicional de un evento teniendo en cuenta la probabilidad a priori; posteriormente, Savage usó esta concepción en procesos de decisión incorporando la información proveniente de procesos empíricos observados con antelación (Batanero et al., 2005). La concepción o formulación axiomática fue desarrollada por Kolmogórov en 1933 por medio de la teoría de la medida; para tal propósito asumió un conjunto de definiciones referidas a estructuras matemáticas como los sigma-álgebras basadas en teoremas y axiomas, definió una medida de probabilidad y luego estableció los denominados espacios de probabilidad (Díaz, Batanero y Cañizarez, 1996). Es decir, a partir de un espacio muestral, se construye un sigma-álgebra, sobre la cual se define una medida de probabilidad con valores en el intervalo [0,1] que ha de poseer las propiedades de una medida matemática (Kolmogórov, 1933).