Este no es el título de este libro E-Book

Nelo Alberto Maestre Blanco

• Herausgeber: Shackleton Books
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Serie: Ciencia
• Sprache: Spanisch

Seitenzahl: 194

Veröffentlichungsjahr: 2023

Beschreibung

Una fascinante historia salpicada de anécdotas, paradojas y personajes singulares, en busca de los fundamentos de la matemáticas y el pensamiento racional. Para la mayoría de nosotros, la matemática representa el mejor ejemplo de lo que significa pensar con rigor. A partir de un puñado de definiciones y axiomas iniciales, todas las conclusiones a las que nos conducen sus demostraciones nos parecen verdades incuestionables, resultado de la aplicación de la férrea lógica del razonamiento deductivo. O así nos pareció durante más de dos mil años, durante los cuales el libro Elementos de Euclides se convirtió en paradigma del pensamiento racional. Pero esa plácida certeza en la que vivían los matemáticos se ha ido resquebrajando en los últimos dos cientos años. La aparición de las geometrías no euclídeas fue la primera grieta, a la que se sumaron otras paradojas (como en la célebre paradoja de Russell) que sacudieron los cimientos de las matemáticas, hasta que Gödel asestara el golpe definitivo con su teorema de incompletud. Los matemáticos sufrieron un tremendo impacto cuando descubrieron que quizá algunos de esos cimientos sobre los que tan confiadamente habían construido su disciplina podían fallar. Una "crisis de los fundamentos" cuyos ecos resuenan todavía en la actualidad, pues pone en tela de juicio el proyecto de construir una máquina capaz de razonamientos de forma automática, mecánica o algorítmica. Este libro es el relato de esa fascinante aventura en búsqueda de la certeza. Una historia salpicada de anécdotas, paradojas y sorprendentes descubrimientos, y protagonizada por personajes singulares y excepcionalmente brillantes. Una historia que nos obligará a repensar aquello que creíamos saber sobre las matemáticas y el pensamiento racional.

Leseprobe

ESTE NO ES EL TÍTULO DE ESTE LIBRO

ESTE NO ES EL TÍTULO DE ESTE LIBRO

Paradojas, axiomas y fundamentos de la matemática

NELO MAESTRE BLANCO

Este no es el título de este libro. Paradojas, axiomas y fundamentos de la matemática

© Nelo Maestre Blanco, 2019.

© de esta edición, Shackleton Books, S. L., 2023.

@Shackletonbooks

www.shackletonbooks.com

Realización editorial: Bonalletra Alcompas, S.L.

Diseño de cubierta: Pau Taverna

Diseño: Kira Riera

Maquetación edición papel: reverté-aguilar

Conversión a ebook: Iglú ebooks

© Fotografías: todas las imágenes son de dominio público excepto las de página 159 (CC BY-SA 3.0) y 166 (CC BY-SA 3.0).

ISBN: 978-84-1361-264-5

Reservados todos los derechos. Queda rigurosamente prohibida la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento y su distribución mediante alquiler o préstamo públicos.

A mis padres, que sin saber matemáticas supieron señalarme el camino para aprenderlas.

Y el axioma se hizo…

A la lucerna le quedaba muy poco aceite; quizá ya era hora de dejarlo, al menos por ese día. La obra que tantas veces había imaginado iba tomando una forma más definida. Su sueño, un gran compendio del conocimiento matemático de todos los tiempos, poco a poco se consolidaba. Qué orgullosos se sentirían Tales, Pitágoras, Platón, Eudoxo, Teeteto… de ver por fin compilados en una sola obra todos sus conocimientos, sus métodos para construir figuras, sus teoremas…

Pero faltaba algo. Aquel tratado, cuya extensión había superado sus expectativas, necesitaba unos prolegómenos a la altura del resto del conjunto. Por fin la razón se imponía a la superstición. Por fin el conocimiento, la lógica y la argumentación servirían para que no todo se explicase según algún tipo de magia extraña o por la intervención de los dioses.

¿Cómo debería empezar aquel maravilloso recorrido por todo el conocimiento de tantos siglos? A decir verdad, no todo estaba definido en aquella obra, pues faltaban las partes más fundamentales de aquellos elementos, esas piezas, tan pequeñas que difícilmente se podían demostrar. Faltaba lo obvio… quizá estaba obviando lo obvio. Se hacía necesario definir lo infinitamente pequeño: el punto. Se hacía también necesario definir la recta, la circunferencia y el ángulo recto. Cualesquiera de estas unidades quedaban por sí mismas demostradas, eran verdades evidentes; aitemata parecía el nombre adecuado para aquellos conceptos. Postulado, el cimiento, la base sobre la que se construía toda la matemática.

La lámpara se apagó. Meditaría aquella noche sobre esta idea y tal vez la incluiría al día siguiente en sus ­Elementos.

Buscando la luz al final del túnel

Me divierte mucho imaginarme a los grandes hombres y mujeres de ciencia de la Antigüedad en esos momentos sin parangón en los que, conscientes o no, estaban cambiando el rumbo de la historia; en esos momentos en los que cada uno añadía su pequeño sillar a esa gran catedral repleta de vidrieras que es hoy la ciencia. En este caso mi ensoñación ha sido muy solemne, aunque estoy seguro de que en muchas ocasiones todo fue mucho menos épico y seguramente casual, inesperado y cotidiano. En cualquier caso, la matemática es una disciplina que se estudia y se aprende dando la espalda a quienes la han construido, hemos ido poco a poco deshumanizándola. Parece que las ideas matemáticas caen del cielo, y no de personas que intentaban mejorar nuestro conocimiento de la realidad, para así conseguir, en definitiva, una mejor calidad de vida. No será así en estas páginas, donde nos cruzaremos con muchos personajes ilustres, e intentaremos mostrar sus lados épicos y sus lados más humanos.

Durante mucho tiempo, los filósofos han intentado entender la esencia de todos los conocimientos humanos. Los matemáticos, que nos ocupamos en muchos casos de cuestiones casi filosóficas, también nos hemos tenido que hacer la pregunta: ¿qué es la matemática? o, quizá más importante aún, ¿qué no es la matemática? y ¿qué nos diferencia de las otras ciencias?

Aunque en el colegio hemos repetido operaciones y procesos aritméticos hasta el hastío, eso es solo el conjunto de las herramientas del matemático, pues los objetivos que persigue están muy lejos del mero manejo fluido de estos accesorios. Pensar que la matemática es simplemente eso sería como decir que Velázquez o Pi­casso eran personas que utilizaban pinceles, en vez de hablar de Las meninas o el Guernica. La matemática es la disciplina que se ocupa de cómo pensar bien; para muchos, el arte de pensar con rigor. Se ocupa de cómo observar todo lo que nos rodea, sea abstracto o real, para encontrar patrones, para buscar regularidades. Las matemáticas pretenden encontrar el orden oculto de nuestro entorno para controlar el caos y para, de algún modo, manejar la incertidumbre.

Nuestro problema es que, mientras para apreciar la belleza de una pintura no necesito conocer nada sobre tipos de pigmentos o pinceles, para apreciar la importancia del teorema de Pitágoras debo saber que es área, que es un triángulo rectángulo y qué es la hipotenusa. Por eso, para apreciar la belleza de teoremas como el «Teorema de incompletitud de Gödel» vamos a tener que caminar un camino largo, que nos dé herramientas para poder valorar con criterio su importancia y, sobre todo, su ­belleza.

Y este camino debe empezar desde un punto de partida muy básico. Si queremos estar seguros de que el rigor es la pieza clave de nuestra ciencia, tenemos que definir incluso las partes más pequeñas. Conceptos obvios, como «punto», «recta», «ángulo» o «circunferencia», se han utilizado desde mucho antes de haberles dado una definición concreta y, aunque parezca una contradicción, es muy difícil definir con rigor algo que ya todo el mundo conoce. Por no hablar de la definición concreta de «­argumento», «definición», «demostración» o «contradicción».

Por ello, hace algo más de un siglo los matemáticos, que ya habían erigido los cimientos más robustos de su disciplina, sufrieron un tremendo impacto cuando descubrieron que quizá algunos de ellos podrían fallar. Durante siglos se habían limitado a construir sobre lo que habían dejado quienes los antecedían, pero nunca se habían planteado si las bases estaban bien asentadas. Esto desencadenó que a finales del siglo XIX comenzara lo que se denominó con el tiempo «la crisis de los ­fundamentos».

En esta crisis se retomaron muchas grandes cuestiones que se habían mantenido sin respuesta durante siglos, bien por no tener herramientas para contestarlas, o bien por miedo a enfrentarse a estas preguntas.

De todas estas cuestiones, vamos a centrarnos simplemente en tres que se han formulado a lo largo del tiempo y forman el motor que hará avanzar nuestra trama:

¿Qué define y diferencia realmente a la ciencia matemática: los axiomas, la lógica, los procesos de demostración?¿Podemos crear unas matemáticas tan rigurosas y aisladas de la ambigüedad del lenguaje como para desarrollar razonamientos de forma automática, mecánica o algorítmica?¿Cómo podemos enfrentarnos a la idea de infinito?

Sé que puede parecer que estas tres preguntas no tienen mucho que ver entre sí. Sin embargo, en las próximas páginas vas a poder comprender cómo las respuestas a estas cuestiones se van entretejiendo, y en gran medida son interdependientes. Forman una especie de pequeño sistema de tres cuerpos en el que cualquier cambio —de cualquiera de los tres— provoca que el sistema se deses­tabilice. ¿Encontraremos, entonces, una solución que nos permita entender la relación entre los tres o, por el contrario, tendremos que dar la razón a Henri Poincaré y suponer que nuestras tres respuestas forman un conjunto que tiende al caos?

Intentaremos transitar por el mismo camino que ha recorrido la ciencia matemática, escoltados por unos guías de excepción, para ver si la ciencia y la razón han conseguido vencer en la batalla contra el mito, la superstición y la duda. Intentaremos aclarar los conceptos que utiliza a diario un matemático, que no son sumas, multiplicaciones o complicadas integrales, sino axiomas, procesos lógicos y demostraciones.

Y ese camino empezó hace mucho tiempo… en torno al año 325 a. C. mientras un hombre escribía sus ideas a la luz de una lámpara de aceite.

La obra de la que hablamos, los Elementos, es seguramente el compendio de matemáticas más importante de todos los tiempos y en él se explican los principales conceptos básicos de este campo. Digamos que contiene la mayoría de los conocimientos que aprendemos en la escuela primaria y parte de la secundaria en la actualidad. De hecho en muchas épocas se utilizó casi a modo de libro de texto, y hasta se hicieron ediciones más «amigables» para los alumnos como la desarrollada por Oliver Byrne en 1847, un ejercicio de cómo transmitir a través de la simplificación y el color la belleza que un matemático aprecia al leer un teorema.

Se estima que los Elementos se tradujeron al latín por primera vez a finales del siglo XII. Parece que la primera traducción la realizó Adelardo de Bath (c. 1080 - c. 1150), un conocido traductor medieval que debió de componer la obra a partir de alguna edición en árabe. Tuvo que ser un libro muy popular, pues, a pesar de todo, podemos contar a día de hoy más de medio centenar de ejemplares de aquella época que han resistido el paso del tiempo. Algunos investigadores piensan que la aparición de este libro en latín dio luz al camino de los arquitectos medievales, los ayudó a continuar más allá de la oscuridad de las construcciones románicas y los catapultó a la belleza geométrica y la luminosidad de las construcciones góticas.

Muchas pudieron ser las contribuciones árabes a este tratado, pero si se retrocede en el tiempo, se puede afirmar con bastante certeza que los árabes tradujeron la obra de algún ejemplar griego editado por Teón de Alejandría (c. 335 - c. 415), matemático y astrónomo griego, así como director del Museion, una escuela establecida en Alejandría, en cuya biblioteca se almacenaban los códices que habían conseguido sobrevivir a los múltiples desastres que habían ido siglo a siglo arrasando la Gran Biblioteca de Alejandría. Junto con su hija, la famosa matemática Hipatia (c. 370 - c. 415), realizó comentarios a diversas obras de la Antigüedad, entre ellas a los Elementos. A día de hoy, aún no se puede afirmar con certeza que la versión del tratado que manejamos no tenga aportaciones de Teón o Hipatia que no estaban en la obra original…

Aquí se pierde un poco el rastro, por lo que hay que retroceder otros seiscientos años para llegar al momento en el que el genial Euclides observaba el crepitar de la llama de una lucerna.

Alejandría, año 300 a. C., casa de Euclides

Poco se sabe de nuestro personaje, ni tan siquiera estamos seguros de que existiera. No sabemos si fue él solo el que compiló su obra magna los Elementos, si coordinó a un equipo de escribas o si simplemente ese fue el nombre elegido por el grupo de sabios que redactó los trece volúmenes de la obra. Lo que realmente podemos afirmar es que esta pieza fundamental de la historia de la ciencia supuso un hito en la vida del ser humano, una aportación que fue calando en la sociedad durante más de dos mil años y que ha provocado que aún hoy se sigan escribiendo libros que hablan sobre los Elementos.

Fragmento de papiro de los Elementos encontrado en el yacimiento de Oxirrinco.

La tesis más probable afirma que se trata de un solo autor. Proclo (412-485), el famoso filósofo e historiador griego, unos seis siglos después de la época en la que se escribieron los Elementos, nos cuenta en sus Comentarios del libro I de los «Elementos» de Euclides que nuestro protagonista desarrolló su actividad en Alejandría, donde dirigió una escuela, y que fue anterior a Arquímedes y posterior a los discípulos de Platón. Euclides alcanzó su periodo de madurez intelectual cerca del año 300 a. C., que es cuando por convención se suelen fechar los Elementos. Proclo también nos relata algunas características y detalles de la obra, así como de los matemáticos anteriores que habrían aportado de una u otra forma al compendio.

Estatua de Euclides en el Museo de Historia Natural de la Universidad de Oxford.

La obra de Euclides no es la primera que intenta agrupar todo el conocimiento preexistente, ni siquiera es la primera que se titula Elementos. Sin embargo, algunas de sus características principales hicieron de la obra algo tan valioso como para que perdurase en el tiempo, hasta el punto de ser, según el prestigioso historiador de la ciencia Carl B. Boyer, el libro de referencia más influyente de la historia —muy pocos han superado sus cerca de mil ediciones—.

Quizá la característica más valiosa de los Elementos sea su carácter didáctico. Es un tratado en el que no solo se enseña una ciencia, sino que se aprecia el empeño por enseñar cómo aprenderla y construirla, y por ofrecer herramientas al lector para seguir construyendo por su cuenta. En la obra no se incluyen todos los conocimientos a los que Euclides pudo tener acceso, lo que supone para muchos expertos gran parte del valor de los Elementos, la sabia elección de los teoremas y problemas que se muestran, y por tanto, el buen criterio para descartar contenidos, una tarea siempre muy comprometida. También es digna de mención la riqueza de los métodos que se emplean.

Hipatia de Alejandría

Hipatia de Alejandría es una de las pocas mujeres matemáticas de la Antigüedad de la que nos han llegado datos fiables. Se sabe que estudió con profundidad y, seguramente, añadió comentarios a las principales obras matemáticas antiguas, no solo a los Elementos, sino también a la Aritmética de Diofanto y a las Secciones cónicas de Apolonio. También hizo aportaciones a la astronomía, mejorando y explorando las posibilidades de los astrolabios. Fue una firme defensora del conocimiento, hasta el punto de morir asesinada de una forma extremadamente cruel por una turba de cristianos, seguramente por orden del patriarca Cirilo de Alejandría. Algunas hipótesis afirman que una mujer defensora de la ciencia y el conocimiento era un personaje muy incómodo para la poderosa religión del momento y, por ello, se exaltó a las masas hasta lograr su asesinato. Se le atribuye la siguiente cita: «Conserva tu derecho a reflexionar, porque incluso el hecho de pensar erróneamente es mejor que no pensar en absoluto».

Hipatia de Alejandría.

En los trece volúmenes de que consta el tratado se encuentran más de cien definiciones y más de cuatrocientas proposiciones, lo que nos sirve para acercarnos a las bases de distintos ámbitos de las matemáticas:

Los libros I-IV se ocupan de la geometría plana.Los libros V-VI son una teoría generalizada de la proporción.Los libros VII-IX versan sobre aritmética.El libro X es un tanto peculiar, ya que analiza en profundidad el tema de la «inconmensurabilidad», lo que hoy en día llamamos «números irracionales».Los libros XI-XIII tratan de la geometría en el espacio.

Cabe destacar que en algunas ediciones aparecen dos libros más, los XIV-XV, que tratan también sobre geometría espacial, pero hay bastante consenso entre los investigadores en que estos libros se incluyeron en ediciones posteriores. El libro XIV parece ser obra de Hipsicles (c. 190 - c. 120 a. C.), quizá discípulo directo de Euclides, y el libro XV hay quienes lo atribuyen a Damascio (c. 458 - c. 550), uno de los arquitectos de la basílica de Santa Sofía de la actual ­Estambul.

¿Qué significa matemáticas?

La palabra matemática (del griego µαθηµατικά mathēmatiká) se toma del griego antiguo µάθηµα (máthēma), que significa ʻcosa que se aprendeʼ. Este término fue originado por la escuela pitagórica, activa desde el siglo V a. C.

Para los pitagóricos había cuatro matemas fundamentales: la aritmética, la geometría, la astronomía y la música. Según Arquitas de Tarento (c. 430 - c. 360 a. C.), las matemáticas son el resultado de la fusión de esos cuatro matemas. Esta visión es la que se heredó en la Edad Media al desarrollar el quadrivium, que englobaba estas cuatro disciplinas. Según los pitagóricos, estos conocimientos eran suficientes para explicar el orden y la armonía del universo.

Euclides, aparte de los Elementos, creó muchas otras obras, la mayoría perdidas. Destaquemos, no obstante, dos de ellas:

Fenómenos, una obra de astronomía teórica ampliamente comentada por Papo de Alejandría (c. 290 - c. 350) y que posiblemente trataba en detalle cuestiones de geometría esférica.Elementos de música, un estudio sobre los intervalos musicales pitagóricos y la armonía.

De estos dos últimos libros y los Elementos vemos claramente que Euclides tuvo la intención de abarcar una formación completa, lo que los pitagóricos consideraban esencial para tener una visión cosmológica del mundo.

Debido a la gran cantidad de ediciones del tratado, el número de definiciones y proposiciones varía, aunque una de las versiones más aceptada entre los historiadores es la que se compone de 132 definiciones, 465 proposiciones, 5 postulados y 5 nociones básicas.

Y es en los postulados donde radica quizá el otro valor diferencial de la obra de Euclides. Por primera vez en la historia de las matemáticas se introduce el concepto al que actualmente nos referimos como «axioma». De esta manera, los Elementos representan el arquetipo del método axiomático.

Postula y vencerás

Hay muchas opiniones enfrentadas en cuanto a la intención de ­Euclides al añadir los postulados y definiciones al principio de su libro I. De alguna forma, parece que proyectamos en Euclides el concepto de «axiomática», que realmente se empezó a desarrollar en las matemáticas a partir del siglo XVII. Sin embargo, los postulados de Euclides, analizados con rigor, parecen solo una especie de preludio de lo que luego serían las verdaderas axiomatizaciones. El conjunto propuesto por Euclides es objetivamente incompleto, no define por ejemplo un concepto general de «espacio geométrico» ni de «magnitud» y da por hecho cuestiones que a primera vista son obvias, pero si queremos definir la geometría desde cero, deberían demostrarse o postularse, como que al mover una figura por el plano esta no se deformará o que dos circunferencias se van a cortar en algunos casos. La lucerna de Euclides nos iluminó las matemáticas, pero quizá con la intensidad que le podemos exigir a una lámpara de aceite. No obstante, viniendo de la total oscuridad, esta tenue luz supuso un avance incalcu­lable.

En cualquier caso, a pesar de que existen otros ejemplos de obras similares anteriores a la de Euclides, y también tituladas Elementos, como la atribuida a Hipócrates (c. 460 - c. 370 a. C.), parece que todas ellas eran meramente instrumentales, es decir, enseñaban formas de construir y calcu­lar, pero sin mostrar una visión más abstracta de las matemáticas. Euclides fue el primero en incluir numerosos teoremas y una nueva metodología en la que, solo mediante la lógica, fuera capaz de sentar conclusiones absolutas y generales. Aunque otros autores ya habían utilizado un esquema similar, fue Euclides el que de algún modo estandarizó un proceso deductivo a través del apódeixis (demostración), extrayendo conclusiones apoyadas solo sobre la base de conocimientos previos, ya fueran piezas elementales (definiciones, postulados o nociones básicas) u otras proposiciones previamente demostradas.

Y fue Euclides el que por primera vez introdujo un conjunto determinado de principios, que distingue en tres categorías: definiciones, postulados y nociones ­comunes.

Los postulados, a los que a veces en la actualidad nos referimos como «axiomas», son propiedades que, sin ser definiciones, deberían ser evidentes y, por lo tanto, no necesitan demostración de ningún tipo. Al menos así era como los entendía Euclides, pues a día de hoy los axiomas no se determinan tanto por su evidencia como por su conveniencia para crear un modelo en concreto. Pero dejemos esto para más adelante y centrémonos en los cinco postulados de Euclides, esas cinco pequeñas llamas que, tras combinarse, vendrían a arrojar luz sobre toda la geometría. Antes de enunciarlos recogeremos algunas de las definiciones de objetos matemáticos originales de la obra de Euclides y necesarias para entender los matices de la forma de enunciar los cinco postulados de la geometría.

Definiciones

1. Un punto es lo que no tiene partes.

2. Una línea es una longitud sin anchura.

3. Los extremos de una línea son puntos.

4. Una línea recta es aquella que yace por igual respecto a los puntos que están en ella.

10. Cuando una recta levantada sobre otra recta forma ángulos adyacentes iguales entre sí, cada uno de los ángulos iguales es recto y la recta levantada se llama «perpendicu­lar a aquella sobre la que está».

15. Un círcu­lo es una figura plana comprendida por una línea tal que todas las rectas (segmentos) que caen sobre ella desde un punto de los que están dentro de la figura son iguales entre sí.

16. Y el punto se llama «centro del círcu­lo».

23. Son rectas paralelas las que, estando en el mismo plano y siendo prolongadas indefinidamente en ambos sentidos, no se encuentran una a otra en ninguno de ellos.

Hemos extraído solo unas cuantas de las definiciones con las que comienza el libro I. Es importante observar que considera las líneas de un modo finito, lo que en nuestra terminología actual sería en realidad un «segmento». Otro motivo de discordia entre los investigadores es cómo define Euclides la línea recta. En la Antigua Grecia se manejaban varias definiciones para este concepto, pero las fundamentales tomaban como referencia una cuerda tensa o el camino recorrido por un rayo de luz. Parece que Euclides intentó formalizar la idea del rayo óptico en forma de haz de luz, como el que salía de su lámpara de aceite para iluminar cada objeto, pero intentando evitar las referencias al mundo real o físico, manteniéndose solo en el abstracto. Posteriormente aparecería la visión de Arquímedes (287-12 a. C.), quizá más intuitiva: «distancia más corta entre dos puntos».

Los cinco postulados de Euclides

1. Postúlese trazar una línea recta desde un punto cualquiera hasta un punto cualquiera.

2. Y prolongar continuamente una recta finita.

3. Y describir un círcu­lo con cualquier centro y distancia.

4. Y que sean todos los ángulos rectos iguales entre sí.

5. Si una recta que corta otras dos rectas hace los ángulos internos del mismo lado menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán en el lado en el que están los (ángulos) menores que dos rectos.1

Los tres primeros postulados parecen pertenecer al legado tradicional, aunque seguramente Euclides meditó mucho la forma de redactarlos.

El cuarto postulado a todas luces es algo diferente a los anteriores. De alguna forma, Euclides nos está induciendo la idea de que puede mover figuras por el espacio geométrico y que este es homogéneo. Por otro lado, Euclides nos habla más de la propiedad de un objeto geométrico que del espacio en sí, de manera que podemos entender que nos quiere trasmitir una uniformidad del espacio geométrico, pero sin llegar a axiomatizarla.

Pero donde realmente aparecería la gran controversia histórica sería en torno al quinto postulado. En ediciones siguientes, este postulado se redactó de una forma distinta, más clara, aparentemente:

5. Por un punto exterior a una recta podemos trazar una paralela y solo una.

Este enunciado es equivalente al de Euclides, pero claramente muestra que necesitamos resolver dos tareas, que esa recta paralela existe y que es única. Euclides, basándose en su definición de «paralela», incluye en los Elementos la demostración de que existe (libro I, proposición 31). La unicidad recae enteramente en la aplicación del último postulado. Este es tan enrevesado que muchos matemáticos de todos los tiempos pensaron que debería poder demostrarse a partir de los anteriores, como Ptolomeo (c. 85 - c. 165) o el propio Proclo. Y así lo intentaron, sin éxito. Solo con la luz que producen las cuatro primeras lucernas no podemos iluminar la región en la que vive nuestra quinta lámpara, por lo que también tenemos que prender la mecha de esta última si queremos explorar la geometría hasta donde nos llega la vista.

Es importante también reflexionar sobre la elección de Euclides de la definición de «paralela» y la redacción del quinto postulado. Otras definiciones de la época, como la de que dos rectas paralelas son las que se mantienen siempre equidistantes o las que pasando por distintos puntos marcan la misma dirección, habrían modificado en gran medida el desarrollo de las posteriores geometrías no euclídeas. La elección de unas lámparas y no otras cambia el color con el que percibimos la realidad.