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- Herausgeber: Ernst, Wilhelm & Sohn
- Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
- Serie: Bauingenieur-Praxis
- Sprache: Deutsch
- Veröffentlichungsjahr: 2014
Der Entwurf eines Tragwerks ist heute ohne den Einsatz moderner Software nicht mehr vorstellbar. Umfangreiche Überprüfungen von Stabtheorie und Berechnungsergebnissen durch die Verfasser belegen, dass der EDV-gestützte Entwurf eines Tragwerks grob fehlerhaft sein kann. Das vorliegende Buch klärt die Frage, wie wirklichkeitsnah die Resultate aktueller Stabstatik-Software ausfallen. Mit Hilfe zahlreicher Referenzbeispiele kann jeder Anwender diese Frage für die von ihm genutzte Software prüfen. Darüber hinaus wird ein Abriss der genauen geometrisch nichtlinearen Biegetorsionstheorie und deren Aufbereitung für die FEM dargestellt. In Teil 1 des Buches sind die Ergebnisse für zehn einfache Prüfbeispiele in Tabellen und Diagrammen übersichtlich zusammengestellt. Behandelt werden alle Teilprobleme der räumlichen Beanspruchung von Stäben und ihrer Interaktionen, wie zweiachsige Biegung, St. VENANTsche und Wölbkrafttorsion, Biegetorsion, Biegeknicken, Drillknicken, Biegedrillknicken und Durchschlagen sowie die Auswirkung von Imperfektionen. Dabei werden Einfeldbalken und gerade Durchlaufträger sowie Mehrstabsysteme mit biege- und torsionssteifen Knoten behandelt. In Teil 2 werden zum Verständnis der theoretischen Hintergründe die Grundlagen der nichtlinearen Stabstatik im Rahmen der Elastizitätstheorie unter Berücksichtigung großer Verschiebungen und Verdrehungen ausführlich dargelegt und an zahlreichen Beispielen erläutert. Große Verformungen sind zwar in der Ingenieurpraxis nicht die Regel, aber deren Einfluss auf die Qualität der Stabtheorie ist signifikant und keinesfalls generell zu vernachlässigen. Darüber hinaus wird die nichtlineare Erweiterung der Torsionstheorie als unverzichtbarer Baustein für eine allgemein anwendbare Stabstatik entwickelt. Dieses Buch ist ein unverzichtbares Hilfsmittel für Aufsteller und Prüfer von Standsicherheitsnachweisen sowie für Software-Entwickler. Es entspricht der Intention der zurzeit vom VDI entwickelten Richtlinie "Softwaregestützte Tragwerksberechnung", die - wie auch das Buch - zu einer verbesserten Qualität der Baustatik-Software und zu einer erhöhten Sorgfalt der Software-Anwender beitragen soll.
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Seitenzahl: 228
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Inhaltsverzeichnis
Vorwort
Zum Gebrauch dieses Buches
Teil 1Zehn einfache Prüfbeispiele zur Verifikation von Software-Ergebnissen
Beispiel 1 Einachsige Biegung mit Druck
Beispiel 2 Durchschlagprobleme – Analyse nach Th.II.O. unzulässig
Beispiel 3 Doppelbiegung – ein simpler Fall?
Beispiel 4 Planmäßig zentrische Druckbeanspruchung – Biegeknicken nach zwei Richtungen, Drillknicken
Beispiel 5 Gekoppelte Beanspruchung in der System-Ebene und senkrecht zur Ebene
Beispiel 6 Biegedrillknicken ohne Normalkraft – ein Standard-Beispiel aus der Literatur
Beispiel 7 Biegedrillknicken mit Normalkraft
Beispiel 8 Zustandslinien der Torsionsmomente – Verlauf an Lasteinleitungspunkten
Beispiel 9 Torsion wölbfreier Querschnitte – für Software unerwartet problematisch
Beispiel 10 Wie genau wird die nichtlineare Verformungsgeometrie erfasst?
Teil 2Nichtlineare Stabtheorie großer Verformungen bei räumlicher Beanspruchung
1 Einleitung
2 Theorie II. und III. Ordnung – die großen Missverständnisse
2.1 Vorbemerkungen
2.2 Verformungsgeometrie
2.3 Gleichgewicht am verformten System
2.4 Einfluss der Normalkraft auf die Verdrillung
2.5 Berücksichtigung der Wölbkrafttorsion und der sekundären Schubverformungen
2.6 Asymptotisches Verhalten und Genauigkeit
2.7 Durchschlagprobleme
2.8 Klassifizierung
2.9 Superposition
2.10 Theorie III. Ordnung
2.11 DIN 18800 / EC3: Nachweis am Gesamtsystem
2.12 Zusammenfassung
3 Torsionstheorie II. Ordnung: Wölbkrafttorsion mit Normalkraft
3.1 Vorbemerkungen
3.2 Erläuterung der Problematik an einem Beispiel
3.3 Herleitung des Torsionsmomenten-Anteils MxN
3.5 Allgemeiner Fall ≠ const
4 Torsionstheorie großer Verformungen
4.1 Vorbemerkungen
4.2 Helix-Torsion: der Schraubenlinien-Effekt
4.4 Torsion mit Normalkraft: allgemeiner Fall ≠ const
4.5 Analogiebetrachtungen zu MxN und MxH an zwei „Makro-Systemen“
5 Allgemeine Stabtheorie großer räumlicher Verschiebungen und Drehungen
5.1 Vorbemerkungen
5.2 Grundlagen und Annahmen
5.3 Kinematik des Stabraums
5.4 Potenzial des elastischen Stabes
5.5 Elementkräfte und Element-Steifigkeitsmatrizen (Relativkinematik)
5.6 Gesamtstruktur und globales Gleichgewicht
5.7 Beispiel: St. VENANT-Torsion mit Normalkraft
5.8 Beispiel: Große Drehung einer Federplatte
5.9 Zur Einleitung von Momenten mit richtungstreuer bzw. zirkulatorischer Charakteristik
5.10 Praktische Anwendungsbeispiele
6 Einfluss der Güte der Stabtheorie auf das Konvergenzverhalten
6.1 Einführung
6.2 Potenzial für einachsige Biegung mit Druck
6.3 Lineare Kräfte und Steifigkeitsmatrix
6.4 Nichtlineare Kräfte und Steifigkeitsmatrix
6.5 Konvergenzverhalten und Bewertung
7 Zusammenfassung und Ausblick
Literatur und EDV-Programme
Sachverzeichnis
Prof. Dr.-Ing. Günter LumpeHochschule BiberachKarlstraße 1188400 Biberach/Riss
Prof. Dr.-Ing. Volker GensichenFachhochschule MünsterCorrensstraße 1548016 Münster
Titelbild: Biegedrillknick-Eigenform des polygonalen Stabbogens(RFEM 5.01, Ing.-Software DLUBAL GmbH)
Bibliografische Information der Deutschen NationalbibliothekDie Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografischeDaten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar.
© 2014 Wilhelm Ernst & Sohn,Verlag für Architektur und technische Wissenschaften GmbH & Co. KG,Rotherstraße 21, 10245 Berlin, Germany
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Umschlaggestaltung: stilvoll° | Werbe- und Projektagentur, KappelrodeckHerstellung: pp030 – Produktionsbüro Heike Praetor, Berlin
Print ISBN: 978-3-433-03053-0ePub ISBN: 978-3-433-60443-4eMobi ISBN: 978-3-433-60441-0
Vorwort
Der Entwurf eines Tragwerks ist heute ohne den Einsatz moderner Software nicht mehr vorstellbar. Doch wie zuverlässig ist dieses wichtige Werkzeug, wie realitätsnah bildet es die statischen Eigenschaften des vom Ingenieur entwickelten Tragmodells ab und wie genau approximieren gängige Stabtheorien die Wirklichkeit?
Das vorliegende Buch geht diesen drei essenziellen Fragen auf dem Gebiet der Stabstatik nach. Die Antworten geben Anlass zur Besorgnis. Die Theorie II. Ordnung liefert zuverlässige Ergebnisse nur für einen klar umgrenzten Bereich innerhalb ebener Beanspruchungen, was dann selbstverständlich auch für die auf dieser Theorie basierende Software gilt. Auch genauere Stabtheorien („Theorie III. Ordnung“) und die zugehörige Software sind bei räumlicher Beanspruchung nur für Teilbereiche der Baustatik geeignet. Es fehlen kommerzielle, auf Stabelementen basierende Programme, die alle in der Stabstatik möglichen, in Kombination auftretenden Probleme mit der für die praktische Baustatik erforderlichen Genauigkeit erfassen.
Der in der Praxis tätige Ingenieur ist kaum in der Lage, die Leistungsfähigkeit der von ihm genutzten Software realistisch einzuschätzen oder gar generell zu überprüfen. In Teil 1 des Buches werden zehn einfache Prüfbeispiele zur Verfügung gestellt, mit denen sich diese gleichsam lebenswichtige Aufgabe gezielt und mit geringem Zeitaufwand durchführen lässt. Vorsichtshalber warnen die Autoren vor dem unvermeidlichen Schock, der sich erfahrungsgemäß einstellt, wenn das „Lieblingsprogramm“ des einen oder anderen Anwenders bereits beim Nachrechnen des Balkens mit zweiachsiger Biegung versagt. Und vorsichtshalber sei auch daran erinnert, dass sich die absolute Fehlerfreiheit komplexer Programme grundsätzlich nicht verifizieren lässt.
In Teil 2 werden die Grundlagen der nichtlinearen Stabstatik im Rahmen der Elastizitätstheorie unter Berücksichtigung großer Verschiebungen und Verdrehungen für denjenigen Leser, der an den theoretischen Hintergründen interessiert ist, ausführlich dargelegt und an zahlreichen Beispielen erläutert. Große Verformungen sind zwar in der Ingenieurpraxis nicht die Regel, aber deren Einfluss auf die Qualität der Stabtheorie ist signifikant und keinesfalls generell zu vernachlässigen. Darüber hinaus wird die nichtlineare Erweiterung der Torsionstheorie als unverzichtbarer Baustein für eine allgemein anwendbare Stabstatik entwickelt. Nur unter Berücksichtigung dieses „Schraubenlinien-Effekts“ – der „Helix-Torsion“ – kann erreicht werden, dass die Charakteristik von Ergebnissen der Stabtheorie und allgemeiner FE-Methoden hinreichend genau übereinstimmt. Es ist evident, dass die kommerzielle Stabstatik-Software um diesen Baustein erweitert werden muss, wenn sie gegenüber anderen Methoden konkurrenzfähig bleiben soll.
Der VDI hat die angesprochenen Probleme zum Anlass genommen, eine Richtlinie „Softwaregestützte Tragwerksberechnung" zu entwickeln. Die Autoren hoffen, dass diese Richtlinie zusammen mit dem vorgelegten Buch eine Entwicklung anstößt, die zu einer nochmals verbesserten Qualität der Baustatik-Software und einer erhöhten Sorgfalt der Software-Anwender beiträgt.
Die Autoren danken dem Verlag, dass er dieses Buch in die traditionsreiche Reihe „Bauingenieur-Praxis“ aufgenommen hat. Besonderer Dank gilt den Kollegen C. Katz, R. Kindmann, J. Lindner, H. Rahm, H. Rubin, W. Rustler und G. Salzgeber für viele fruchtbare Diskussionen bzw. Kontrollberechnungen sowie mehreren Softwarehäusern für die Unterstützung der umfangreichen Vorarbeiten.
Biberach / Münster, im Oktober 2013
Günter LumpeVolker Gensichen
Zum Gebrauch dieses Buches
Allgemeines
Das Buch behandelt die lineare und die nichtlineare Elastizitätstheorie der Stäbe und Stabwerke mit räumlicher Beanspruchung und die Umsetzung dieser Theorien in Software. Ferner werden die grundsätzlichen Anwendungsgrenzen einer Theorie II. Ordnung ausgelotet und die Leistungsfähigkeit kommerzieller Rechenprogramme überprüft.
Das Buch gliedert sich in zwei Teile.
Teil 1
ist für den Praktiker gedacht, der sich schnell einen Überblick über die Leistungsfähigkeit und die Defizite der von ihm genutzten Statik-Software verschaffen möchte, ohne allzu tief in die theoretischen Hintergründe einzudringen. Hierzu werden sehr einfache Musterbeispiele aus wesentlichen Anwendungsbereichen der Stabstatik vorgelegt, an denen sich die Abweichungen und Fehler einer Theorie I., II. oder III. Ordnung ohne großen Aufwand verifizieren lassen. Auf eine detaillierte Beschreibung des theoretischen Hintergrunds wird in Teil 1 weitgehend verzichtet; der interessierte Leser findet entsprechende Erläuterungen in Teil 2.
Den Nutzern des Teils 1 wird zur Vermeidung von Eingabefehlern bei den Vergleichsberechnungen dringend geraten, zunächst nach Th.I.O. zu rechnen und die so erzielten Ergebnisse mit denen der Buchvorlage zu vergleichen.
Teil 2
beleuchtet die theoretischen Hintergründe und bietet weitere, hier nun ausführlich kommentierte Beispiele. Bei den Lesern werden solide Grundkenntnisse der Stabstatik vorausgesetzt.
In Teil 2 werden die folgenden, zum Teil neuen Erkenntnisse und Zusammenhänge hergeleitet und an Beispielen erläutert:
Für beide Teile gilt:
Um die jeweils behandelten Effekte nachvollziehbar herauszustellen und um Vergleichsberechnungen und Ergebniskontrollen zu vereinfachen, sind die Systemgeometrie und die Belastungen der Beispiele möglichst übersichtlich gehalten; das Eigengewicht der Träger wird vernachlässigt. Aus gleichem Grund wird ggf. auch auf die genaue Einhaltung z. B. der in den Fachnormen des Stahlbaus vorgegebenen Bedingungen hinsichtlich des Sicherheitskonzepts, der Lastkombinationen, der Imperfektionen usw. verzichtet. Das Buch ist in erster Linie ein Werk zur Baustatik, wenn auch der Anwendungsschwerpunkt im Stahlbau liegt. Weiteres s. Kap. II/2.
Querverweise
Normenbezug und Praxisrelevanz
Normenbezug
Im Vordergrund stehen die Grundlagen der allgemeinen Baustatik. Da räumliche Stabwerke vor allem im Stahlbau Verwendung finden, werden die Beispiele möglichst nah an die üblichen Gegebenheiten des Stahlbaus und die zugehörigen Normen (EC3 [2], in Sonderfällen auch DIN 18800 [1]) angepasst. Die jeweils verwendeten Materialeigenschaften werden konkret in den einzelnen Beispielen angegeben.
Die angegebenen Einwirkungen sind stets als Bemessungslasten für den Nachweis des Grenzzustands der Tragfähigkeit aufzufassen.
Standardwerkstoff und -querschnitt
Als Standardwerkstoff wird Stahl S 355 verwendet, als Standardquerschnitt ein dem IPE 400 nachempfundener Dreiblechquerschnitt (H-Querschnitt) H 400/180/10/14 (Tab. I/1.1). Auf die Verwendung von Walzprofilen wurde bewusst verzichtet, um die Problematik der Modellierung von Ausrundungen bei Kontrollrechnungen mit Flächenelementen zu umgehen.
Praxisrelevanz
Die Beispiele sind i. Allg. so konzipiert, dass die Grenzen der praktischen Baustatik eingehalten werden. Hierzu wird in fast allen Fällen ein vereinfachter Tragsicherheitsnachweis nach dem Teilschnittgrößenverfahren (kurz: TSV [18, P3]) geführt. Auch wenn dieses Verfahren nicht in allen Fällen genau den gültigen Stahlbaunormen entspricht, liefert es doch einen guten Anhalt für die Einschätzung, ob das vorliegende Beispiel praxisrelevant ist oder nur theoretischen Wert hat.
Ersatzstabverfahren und „ganzheitliche Methode“
In der Bemessungspraxis wird aufgrund der begrenzten Software-Möglichkeiten vor allem bei räumlicher Beanspruchung bzw. räumlichen Stabwerken zur Erfassung von Biegetorsionseffekten häufig das Ersatzstabverfahren angewendet: Zunächst wird das System ohne Berücksichtigung von Stabilitätsproblemen (und ggf. auch ohne Berücksichtigung der Wölbkrafttorsion) berechnet; anschließend werden aus dem System herausgetrennte stabilitätsgefährdete Stäbe oder gerade Stabzüge (ggf. mit Berücksichtigung der Wölbkrafttorsion) auf ihre Stabilität untersucht.
Bei der ganzheitlichen Methode wird das gesamte System in einem einzigen Berechnungsgang unter Berücksichtigung signifikanter Imperfektionen analysiert. Eine zusätzliche Stabilitätsuntersuchung ist dann in der Regel überflüssig. Diese Methode ist realitätsnah, scheitert jedoch häufig daran, dass die Software der Komplexität des Problems – z. B. Berücksichtigung realistischer Wölb-Übergangsbedingungen an räumlichen Knotenkonstruktionen – nicht gewachsen ist.
(Hinweis: Die Begriffe „ganzheitliche Methode“ und „gesamtes System“ dürfen nicht mit der Methode einer Statik am Gesamttragwerk verwechselt werden, bei der ein komplettes Bauwerk bauartübergreifend „integral“ berechnet wird.)
Abweichungen und Fehler
Für die Praxisrelevanz und die Schlussfolgerungen, die bei vergleichenden Untersuchungen aus Abweichungen und Fehlern gezogen werden, kann die folgende Einschätzung hilfreich sein:
Wahrer relativer Fehler Δ
Genauigkeit und Zahlendarstellung
In der praktischen Baustatik werden üblicherweise Eingangsgrößen wie Materialkennwerte und Belastungen mit drei, Querschnittswerte mit vier führenden Ziffern (NICHT: Nachkommastellen!) angegeben, eine Beschränkung, die wegen des statistischen Charakters dieser Größen bzw. erheblicher Toleranzen – z. B. in den Blechdicken – sinnvoll ist. Hieraus folgt, dass eine Zahlendarstellung der Ausgabedaten mit mehr als vier führenden Ziffern eine nicht vorhandene Genauigkeit der Ergebnisse vortäuscht und zudem deren Lesbarkeit und Beurteilung unnötig erschwert.
In diesem Buch wird die Zahlendarstellung der Ergebnisse grundsätzlich auf drei führende Ziffern beschränkt. Hierbei beträgt das Genauigkeitsintervall (die Abweichung der gerundeten von der exakten Zahl) der Resultate maximal ±0,5 %, eine Größenordnung, die sowohl im Rahmen der Baustatik als auch hinsichtlich der im Folgenden durchgeführten Untersuchungen ohne Belang ist.
Eine genauere Zahlendarstellung kann allenfalls bei speziellen Problemen erforderlich werden. Darüber hinaus sollte der Wert des Flächenmoments 2. Grades IT wegen seines überproportionalen Einflusses auf die Schnittgrößen und Verformungen bei Vergleichsberechnungen genau mit dem in der Vorlage verwendeten Wert übereinstimmen.
Verwendete Programme und kommerzielle Software
Die Programme sind am Ende des Literaturverzeichnisses mit einer kurzen Charakteristik zusammengestellt. Mit Ausnahme von [P5] sind dies Forschungs-, Lehr- und Lernprogramme.
Bei den von den Autoren durchgeführten Forschungsarbeiten und bei der Erstellung des Buches wurden darüber hinaus zahlreiche kommerzielle Programme genutzt. Diese Software wird jedoch nicht konkret benannt, u. a. deshalb, weil sie ständig aktualisiert wird und die Angaben zur Leistungsfähigkeit und zu den Defiziten der Programme dann beim Erscheinen des Buches nicht mehr aktuell sind.
Statt dessen wird dem Leser und dem Programmnutzer mit Tab. II/2.4 eine grundsätzliche Einordnung von Stabstatik-Software in verschiedene Kategorien an die Hand gegeben, die es ihm ermöglicht, die Leistungsfähigkeit der selbstgenutzten Programme zu beurteilen und anhand der zahlreichen Beispiele zu konkretisieren.
Annahmen und Voraussetzungen
Um den Rahmen dieses Buches nicht zu sprengen, beschränken sich die Untersuchungen in den meisten Fällen auf Systeme mit doppeltsymmetrischem Querschnitt, bei dem Schwerpunkt und Schubmittelpunkt zusammenfallen. Bei der Entwicklung der allgemeinen Biegetorsionstheorie in Kap. II/5 wird jedoch vom allgemeinen Fall ohne diese Einschränkung ausgegangen.
Ferner werden die folgenden Annahmen und Voraussetzungen getroffen:
Weitere Annahmen werden in den einzelnen Kapiteln erläutert.
„Exakte“ Ergebnisse
Statik und Technische Mechanik gehen stets von einer Modellbildung aus, die die Realität nur mehr oder weniger zutreffend erfassen kann [13]. Je nach verwendetem mechanischen und rechnerischen Modell (z. B. Stab-, Flächen-, Volumenmodell, numerische oder analytische Methode, lineare oder nichtlineare Beschreibung, ohne oder mit Berücksichtigung der Schubverformungen usw.) können sich „exakte“ Resultate ergeben, die erheblich voneinander abweichen.
Im gesamten Buch werden diejenigen Ergebnisse als „exakt“ bezeichnet, die mit dem auf der in Kap. 5 definierten genauen nichtlinearen Stabtheorie beruhenden FE-Programm [P1] mit Stabelementen erzielt wurden. Vergleichsberechnungen mit leistungsfähigen Programmen, die nach der FE-Methode mit Flächenelementen arbeiten, liefern – u. a. auch wegen der unterschiedlichen Behandlung der Schubverformungen – etwas andere „exakte“ Resultate. Die Abweichungen betragen jedoch im Allgemeinen deutlich weniger als 10 %, während z. B. die Unterschiede zwischen den Ergebnissen des Programms P1 und Stabwerksprogrammen nach Th.II.O. häufig in der Größenordnung von 20 % bis 50 %, in manchen Fällen auch weit darüber liegen (s. Beispiel I/5).
Kommerzielle Software nach einer Th.III.O. liefert in der Regel nur bei ebener Beanspruchung mit P1 vergleichbare „exakte“ Resultate, oder aber in Fällen räumlicher Beanspruchung, bei denen Torsionseffekte eine untergeordnete Rolle spielen (s. auch Abschn. II/2.10 und Tab. II/2.4.)
Bezeichnungen und Formelzeichen
Soweit sinnvoll und möglich, werden die Bezeichnungen der Normen [1, 2], ggf. aber auch hiervon abweichende, in der Baustatik übliche Bezeichnungen verwendet.
Nachweisschnittgrößen
sind auf die Achsen des verformten Systems bezogen: Mit diesen Größen ist der Spannungs- bzw. Interaktionsnachweis zu führen.
Im gesamten Buch sind stets Nachweisschnittgrößen angegeben, wenn nicht ausdrücklich anderes vermerkt ist.
Interaktionsnachweis
TSV
Teilschnittgrößenverfahren gemäß [18] und [P3] (s. auch Stichwort „Praxisrelevanz“ weiter oben); das TSV ist auch für Schnittgrößenkombinationen geeignet, für die in den Normen keine Interaktionsregeln zu finden sind.
Ebene Beanspruchung
Beanspruchung durch einachsige Biegung ohne oder mit Normalkraft, d. h. entweder durch My, Vz, N oder Mz, Vy, N.
Räumliche Beanspruchung
Alle anderen Fälle, die über die ebene Beanspruchung hinausgehen; hierzu gehört z. B. der Fall der reinen Torsion.
Einige Torsionsgrößen(in Klammern: bevorzugt verwendete Einheiten)
Abkürzungen für Stabilitätsprobleme
Teil 1
Zehn einfache Prüfbeispielezur Verifikation von Software-Ergebnissen
(Weitere Prüfbeispiele s. Teil 2)
Beispiel 1
Einachsige Biegung mit Druck
Kragstütze mit aufgesetztem Koppelträger
Aufgabenstellung
Anhand der in Bild 1.1 dargestellten Stütze wird die Beanspruchung „Einachsige Biegung mit Druck“ untersucht. Hierbei soll gezeigt werden, dass für die Analyse dieses ebenen Beanspruchungsfalls auch die einfachste Variante der Theorie II. Ordnung ausreicht. Weiteres s. Kurzkommentar am Ende dieses Beispiels.
Zu ermitteln sind die Kraft-Verformungskurve für die seitliche Verschiebung w2 des Zwischengelenks, ferner einige weitere statische Größen (s. Tab. 1.2).
Bild 1.1 System und Belastung; Knickbiegelinie
Querschnittswerte
Da der Dreiblechquerschnitt H 400/180/10/14 in diesem Buch in fast allen Beispielen als Standardquerschnitt verwendet wird, sind die Querschnittswerte zur Vereinfachung von Vergleichsberechnungen in Tab. 1.1 zusammengestellt. Diese Querschnittsform wurde gewählt, um von der Stabtheorie unabhängige Vergleichsberechnungen mit Flächenelementen zu vereinfachen; gewalzte Querschnitte lassen sich wegen der Ausrundungen nur schwierig mit solchen Elementen darstellen.
Tab. 1.1 Querschnittswerte H 400/180/10/14
Ergebnisse
Die Zahlenwerte einiger statischer Größen sind in Tab. 1.2 zusammengestellt. Die Abweichungen der Th.II.O. (Tab. 1.2, Sp. 5) sind unter baupraktischen Aspekten vernachlässigbar gering.
Bild 1.2 Kraft-Verformungskurve für das Zwischengelenk
Tab. 1.2 Statische Größen; Fehler der Th.II.O.
Baustatische Relevanz
Kurzkommentar
An diesem Beispiel wird gezeigt, dass auch die einfachste der Varianten der Theorie II. Ordnung, die Th.II.O.-1 (s. Tab. II/2.4, Z. 1) in der Regel ausreicht, wenn ausschließlich eine ebene Beanspruchung (einachsige Biegung ohne oder mit Druck) vorliegt (Ausnahme: durchschlaggefährdete Systeme; s. Beispiel 2).
Beispiel 2
Durchschlagprobleme – Analyse nach Th.II.O. unzulässig
Unsymmetrisches v. MISES-Fachwerk mit geringem Stichmaß
Aufgabenstellung
Das in Bild 2.1 dargestellte System ist aufgrund des geringen Stichs und der elastischen horizontalen Lagerung in den Knoten 3 und 4 bereits im elastischen Beanspruchungsbereich durchschlaggefährdet.
Gesucht sind die Last-Verformungskurve der vertikalen Verschiebung f1 des Scheitelgelenks sowie die Normalkräfte, das maximale Biegemoment und die horizontale Verschiebung u3 am rechten Lager.
Bild 2.1 System und Belastung
Bild 2.2 Last-Verschiebungskurve für das Scheitelgelenk
Ergebnisse
Die Last-Verschiebungskurve ist in Bild 2.2, weitere Größen sind in Tab. 2.1 zusammengestellt, sowohl nach Th.II.O. als auch nach der exakten Stabtheorie. Da es sich um ein ausschließlich in seiner Ebene beanspruchtes System handelt, liefern alle Varianten der in Tab. II/2.4 aufgeführten Theorien II. Ordnung gleiche Resultate.
Baustatische Relevanz
Die Querschnittstragfähigkeit dieses sehr flachen Systems ist – auch für S 235 – bei Weitem nicht ausgenutzt. Maßgebend für die Bemessung wird zum einen die Begrenzung der Verformungen im Gebrauchszustand, zum anderen die Einhaltung eines ausreichenden Sicherheitsabstands des Gebrauchslastniveaus von der Durchschlaglast. Für ebene Konstruktionen stellt das Beispiel wegen des sehr geringen Verhältnisses von Stichmaß zu Spannweite baupraktisch sicherlich einen Grenzfall dar. Bei räumlichen Kuppelbauten sind diese Verhältnisse besonders im Scheitelbereich jedoch durchaus anzutreffen.
Tab. 2.1 Wertetabelle zu Bild 2.2
Verweis auf ähnliche Beispiele
Abschn. II/2.7.2 sowie Beispiel nach Bild II/2.8 („Pagodendach“).
Kurzkommentar
Wegen der Linearisierung der Beschreibung der Verformungsgeometrie kann eine Th.II.O. das Durchschlagproblem grundsätzlich nicht erfassen. Vergleichsberechnungen mit kommerzieller Th.III.O.-Software ergeben für ebene Durchschlagprobleme in der Regel Ergebnisse, die sehr gut mit den exakten Berechnungen übereinstimmen. Vorsicht ist jedoch stets – auch bei Anwendung einer Th.III.O. – geboten, wenn Durchschlagprobleme mit räumlicher Beanspruchung einhergehen. Weiteres s. Abschn. II/2.7.2.
Beispiel 3
Doppelbiegung – ein simpler Fall?
Gabelgelagerter Einfeldträger mit Einzellasten Fy und Fz in Feldmitte
Aufgabenstellung
Der in Bild 3.1 dargestellte beidseitig gabelgelagerte Träger wird durch die Einwirkungen Fy und Fz auf zweiachsige Biegung beansprucht. Gesucht sind die Verformungen und die Schnittgrößen.
Ferner soll anhand dieses Beispiels untersucht werden, ob das spezielle Superpositionsgesetz der Th.II.O. bei räumlicher Beanspruchung gilt.
Bild 3.1 System und Belastung
Ergebnisse
Die Verformungen sind in Bild 3.2, die Schnittgrößen und Spannungen in Bild 3.3 für die Berechnung nach verschiedenen Theorien dargestellt. Definition der Theorien s. Tab. II/2.4. In Tab. 3.1 sind die Ergebnisse für verschiedene Lastniveaus zusammengestellt.
Bild 3.2 Verformungen(exakt / Th.II.O.-3W, wahrer relativer Fehler in %)
Bild 3.3 Schnittgrößen und Spannungen(exakt / Th.II.O.-3W, wahrer relativer Fehler in %)
Tab. 3.1 Extremale Verformungen und Schnittgrößen in Abhängigkeit vom Lastfaktor α (exakt und nach Th.II.O.-3W)
Baustatische Relevanz
Verweis auf ähnliche Beispiele
Abschn. II/5.10.1, Durchlaufträger mit Doppelbiegung.
Kurzkommentar
Die Doppelbiegung hat erhebliche Torsionsbeanspruchungen zur Folge; so betragen z. B. die Normalspannungen aus dem Wölbbimoment hier bis zu 9,0 bzw. 14,1 kN/cm2 (Bild 3.3, Mω-Linie). Die Th.II.O.-1 und eine Th.I.O. (ob ohne oder mit Berücksichtigung der Wölbkrafttorsion) erfassen diese Zusatz-Torsionsmomente nicht, die sich aus den Querlasten und den Verformungen des Systems ergeben. Solche Theorien sind also für den Fall der zweiachsigen Biegung – auch für andere Formen offener Querschnitte mit Iy ≠ Iz – nicht brauchbar. Bei geschlossenen Querschnitten ist die infolge Doppelbiegung entstehende Torsion von untergeordneter Bedeutung. Weiteres s. Bild II/2.2 samt Kommentar.
Der nichtlineare Torsionsanteil, die Helix-Torsion (s. Kap. II/4), ist bei diesem Beispiel gering (MxH < 2 kNcm) und kann vernachlässigt werden. Die zugehörigen Querschnittswerte in der letzten Spalte der Tab. 1.1 werden bei diesem Beispiel für Vergleichsberechnungen also nicht benötigt.
Superposition
Bei ebener Beanspruchung gilt das spezielle Superpositionsgesetz der Th.II.O.: Teilzustände dürfen überlagert werden, wenn jeder dieser Zustände unter Wirkung der gleichen Normalkraft berechnet wird.
Für räumliche Beanspruchung ist eine Superposition selbst dann allgemein unzulässig, wenn keine Normalkräfte vorhanden sind (s. Tab. 3.2).
Tab. 3.2 Überprüfung der Superposition bei Th.II.O. am vorhandenen Beispiel
Beispiel 4
Planmäßig zentrische Druckbeanspruchung – Biegeknicken nach zwei Richtungen, Drillknicken
Über vier Geschosse durchlaufende, planmäßig zentrisch beanspruchte Stütze mit unterschiedlichen Randbedingungen in y- und z-Richtung
Beispiel 4a: Gabellagerung in jedem Geschoss
Aufgabenstellung
Für die in Bild 4.1 dargestellte Stütze mit einer planmäßigen zentrischen Druckkraft von 1550 kN sollen die extremalen Verformungen und Schnittgrößen ermittelt werden. Die zusätzlich zu berücksichtigenden äquivalenten geometrischen Ersatzimperfektionen in Form von Ersatzlasten sind in Bild 4.1 bereits angegeben.
Anmerkungen zu den Imperfektionsannahmen und den Eigenformen
Art und Richtung der Ersatzimperfektionen ergeben sich aus dem Verlauf der Eigenformen infolge der planmäßig zentrischen Belastung (homogener Fall). Hier werden – zur Vereinfachung von Vergleichsberechnungen – keine Vorkrümmungen, sondern äquivalente Ersatzkräfte angesetzt.
Da die ersten beiden Eigenwerte (Biegeknicken: BK (z-z), BK (y-y)) sehr dicht beieinander liegen, sind beide zugehörigen Eigenformen bei den Imperfektionsannahmen zu berücksichtigen.
Die ungünstige Richtung der Ersatzkräfte ergibt sich aus dem Verlauf der Eigenformen und .
Imperfektionen zur Berücksichtigung der 3. Eigenform (Drillknicken: DK, s. Bild 4.1) dürfen hier wegen des großen Abstands des DK-Eigenwertes zur Knicklast BK (z-z) vernachlässigt werden. Im Zweifelsfall muss diese Annahme durch Vergleichsberechnungen überprüft werden (s. Beispiel 4b).
Bild 4.1 Planmäßig zentrisch beanspruchte Stütze über n Geschosse (mit Ersatzlasten), in jedem Geschoss gabelgelagert
Ergebnisse
Die extremalen Schnittgrößen nach Th.I.O., Th.II.O.-3W (s. Tab. II/2.4) und nach der genauen Stabtheorie sowie die Fehler der Ergebnisse nach Th.II.O. sind in der Tab. 4.1
