Iniciación al estudio didáctico del Álgebra E-Book

Carmen Sessa

• Herausgeber: Libros del Zorzal
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Sprache: Spanisch
• Veröffentlichungsjahr: 2021

Seitenzahl: 138

Beschreibung

En este libro nos proponemos un estudio sobre la problemática didáctica del Álgebra escolar. Los que miran la escuela secundaria desde afuera señalan –y reclaman al respecto– que muy pocos alumnos alcanzan a tener algún grado de destreza en el trabajo algebraico. Los profesores no encuentran el modo de lograr que esas destrezas sean adquiridas por la clase. Las enseñanzas que despliegan y los aprendizajes que proponen quedan muchas veces atrapados en esa búsqueda de destreza, y el sentido de lo que se aprende queda oculto para la mayoría de los alumnos. Éste es un libro para los profesores comprometidos con un aprendizaje de sus alumnos basado en la construcción de sentido del trabajo matemático. El tratamiento de lo general, la exploración, formulación y validación de conjeturas sobre propiedades aritméticas, la posibilidad de resolver problemas geométricos via un tratamiento algebraico, la puesta en juego de una coordinación entre diferentes registros de representación semiótica, son rasgos esenciales de la práctica algebraica que la colocan en el corazón de la actividad matemática. En este libro mostramos cómo a través de estas prácticas se puede ir construyendo el sentido de la operatoria algebraica, punto de apoyo para adquirir herramientas de control que son imprescindibles para lograr autonomía en el desempeño de los estudiantes. ¿Es posible entusiasmar a los alumnos e incorporarlos activamente desde una posición de interés intelectual en el trabajo? Los problemas que presentamos aquí se ubican en la perspectiva optimista acerca de esa posibilidad, alentadora para el docente que enseña Álgebra a nuestros adolescentes hoy. Esperamos entonces que resulte un aporte al fortalecimiento de esa gratificación que todo docente siente cuando logra involucrar a sus alumnos en los desafíos del aprendizaje.

Leseprobe

Carmen Sessa

Iniciación al estudio didáctico del Álgebra

Orígenes y perspectivas

Sessa, Carmen

Iniciación al estudio didáctico del álgebra : orígenes y perspectivas . - 1a ed. - Ciudad Autónoma de Buenos Aires : Libros del Zorzal, 2014. - (Formación docente. Matemática; 2)

E-Book.

ISBN 978-987-599-339-6

1. Algebra. 2. Formación Docente. I. Título

CDD 371.1

Realizado con el apoyo del Fondo Cultura B.A. de la Secretaría de Cultura del Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires.

Edición: Octavio Kulesz

Revisión: Lucas Bidon-Chanal

Diseño: Verónica Feinmann

© Libros del Zorzal, 2005

Buenos Aires, Argentina

Libros del Zorzal

Printed in Argentina

Hecho el depósito que previene la ley 11.723

Para sugerencias o comentarios acerca del contenido de Iniciación al estudio didáctico del Álgebra, escríbanos a: [email protected]

www.delzorzal.com.ar

Gracias a Daniel, a Florencia, a Maria Clara y a Patricia, y a las chicas Verónica, Silvia y Diana, por todas sus“ayudas de la cabeza y del corazón”.

Índice

Introducción general | 7

Capítulo 1 Incursiones en la historia del Álgebra | 11

Introducción | 12

Y al principio fue la geometría... | 14

Primera parada: Los procedimientos de resolución en la antigua Babilonia | 15

La multiplicación como operación geométrica | 20

El papel de las figuras | 21

¿Álgebra o no? | 22

El universo griego | 24

Segunda parada: La numerosidad de los pitagóricos | 26

Tercera parada: Euclides y la geometría de las magnitudes | 31

El tratamiento de leyes generales | 32

Reflexiones sobre Euclides 1 | 34

La resolución de problemas | 35

Reflexiones sobre Euclides 2 | 41

Análisis y síntesis | 42

¿Álgebra o no? | 43

Cuarta parada: La Arithmetica de Diofanto | 44

Reflexiones sobre el trabajo de Diofanto | 48

Quinta parada: Al-Kowarizmi y el arte del aljabr y del almuqabala | 49

Sexta parada: Una mirada sobre el trabajo de François Viète y René Descartes | 55

Letras para los datos | 55

Una separación clásica en la historia del álgebra | 56

La correspondencia entre puntos y pares de números | 58

Reflexión al final de nuestra incursión por la historia | 59

Capítulo 2 Una entrada al Álgebra a través de la generalización | 61

Introducción | 62

La producción de fórmulas para contar colecciones | 69

Ejemplo 1 | 70

Formulación y validación de conjeturas sobre los números y las operaciones | 107

Reflexión final sobre el capítulo 2 | 119

Bibliografía | 121

Introducción general

En este libro nos proponemos un estudio sobre la problemática didáctica del álgebra escolar. Sobre parte de esa problemática.

Si consideramos en conjunto el sistema profesores y alumnos, encontramos instalada en estos tiempos una fuerte tensión a propósito de este campo:

 Para los profesores, el álgebra representa la herramienta por excelencia de la matemática; se podría decir que los profesores se forman en una matemática algebrizada.

 Del lado de los alumnos, el álgebra se presenta como una fuente inagotable de pérdida de sentido y de dificultades operatorias muy difíciles de superar.

Los que miran la escuela secundaria “desde afuera” señalan –y reclaman al respecto– que muy pocos alumnos alcanzan a tener algún grado de destreza en el trabajo algebraico.

Los profesores no encuentran el modo de lograr que esas destrezas sean adquiridas por la clase. Las enseñanzas que despliegan y los aprendizajes que proponen quedan muchas veces atrapados en esa búsqueda de destreza, y el sentido de lo que se aprende queda oculto para la mayoría de los alumnos.

Éste es un libro para los profesores comprometidos con un aprendizaje de sus alumnos basado en la construcción de sentido del trabajo matemático. Pretende ser una herramienta de estudio que acompañe una revisita a determinados aspectos de la problemática del álgebra escolar. Y es también una invitación a profundizar en la fundamentación y el análisis de una propuesta de enseñanza para las entradas al álgebra.

Cuando pensamos el álgebra, a propósito del aprendizaje escolar, la concebimos como un conjunto de prácticas asociadas a un espacio de problemas que se constituyen a partir de un conjunto de conceptos con sus propiedades. Prácticas que se inscriben –y se escriben– en un determinado lenguaje simbólico, con leyes de tratamiento específicas que rigen la configuración de un conjunto de técnicas. Todos estos elementos complejos –problemas, objetos, propiedades, lenguaje simbólico, leyes de transformación de las escrituras, técnicas de resolución– producen un “entramado” que configura el trabajo algebraico.

Identificamos ciertos rasgos esenciales en este trabajo que lo ubican en el corazón de la actividad matemática: el tratamiento de lo general, la exploración, formulación y validación de conjeturas sobre propiedades aritméticas, la posibilidad de resolver problemas geométricos via un tratamiento algebraico, la puesta en juego de una coordinación entre diferentes registros de representación semiótica.

Hay quienes afirman que estos aspectos del trabajo algebraico son muy difíciles de instalar en la escuela porque necesitan de una destreza operatoria previa que los alumnos no poseen.

Por el contrario, nosotros sostenemos que es a través de estas prácticas que se va comprendiendo el sentido de la operatoria algebraica y, a medida que éste va siendo atrapado, permite la adquisición de herramientas de control que son imprescindibles para lograr autonomía en el desempeño de los estudiantes. La interrelación entre la actividad modelizadora del álgebra y el aprendizaje y el manejo de las técnicas constituye un punto clave en el dominio del álgebra.

Considerando este libro como introductorio al estudio de esta compleja problemática, acotamos nuestro objeto a las primeras enseñanzas, a los primeros abordajes del álgebra en la escuela (por esa sana tradición de “empezar por el principio”). Incluimos en nuestro recorte una dimensión de análisis históricoepistemológica, por considerarla valiosa para el análisis didáctico. El libro está organizado en dos capítulos.

En el capítulo 1 la Historia de la Matemática será la protagonista. Esperamos que con su lectura se comprenda por qué incluimos esta dimensión más epistemológica en nuestro estudio didáctico.

La intención del capítulo 2 es analizar una vía de entrada al trabajo algebraico que se apoya en las ideas de fórmula, de variable y de generalización. En este capítulo también incluimos una discusión en torno a los malentendidos que suelen producirse cuando los alumnos enfrentan muy tempranamente el objeto “ecuación”.

Este escrito se nutre de una experiencia de trabajo de más de diez años en diferentes ambientes: los inicios fundacionales de una investigación sobre el desarrollo del álgebra escolar, llevado adelante en conjunto con Mabel Panizza y Patricia Sadovsky; el trabajo con el equipo de Matemática de la Secretaría de

Educación del Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires en la formulación de programas para la escuela media;1 los estimulantes desafíos que me ha planteado la instancia de formación de futuros profesores de matemática;2 .las v oces de tantos profesores, con los que he trabajado en muchísimos talleres y cursos referidos a estos temas.

Y se nutre también de los resultados de las investigaciones de varios especialistas que, trabajando desde diferentes marcos teóricos, han puesto su foco en el álgebra escolar.

Desde distintos lugares del mundo se acreditan las dificultades con las que se enfrentan los alumnos cuando son acercados a las primeras herramientas algebraicas.

En respuesta a estas dificultades reiteradas, se suele proponer –de una manera más o menos explícita– una simplificación de los objetos y una algoritmización de las prácticas.

Habría otra opción, apoyada en la intención de hacerse cargo de la complejidad: apuntar a la construcción de sentido como respuesta a las dificultades. Es la opción que intentamos presentar en este libro, como una invitación a volver a pensar de qué se trata el aprendizaje del álgebra.

Capítulo 1 Incursiones en la historia del Álgebra

Introducción

Queremos comenzar este capítulo con una reflexión acerca del papel del análisis históricoepistemológico en el estudio didáctico de un determinado campo3 .

Es nuestra hipótesis que el conocimiento de los “caminos” de la historia, con sus marchas y contramarchas, con sus momentos de ruptura, con sus retrocesos y sus baches, representa una vía de acceso a mayores niveles de complejidad acerca de la naturaleza de los objetos que se están estudiando. Podríamos decir que ensancha nuestras concepciones epistemológicas, ayudándonos a desnaturalizar nuestra manera actual de tratar los problemas.

Desde el punto de vista de un profesor, la comprensión de otros modos de trabajo puede servir de inspiración para planear un proyecto de enseñanza que recupere para el aula viejos sentidos de los objetos.

Es necesario sin embargo alertar sobre la utilización ingenua de la historia de la matemática en la enseñanza y trascender la postura según la cual la historia serviría para proveer buenas “motivaciones para el aula”4 . Las condiciones en la historia que hicieron posible el planteo de problemas y de preguntas, son de alguna manera irreproducibles escolarmente si se piensa la construcción de conocimientos (en la historia y en la escuela) como una construcción social5 . Esto nos lleva a ser cautelosos en el aprovechamiento de los “ejemplos” históricos en la enseñanza.

Y al principio fue la geometría...

Cuando pensamos en el trabajo matemático de la escuela media, solemos identificar y diferenciar tres regiones bien asentadas en la tradición escolar: aritmética, álgebra y geometría. Al aproximar nuestra mirada para estudiarlas, se revelan como una red en la cual los tres polos se cruzan y se enriquecen mutuamente.

Para comprender mejor las filiaciones y las rupturas entre el álgebra y las otras regiones, vamos a comenzar por explorar estas relaciones en diferentes momentos de la historia de la matemática. Recorreremos distintos tramos de sus raíces, de sus nublados principios, fundamentalmente en lo que hace a su relación cambiante y fundadora con la geometría, así como el trabajo que ambas permiten desplegar para la resolución de problemas aritméticos.

La tablillas de la Mesopotamia y sus ecuaciones cuadráticas, el trabajo numéricogeométrico de la escuela pitagórica y la geometría sintética de Euclides serán discutidos y puestos en contraste con nuestras prácticas actuales algebraicas. Señalaremos también brevemente las sucesivas marcas dejadas por el trabajo de Diofanto, de Al-Kowarismi, de Viéte y de Descartes.

Vamos a organizar nuestro estudio en torno a 6 “paradas”

(que necesariamente dejarán a fuera otros muchos momentos que deberán ser estudiados si uno quiere atrapar la totalidad de la historia del álgebra). El objetivo de estas paradas, y de esta mirada, es el de reconectarnos con diferentes formas de trabajo que involucran sentidos más o menos perdidos de los objetos y del trabajo algebraicos.

Primera parada: Los procedimientos de resolución en la antigua Babilonia

Los pueblos de la Mesopotamia son los autores de los textos más antiguos de matemática que conocemos en la actualidad. Se trata de tablillas de arcilla talladas con signos cuneiformes que se empleaban como textos de enseñanza y para contabilidad. Algunas de ellas datan del año 3300 antes de Cristo.

En estas tablillas se encuentra una gran variedad de problemas aritméticos referidos a diferentes contextos y enunciados en lenguaje coloquial. A continuación del enunciado se presenta un procedimiento de resolución, también escrito en lenguaje coloquial. No se incluyen explicaciones ni validaciones acerca de los procedimientos que se presentan. Cada problema está resuelto para valores numéricos específicos de los datos, y los resultados también son números particulares. En las tabillas, el mismo tipo de problema es presentado con distintas colecciones de datos, en una organización sistemática que permite comprender el algoritmo para poder aplicarlo a cualquier colección de datos dada. La generalidad es atrapada a través de una variedad de ejemplos.

Vamos a detenernos a estudiar un problema cuadrático de una tablilla del año 1600 a.C. aproximadamente6. Presentamos primeº-ramente el enunciado textual y su procedimiento de resolución con los valores numéricos con los que se presenta en la tablilla. “He sumado la superficie y mi lado de cuadrado: 45. Pondrás 1, la wasitum. Fraccionarás la mitad de 1 (:30). Multiplicarás 30 y 30 (:15). Agregarás 15 a 45: 1. 1 es (su) raíz cuadrada. Restarás el 30 que has multiplicado de 1 (:30). 30 es el lado del cuadrado.”

Los Babilonios trabajaban con un sistema de numeración posicional en base sesenta; eso hace más dificultosa la lectura de este ejemplo. Su reescritura en sistema decimal sería:

La lectura del enunciado de este problema –con todas las limitaciones que nos impone recortar este solo enunciado de la totalidad de la producción matemática y de otras producciones culturales de esta civilización– nos plantea un interrogante: ¿Cómo se pueden sumar un cuadrado (superficie) y un lado (longitud)? ¿Qué sentido podría tener?

que es exactamente la fórmula que actualmente conocemos para hallar la única solución positiva de una ecuación de segundo grado con el coeficiente c negativo y coeficiente a=1. Podemos asegurar entonces que el procedimiento empleado es correcto7.

Ahora bien, además de nuestra traducción del algoritmo a la fórmula general que conocemos, podemos pensar en una apoyatura geométrica ocultada en la presentación algorítmica. El contexto del problema invita a ello. Esta interpretación del procedimiento de resolución resulta muy atractiva y es asumida en los textos actuales de Historia de la Matemática.

Pensemos entonces en un cuadrado de lado x. Una manera de poder sumarle (numéricamente) un lado es considerando ese lado como uno de los lados de un rectángulo cuyo otro lado mide 1, la unidad, la wasitum. Esto permite considerar una superficie de medida x.1 que se agrega a la del cuadrado. “He sumado el cuadrado y mi lado...” produciría entonces una figura como la siguiente:

cuya superficie total se sabe que es igual a 3/4y donde hay que hallar el valor del lado x. Para ello se comienza partiendo el rectángulo en dos rectángulos de igual área y reacomodándolos. La figura 1 se trasforma en esta otra, de la misma superficie:

Luego se completa la figura 2 hasta obtener un cuadrado, para lo cual hay que agregar un cuadradito de lado 1/2

Debe quedar claro que este lenguaje simbólico no formaba parte del universo matemático de los babilonios. Y que no consideramos esto como una falta. Nuestra intención al presentar este análogo algebraico de la completación geométrica de cuadrados es mostrar claramente las raíces geométricas de una técnica que solemos aprender (y enseñar), justificándola desde la manipulación simbólica de las expresiones (completamos un cuadrado en términos numéricoalgebraicos).

Para un alumno que está aprendiendo, ¿podría la interpretación geométrica dar otro espesor al sentido de esta técnica?

En la tablilla también está resuelto el caso b < 0. Veamos un problema, al que presentamos directamente con las medidas expresadas en nuestro sistema decimal:

El enunciado del problema dice que la figura sombreada tiene como medida (superficie) 870.

Proponemos al lector el ejercicio de seguir el algoritmo de la resolución babilónico en su interpretación geométrica y escribir en lenguaje algebraico este procedimiento en forma general para el caso de ecuaciones con coeficientes b y c negativos.

En los dos ejemplos que presentamos, la solución que se obtiene para el problema es un solo número, aunque se trata de problemas cuadráticos, ¿qué pasa con la otra solución?, ¿cómo se explica que no aparezca?

La multiplicación como operación geométrica

Nos interesa reflexionar sobre la posibilidad de aprovechar didácticamente el siguiente hecho, presente en la interpretación del procedimiento que hemos mostrado: la consideración geométrica del producto de dos números (dos segmentos) como el área del rectángulo que queda determinado por esos lados (su área considerada tanto como magnitud como numéricamente)8.

Esta consideración geométrica de la operación “producto” atraviesa la matemática desde la Antigüedad hasta Descartes (siglo XVII) y lleva a considerar solamente sumas que refieran a objetos de la misma “dimensión”: no puedo sumar (el área de) un cuadrado con (la longitud de) un segmento, pero sí (el área de) un cuadrado con (el área de) un rectángulo. Es lo que se conoce como principio de homogeneidad, que gobernará el trabajo algebraico desde sus orígenes hasta el gran salto que se produce con la geometría cartesiana.

En los ejemplos que acabamos de estudiar, la incorporación de la unidad, la wasitum, permite de algún modo flexibilizar esta imposición. Por ejemplo, una expresión como “el cubo de lado a más dos veces el cuadrado de lado b” se puede tomar en cuenta si uno considera el 2 como 2 veces la wasitum, y entonces “2 veces el cuadrado de lado b” pasa a representar un cuerpo con volumen que puede agregarse al cubo de lado a.

Como veremos más adelante, éste es un tratamiento muy diferente del que se encuentra en el trabajo matemático de Euclides en los Elementos: allí las áreas y longitudes son consideradas magnitudes, y no números, porque no se trabaja con unidades. El principio de homogeneidad de las dimensiones seguirá plenamente vigente, y no se encontrará ningún teorema donde se sumen cuadrados con segmentos. Estos son los asuntos que discutiremos en nuestra tercera “parada”.

El papel de las figuras

Vale la pena detenerse para reflexionar sobre el estatuto de las figuras 1, 2 y 3, que hemos presentado como interpretación del texto del procedimiento9